ÁLGEBRA LINEAL Ingenierías ÁLGEBRA II. Unidad Nº 1 LM - PM MATRICES. DETERMINANTES. FCEyT - UNSE

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1 ÁLGEBR LINEL Igeerís ÁLGEBR II LM - PM Udd Nº MTRICES. DETERMINNTES FCEyT - UNSE

2 .- INTRODUCCIÓN ESTRUCTURS LGEBRICS de GRUPO y de CUERPO Defcó Se Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE G y se * u opercó e G. El pr ( G, ) es u grupo s y sólo s: ) * es u ley de composcó ter e G. Es decr, * es u fucó co domo e el producto crteso G x G y tom vlores e G, e símbolos : G G ) * es soctv e G. E símbolos G (, b ) b ( b) c ( b c), b, c G ; ) Exste u elemeto eutro e G respecto de l ley *. E símbolos e G : G ; e e 4) Pr cd elemeto G exste u elemeto verso G respecto l ley *. E símbolos Nots G ; ' G : ' '. L estructur lgebrc de grupo h sdo defd e form xomátc.. El xom ) suele escrbrse de l sguete mer, b G ; * b G. El xom ) dc que el couto G es cerrdo co respecto l ley *. Tmbé suele decrse que el couto G es estble respecto l opercó *. 4. E los xoms ) y 4) observe detedmete l poscó de los cutfcdores exstecl y uversl, y obteg coclusoes. 5. Dremos smplemete se G u grupo cudo l ley * esté sobreetedd. 6. Cudo e u grupo G l ley de composcó ter se l sum, dremos que G es u grupo dtvo. E est stucó el elemeto eutro dtvo se llm elemeto ulo o smplemete cero y suele represetrse co ; y ddo G l verso dtvo de, deomdo opuesto de, se deot co. 7. Cudo e u grupo G l ley de composcó ter se l multplccó, dremos que G es u grupo multplctvo. E est stucó el elemeto eutro multplctvo se le llm udd y suele represetrse co ; y ddo G l verso multplctvo de, deomdo recíproco de, se deot co -. e Eemplos de grupos: Grupos dtvos (Z, +) El couto de los úmeros eteros co l sum de úmeros eteros. Udd

3 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE (Q, +) El couto de los úmeros rcoles co l sum de úmeros rcoles. (R, +) El couto de los úmeros reles co l sum de úmeros reles. (C, +) El couto de los úmeros compleos co l sum de úmeros compleos. (R, +) El couto de los pres ordedos de úmeros reles (o vectores del plo crteso) co l sum de pres ordedos defd por (x, y ) + (x, y ) (x + x, y + y ) quí, el cero es el pr (, ) y el opuesto de (x, y ) es -(x, y ) (-x, -y ). (R, +) El couto de ls -upls ordeds de úmeros reles co l sum de -upls (co N) defd por (,,, ) + (b, b,, b ) ( + b, + b,, + b ) Dode, el cero es l -upl (,,, ) y el opuesto de (,,, ) es - (,,, ) (-, -,, - ) (Z, +). Dode Z {,, } es el couto de ls clses resdules módulo y l sum está defd por l sguete tbl + Grupos multplctvos (Q {},.) El couto de los úmeros rcoles o ulos co l multplccó de úmeros rcoles o ulos. (R {},.) El couto de los úmeros reles o ulos co l multplccó de úmeros reles o ulos. (C {(, )},.) El couto de los úmeros compleos o ulos co l multplccó de úmeros compleos o ulos. (Z { },.) Dode Z { } {, } es el couto de ls clses resdules módulo, dstts de l clse del cero, y l multplccó está defd por l sguete tbl Udd

4 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE. No so grupos: El couto N de los úmeros turles co l sum de úmeros turles. El couto Z de los eteros co l dferec de úmeros eteros. El couto R de los úmeros reles co el producto de úmeros reles. Defcó G u grupo. El grupo G es comuttvo(o belo) s l ley de composcó ter * es comuttv. Es decr,, b G: b b Se (, ) Eemplos de grupo comuttvo(o belo) (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (R, +), (Z, +) (Q {},.), (R {},.), (C {},.), (Z { },.) PROPIEDDES Se ( G,*) u grupo. Proposcó El grupo G dmte u úco elemeto eutro. Proposcó El verso de cd elemeto de G es úco. Proposcó El verso del verso de cd elemeto de G es, esto es ( )' '. Proposcó 4 Culesquer se, b G, el verso del elemeto * b es b *. Es decr ( b) ' b' ', b G :. Proposcó 5 Cd elemeto del couto G es ccelble o regulr. Esto es, culesquer se verfc ( * b * c b c ) (b * c * b c ), b, c G se Udd

