DES: Fecha de actualización: 04/07/2006
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- Salvador Quintana Ponce
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1 DES: Ingeniería UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIHUAHUA Clave: 08MSU007H FACULTAD INGENIERÍA Clave: 08USU4053W PROGRAMA DEL CURSO: VARIABLE COMPLEJA Programa(s) Educativo(s): Tipo de materia: Clave de la materia: Semestre: 6 Área en plan de estudios: Créditos 5 Total de horas por semana: 5 Teoría: 5 Práctica 0 Taller: Laboratorio: Prácticas complementarias: Trabajo extra clase: Total de horas semestre: 80 Ingeniería Física e Ingeniería Matemática Obligatoria CS60 Básica Fecha de actualización: 04/07/2006 Clave y Materia requisito: CS50 Propósitos del Curso: El estudiante identifica, formula y soluciona problemas que involucran variables complejas, funciones analíticas y elementales, integrales, series, residuos y polos. Asimismo describe las propiedades del mapeo conforme resolviendo problemas de transformaciones de funciones armónicas y de condiciones frontera y sus aplicaciones a problemas físicos. Al final del curso el estudiante será capaz de: Identifica, describe y soluciona problemas que involucran variables complejas, funciones analíticas y funciones elementales. Realiza mapeos mediante funciones elementales. Resuelve problemas que involucran integrales y series de variables complejas. Resuelve problemas involucrando residuos y polos. Realiza transformaciones de funciones armónicas y de condiciones frontera y aplica dichas transformaciones a problemas físicos. COMPETENCIAS Para todas las unidades: Ciencias Básicas de la Ingeniería. Ciencias de la Ingeniería Física y Matemática. Uso de Información. Solución de Problemas. Trabajo en equipo. CONTENIDOS (Unidades, Temas y Subtemas) I NUMEROS COMPLEJOS.. Definiciones..2 Propiedades Algebraicas..3 Coordenadas Cartesianas...4 La Desigualdad del Triangulo..5 Coordenadas Polares..6 Potencias y Raíces..7 Regiones en el Plano Complejo..8 El Punto en Infinito. RESULTADOS DE APRENDIZAJE (Por Unidad) Resuelve problemas algebraicos y trigonométricos con números complejos. Grafica puntos y regiones en el plano complejo.
2 II FUNCIONES ANALITICAS 2. Funciones de una Variable Compleja. 2.2 Limites y Continuidad. 2.3 Derivadas y Fórmula de Diferenciación. 2.4 Las Ecuaciones de Cauchy-Riemann. 2.5 Funciones Analíticas. 2.6 Funciones Armónicas. Realiza operaciones con funciones de variable compleja. Determina límites de funciones de variable compleja. Determina derivadas de funciones de variable compleja. III FUNCIONES ELEMENTALES. 3. La Función Exponencial y sus Propiedades. 3.2 Funciones Trigonométricas y sus Propiedades. 3.3 Funciones Hiperbólicas. 3.4 Funciones Logarítmicas y sus Propiedades. 3.5 Exponentes Complejos. 3.6 Funciones Trigonométricas Inversas. IV MAPEO POR FUNCIONES ELEMEN- TALES. Identifica y realiza operaciones con funciones complejas elementales. Realiza mapeos de funciones elementales complejas. 4. Funciones Lineales. 4.2 La Función /z. 4.3 Transformaciones Lineales Racionales. 4.4 La Función z n. 4.5 La Función z / Otras Funciones Irracionales. 4.7 La Transformación w = e z. 4.8 La Transformación w = sen(z) 4.9 Transformaciones Sucesivas. 4.0 Tabla de Transformaciones de Regiones. V INTEGRALES. 5. Integrales Definidas. 5.2 Contornos. 5.3 Integrales de Línea. 5.4 El Teorema Cauchy-Goursat. 5.5 Dominios Conectados Simplemente y Múltiplemente. 5.6 Integrales Indefinidas. 5.7 La Fórmula Integral de Cauchy. 5.8 Derivadas de Funciones Analíticas. 5.9 Teorema de Morera. 5.0 Módulo Máximo de Funciones. 5. El teorema Fundamental del Álgebra. Realiza integrales complejas definidas, de línea, contornos, Dominios conectados simple y múltiplemente e integrales definidas Aplica la fórmula integral de Cauchy. Determina derivadas de funciones analíticas complejas. Aplica el teorema de Morera. Aplica el teorema de Liouville. Aplica el teorema fundamental del algebra. 2
3 VI SERIES. 6. Convergencia de Secuencias y Series. 6.2 Series de Taylor. 6.3 Series de Laurent. 6.4 Convergencia Uniforme. 6.5 Integración y Diferenciación de Series de Potencias. 6.6 Unicidad de Representaciones. 6.7 Multiplicación y División. 6.8 Ceros de Funciones Analíticas. Demuestra la convergencia de series complejas infinitas. Expande funciones complejas en series de Taylor y de Laurent. Integra y diferencia series de potencias. Obtiene la expansión en serie de McLaurin de la multiplicación de dos series de potencias. Determina los ceros de una función analítica. VII RESIDUOS Y POLOS. 7. Residuos. 7.2 El Teorema del Residuo. 7.3 La parte principal de una Función. 7.4 Polos. 7.5 Cocientes de Funciones Analíticas 7.6 Evaluación de Integrales Reales Impropias. 7.7 Integrales Impropias Involucrando Funciones Trigonométricas. 7.8 Integrales Definidas de Funciones Trigonométricas. 