Ejercicios resueltos de cálculo integral. 13 de marzo del 2016

Transcripción

1 Ejercicios reseltos de cálclo integral Ciro Fabián Bermúez Márqez 3 de marzo del 06

2 Para todas esas personas qe sienten n profndo afecto por las matemáticas, me gstaría contarles na anécdota. En algna ocasión tve la oportnidad de leer na demostración qe me tomó por sorpresa, eran mis primeros meses estdiando matemáticas elementales y verdaderamente me sentía fascinado por la materia, la idea de poder sitar calqier cosa bajo el análisis de la lógica y así probar s veracidad me parecía fascinante, sin embargo, poco a poco nos adentramos en la parte más oscra de la matemática y pronto nos vemos enveltos tras olas de eqivocaciones qe no nos dejan ver mas allá de nestro fracaso. Esa demostración parecía perfecta, pero el poco conocimiento qe tenia hasta ese momento era insficiente para poder comprenderla, pase hora tras hora tratando de descifrarla, no podía concebir qe na demostración tan simple como aqella me aqejara tanto, pero era atrayente, porqe el objetivo de aqella demostración no era el sal entenderla y replicarla, sino, hallar donde se encontraba oclto el error para poder reftarla, era insoportable, pero algo beno habría de salir de aqella experiencia, jsto a escasos segndos de darme por vencido n arranqe de ingenio vino a mi mente, na sensación inexplicable de satisfacción srgió, lo había reselto y me sentía verdaderamente feliz, no era la clase de felicidad qe venia de recibir n obseqio, o de na felicitación de cmpleaños, era algo mcho más ferte. Pocas cosas se le peden comparar, se velve adictivo, necesario en la vida, lo importante no es la complejidad qe tenga porqe aqello viene con el tiempo, sino el resolverlo por no mismo sin ayda de nadie, explotar ts habilidades, t paciencia y t determinación. Pedo decir con toda segridad y sin ddar ni n momento, qe drante el tiempo qe siga vivo segiré bscando aqella sensación, porqe para mi en ella recae la verdadera felicidad, el por qé estdiamos ciencia y el por qé estamos aqí ahora leyendo esto. He aqí aqella demostración qe poco más a hecho qe inspirarme a segir estdiando y bscar respestas a mchas más pregntas. En dónde esta el error del sigiente desarrollo? Spongamos n nmero real distinto de cero Entonces sea: x = y 0 Mltiplicar la ecación por x: x = xy Restar y en ambos lados: x y = xy y Factorizar: (x + y) (x y) = y (x y) Despejar: Cancelar: Y como inicialmente x = y (x + y) (x y) (x y) x + y = y y + y = y = y Se tiene y = y = y y =? Espero qe cando lean esta demostración y sean capaces de descifrarla pedan sentir la misma sensación de satisfacción qe yo sentí, qe esta sensación los invada y bsqen cada vez retos mas complejos.

3 3 Ejercicios reseltos cálclo integral. Integración por sstitción La idea básica de esta técnica de integración consiste en poder reconocer dentro de na integral na fnción w = g(x) de manera qe al derivarla dw = g (x)dx, si la integral es de la forma f(g(x))g (x)dx entonces f(g(x))g (x)dx = f(w)dw. Ejemplos:. x 3 cos ( x 4 + ) dx Primero debemos localizar na fnción w = g(x) qe al derivarla aparezca en la misma integral. Despés de analizar las tres fnciones de las qe se conforma la integral podemos notar qe la única qe se acomoda a este razonamiento es x + cya derivada es 4x 3 dx, sin embargo parece impreciso pesto qe la derivada posee n factor de 4, pero esto se reselve rápidamente aplicando el axioma del netro mltiplicativo. x 3 cos ( x 4 + ) dx = Ahora es posible realizar la sigiente sstitción: x 3 cos ( x 4 + ) 4 4 dx = 4 w {( }}{ cos x 4 + ) dw 4x 3 dx w = x 4 + dw = 4x 3 dx De modo qe la integral se transforma en: 4 La integral anterior tiene na solción sencilla: Regresando a la variable original: cos ( x 4 + ) 4x 3 dx = 4 4 cos w dw = 4 sen w + C cos w dw 4 sen w + C = 4 sen ( x 4 + ) + C. x + dx Podemos darnos centa rápidamente qe la sstitción más adecada es x + debido a qe s derivada es dx, tilizando el axioma del netro mltiplicativo obtenemos: Ahora es posible realizar la sigiente sstitción: x x + dx = + dx = x + } {{ } w }{{} dx dw w = x + dw = dx De modo qe la integral se transforma en: x + dx = w dw