5 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Proposcó 6 Culesquer se, b, c G, ls sguetes ecucoes e l vrble x dmte solucó úc e G * x b x * b x * c x c * Not Ls demostrcoes de ls proposcoes terores qued pr el lumo. Defcó Se F y +,. dos opercoes e F. L ter (F, +,.) es u cuerpo s y sólo s: x) (F, +) es grupo belo. Esto es + es u ley de composcó ter e F, b F ; + b F + es soctv, b, c F : + b + c + b + c ( ) ( ) Exste elemeto eutro dtvo e F F : F; + + Cd elemeto de F dmte opuesto e F F, F : + ( ) ( ) + + es comuttv, b F : + b b + x) (F-{},.) es grupo belo. Esto es. es u ley de composcó ter, b F - {}; b F- {}. es soctv, b, c F {} : b c bc ( ) ( ) Exste elemeto eutro multplctvo e F- {} F {}: F {}; Cd elemeto de F-{} dmte recíproco e F-{} F { }; F {}:.. es comuttv, b F {}; b b x) L multplccó es dstrbutv respecto de l sum de zquerd derech y de derech zquerd ( + b) c c + bc (b + c) b + c Udd 4

6 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Eemplos de cuerpos (, +, ), ( R, +, ), ( C, +, ) Q, (,+, ) No so cuerpos (, +, ), Z (Z 4, +,.) Defcó 4 Se (F, +,.) u cuerpo. Z p co p prmo ) Se y b F, se defe l rest b + ( b ) b) Se y b F y. Se defe l dvsó b - b PROPIEDDES Proposcó S (F, +,.) es u cuerpo, etoces F, Demostrcó ( + ) es elemeto eutro dtvo + por dstrbutvdd de (.) respecto ( + ) + + es elemeto eutro dtvo por Propedd cceltv e el grupo ( F, + ) ( + ) es elemeto eutro dtvo por dstrbutvdd de (.) respecto es elemeto eutro dtvo ( + ) por Propedd cceltv e el grupo ( F, + ) Proposcó S (F, +,.) es u cuerpo, etoces, b F; ( ) b ( b) ( b) Demostrcó ) b + ( ) b ( ) b + b luego ( ) b ( b) ) [ + ( ) ] b b [( ) + ] b b Udd 5

7 b + ( b) ( b) + b [ b + ( b) ] [( b) + b] Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE luego ( b) ( b) Proposcó S (F, +,.) es u cuerpo, etoces, b F : ( )( b) b Demostrcó [ ( b) ] [ ( b ] b ( )( b) ) Proposcó 4 S (F, +,.) es u cuerpo, etoces, b, c F : ( b c) b c Demostrcó [ + ( c) ] b + ( c) b + [ ( b ] b c ( b c) b ) Proposcó 5 S (F, +,.) es u cuerpo, etoces x, y F; ( x y x y ) Demostrcó Hy que probr que: xy x y Se etoces xy x (*) Como x x F y (F-{},.) es u grupo belo, x dmte verso multplctvo, esto es: x F : xx x x E l guldd (*) multplcdo e mbos membros por x, luego plcmos Proposcó de cuerpo, soctvdd, xom de verso y xom de elemeto udd. x xy x ( x ) x y y y Not L propedd precedete dc que todo cuerpo F crece de dvsores de cero. Proposcó 6 Q.E.D. S (F, +,.) es u cuerpo, etoces vle l ley cceltv del producto pr elemetos o ulos de F. Demostrcó Se debe probr que, x, y, z F ; ( xz yz z x y ) Se etoces Udd 6

