DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010)

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1 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferecial Parcial 3 (27/10/2010) 1. Cosidere la fució f (x) = 3(x 1) 2/3 (x 1) 2 a) Halle el domiio b) Ecuetre los putos críticos, los itervalos de crecimieto y decrecimieto de f (x). c) Ecuetre los putos de iflexió y los itervalos de cocavidad. d) Idetifique la asítotas. e) Trazar la curva. 2. Ua artesa tiee 12 pies de largo y tres pies de acho e su parte superior, sus extremos tiee forma de triágulo isósceles co altura de tres pies. Se vierte agua a razó de dos pies cúbicos por miuto. A qué ritmo sube el ivel del agua cuado hay 1 pie de profudidad? 3. Determie el área del triágulo isósceles más grade que se puede iscribir e u círculo de radio 4.

2 Parcial 4 Cálculo Diferecial Noviembre 19 de 2010 crg. 1. 1,25 ptos. Calcule el volume del sólido que se obtiee cuado la regió ecerrada por las siguietes curvas gira co respespecto a la recta y = 2 y = x, y = x pto. Calcule el área de la regió ecerrada por las siguietes curvas, y = 1 x 2, y = x2, x = 1 2, x = ,25 ptos. Calcule las siguietes tres itegrales a) 2x x + 1dx b) e x dx 2 + 2e2x c) e 5 e dx x(l(x)) 3 dx 4. 1 pto. Calcule el siguiete límite, lím [( 3 )[(( ) pto. Verdadero y falso ( ) 2 3 ( )) 3 + (( ) ( ) 2 6 ( )) (( ) ( ) 2 3 ( ))]] 3 e x a) Si g(x) = tdt etoces b) 0 g (x) = e 2x x 2 = 1 2 1

3 Tercer exáme parcial Cálculo Difereciál. MATE , I semestre de Solucioar los siguetes problemas. 1. (2 putos) Trazar la grafica de la fució: y = l ( ) 3 x. x 5 2. (2 putos) Ua copa coica es hecha sacado u sector de u disco de radio R y pegado los dos lados que queda. Cual es el volume máximo de la copa? (El volume de u coo de radio r y altura h es π 3 r2 h.) 3. (1 putos) Calcular los límites utilizado la regla de L Hôpital, si ecesario: 1. lím x 1 2. lím x + l x se πx ; x x

4 Cuarto Parcial Cálculo Diferecial MATE1203 Secció 17 Noviembre 19 de 2010 (Segudo semestre de 2010) Recuerde que, a meos que se idique expresamete lo cotrario, usted debe justificar pleamete sus respuestas a través de u proceso matemático y/o de castellao escrito Problemas 1. Si la fució F (x) está dada por calcule el valor de F (2) F (x) = x 2 x t 2 tdt 2. Evalue la itegral defiida dada, utilizado la regla de sustitució icluyedo la sustitució de los límites de itegració: e 4 dx x l(x). 3. Cosidere las curvas y = x 2 y y = 2 x 2. a) Determie el valor del área ecerrada por las dos curvas. e b) Determie el valor del volume la pieza e forma de rosquilla (dout-like) que se forma cuado el área ecerrada por las dos curvas se rota alrededor de la recta x = 2.

5 Tercer Parcial Cálculo Diferecial MATE 1203 Secció 16 Abril 14 de 2010 (Periodo académico: Primer semestre de 2010) Recuerde que, a meos que se idique expresamete lo cotrario, usted debe justificar pleamete sus respuestas a través de u proceso matemático y/o de castellao escrito Problemas 1. [4 putos] Determie el valor, si existe, del límite se(x) x lím x 0 x Supoga que para ua fució f(x) co domiio los úmeros reales se sabe que la fució es cotiua e el itervalo [1010, 3010] y derivable e el itervalo (1010, 3010). Además, f(1010) = 10 y f(3010) = a) [3 putos] A partir de los datos dados, qué se puede afirmar aplicado el teorema del valor medio? b) [1 puto] Es posible realizar algua afirmació sobre f(2010) y/o f (2010)? Justifique su respuesta. 3. [6 putos] Supoga que u experimeto ha demostrado que e ua ruta plaa el desgaste de los amortiguadores de u automóvil está dado por la fució L 1 R L dode R es el radio del ri y L es el acho del costado de llata (el acho del caucho, como se muestra e la figura). Si se sabe que el radio exterior de la llata es 30 cetímetros, cuál es el radio óptimo del ri para miimizar el desgaste de los amortiguadores? R 4. [6 putos] Obtega, a través del proceso completo (domiio, iterceptos, simetría, cotiuidad, límites y asítotas, primera derivada y aálisis, seguda derivada y aálisis), la gráfica correspodiete a la fució f(x) = x2 3 + x 2.

