René A. Cantuña Montenegro

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1 René A Cantuña Montenegro el programa del Diploma BI Página

2 René A Cantuña Montenegro COLECCIÓN DE PRUEBAS DE BACHILLERATO INTERNACIONAL Cómo utilizar la colección de pruebas? Esta colección está extraída de las diferentes pruebas del Bachillerato Internacional desde el año 000 hasta el presente 0 La colección de pruebas que se propone está dividida en: álgebra, trigonometría, estadística y probabilidad y cálculo diferencial e integral 3 Cada ejercicio y/o problema tiene la nomenclatura P o P que quiere decir prueba o prueba respectivamente, además se señala el año en el que ha sido aplicado el ejercicio y/o problema en las evaluaciones En algunas pruebas se especifica la zona en la que ha sido aplicada 4 En los ejercicios y/o problemas P no se requiere el uso de calculadora y se recomienda se mantenga la naturaleza de dichos ejercicios y/o problemas 5 Para los ejercicios y/o problemas en los que pida realizarlos en la misma hoja es necesario que el profesor estime sacar copias para no cambiar la escala en el caso de que la tenga o simplemente para que las coordenadas no se alteren el programa del Diploma BI Página

3 René A Cantuña Montenegro ÁLGEBRA MATRICIAL NOV 00-P Sea una matriz X, que satisface la ecuación matricial que se da a continuación: 4 4 T 00 X 5 3 a) Halle la inversa de la matriz 5 3 b) A partir de lo anterior, exprese X como el producto de dos matrices c) Halle la matriz X MAY 003-P Las matrices A, B, X están dadas por A 3 5 6, B , a b X c d, donde a, b, c, d Q Suponiendo que AX X B, halle los valores exactos de a, b, c, d MAY 005-P 4 3 Sean C 7 y D 5 La matriz de orden x, Q es tal que 3Q C D a) Halle Q b) Halle CD c) Halle D - NOV 005-P 4 Sean las matrices A, B, C están definidas por A 5 7, B 4 3 5, 9 7 C 8 Sea X una matriz de orden x que satisface la ecuación AX B C el programa del Diploma BI Página 3

4 René A Cantuña Montenegro Esta ecuación puede ser resuelta de la forma a) Escriba A b) Encuentre D c) Encuentre X X A D, donde D es una matriz de orden x MAY 006-P 5 Sea S n la suma de los primeros n términos de la serie aritmética 4 6 a) Halle: i S 4 ii S 00 Sea M 0 b) i Halle ii M Compruebe que M Se puede suponer ahora que n n M 0, para n 4 La suma T n se define por 3 n Tn M M M M c) i Escriba 4 M ii Halle T 4 d) Utilizando los resultados obtenidos en la parte (a) (ii), halle T 00 el programa del Diploma BI Página 4

5 René A Cantuña Montenegro MAY006-P x 3 6 Sea X y A 3, z 0 8 B 3 3 y X x y z a) Escriba la inversa de la matriz A b) Considere la ecuación AX B i Exprese X en términos de ii A partir de lo anterior halle X A y de B MAY006-P Sea la expresión b a 5 a) i Escriba el valor de a ii Halle el valor de b b) Sea la expresión 3 5 q i Halle el valor de q MAY006-P 0 8 La matriz A 3 a) Escriba el valor de i a ii b tiene una matriz inversa A a 6 b Considere las siguientes ecuaciones simultáneas el programa del Diploma BI Página 5 xy 7 3x y z 0 x y z

6 René A Cantuña Montenegro b) Escriba estas ecuaciones como una ecuación matricial c) Resuelva la ecuación matricial NOV006-P 3 9 Sea A k 4 y B Halle en términos de k 3 a) A B det A B b) MAY007-P Sea la matriz A a) Halle la inversa de la matriz A b) A partir de lo anterior resuelva x3y xz 4x y 3z MAY007-P x Sea A 3 4 y a) Halle AB 3 B x b) La matriz C 0 8 y AB C Halle el valor de x el programa del Diploma BI Página 6

7 René A Cantuña Montenegro MAY007-P 0 Sea A 0 Sea a) Halle i ii p B 0 q A A 6 b) Dado AB, encuentre el valor de p y q 4 3 c) A partir de lo anterior encuentre A B d) Sea X una matriz de orden x, dado AX B Halle X MAY008-P 3 Sea M a) Escriba el determinante de M b) Escriba M c) A partir de lo anterior, resuelva x 4 M y 8 4 Sea A 3 y B 3 0 Halle: i A B ii iii 3A AB el programa del Diploma BI Página 7

