a) [1,5 puntos] Discutir y resolver en función de los valores del parámetro m el sistema lineal = + + = + = + =

Transcripción

1 Puebas de Aptitud paa el Acceso a la Uivesidad. JUNIO 009. Matemáticas II.. ÁLGEBRA Opció A a) [,5 putos] Discuti y esolve e fució de los valoes del paámeto m el sistema lieal + y + z = + + = m + m y + m z = m my m z 0 b) [ puto] Teiedo e cueta que 0 =, detemia el valo del detemiate 0 a) Las matices de los coeficietes, A, y ampliada, B, so: m m m m m m Estudiemos los valoes del paámeto paa los que el ago de A es el máimo posible: 0 a a a 0 a a a m m m m m m m m m m m m 0 m m m 0 m m m = + + = + = + = m m 0 m 0, m = = = C Paa m 0 y m : g A = g B = = º de icógitas el sistema es compatible detemiado. Paa esolvelo, utilizamos la egla de Came: m m 4 4 m m m + m + m m m m m m m + m m ( m m m + ) m + m m + = = = = = = m m m m m m m m m m m = = + m m m m m m m m m m m 0 y = = = 0 m m m m ( ) ( ) (e el detemiate del umeado la seguda y tecea filas so iguales) m m m m m + m + m m m m m + m m m m + m m z = = = = = = m m m m m m m m m m m

2 C Paa m = 0 : g A = g A g B g B = el sistema es icompatible C Paa m = : g A = g B = el sistema es compatible idetemiado Resolució: utilizado las icógitas y y z como paámetos: = λ µ ; y = λ ; z = µ b) 0 a a 0 a a a a a 0 a = a a 0 a = a a 0 = a 0 = a 0 = a a 0 a a 0 a a 0 0 a a 0 La popiedad utilizada ha sido la de saca facto comú e algua de las líeas del detemiate. Opció B 0 0 a) [,5 putos] Dada la matiz A = 0, calcula la ivesa de la matiz A. 0 0 b) [,5 putos] Estudia paa qué valoes del paámeto α, eiste u úico poliomio satisface P (0) = α, P () = 0, P ( ) = 0. a) Calculemos A : P () = a + b + c que A = A A = 0 0 = 0 ; A = A A = 0 0 = 0 Se obseva que: 0 0 =. 0 0 A 0 Calculemos la matiz ivesa de 0 0 A : A = 0 = 0 ( A ) t 0 0 Adj A Adj A = 0 0 Adj A = 0 A = = 0 A t b) P (0) = α a = α P () = 0 a + b + c = 0 P ( ) = 0 a b + c = 0 Paa que haya u úico poliomio, el sistema tiee que se compatible detemiado y o se homogéeo (pues e este caso se tedá a = b = c = 0 ) Las matices de los coeficietes y ampliada so:

3 Puebas de Aptitud paa el Acceso a la Uivesidad. JUNIO 009. Matemáticas II. 0 0 α 0. Puesto que 0 detemiado α. 0 0 = + = 0 g A = g B = el sistema es compatible Y paa que el sistema o sea homogéeo, debe se α 0. Es deci, eiste u úico poliomio P (), α 0.. GEOMETRÍA Opció A Sea los vectoes u = (,, ), v = (,,), w = (,, 5). a) [0,5 putos] u ( v + w) b) [0,5 putos] u ( v w). ; calcula: c) [0,75 putos] La ecuació del plao que pasa po el puto P ( 0, 0,) y es pepedicula al vecto u. d) [0,75 putos] El águlo que foma u y v. v + w =, 0, 6 u v + w = = 9 a) i j k b) v w = ( 5, 4, 4) u ( v w) = = 4i 5 j + 4k 5k + 4 j i = ( 8,, ) c) Si el vecto u es omal al plao, la ecuació de éste es y + z + D = 0 y como cotiee al puto P: D = 0 D = la ecuació del plao es: y + z = 0 d) De la defiició del poducto escala de dos vectoes, se obtiee: + = = = = α = 95º 46' 5.45'' u v u v = u v cos α cos α = = u v Opció B a) [ puto] Estudia la posició elativa de los plaos π y + z = 0 y π y z =. y z = b) [,5 putos] Cosidea la ecta y + z = 5 paalela a la ateio que pasa po el oige.. Aaliza si el puto P ( 6,, ) se halla o o sobe la ecta a) Puesto que los coeficietes o so popocioales: itesecció ua ecta) = los plaos so secates (tiee po