8 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Como xz yz z () z, z F, e () se multplc e mbos membros por el verso de z ( xz) z ( yz) z x( zz ) y( zz ) x y x y Proposcó 7 S (F, +,.) es u cuerpo y, b F y, etoces l ecucó de prmer grdo e l vrble x x b, dmte solucó úc e F Demostrcó Prtmos de l ecucó x b b ( ( x) ) x x x b b b b Luego, x es l solucó de l ecucó dd y l ucdd de l solucó se debe que dmte u úco verso y l multplccó es u ley de composcó ter e F. Q.E.D. Proposcó 8 El recíproco (verso multplctvo) del opuesto de todo elemeto o ulo es gul l opuesto de su recíproco. Esto es F- {} ; (-) - - ( - ), Demostrcó Qued pr el lumo.. MTRICES Defcó Se m y dos úmeros turles culesquer dsttos. U mtrz de tpo mx co elemetos de u couto F es u ordecó de m elemetos del couto F, dspuestos e m fls y colums. Udd 7

9 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Udd 8 m m m m Nots Trbremos co mtrces cuyos elemetos perteece u cuerpo como por eemplo: Q (Rcoles), R (Reles), C (Compleos), Z (Clses resdules módulo ), etc. El couto de ls mtrces de m fls y colums co elemetos de u cuerpo F se deot co mx F. Escrbremos F mx pr dcr que l mtrz es de tpo mx y tee elemetos del cuerpo F. Eemplos / x R ; 4 x B Z ; 4 x D R ; / x E Q ; 9 8 x F C + ; [ ] G x R Defcó U mtrz de orde co elemetos de u couto F, es u ordecó de elemetos del couto F, dspuestos e fls y colums. Nots Trbremos co mtrces cuyos elemetos perteece u cuerpo como por eemplo: Q (Rcoles), R (Reles), C (Compleos), Z (Clses resdules módulo ), etc. El couto de ls mtrces de orde co elemetos de u cuerpo F, se deot co x F. Este couto es u cso prtculr del couto mx F cudo m.

10 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Udd 9 Escrbremos x F pr dcr que l mtrz es de orde y tee elemetos del cuerpo F. Eemplos 6 7 / x H R ; 4 x J C + ; / 6 / 7 4,75 x L Q Nots U mtrz es rectgulr s el úmero de fls es dstto l úmero de colums. U mtrz es cudrd s el úmero de fls es gul l úmero de colums U mtrz rel es quell cuyos elemetos so úmeros reles. U mtrz comple es l que sus elemetos úmeros compleos. Notcoes Se l mtrz mx F, (co m ó m ) dd por m m m m I. Cd fl de l mtrz suele represetrse por u mtrz del tpo x deomdo vector fl. L fl -ésm vee dd por x F f m ;,...,, L mtrz puede represetrse e térmo de sus m vectores fls,...,,...,,, m f f f f del sguete modo: m f f f f II. Cd colum de l mtrz es comú represetrl por u mtrz del tpo mx, llmdo vector colum. L -ésm colum de está dd por

11 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Udd ;,..., mx m F c L mtrz puede represetrse e térmo de sus vectores colums,...,,...,,, c c c c medte: c c c c III. l elemeto se le llm elemeto geérco de l mtrz. Éste se emple pr deomr l form e que se deot los elemetos de l mtrz y permte escrbrl e mer brevd por, m. Cudo se cooce de temo el úmero de fls y de colums de l mtrz smplemete escrbremos IV. S F x, los elemetos,,,, form l dgol prcpl de. MTRICES ESPECILES Mtrz ul U mtrz perteecete l couto mx F co m ó m, que tee todos los elemetos gules cero (elemeto eutro dtvo del cuerpo F), se llm mtrz ul. E símbolos: o O, co, o m,...,,..., Eemplos Mtrces reles uls so:, [ ],,,,, Mtrz udd U mtrz de orde co elemetos del cuerpo F e l que todos los esclres de l dgol prcpl so uos (elemeto eutro multplctvo del cuerpo F) y los resttes elemetos de l mtrz so ceros (elemeto eutro dtvo del cuerpo F) se llm mtrz udd de orde y se smbolz co I. E símbolos:

12 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Udd I δ, sedo s s δ. Eemplos Mtrces reles udd so: I, I 4, I Mtrz dgol U mtrz D de orde co elemetos del cuerpo F e l que todos los elemetos que está fuer de l dgol prcpl so ceros (elemeto eutro dtvo del cuerpo F), recbe el ombre de mtrz dgol. E símbolos: F x es dgol s,. Eemplos Ls sguetes mtrces reles so dgoles ; 4 ; Mtrz trgulr superor U mtrz de orde co elemetos del cuerpo F e l cul todos los elemetos que está debo de l dgol prcpl so ceros (elemeto eutro dtvo del cuerpo F), se llm mtrz trgulr superor. E símbolos F x es trgulr superor > s,. Eemplos, 4, Mtrz trgulr feror U mtrz de orde co elemetos del cuerpo F e l que todos los elemetos que está rrb de l dgol prcpl so ceros (elemeto eutro dtvo del cuerpo F), se llm mtrz trgulr feror. E símbolos F x es trgulr feror s, <.