6 MATE Cálculo diferecial Parcial IV 7 de mayo de 2010 Departameto de Matemáticas Puto 1 Puto 2 Puto 3 Total /10 /10 /10 /30 Nombre: Código: Istruccioes: Escriba el procedimieto completo y ordeadamete para cada puto e la hoja correspodiete. No está permitido el uso de libros, aputes i calculadoras. Respuestas si justificació o será cosideradas válidas. Tiempo: 50 mi. Puto 1. (a) Calcule ta x sec 2 x dx (b) Calcule la derivada I'(x) 5x I x = cos x cos t 2 dt

7 Puto 2. Cosidere las curvas y = 2x y y = x 2 x. (a) Haga u bosquejo de la regió ecerrada etre las curvas y calcule el área de esta regió. (b) Calcule el volume del sólido que se obtiee al rotar el área ecotrada e el ejercicio aterior co respecto a la líea y= -1. Dibuje u corte típico destacado sus dimesioes.

8 Puto 3. Use el método de cortes trasversales para calcular el volume de u sólido cuya base es u círculo de radio 3 y los cortes trasversales perpediculares a la base so cuadrados.

9 Uiversidad de los Ades Departameto de Matemáticas Parcial 4 de Calculo Diferecial. Noviembre 17 de a) Calcular la suma b) Evaluar el limite lím 10 ( ) 6i 2 8i. i=1 i=1 2. Evalúe las siguietes itegrales: a) b) x si 2 (x 2 ) cos(x 2 )dx. e t dt. 1+e2t cos( πi ) π. 3. a) Ecotrar el itervalo dode la grafica de la fució f(x) = decreciete. b) Calcule 2 0 f(x)dx, si f(x) = { 1 x, 0 x 1 x 1, 1 < x 2 x 0 1+t dt, x 0 es 1+t2 4. Hallar el volume obteido por revolució sobre la recta y = 4, la regió ecerrada por las graficas de las fucioes y 2 = 4x y 4x 3y = 4.

10 MATE Cálculo diferecial Parcial IV 7 de mayo de 2010 Departameto de Matemáticas Puto 1 Puto 2 Puto 3 Total /10 /10 /10 /30 Nombre: Código: Istruccioes: Escriba el procedimieto completo y ordeadamete para cada puto e la hoja correspodiete. No está permitido el uso de libros, aputes i calculadoras. Respuestas si justificació o será cosideradas válidas. Tiempo: 50 mi. Puto 1. (a) Calcule ta x sec 3 x dx (b) Calcule la derivada I'(x) x 3 I x = x t 2 si t dt

11 Puto 2. Cosidere las curvas y = -2x y y = x - x 2. (a) Haga u bosquejo de la regió ecerrada etre las curvas y calcule el área de esta regió. (b) Calcule el volume del sólido que se obtiee al rotar el área ecotrada e el ejercicio aterior co respecto a la líea y=2. Dibuje u corte típico destacado sus dimesioes.

12 Puto 3. Use el método de cortes trasversales para calcular el volume de u sólido cuya base es u círculo de radio 2 y los cortes trasversales perpediculares a la base so cuadrados.