4 b) Obtegamos dos putos de : y = + z y = + z y = 4 + 4z y = + z y = 5 z + y = 5 + z = + z + y = + z + z = + 5z Paa z = 0 : y =, = Q,, 0 Paa z = : y = 0, = 4 R 4, 0, uuu Puesto que QR = ( 5,,) uuu y OP = ( 6,, ) el puto P o está e ua ecta paalela a que pase po O. uuu QR = 5,, o tiee la misma diecció (sus coodeadas o so popocioales),. ANÁLISIS Opció A. a) [,5 putos] Calcula los siguietes límites: b) [,5 putos] Obtee cos( )d lím lím cos + se., 0 a) C 7 lím = = lím = lím = C 0 cos + se lím ( cos+ se ) lím 0 0 lím cos + se = = e = e = () L'H cos + se 0 se + cos lím lím = = = y, po tato: () lím cos + se = e 0 se ( ) se se se cos se se cos ( )d = = = = = cos se b) cos ( ) d = cos ( ) d = se ( ). Sea f () = + se () a) [0,75 putos] Detemia si tiee asítotas de algú tipo. b) [,5 putos] Estudia sus itevalos de cecimieto y dececimieto y la eistecia de etemos elativos. π c) [0,5 putos] So los putos = + kπ co k, putos de ifleió de f ()? a) C La fució es cotiua po se suma de dos fucioes cotiuas No tiee asítotas veticales 4

5 Puebas de Aptitud paa el Acceso a la Uivesidad. JUNIO 009. Matemáticas II. C Asítotas hoizotales u oblicuas: se f () + se ( + ) m = lím = lím = = lím = se NOTA: lím = 0 pues se ( ) = lím [ f () m] = lím + se ( ) = lím se ( ) que o eiste. Po lo tato, la fució o tiee asítotas. π f '() = + cos = 0 cos = = π + kπ = + kπ (putos cíticos) b) f > 0 f > 0 f > 0 f > 0 f > 0!B/ B/ B/ 5B/ Ete cada dos putos cíticos, la deivada es siempe positiva po lo que la fució es siempe ceciete y o tiee máimos i míimos. π f ''() = 4se f '' + kπ = 4se π + kπ = 0 (aula a la seguda deivada) π π f '''() = 8cos ( ) f ''' + kπ = 8 cos( π + kπ ) = 8 0 = + kπ so putos de ifleió c) Opció B. Sea f () = a) [0,5 putos] Detemia su domiio. b) [0,75 putos] Estudia si f () es ua fució simética especto al oige de coodeadas. c) [,5 putos] Obtee el áea eceada po f () y el eje OX ete a) = 0 ( ) = 0 = 0, = D( f ) = { 0, } = y 4 =. 4 = b) f ( ) f ( ) o es simética especto al oige de coodeadas c) La fució o se aula po lo que o cota al eje OX. Po tato: 4 S = d = () 4 ( ) A B A A + B A + B + A A + B = 0 B = = + = = A = d = d + d = l l ( ) = l () = l l l l l l l l l l 9,97 u = = = + = =

6 . a) [,5 putos] Queemos valla u campo ectagula que está juto a u camio. La valla del lado del camio cuesta 5 euos/m y la de los otos tes lados, 0,65 euos/m. Halla el áea del campo de mayo supeficie que podemos ceca co 800 euos. + b) [,5 putos] Calcula paa qué valoes de a y b la fució a + < < es cotiua. ( b ) 800 5,65 0, y = 800 5, y = 800 y = = 80 0, a) Se tiee: La fució que debe se máima es: f () = y = 80 0,565 y f '( ) = 80,5 = 0 = 60 (valo cítico) y como f ''( ) =,5 < 0 f ( ) es máima. Po tato: = 60 m, y = 90 S = 4400 m b) Como las fucioes que está defiidas e cada uo de los tozos so poliómicas, so cotiuas. Habá que eigi la cotiuidad e = y e = : C Paa que la fució sea cotiua e 0 = a + a = C Paa que la fució sea cotiua e 0 = ( b ) b = 0 b = = : lím f ( ) lím f ( ) lím ( ) lím ( a ) = + = + + = : lím f ( ) lím f ( ) lím ( ) lím ( b ) = + = + 6