13 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Udd Eemplos / 4 /5, + 4, Observcoes Tods ls mtrces dgoles so trgulres superor e feror. L mtrz udd y l mtrz ul de orde, so mtrces dgoles, por lo tto tee l propedd de ser trgulr superor y trgulr feror. Mtrz dgol U mtrz D de orde co elemetos del cuerpo F e l que todos los elemetos que está fuer de l dgol prcpl so ceros (elemeto eutro dtvo del cuerpo F), recbe el ombre de mtrz dgol. E símbolos x F es dgol s,. Eemplos Ls sguetes mtrces reles so dgoles ; 4 ; Mtrz esclr U mtrz E de orde co elemetos del cuerpo F e l que todos los elemetos que está fuer de l dgol prcpl so ceros (elemeto eutro dtvo del cuerpo F) y los elemetos de l dgol prcpl so todos gules etre sí, recbe el ombre de mtrz esclr. E símbolos [ ] F es u mtrz esclr s y sólo s s s λ Eemplos: Observcoes Tods ls mtrces dgoles so trgulres superor e feror. Tods ls mtrces esclres so dgoles y por lo tto so trgulres superor e feror. L mtrz udd y l mtrz ul de orde, so mtrces esclres, por lo tto tee l propedd de ser dgoles y e cosecuec so tmbé trgulres superor e feror. IGULDD DE MTRICES

14 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Defcó Se m y dos úmeros turles culesquer (co m ó m ) y F u cuerpo. Dos mtrces F mx y B b F mx so gules s y sólo s sus elemetos correspodetes so gules. E símbolos def B b ; N ; m N;. Eemplos E los sguetes eemplos se puede observr que se stsfce l Defcó ),5 se() / cos( π ) b) lm se x x / x cos( π /),5 OPERCIONES CON MTRICES I. SUM DE MTRICES Defcó 4 Se m, N co m ó m y F u cuerpo. Se mtrz Observcoes C c F mx, es gul l sum + B s y sólo s c + b F ; N ; m N ; F mx y B b F mx. L Dos mtrces se puede sumr (o está coformes pr l sum) s los elemetos de mbs perteece l msmo cuerpo y s so del msmo tpo, o del msmo orde. Debdo l Defcó, se dce que el couto F mx es cerrdo pr l sum de mtrces Eemplos ) Dds ls mtrces 5 B L sum + B es R x b) Dds ls mtrces + B Udd R x

15 L sum + B es: + B / / B 5 4 / / Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE R x R x Proposcó Se m, N co m ó m y F u cuerpo. El couto F mx co l sum de mtrces, es u grupo comuttvo. Es decr: ) ), B F mx ; + B F mx, B, C F mx ; ( + B) + C + (B + C) ) F mx : F mx ; + + v) F mx ; F mx / + ( ) ( ) + B F mx v), : + B B + Observcoes El eucdo ) dc que l sum de mtrces es u ley de composcó ter e F mx. El eucdo ) dc que l sum de mtrces es soctv e F mx. El elemeto eutro del eucdo ) es l mtrz ul de F mx. E el eucdo v) l mtrz F mx es l mtrz opuest de y sus elemetos so los opuestos de los elemetos de l mtrz. Es decr: S [ ], l mtrz opuest de es [- ] El eucdo v. expres que l sum de mtrces es comuttv e F mx. II. PRODUCTO DE MTRICES Defcó 5 Se m, p y tres úmeros turles culesquer (o ecesrmete dsttos) y F u cuerpo. mxp px Dds ls mtrces F y B b F, el producto de y B (que se escrbe B), es u mtrz C c F mx, cuyos elemetos c so los defdos por: c b + b b, N ; m N; p p E form brevd se escrbe: Observcoes c p b k k k Udd 4