7.9 Integración alrededor de un Punto Ramal. Determina los residuos de una función. Aplica el teorema del residuo. Determina los polos de una función compleja. Determina el residuo de una función compleja mediante el cociente de dicha función. Evalúa integrales reales impropias de una función. Evalúa integrales impropias que involucran funciones trigonométricas Evalúa integrales definidas que involucran funciones trigonométricas. Realiza integraciones alderredor de un punto ramal. VIII MAPEO CONFORME. 8. Propiedades Básicas. 8.2 Conjugados Armónicos. 8.3 Transformaciones de Funciones Armónicas. 8.4 Transformaciones de Condiciones Frontera. Identifica propiedades del mapeo conforme. Identifica y aplica las propiedades de los armónicos conjugados. Realiza transformaciones de funciones armónicas. Realiza transformaciones bajo condiciones de frontera. IX APLICACIONES DE MAPEO CON- FORME. 9. Temperaturas Estables. 9.2 Temperaturas Estables en Medio Plano 9.3 Temperaturas en un Cuadrante conparte de una Frontera Aislada. 9.4 Potencial Electrostático. 9.5 Potencial en un Espacio Cilíndrico. 9.6 Flujo Bidimensional de Fluidos. 9.7 La Función de Chorro. 9.8 Flujo Alderredor de una Esquina. 9.9 Flujo Alderredor de un Cilindro. Aplica el mapeo conforme a la solución de diversos problemas físicos involucrando la ecuación de Laplace en dos variables independientes. Los problemas considerados serán sobre conducción de calor, potencial electrostático y flujo de fluidos. 3
4 METODOLOGÍA. Para cada Unidad, se presenta una introducción por parte del maestro, utilizando un organizador previo temático. 2. Se entrega el material gráfico para su lectura Se diseña un cuestionario para el manejo de los contenidos y debe entregarse una copia al maestro al inicio de la clase, este producto se utiliza para la discusión de tema por equipo y para el resto del grupo. 3. La discusión y el análisis se propicia a partir del planteamiento de una situación problemática, dónde el estudiante aporte alternativas de solución o resolver un ejercicio dónde aplique conceptos ya analizados. 4. Se complementa cada tema de unidad con la utilización de los paquetes computacionales de simulación tales como, Matlab y/o Matemática. Métodos Centrado en la tarea Estrategias Trabajo de equipo en la elaboración de tareas, planeación, organización, cooperación en la obtención de un producto para presentar en clase. Inductivo Observación Comparación Experimentación Deductivo Aplicación Comprobación Demostración Sintético Recapitulación Definición Resumen Esquemas Modelos matemáticos Conclusión Técnicas Lectura Lectura comentada Expositiva Debate dirigido Diálogo simultáneo Material de Apoyo didáctico: Recursos Manual de Instrucción Prácticas de laboratorio con MATLAB ó MATEMÁTICA. Materiales gráficos: artículos, libros, diccionarios, etc. Cañón electrónico Rota folio Pizarrón, pintarrones Proyector de acetatos 4
5 EVIDENCIAS DE DESEMPEÑO Se entrega por escrito: Elaboración de resúmenes. Cuestionarios. Contenidos de exposiciones. Trabajos por escrito con estructura IDC (Introducción, desarrollo conclusión). Exámenes escritos. Producto de prácticas de laboratorio. Verificación visual por parte del maestro: Resolución de problemas en clase. CRITERIOS DE DESEMPEÑO Los resúmenes deberán abarcar la totalidad del contenido programado para dicha actividad. Los cuestionarios se reciben si están completamente contestados, no debe faltar pregunta sin responder. Las exposiciones deberán presentarse en un orden lógico. Introducción resaltando el objetivo a alcanzar, desarrollo temático, responder preguntas y aclarar dudas y finalmente concluir. Entregar actividad al grupo para evaluar el contenido expuesto. Los trabajos se reciben si cumplen con la estructura requerida, es muy importante reportar la s referencias bibliográficas al final en estilo APA. FUENTES DE INFORMACIÓN (Bibliografía/Lecturas por unidad) COMPLEX VARIABLES AND APPLICATIONS. R.V. Churchill, J.W. Brown, R.F. Verhey McGraw-Hill International Student Edition EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES (Criterios e instrumentos) Se toma en cuenta para integrar calificaciones parciales: 3 exámenes parciales escritos donde se evalúa conocimientos, comprensión y aplicación. Con un valor del 30%, 30% y 40% respectivamente La acreditación del curso se integra: Exámenes parciales: 80% Laboratorios y/o prácticas: 0% Cuestionarios, resúmenes, participación en exposiciones, discusión individual, por equipo y grupal 0%. Asistencia: 0% Cronograma del Avance Programático S e m a n a s Nota: para acreditar el curso se deberá tener calificación aprobatoria tanto en la teoría como en las prácticas. La calificación mínima aprobatoria será de 6.0 Unidades de aprendizaje I. Números complejos X II. Funciones analíticas X X III. Funciones elementales X X IV. Mapeo por funciones elementales. X X V. Integrales. X X VI. Series. X X VII. Residuos y polos. VIII. Mapeo conforme IX. Aplicaciones de mapeo conforme X X 4 X X 5 6 X 5
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