8 René A Cantuña Montenegro MAY008-P 3 5 Sea A 0 a) Escriba A La matriz B satisface la ecuación I B A, donde I es la matriz identidad de orden 3x3 b) B A I Sea BX c) i Muestre que ii Halle B iii Escriba el det B iv C, donde A partir de lo anterior, explique por qué x X y y C z B existe i Encuentre X ii Escriba un sistema de ecuaciones tal que sus soluciones estén representadas por X NOV008-P 6 Sea A 3 p y B q a) Encuentre AB en términos de p y q b) La matriz B es la inversa de la matriz A Encuentre el valor de p y q el programa del Diploma BI Página 8

9 René A Cantuña Montenegro MAY009-P 7 Sea una matriz M y su inversa a) Encuentre M M 5 0 b) Resuelva la ecuación matricial MX B, donde B 7 y X x y MAY009-P 5 8 Sea A 6 y B 6 5 Sea a) X i Encuentre AB ii Escriba la matriz inversa de A x y y C 8 4 b) Resuelva la ecuación matricial AX C NOV009-P Sea A a) Escriba A b) Sea B una matriz de orden 3x3 Dado AB Encuentre B el programa del Diploma BI Página 9

10 René A Cantuña Montenegro MAY00-P 0 Sean A 3 4 y 5 B 5 a) Halle AB b) Resuelva A X B MAY0-P 3 x Sea A 3 a) Halle el valor de x para el cual no existe b) Sabiendo que A A, halle x A MAY0-P El siguiente sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como una ecuación matricial del tipo MX N x 6y 3z 4x y 4z x y 5z 5 a) Escriba las matrices M y N b) Resuelva la ecuación matricial MX N c) A partir de lo anterior, escriba la solución del sistema de ecuaciones lineales el programa del Diploma BI Página 0

11 René A Cantuña Montenegro ALGEBRA DE FUNCIONES MAY999-P a) Factorice b) Resuelva la ecuación x 3x0 0 MAY999-P El diagrama representa el gráfico de la función f : x x p x q a) Escriba el valor de p y q b) La función tiene un valor mínimo en el punto C Encuentre la coordenada x de C MAY999-P 3 Resuelva la ecuación x 9 3 x MAY999-P 4 Encuentre el coeficiente de 5 x en la potencia 3 8 x el programa del Diploma BI Página

12 René A Cantuña Montenegro MAY999-P 5 Las funciones f y g están definidas como siguen Resuelva la ecuación g f x 0 f x cos x, 0 x g x x, x R MAY000-P 6 Dos funciones f y g están definidas como siguen Encuentre: i f ii g f 4 f : x 3x 5 g : x x MAY000-P 7 Si log a x y log a 5 y, encuentre en términos de x y y, expresiones para a) log 5 b) log a 0 MAY000-P 8 Encuentre el coeficiente de 5 7 ab en la potencia a b MAY000-P 9 La ecuación cuadrática valor de k MAY000-P, k 0 tiene una solución exacta para x Encuentre el 4x 4kx 9 0 el programa del Diploma BI Página

13 René A Cantuña Montenegro 0 El diagrama muestra tres gráficos Considere las condiciones dadas: A representa el gráfico de y x B representa el gráfico de y x C es la reflexión del gráfico B en el gráfico A Escriba a) La ecuación de C en la forma y f x b) Las coordenadas del punto donde C corta el eje x MAY00-P El diagrama que se muestra es el gráfico de la función en - y 3 y x px q El gráfico corta el eje x Encuentre el valor de a) p b) q el programa del Diploma BI Página 3

14 René A Cantuña Montenegro MAY00-P Utilice el teorema del binomio para completar la potencia que sigue x y 8x 6 x y MAY00-P 3 Los puntos P, Q tienen de coordenadas P 4,0 y 5,7 Q Encuentre la ecuación de una recta perpendicular al segmento PQ y que pase por el punto P Dé su respuesta en la forma ax by c 0 donde a, b, c son constantes MAY00-P 4 La función f está definida por 3 f : x 3 x, x Evalúe f 5 MAY00-P 5 El siguiente diagrama muestra el gráfico de y f x en 0,0 y, respectivamente La función tiene un mínimo y un máximo el programa del Diploma BI Página 4