16 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE El producto de dos mtrces está defdo s y sólo s mbs mtrces está coformes pr el producto, es decr, s los elemetos de mbs perteece l msmo cuerpo y el úmero de colums de l prmer mtrz es gul l úmero de fls de l segud. Co frecuec se escrbe productos de mtrces s dcr el tpo u orde de los fctores, e tl cso se etederá que el producto está defdo. E geerl, el producto de mtrces o es comuttvo Eemplos ) Dds ls mtrces 4 R x, B R x B ( ) ( ). + 4.( ) ( ). +.( ) R x Observe que ls mtrces y B o está coformes pr el producto B. b) Dds ls mtrces, B R x Es clro que mbs mtrces está coformes pr los productos B y B B R x y B Observe demás que B B Proposcó R x S m, p, so úmeros turles culesquer y F u cuerpo., etoces se verfc los sguetes eucdos. mxp pxr ) S F, B F y C F rx, etoces (B)C(BC) ) S ) S v) S mxp F, mxp F, F mx B F px y mxp B F y, etoces C F C F px, etoces (B+C)B+C px, etoces (+B)CC+BC ) I, dode I es l mtrz udd de orde. b) I, dode I m m es l mtrz udd de orde m. Udd 5

17 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Proposcó Se F u cuerpo. El couto F x co el producto de mtrces goz de ls sguetes propeddes ), B F x ; B F x ) ) v) x, B, C F ; (B)C(BC) x, B, C F ; (B+C)B+C, B C F x ; (+B)CC+BC, v) F x ; I I, dode I es l mtrz udd de orde. III. PRODUCTO DE UN ESCLR POR UN MTRIZ Defcó 6 Se m, N co m ó m y F u cuerpo. Se l mtrz F mx r F. El producto del esclr r por l mtrz es l mtrz r F mx defd por: y el esclr r def r r F mx Eemplo S y r, se tee que 5 7 r Proposcó 4 Se m, N, co m ó m y F u cuerpo. S verfc: ) r(s) (rs) ) r(+b) r+rb ) (r+s) r+s r, s F y, B F mx, etoces se Proposcó 5 Se m, p y tres úmeros turles culesquer (o ecesrmete dsttos) y F u cuerpo. S mxp px r, s F, F y B F, etoces (rb) (r)b r(b) Udd 6

18 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE IV. TRNSPOSICIÓN DE MTRICES Defcó 7 Se m, N co m ó m y F u cuerpo. Se l mtrz F mx. L mtrz trspuest de es l mtrz t Observcó b F xm s y sólo s b, co m. E otr form de expresr l mtrz trspuest de l mtrz es l sguete S F mx, etoces l trspuest de es l mtrz t F xm Eemplos ) Dd l mtrz 5, l trspuest de es t b) Dd l mtrz 4, l trspuest de es t. 4 Not L trspuest de u mtrz de tpo mx (o de orde ) es l mtrz t de tpo xm (o de orde ) que result de tercmbr ls fls de l mtrz por colums. Proposcó 6 Se F u cuerpo. ) S F mx, etoces ( t ) t ) ) v) S S F mx mxp F y B F mx, etoces ( + B) t t + B t y B F px, etoces (B) t B t t S r F F mx, etoces (r) t r t Mtrz Smétrc Se F u cuerpo. Se u mtrz F x. Udd 7

19 Es decr que, u mtrz Eemplos es u mtrz smétrc Ls sguetes mtrces so smétrcs Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE def,,. F x es smétrc s y sólo s t ,, Mtrz tsmétrc Se F u cuerpo. Se u mtrz F x. es u mtrz tsmétrc def,,. Es decr que, u mtrz F x es tsmétrc s y sólo s t Observcó Es fácl mostrr que los elemetos de l dgol prcpl de u mtrz tsmétrc so todos ulos. E efecto,,,, ;,,, ;,,, ; Eemplos , + V. INVERS DE UN MTRIZ Defcó 8 Udd 8

20 Se F u cuerpo. Se u mtrz B F x tl que Proposcó 7 B B F x I. E símbolos, F x es versble Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE. L mtrz es versble sí y sólo s exste u mtrz B F x : B B I Se F u cuerpo. S F x es versble, etoces l mtrz dmte u úc vers. Demostrcó Como es versble por hpótess, exste u mtrz B F x tl que B B Supogmos que tee tmbé otr mtrz vers es decr, exste u mtrz C C I Probremos que B C. E efecto B BI () B( C ) ( B ) C I C C Luego BC. Por lo tto s es versble, etoces dmte u úc vers. () () (4) (5) I C F x tl que Referecs: () I es l mtrz udd (elemeto eutro multplctvo e el producto de mtrces). () Por hpótess C I. () Por soctvdd del producto de mtrces. (4) Por hpótess B I. (5) I es l udd pr el producto de mtrces. Notcó S F es u cuerpo y s F x es versble, represetremos su úc vers co -. Q.E.D. Eemplo Dd 5, l vers de es Observcó No tod mtrz es versble, como ocurre co l mtrz Proposcó 8 S F es u cuerpo y s, B F x so mtrces versbles, etoces ( B ) B Udd 9