4 4 La integral anterior tiene na solción sencilla: Regresando a la variable original: w dw = 3 w 3 + C 3 w 3 + C = 3 (x + ) 3 + C 3. x 4x dx A primera inspección notamos qe la fnción 4x es la más acertada para ser w ya qe s derivada es 8xdx y únicamente tendríramos qe mltiplicar por n 8 en el nmerador y denominador de modo qe: x dx = 4x Ahora es posible realizar la sigiente sstitción: x 4x 8 8 dx = 8 4x 8x dx w = 4x dw = 8xdx De modo qe la integral qeda de la sigiente manera: 8 8x dx = 4x 8 dw w Resolviendo la integral anterior: 8 Regresando a la variable original dw = w 8 w dw = 8 w + C 4 w + C = 4x 4 + C 4. e 5x dx Para esta integral no es my complicado elegir la sstitción correcta y de ahora en adelante se obviara cando se aplica el netro mltiplicativo. Elegimos la sstitción: w = 5x De modo qe obtenemos la sigiente integral: e 5x dx = 5 dw = 5dx e 5x 5 dx = 5 e w dw Resolviendo la integral anterior: Regresando a la variable original: 5 e w dw = 5 ew + C

5 5 5 ew + C = 5 e5x + C 5. x 5 + x dx Esta integral es algo particlar, lo primero qe viene a la mente es tomar como sstitción +x cya derivada es xdx, lo cal a primera instancia parece no servir, sin embargo, hay qe ser perspicaces, porqe en efecto esta sstitción fnciona perfectamente. Elegimos la sigiente sstitción: w = + x = x = w dw = xdx Trabajando n poco con la fnción obtenemos lo sigiente: x 5 + x dx = x ( x ) + x dx = Resolviendo la integral anterior: (x ) + x x dx = (w ) w (w dw = w + ) w ( ) dw = w 5 3 w + w dw Entonces podemos reescribir la integral original en na sma de integrales más sencillas: Entonces: ( ) w 5 3 w + w dw = [ w 5 dw w 3 dw + w dw ] (w ) w dw [ w 5 dw w 3 dw + ] w dw = [ ] 7 w 7 5 w w 3 + C 6. Regresando a la variable original: tan x dx [ ] 7 w 7 5 w w 3 + C = ( + x ) 7 ( + x ) 5 + ( + x ) 3 + C A pesar de qe es na integral sencilla, en incontables ocasiones sele ser el dolor de cabeza de mchos estdiantes, debido a qe no conocen la estrategia correcta. La estrategia para abordar este tipo de integrales es siempre pasar a términos de seno y coseno las fnciones trigonométricas qe aparezcan en la integral, de este modo: tan x dx = sin x cos x dx Elegimos la sstitción: w = cos x dw = sin x dx Entonces la integral se transforma en: sin x cos x dx = sin x dx = dw = ln w + C cos x w Utilizando propiedad de logaritmos ln a r = r ln a y regresando a la variable original: ln w + C = ln cos x + C = ln (cos x) + C = ln sec x + C

