Aplicaciones lineales. Diagonalización. . La aplicación f es lineal si se verifican las dos condiciones siguientes:

Transcripción

1 Aplicacioes lieales Diagoalizació Defiició: Sea V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y sea la aplicació f:v W v f v w La aplicació f es lieal si se verifica las dos codicioes siguietes: 1) u,v V, f u v f uf v 2) K, v V, f v f v o bie e ua úica codició:, K, u,v V, fu v f u fv A las aplicacioes lieales se les dice tambié homomorfismos Subcojutos otables: Defiició: Sea f:v W ua aplicació lieal: Núcleo de la aplicació lieal f 1 N(f) Ker(f) vv/f v 0 f 0 V Image de la aplicació lieal f Im f f V w W / v V, f v w W Propiedades de las aplicacioes lieales Sea f:v W ua aplicació lieal: f V W 2 f v f v 3 La image por f de cualquier subespacio vectorial E de V es u subespacio vectorial de W 4 Image de f es u subespacio vectorial del espacio vectorial W 5 La image iversa de u subespacio vectorial H de W es u subespacio vectorial de V 6 Núcleo de f es u subespacio vectorial del espacio vectorial V 7 La image de u sistema geerador del espacio vectorial V es u sistema geerador del espacio vectorial f(v) 8 Si S es u sistema ligado de V, etoces, f(s es u sistema ligado de W 9 La image iversa de u sistema libre e W es u sistema libre e V Teorema de la dimesió Sea f ua aplicació lieal de V e W etoces se verifica que: dimv=dimn(f)+dimim(f) Uidad Docete de Matemáticas de la ETSITGC Asigatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 1

2 Aplicacioes lieales Diagoalizació Clasificació de las aplicacioes lieales Moomorfismo es ua aplicació lieal iyectiva Epimorfismo es ua aplicació lieal sobreyectiva Isomorfismo es ua aplicació lieal biyectiva (iyectiva y sobreyectiva) Edomorfismo o trasformació lieal es ua aplicació lieal de u espacio vectorial e sí mismo Automorfismo es u edomorfismo que además es isomorfismo Caracterizació de las aplicacioes lieales Sea f:v W ua aplicació lieal: N f 0 dimn f 0 f es u moomorfismo f es u epimorfismo Im f W dim Im f dim W Trasformacioes Lieales: Ecuació de ua trasformació lieal Sea f:v V ua trasformació lieal co B=u 1, u 2,, u ua base de V tal que: f u1 a11u1 a12u2 a1u f u2 a21u1 a22u2 a2u f u a1u1 a2u2 au etoces x x u x u V y f x y u y u y1 a11x1 a21x2 a1x y2 a12x1 a22x2 a2x y a1x1 a2x2 ax Escrito e forma matricial y1 a11 a21 a1 x1 y2 a12 a22 a2 x2 y a a a x 1 2 Uidad Docete de Matemáticas de la ETSITGC Asigatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 2

3 Aplicacioes lieales Diagoalizació Si llamamos y1 y2 Y, y x1 a11 a21 a1 x2 X a a a, A= , abreviadamete la ecuació x a1 a2 a matricial aterior se escribe Y AX, dode A es la matriz que defie la aplicació lieal f respecto de la base B del espacio vectorial V Observacioes: Las ecuacioes de la aplicació lieal f: Y=AX so las ecuacioes paramétricas del subespacio image de f Las ecuacioes cartesiaas del Núcleo de f so: AX=0 Cambio de base e ua trasformació lieal Sea f:v V ua trasformació lieal y sea B=u 1, u 2,, u y B =u' 1,u' 2,,u' dos bases de V tales que P represeta la matriz del cambio de base de B a B Si Y=AX es la ecuació matricial de la trasformació lieal f co A=M(f,B) etoces la matriz que defie f respecto B es: A =M(f,B )=P -1 AP resultado Y =A X El Espacio Vectorial de las Trasformacioes Lieales El cojuto de todas las trasformacioes lieales posibles del espacio vectorial V co la suma de aplicacioes y el producto de u escalar por ua aplicació tiee estructura de espacio vectorial sobre R Co la suma y la composició de aplicacioes costituye u aillo uitario E particular las trasformacioes lieales biyectivas forma u grupo respecto de la composició Teorema Si f:v V es ua trasformació lieal y A es la matriz cuadrada de orde que defie f respecto de ua base B del espacio vectorial V Etoces las afirmacioes siguietes so equivaletes: f es biyectiva f es iyectiva Nf 0 Im(f)=V f es sobreyectiva Uidad Docete de Matemáticas de la ETSITGC Asigatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 3