21 Demostrcó Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE ( B )( B ) ( BB ) I ( I ) ( B )( B) B ( ) B B I B ( B I ) B B B I I Luego l vers de B es B Q.E.D.. DETERMINNTES Fucó Determte de Orde Se F u cuerpo y se u mtrz de orde co elemetos e F, dd por F L mtrz expresd e térmos de sus colums, se represet por c c c... c F, dode,..., ; c F, so ls colums de l mtrz. Observcó Trbremos co mtrces expresds e térmos de sus colums, pr desrrollr el tem, por l smplcdd que ello represet y que podremos dvertrlo de medto. Defcó L fucó: Udd

22 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE D : F F D( ) es u fucó determte de orde s y sólo s se verfc los sguetes xoms: I.,,, ; D c c... cˆ + c... c -ésm colum D c c... cˆ... c D c c... c... c + -ésm colum -ésm colum II.,,, ; D c c... r c... c r D c c... c... c -ésm colum -ésm colum III. S k c c etoces k D c c... c... c... c k IV. D( I ) Nots. Los xoms I. y II., dc que D es lel respecto cd colum, por lo que suele decrse que es u fucó -lel.. El xom III., os dce que D es lterd.. El xom IV., dc que l mtrz udd tee por mge el esclr. Defcó Se u fucó determte de orde D: F x F D() l esclr D() F, le llmremos el determte de l mtrz y le deotremos co Udd

23 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE D( ) Eemplo de plccó del xom I Eemplo de plccó del xom II Eemplo de plccó del xom III. cos() 5 4 se( π) 7 tg( π / 4) 6 cos( π) Eemplo de plccó del xom IV. Proposcó (S demostrcó) Pr cd N, exste u úc fucó determte de orde. Udd

24 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE L Fucó Determte de Orde Proposcó Se l fucó D : F F def D( ) [ ] Etoces D es l fucó determte de orde. Demostrcó (pr el lumo) Eemplo Nots. Es fácl demostrr que D es u fucó determte de orde y que sólo bst mostrr que se verfc los xoms de l Defcó.. No se debe cofudr u determte de orde co el vlor bsoluto de u úmero rel. Pr ello bst observr el sguetes determte de u mtrz de orde :, metrs que s se cosder el vlor bsoluto del úmero rel - se tee. Fucó Determte de Orde Proposcó Se l fucó x D : F F tl que s F x, se defe D( ) def Etoces D es l fucó determte de orde. Demostrcó (pr el lumo) Eemplos ( ) Udd

25 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE REGL DE SRRUS PR CLCULR DETERMINNTES DE MTRICES DE ORDEN Se el sguete determte de u mtrz de orde Se puede clculr este determte empledo u sum lgebrc de productos de elemetos dd por Not: + + Se puede pesr que es complcdo recordr est sum lgebrc de productos, pero hor se expodrá u modo secllo de logrrlo. Psos pr clculr el determte de u mtrz de orde Pso. Se ot ls fls del determte ddo y debo de ells se repte ls dos prmers fls Pso. Se sum los productos de los elemetos lgdos por ls flechs ros Udd 4

26 Pso. Se sum los productos de los elemetos lgdos por ls flechs verdes Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Pso 4. l resultdo obtedo e el pso se le rest el obtedo e el pso. Eemplo Clcule el sguete determte de orde Esquem de los Psos luego ( ) PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES Pr ls sguetes Proposcoes cosderremos dd l fucó determte de orde ( N) D: F x F D(), e dode F es u cuerpo. Udd 5