13 Cálculo Diferecial - Parcial No. 3 - Secció 13 Uiversidad de los Ades - Departameto de Matemáticas - Abril 12 de [15 putos] a) Resolver el siguete límite b) Derivar la siguiete fució dode a i y b i so costates. lím x)1/x2 x 0 +(cos f(x) = (x a 1) (x a ) (a 1 x b 1 ) (a x b ) c) Si g(x) + x se(g(x)) = x 2 y g(1) = 1, ecotrar g (1). 2. [10 putos] Resolver uo de los dos siguietes problemas. a) D 103 cos(2x). b) Si f(1) = 10 y f (x) 2 para 1 x 4 qué ta pequeño puede ser f(4)? Ayuda: Teorema del valor medio. 3. [12 putos] U caal de 10 pies de largo tiee la forma de u triágulo isósceles (ivertido, es decir, el fodo termia e puta) que tiee 3 pies de largo e la parte superior y u pie de altura. Si el caal se llea co agua a ua razó de 12 pies cúbicos por miuto, a qué razó está subiedo el ivel del agua cuado está a 0,5 pies de profudidad? 4. [13 putos] Cosidere a) Halle el domiio de f(x). f(x) = x2 2, f (x) = 8 2x2, f (x) = 6x2 40 x 4 x 5 x 6 b) Determie las iterseccioes etre f(x) y los ejes. c) Hay algú tipo de simetría? d) Ecuetre asítotas. e) Determie putos críticos, itervalos de crecimieto y decrecimieto. f ) Determie los putos de iflexió y los itervalos de cocavidad. g) Haga u MUY BUEN dibujo de la curva. Su dibulo debe mostrar TODA la iformació hallada e los putos ateriores.

14 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES TERCER PARCIAL 1203_ Dos persoas parte desde u mismo sitio, ua se moviliza e motocicleta y la otra e automóvil, la primera e direcció oriete a ua velocidad de 80km/h y la seguda e direcció sur occidete a ua velocidad de 90km/h. Calcule la razó de cambio de la distacia de las dos persoas después de trascurridos 45 miutos. 2. Graficar la fució f x) a. Domiio y rago. b. Cortes co los ejes si los hay. c. Asítotas (verticales, horizotales y verticales), Si las hay. d. Itervalos dode la fució crece decrece. e. Putos estacioarios. f. Itervalos dode la fució es cócava hacia arriba e itervalos dode la fució es cócava hacia abajo. g. Putos de iflexió. x ( xe, teiedo e cueta los siguietes aspectos: 3. 4 a. Muestre que la ecuació Para que x 4x c 0 tiee a lo mas dos raíces reales. cos mx cos x b. Calcular: lim, co m, x o 2 x..

15 Cálculo Diferecial - Parcial No. 4 - Tema B Uiversidad de los Ades - Departameto de Matemáticas Mayo 4 de 2010 Si aputes, si libros, si calculadora. 1. [20 putos (6,6,8)] Resolver las siguietes itegrales: a) b) l 2π l π x + 2 3x dx e x cos(e x + 4π)dx c) e x dx 1 + e2x 2. [10 putos] Cosidere la regió ecerrada por las curvas x = 0, x = 5, y = 5x x 2 y x = y. Hacer u dibujo de dicha regió y platear la itegral que represeta el área. 3. [10 putos] Sea R la regió del plao limitada por las curvas y = e x, y = 0, x = 0 y x = 2. a) Plater (o evaluar) la itegral que represeta el volume del sólido obteido al rotar R alrededor de la recta y = 5. b) Plater (o evaluar) la itegral que represeta el volume del sólido obteido al rotar R alrededor de la recta x = [10 putos] Ecotrar las dimesioes del rectágulo de mayor área que puede ser iscrito e u círculo de radio r.

16 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL 2010-II Exame parcial 3 Tiempo de realizació: 50 mí. Toda respuesta tiee que estar justificada 1. Grafique la fució f(x) = x 2 l(x) 2. Calcule lím x π/2 ta(x)cos(x) 3. Muestre que si f(0) = 2 y f (x) 3 para todo x R, etoces 1 f(1) Muestre que la fució f(x) = x 4 +x 2 23 tiee máximo dos raices. 5. Ecuetre la ecuació de la recta que pasa por el puto (3,4) y cuya itersecció co el primer cuadrate tiee logitud míima. 1