6 6. Integración por partes Este método se emplea comúnmente para integrar el prodcto de dos fnciones. Se tiliza la sigiente fórmla = v vd.usalmente se le recerda con la frase Un día vi na vaca vestida de niforme, sin embargo, para fines prácticos, propondremos na manera más efectiva para qe el almno nnca olvide este método. Haciendo so de s memoria msclar (kinestésica), el almno no tendrá qe depender de frases ridíclas, en lgar de eso, memorizara na estrctra escrita, y de esta manera, cando desee aplicar la técnica, de inmediato escribirá la estrctra sin necesidad de pensarlo demasiado, n proceso casi mecánico. La hipótesis es qe tras haber realizado n par de ejercicios tilizando la notación, ya no sera necesario estar comparando termino por termino para poder aplicar la técnica, sino algo mas mecánico y sencillo de recordar. La estrctra es la sigiente: Ahora debe aplicarse de la sigiente manera:. Se mltiplica crzado imaginando na flecha desde hacia v. d v. Se escribe el signo menos y ensegida la integral del prodcto imaginando na flecha desde v hacia d. El objetivo de tilizar la integración por partes es obtener na integral más sencilla qe la original. La mayor problemática para este tipo de integrales es decidir qé parte de ella debemos tomar como, sin embargo, no es my difícil escogerla si tenemos en centa los sigientes consejos:. Normalmente elegimos como fnciones fáciles de integrar, como trigonométricas o la fnción exponencial de manera qe reslten cada vez integrales más sencillas. Elegimos como fnciones cyo grado deseemos disminir al derivar o fnciones cya derivada sea consecente con la integral de, por instancia los logaritmos natrales. 3. En ocasiones se bsca qe vd sea igal a la integral original de manera qe se peda despejar. 4. En casos my particlares se peden invertir los consejos y. Ejemplos:. x sin x dx La integral anterior posee na fnción de grado no y otra trigonométrica, de modo qe elegimos y de la sigiente manera: x sin xdx = x d = dx = sin xdx v = cos x Entonces la integral nos qeda de la sigiente forma: x sin x dx = x cos x + cos xdx De manera qe la solción es: x sin x dx = x cos x + sin x + C

7 7. ln xdx Esta integral es na de las más básicas, sigiendo con las recomendaciones anteriores entonces: ln x dx = ln x d = x dx = dx v = x Entonces la integral nos qeda de la sigiente forma: ln x dx = x ln x dx Entonces la solción es: ln xdx = x ln x x + C 3. t e t dt En la integral encontramos na fnción de grado dos y na fnción exponencial de modo qe: t e t dt = t d = t dt = e t dt v = e t En consecencia: t e t dt = t e t te t dt Aplicando otra vez integración por partes a la segnda integral: t e t dt = te t e t dt = t d = dt = e t dt v = e t Entonces reescribiendo las dos integrales: ( t e t dt = t e t te t ) e t dt De lo qe reslta: t e t dt = t e t te t + e t + C

8 8 3. Integrales trigonométricas Ejemplos:. sec 3 x dx Para resolver la integral anterior es necesario saber la propiedad pitagórica, sin x + cos x =, porqe de ella se desprende qe + tan x = sec x, entonces la integral se pede reescribir de la sigiente manera: ( sec 3 x dx = sec x sec x dx = + tan x ) (sec sec xdx = x + sec x tan x ) dx La integral anterior se pede ver como la sma de dos integrales: = sec x dx + sec x tan x dx La primera integral es na integral sencilla, sin embargo, la segnda presenta na pecliaridad porqe si volvemos a tilizar la propiedad + tan x = sec x, la integral se volverá cíclica y no llegaremos a ningún resltado, entonces la segnda integral se reselve de la sigiente manera. Utilizando el método de sstitción: sec x tan x dx = tan x tan x sec x dx de modo qe = tan x d = sec xdx = tan x sec x dx v = sec x Entonces: tan x tan x sec x dx = tan x sec x sec 3 xdx Reescribiendo toda la integral: sec 3 x dx = sec x dx + tan x sec x sec 3 xdx = ln sec x + tan x + tan x sec x sec 3 xdx Despejando: Entonces: sec 3 xdx = ln sec x + tan x + tan x sec x sec 3 xdx = ln sec x + tan x + tan x sec x + C