4 Aplicacioes lieales Diagoalizació rago(a)= A 0 Trasforma u sistema libre de vectores de V e u sistema libre Ivariates Sea f:v V ua trasformació lieal Defiició: U vector v V es u vector ivariate por f si f v v Defiició: U subespacio vectorial F es u subespacio ivariate por f si f(f) F, es decir, vff v F Si f es biyectiva etoces f(f)=f Cosecuecias: 1 Si v V es u vector ivariate por f, etoces v es u subespacio ivariate por f 2 Los subespacios 0, N(f), Im(f) y V so subespacios ivariates por f 3 La suma e itersecció de subespacios ivariates por f es u subespacio ivariate por f Diagoalizació de matrices: Matrices semejates Defiició: Dos matrices A,A ' M Kso semejates si y sólo si existe ua matriz P M K ivertible tal que A'=P -1 A P Observació: Todas las matrices asociadas a la misma trasformació lieal f respecto de cualquier base de V so semejates etre sí Itroducció Muchas veces es idispesable ecotrar ua base de V respecto de la cual M(f,B) sea lo más secilla posible, el grado máximo de simplicidad que se puede esperar viee dado por las matrices diagoales A 1 1 veces o es posible, por ejemplo, 0 1 Defiició: Ua matriz A M K es diagoalizable si existe ua matriz diagoal semejate a ella Defiició: Ua trasformació lieal de V es diagoalizable si su matriz asociada es diagoalizable Uidad Docete de Matemáticas de la ETSITGC Asigatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 4

5 Valores y vectores propios Defiicioes: Aplicacioes lieales Diagoalizació Sea f:v V ua trasformació lieal y ua matriz A M K asociada a f respecto de ua base B del espacio vectorial V U vector v V co v 0 es u vector propio o autovector de f si existe u valor f v v U valor propio o autovalor de f es K tal que f v v U vector v V co v 0 es u vector propio o autovector de A si existe u valor Av v U valor propio o autovalor de A es K tal que Av v Cosecuecia: si es u valor propio de u vector propio v, etoces es úico Teorema Ua trasformació lieal f:v V es diagoalizable si existe ua base B* de V formada por vectores propios de f Corolario Ua matriz A M K Defiició: es diagoalizable si y sólo si existe ua base B* del espacio vectorial K Poliomio característico de A es el siguiete poliomio e la variable :P( ) A I Proposició U escalar es u valor propio de A si y sólo si es raíz del poliomio característico de A K tal que K tal que Propiedades de los valores y vectores propios El cojuto V de vectores propios asociados a u mismo valor propio juto co el vector 0, es u subespacio vectorial del espacio vectorial V=K Dicho subespacio V se llama subespacio propio asociado al valor propio La multiplicidad geométrica de u valor propio (es decir, la dimesió de V ) es meor o igual que su multiplicidad algebraica (es decir, el orde de multiplicidad de como raíz del poliomio característico) Si es u valor propio co orde de multiplicidad uo, es decir, si es ua raíz simple del poliomio característico, etoces, la dimesió de su subespacio propio asociado, V, es tambié uo Sea 1, 2,, p valores propios distitos etre si de ua matriz A M (K) Si B 1, B 2,,B p so Uidad Docete de Matemáticas de la ETSITGC Asigatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 5

6 bases de V, 1 V 2 Aplicacioes lieales Diagoalizació,, V, respectivamete, etoces B B1B 2 Bp es libre p Los vectores propios asociado a valores propios distitos etre sí So liealmete idepedietes Si A M (K) tiee valores propios distitos etre sí etoces A es diagoalizable El subespacio propio de vectores propios asociados a u mismo valor propio es ivariate por la trasformació lieal que defie A Si es u valor propio de A, etoces es u valor propio de A Si 0 es u valor propio de A y existe A -1, etoces 1/ es u valor propio de A -1 El poliomio característico de ua matriz es igual al de su matriz traspuesta Dos matrices semejates tiee el mismo poliomio característico Si A y A so matrices semejates, etoces: El determiate de A es igual al determiate de A La traza de A es igual a la traza de A La suma de los adjutos de la diagoal pricipal de A es igual a la suma de los adjutos de la diagoal pricipal de A Caracterizació de las matrices diagoalizables Ua matriz A es diagoalizable e K si y sólo si se verifica las codicioes siguietes: 1 Todos los valores propios de A perteece al cuerpo K 2 El orde de multiplicidad de cada valor propio como raíz del poliomio característico es igual a la dimesió del correspodiete subespacio propio asociado Diagoalizació de las matrices simétricas reales Teorema: Todas las raíces del poliomio característico de ua matriz simétrica so reales Teorema: Todas las matrices simétricas so diagoalizables e TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS MATRICES INVERTIBLES Sea A M (R) que defie ua trasformació lieal f:v V respecto de ua base B del espacio vectorial V Los euciados siguietes so equivaletes: A es ivertible AX=b tiee solució úica para toda b de AX=0 tiee solamete la solució trivial A es u producto de matrices elemetales Uidad Docete de Matemáticas de la ETSITGC Asigatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 6

7 Aplicacioes lieales Diagoalizació Rago(A)= N(f)=0 Los vectores columa de A forma ua base de Los vectores fila de A forma ua base de A 0 El cero o es u valor propio de A f es biyectiva Im(f)= Uidad Docete de Matemáticas de la ETSITGC Asigatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 7