15 René A Cantuña Montenegro a) En el mismo diagrama, dibuje el gráfico de y f x 3 3? b) Escriba las coordenadas del punto mínimo y máximo de y f x MAY00-P x x 6 Sea f x x y g x, x Encuentre a) g f 3 b) g 5 MAY00-P 7 Considere la potencia 9 3x x a) Escriba el número de términos que existe en la potencia b) Encuentre el término constante en la potencia MAY00-P 8 Resuelva la ecuación log x log x MAY00-P 9 El diagrama muestra el gráfico de y ax h k El gráfico tiene vértice en P y para por el punto A que tiene de coordenadas,0 el programa del Diploma BI Página 5

16 René A Cantuña Montenegro a) Escriba el valor de i h ii k b) Calcule el valor de a MAY003-P 0 Encuentre el término 5 x 0 x en la potencia 7 MAY003-P Dada la forma log5 x a) log x 5 b) log5 x log x c) 5 y, exprese en términos de y MAY00-P x x x Sea f x e y g x, x Encuentre: f a) x b) g f x el programa del Diploma BI Página 6

17 MAY004-P f x x 3 Sea René A Cantuña Montenegro a) En el plano cartesiano que se encuentra adjunto grafique f x para 0x b) Sea g x f x 3 En el mismo plano cartesiano grafique 3 x g x para MAY004-P 4 Sea p log0 x, q log0 y y r log0 z x Escriba la expresión log0 en términos de p, q y r y z el programa del Diploma BI Página 7

18 René A Cantuña Montenegro MAY004-P 5 La ecuación x kx 0, tiene dos raíces reales Encuentre los posibles valores de k MAY004-P 6 Cuando la potencia ax 0 se desarrolla, el coeficiente del término que tiene Encuentre el valor de a 3 x es 4470 MAY004-P (zona ) 7 a) Complete la fila del triángulo de Pascal cuando comienza, 6, 5, b) Encuentre el coeficiente que tiene el término x 8 x en la potencia 6 MAY004-P (zona ) 8 a) El diagrama muestra el gráfico de la función cuadrática f x x bx c, sus intersecciones con el eje x son x y x 3 b) El diagrama muestra el gráfico de otra función cuadrática g Si puede dicha función puede ser escrita de la forma g x ax h 3 El vértice del gráfico está en (,3) y su intersección en el eje y está en 5 el programa del Diploma BI Página 8

19 René A Cantuña Montenegro i Escriba el valor de h ii Encuentre el valor de a MAY004-P (zona ) 8 f x y g x x x f x 9 Sea a) Encuentre b) i Escriba f gx ii Resuelva la ecuación f g x x MAY004-P (zona ) 30 Escriba cada una de las expresiones en su forma más simple a) b) ln x e ln xln y e ln e x y c) el programa del Diploma BI Página 9

20 MAY005-P 3 Considere la potencia 5 René A Cantuña Montenegro x a) Escriba el número de términos de la potencia b) Los primeros cuatro términos en orden descendente de x son Encuentre el valor de A x 0x 40 x Ax MAY005-P 3 Encuentre la solución exacta de la ecuación x x 9 7 MAY005-P 33 a) Dado que log3 x log3 x 5 log3 A b) A partir de lo anterior, resuelva la ecuación x x, exprese A en términos de x log log MAY005-P f x e 34 La función f está dada por a) Encuentre f x b) Escriba el dominio de f x x 8 MAY005-P y f x es el que se muestra en el diagrama 35 El gráfico de el programa del Diploma BI Página 0

21 René A Cantuña Montenegro a) En cada uno de los siguientes diagramas, dibuje el gráfico que se pide i y f x ii y f x 3 b) El punto A3, está en el gráfico de f El punto A ' es el correspondiente punto en el gráfico y f x Encuentre la coordenada de A ' MAY006-P 36 Resuelva las siguientes ecuaciones a) ln x 3 b) 0 x 500 el programa del Diploma BI Página

22 MAY006-P 37 a) Exprese y x x René A Cantuña Montenegro 3 en la forma y x c d La gráfica de y x se transforma en la gráfica de y x x transformaciones b) Escriba el valor de i k ii p iii q Un estiramiento vertical de razón k seguido de Una traslación horizontal de p unidades seguida de Una traslación vertical de q unidades 3 mediante las MAY006-P (zona ) 38 El siguiente diagrama muestra el gráfico de y f x Considere los cinco gráficos A, B, C, D, E que se dan a continuación el programa del Diploma BI Página