27 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Proposcó 4 S e u colum (fl) de u mtrz todos los elemetos so ceros, etoces el determte de l mtrz es gul cero. Demostrcó Se F x. Supogmos, s pérdd de geerldd, que todos los elemetos de l prmer colum de l mtrz so ceros, es decr:......, S expresmos l mtrz e térmo de sus colums, esto es c c c... c Etoces es clro que podemos expresr l prmer colum del sguete modo α α c c, α co α F,,..., (es decr, los α so esclres culesquer del cuerpo F) Clculemos el determte de l mtrz D( ) D c c... c... c D c c... c... c () () D c c... c... c () F Referecs: () Reemplzdo c. () Por xom II. de l Defcó. Q.E.D. Proposcó 5 El determte de u mtrz o vrí, s u colum (fl) se le sum u múltplo esclr de otr colum (fl). Udd 6

28 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Demostrcó Se l mtrz c c... c... c... c k y se r F. efectos de l demostrcó, se costruye u mtrz co l sguete propedd: Tods ls colums de so ls colums de, excepto l -ésm que se l obtee medte l sum c + rc (es decr l colum c k de más r veces l colum c k de ). sí, result ' c c... c + rc... c... c k k, co r F. Se probrá que D( ') D( ). E efecto D( ') D c c... c + rc... c... c k k () ( ) D c c... c... c... c D c c () k +... rc k... c k... c D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () D + rd c c c c c () D + k k r D + D Por lo tto, D( ') D( ) Referecs () Por x. de determtes. () Por x. de determtes. () Por x. de determtes. Proposcó 6 Q.E.D. S es u mtrz de orde y es l mtrz que result de tercmbr dos colums (fls) de l mtrz, etoces el determte de es el opuesto del determte de. E símbolos S c c... c... c... c F x y k etoces ' c c... c... c... c k F x, D( ') D( ) Demostrcó Co ls colums de se costruye l mtrz Udd 7

29 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE B c c... c + c... c + c... c k k. Es clro que B tee dos colums gules, por lo tto por el xom III de l Defcó, el determte de B es cero, esto es D(B) (*) Por otr prte D( B) D c c... c + c... c + c... c k k D c c... c... c... c D c c... c... c... c + + () k ( ) + D c c... c... c... c + D c c... c... c... c k k k es decr + D( ) + D( ') + D( ) + D( ') () D( B) D( ) + D( ') y como D(B), por (*), result luego D( ) + D( ') D( ') D( ) Referecs: () Por xom I. de l Defcó. () Por xom III. de l Defcó. Proposcó 7 Q.E.D. S u colum (fl) de u mtrz, es combcó lel de ls resttes colums de, etoces D(). Demostrcó Se c c... c c c... c F + y c combcó lel de ls resttes colums de, es decr: c α c +α c α c +α c α c. + + Co lo que: Udd 8

30 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE D( ) D c c... c c c... c + D c c... c c c... c c... c c... c α +α + +α +α + +α () D c c... c c c... c α + + () + D c c... c c c... c α D c c... c c c... c α D c c... c c c... c α D c c... c c c... c α + α D () c c c c c c + + +α D c c... c c c... c α D c c... c c c... c + + +α D c c... c c c... c α D c c... c c c... c + α +α α +α α (4) + Referecs: () Reemplzdo c. () Por xom I. de l Defcó. () Por xom II. de l Defcó. (4) Por xom III. de l Defcó. Q.E.D. Proposcó 8 S F x, r F y N, etoces D(r) r D() Demostrcó: Se c c... c... c. Etoces: Udd 9

31 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE D( r) D r c c... c... c D rc rc... rc... rc r D c c c c r D( ) () D( ) Referecs: () Por producto de u esclr por u mtrz. () Por xom II. de l Defcó. () () Q.E.D. Proposcó 9 S y B so mtrces de orde etoces D(B) D() D(B). Proposcó El determte de tod mtrz de orde cocde co el de su trspuest. Es decr D() D( t ). COFCTOR Defcó Se F, dd por El cofctor del elemeto geérco es el esclr del cuerpo F que se obtee por def ( + ) D( ( / ) ). Es decr, es el producto de elevdo l expoete (+), por el determte de l mtrz que result de elmr de l mtrz, l fl y l colum. Eemplo Se 4. 5 Los cofctores de cd uo de sus elemetos so: Udd

32 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE 4 + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Desrrollo del determte de u mtrz por medo de los cofctores de los elemetos de u fl o de u colum Se F, dd por S elegmos l fl : Udd