23 René A Cantuña Montenegro a) Cuál es el diagrama del gráfico f x? b) Cuál es el diagrama del gráfico f x? c) Cuál es el diagrama del gráfico f x? MAY006-P (zona ) f x a x Sea a) Escriba las coordenadas del vértice de la curva de f b) Dado que f 7 0, encuentre el valor de a c) A partir de lo anterior encuentre la intercepción en el eje y de la curva MAY006-P (zona ) f x x 4 g x 3 40 Sea y x a) Encuentre g f b) Encuentre f x el programa del Diploma BI Página 3

24 René A Cantuña Montenegro MAY006-P 4 a) Sea log c 3 p y log 5 q Encuentre una expresión en términos de p y q para c i logc 5 ii logc 5 b) Encuentre el valor de d si logd 6 MAY007-P 4 Uno de los términos de la potencia 0 x y Halle el valor de a g x x x R 43 Sea f x x 4, x 4 y, a) Halle g f 3 b) Halle f x c) Escriba el dominio de f x MAY007-P 44 Considere dos funciones cuadráticas distintas, ambas de la forma gráfico de la función tiene su vértice sobre el eje x a) Halle los valores de q posibles b) Para el mayor valor de q, resuelva la ecuación f x 0 c) Halle las coordenadas del punto de intersección de las gráficas f x 4x qx 5 El MAY007-P el programa del Diploma BI Página 4

25 René A Cantuña Montenegro 45 El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función f El punto A, pertenece a la gráfica de la función y es una asíntota horizontal a) Sea g x f x Dibuje aproximadamente la gráfica de g en el diagrama anterior b) Escriba la ecuación de la asíntota horizontal de g c) Sea A ' el punto en la gráfica de g que se corresponde con el punto A Escriba las coordenadas de A ' MAY009-P (zona ) f x x g x 46 Sea y x 3 a) Encuentre g x b) Encuentre f g 4 MAY009-P (zona ) 0 4 p q 47 El quinto término de la potencia a b n 6 está dado por 4 a) Escriba el valor de n b) Escriba a y b, en términos de p y q el programa del Diploma BI Página 5

26 René A Cantuña Montenegro c) Escriba una expresión para el sexto término de la potencia 48 MAY009-P a) Encuentre log 3 3 b) Dado que log y 8 de p y q x puede ser escrita de la forma px qy Encuentre el valor MAY009-P (zona ) 49 Considere el gráfico de f que se muestra a continuación a) En el mismo dibujo, grafica y f x Los siguientes cuatro diagramas muestran las diferentes transformaciones de f el programa del Diploma BI Página 6

27 René A Cantuña Montenegro b) Complete la siguiente tabla Descripción de la Transformación Literal del diagrama Estiramiento horizontal con un factor de escala 5 Traslación de f a f x c) Dé una descripción geométrica completa del diagrama A el programa del Diploma BI Página 7

28 René A Cantuña Montenegro MAY009-P (zona ) kx k 3 x 0, tiene dos raíces reales iguales 50 La ecuación cuadrática a) Encontrar los valores posibles de k b) Escriba los valores de k para los cuales la ecuación raíces reales e iguales x k 3 x k 0 tenga dos MAY00-P f x 8x x El gráfico de la función es el que se muestra a continuación 5 Sea a) Encuentre las intercepciones del gráfico en el eje x b) i Escriba la ecuación del eje de simetría ii Encuentre la coordenada y del vértice MAY00-P 5 a) Desarrolle la potencia x 4 y simplifique su resultado b) A partir de lo anterior, encuentre el término en x x x en la expresión 4 MAY00-P f x log x, x 0 53 Sea 3 a) Muestre que f x 3 x b) Escriba el rango o recorrido de f el programa del Diploma BI Página 8

29 g x log x, x 0 Sea 3 René A Cantuña Montenegro c) Encuentre el valor de f g, dar su respuesta como un número entero MAY00-P f x x x 3x El gráfico de f se muestra a continuación 3 54 Sea 3 Hay un máximo en el punto A y un mínimo en el punto B3, 9 a) Encuentre las coordenadas de A b) Escriba las coordenadas de i La imagen de B después de la reflejarse en el eje y ii La imagen de B después trasladarse por el vector 5 iii La imagen de B después de reflejarse en el eje x seguid por un estiramiento horizontal con un factor de escala MAY00-P (zona ) f x p x q x r El gráfico de f es el que se muestra a continuación 55 Sea el programa del Diploma BI Página 9