33 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE D( ) S elegmos l colum : D( ) Eemplo Se dese clculr el determte de l mtrz 4, 5 pr ello se tedrá e cuet los cofctores de los elemetos clculdos precedetemete. S se efectú el desrrollo del determte por l fl : ( ) ( 4) D S se efectú el desrrollo del determte por l colum : Proposcó ( ) + +.( 9) +.+.( 4) 5 D I. S u mtrz es trgulr feror o superor, su determte es gul l producto de los elemetos de l dgol prcpl. II. El determte de l mtrz dgol es gul l producto de los elemetos de l dgol prcpl. Demostrcó (qued pr el lumo) MTRIZ DE COFCTORES Defcó 4 Se F, dd por Udd

34 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE L mtrz de cofctores es l que result de susttur e l mtrz cd elemeto por su cofctor, est es m Eemplo Utlzdo los cofctores y obtedos de l mtrz 9 5 4, l mtrz de cofctores es MTRIZ DJUNT Defcó 5 Se F dd por L mtrz dut de, es l trspuest de l mtrz de cofctores, y se deot co d(). Es decr d( ) t Eemplo Utlzdo los cofctores y ecotrdos de l mtrz Udd

35 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE 4 5, result que l mtrz dut de es 9 5 t 8 d( ) Proposcó Se F. L sum de los productos de los elemetos de u fl de l mtrz por los cofctores correspodetes los elemetos de otr fl es gul cero ( ). Demostrcó: Se F, dd por r r r.... y se ' F r r r... por Proposcó, se tee que D( ) D( ' ). Udd 4

36 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE Desrrolldo el determte del segudo membro de l guldd precedete, por medo de los cofctores de los elemetos de l fl r, se tee r r r D( ) D( ' ) ( + ) + ( + ) ( + ) r r r r r r () r r r r r r r r r (... ) (... ) () r r r r r r r r r D( ) ( ) D( ) r r r Luego D( ) D( ) + ( ) por lo tto r r r , r r r ést es l sum de los productos de los elemetos de l fl, por los cofctores de los elemetos de l fl r. Referecs: () Por dstrbutvdd de (.) respecto de (+). () Por soctvdd de +. Q.E.D. Proposcó Propedd de l dut de u mtrz Se F, etoces d( ) d( ) D( ) I Demostrcó d( ) Udd 5

37 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE D( ) D( ) D( ) D( ) I () ()... D( )... Procededo álogmete se lleg D ( ) D ( ) d( ) D ( ) D ( ) I... D ( )... Referecs: () Por desrrollo del determte de por medo de cofctores. () Por Proposcó. Teorem L codcó ecesr y sufcete pr que u mtrz determte se dstto de cero. Q.E.D. F se versble es que su Smbólcmete: F versble D ( ) Demostrcó ) S es versble etoces ( ) Por defcó se tee que D. F versble plcdo l fucó determte mbos membros F : I. ( ) ( ) ( ) D D D I por Proposcó 9 y por xom IV de l Defcó D D D D ( ) ( ) ( ) ( ) Luego D( ) y que el producto de dos esclres es, s guo de los fctores es cero. ) S ( ) D etoces es versble. por l propedd de l dut de u mtrz Como por hpótess D( ), exste d( ) d( ) D( ) I. D( ) Udd 6

38 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE premultplcdo por D( ) e los tres membros: D D D ( ) ( d( ) ) ( ) ( d( ) ) ( ) ( D ( ) I ) d( ) d( ) D ( ) I () D( ) D( ) D( ) d( ) d( ) I D( ) D( ) por lo tto exste l mtrz obtee l mtrz udd. ( ) D d( ) que comut e el producto co y cuyo producto se Luego, por defcó es versble co lo cul exste Referecs: () Por propedd del producto de esclr por mtrz. d( ). D ( ) y es úc por lo tto Q.E.D. Eemplo Se 4 5 Utlzdo los resultdos obtedos terormete: 8 d( ) 9 4 D( ) d( ) 9 4 D( ) Udd 7

39 Proposcó 4 Álgebr II (LM-PM)-Álgebr Lel (Igs.)-F.C.E. y T.-UNSE S es u mtrz versble etoces el determte de l vers de es gul l recíproco del determte de l mtrz. Esto es D( ) D( ) Demostrcó Como es versble, etoces : I por lo tto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D( ) D D I D D D (*) álogmete D D I D D D (*) luego D( ) D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D( ) Referecs: (*) Por Proposcó 9 y xom IV. de l Defcó. Q.E.D. Udd 8