30 René A Cantuña Montenegro El gráfico pasa por los puntos,0, 0, 4 a) Escriba el valor de q y r b) Escriba la ecuación del eje de simetría c) Escriba el valor de p y 4,0 MAY00-P (zona ) log x log x 3, x 56 Resuelva la ecuación MAY00-P (zona ) 57 Encuentre el término que tenga 4 x en la potencia 5 3x x MAY00-P (zona ) 03t 58 El número de bacterias, n, en una lavandería después de t minutos está dado por n 800e a) Encuentre el valor de n cuando t 0 b) Encuentre el incremento de n cuando t 5 c) Encuentre el tiempo en el que el número de bacterias es aproximadamente 0000 MAY0-P f x x 3 59 Sean 3ln y g x ln5x a) Exprese g x de la forma ln f x a, donde a Z b) La gráfica de g es una transformación de la gráfica de f Dé una descripción geométrica completa de esta transformación el programa del Diploma BI Página 30

31 MAY0-P f x x René A Cantuña Montenegro 60 Sean 3, g xx 5 y hx f gx a) Halle h x b) Halle h x MAY0-P 6 Considere el desarrollo de la potencia x a) Escriba cuántos términos contiene este desarrollo b) Halle el término en x el programa del Diploma BI Página 3

32 René A Cantuña Montenegro ALGEBRA DE SUCESIONES MAY000-P En una progresión aritmética, el primer término es 5 y el cuarto término es 40 Encuentre el segundo término MAY000-P Encuentre la suma de la serie geométrica infinita MAY00-P 3 En una progresión aritmética, el primer término es -, el cuarto término es 6 y el n-ésimo término es 998 a) Encuentre la diferencia común d b) Encuentre el valor de n MAY003-P 4 Sea la siguiente suma a) Calcule s s MAY004-P 5 La siguiente tabla muestra cuatro series de números Una de esas series es geométrica, una de ellas es aritmética y las otras dos no son ni geométricas ni aritméticas a) Complete la siguiente tabla de series escribiendo en el espacio correspondiente si es geométrica, aritmética o ninguna de ellas el programa del Diploma BI Página 3

33 René A Cantuña Montenegro SERIES Tipo de SERIES i ii iii iv b) La serie geométrica puede ser una suma de infinito número de términos Encuentre dicha suma MAY005-P 6 Sea S n la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética, cuáles son los tres primeros términos u, u y u 3, si se sabe que S 7 y S 8 a) Escriba u b) Calcule la diferencia común de la secuencia c) Calcule u 4 MAY006-P 7 Considere la serie geométrica infinita a) Halle la razón común para esta serie, dando su respuesta como una fracción en su forma más simple b) Halle el decimoquinto término de esta serie c) Halle el valor exacto de la suma de la serie infinita el programa del Diploma BI Página 33

34 René A Cantuña Montenegro 8 MAY006-P a) Considere la progresión geométrica 3, 6,, 4, i Escriba la razón común ii Encuentre el decimoquinto término Considere la progresión x 3, x, x 8, b) Cuando x 5, la progresión es geométrica i Escriba los tres primeros términos de la progresión ii Encuentre la razón común c) Encuentre el otro valor de x para el cual la progresión es geométrica d) Para el valor de x del literal anterior, encuentre i La razón común ii La suma de los infinitos términos de la progresión MAY007-P 9 La población de una ciudad a finales de 97 era de habitantes La población aumenta en un,3% anual a) Escriba cuántos habitantes tendrá a finales de 973 b) Halle cuántos habitantes tendrá a finales de 00 MAY007-P 0 Considere la progresión geométrica infinita 5, 5,, 0, a) Encuentre la razón común b) Encuentre i El décimo término ii Una expresión para el n-ésimo término c) Encuentre la suma de los infinitos términos de la progresión el programa del Diploma BI Página 34

35 MAY008-P René A Cantuña Montenegro 3 3, 3 09, 3 09, 3 09, Considere la progresión geométrica infinita a) Escriba el décimo término de la progresión No simplifique su respuesta b) Encuentre la suma de los infinitos términos de la progresión MAY00-P Considere la progresión aritmética 3, 9, 5,, 353 a) Escriba la diferencia común b) Encuentre el número de términos en la secuencia c) Encuentre la suma de la secuencia 3 Una progresión aritmética u, u, u 3,, tiene d y u7 63 a) Encuentre u b) i Dado que un 56, encuentre el valor de n ii Para este valor de n encuentre S n el programa del Diploma BI Página 35

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