Integración numérica I

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Martín Venegas Vega
hace 5 años
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1 Tems Regl del rectángulo. Regl del trpecio. Cpciddes Conocer y plicr l regl del rectángulo. Conocer y plicr l regl del trpecio. 1.1 Introducción Como y se h visto, pr clculr el vlor excto de un integrl definid, es posible usr l definición correspondiente o el TFC-. En l primer opción, se debe clculr un límite, que en generl es difícil; y en l segund se debe encontrr un primitiv, que en lgunos csos puede ser complicdo (y veces imposible). Situción nálog sucede cundo l función integrr proviene de dtos discretos tomdos desde un situción concret de l relidd. En I. Newton este cso es posible que no se pued encontrr l Inglés. ( ) función que model dich situción. Por lo tnto, el problem que se bord en est sesión (y l siguiente) es encontrr un vlor proximdo de b f(x) dx, cundo no se posible determinr su vlor excto. 81

2 1. Regl del rectángulo Se n un número nturl. L regl o método del rectángulo consiste en proximr el vlor de l integrl definid b f(x) dx por l sum de Riemnn S n de l función f en [, b], socid l prtición de longitud x, considerndo el punto medio de cd sub-intervlo I i. Observción. Pr clculr un proximción de l integrl definid b f(x)dx usndo l regl del rectángulo, se procede de l siguiente mner: Pso 1: Dividir el intervlo I = [, b] en n sub-intervlos de igul longitud: x = b n Est división determin en I = [, b] los siguientes puntos: = 1 = =. n = + x + x + n x = b obteniendo los n sub-intervlos de I: I 1 = [ =, 1 ], I = [ 1, ],..., I i = [ i 1, i ],..., I n = [ n 1, n = b] Pso : En cd sub-intervlo I i, i de 1 n, elegir el punto medio x i : x i = i 1 + i punto medio de I i Pso 3: En cd sub-intervlo I i = [ i 1, i ], se obtiene l siguiente proximción: i i 1 f(x) dx f(x i ) x donde x i es el punto medio de I i. Not. Cundo f en I i y f(x i ), est proximción corresponde geométricmente l áre del rectángulo con medids x (bse) y f(x i ) (ltur), respectivmente, como lo ilustr l figur: Instituto de Mtemátic y Físic 8 Universidd de Tlc

3 Pso 4: Un proximción de l integrl definid de f en el intervlo I = [, b], medinte este método, es: Luego: b f(x) dx = n i=1 i f(x)dx i 1 n f(x i ) x i=1 = f(x 1 ) x + f(x ) x f(x ( n ) x ) b = [f(x 1 ) + f(x ) f(x n )] n Teorem 1.1 Un proximción numéric de l integrl definid de f en [, b] usndo l regl del rectángulo, con n subintervlos es: ( ) b RM(n) = [f(x 1 ) + f(x ) f(x n )] n siendo x i el punto medio del sub-intervlo I i, pr i = 1,,..., n Ejemplo 1.1 Considerr l integrl definid: (x + 1) dx 1) Clculr un proximción de l integrl definid, pr n =, usndo l regl del rectángulo. ) Pr est integrl definid se puede clculr su vlor excto. Comprr l proximción obtenid, con el vlor excto de l integrl definid Instituto de Mtemátic y Físic 83 Universidd de Tlc

4 Desrrollo: Se f(x) = (x + 1). 1) Usndo l regl del rectángulo. Pso 1: Considerr un prtición del intervlo I = [, ] en sub-intervlos de igul longitud x = b = = 1. n 3 Pso : Est prtición determin en I = [, ], los 7 puntos: =, 1 = 1 3, = 3, 3 = 1, 4 = 4 3, 5 = 5 3, = y los siguientes subintervlos: I 1 = [, 1 3 ], I = [ 1 3, 3 ], I 3 = [ 3, 1], I 4 = [1, 4 3 ], I 5 = [ 4 3, 5 3 ], I = [ 5 3, ] cuyos puntos medios son: x 1 = 1, x = 1, x 3 = 5, x 4 = 7, x 5 = 3, x = 11 Pso 3: Completndo l tbl: x i f(x i ) Luego: (x + 1) dx RM() = ( ) = Instituto de Mtemátic y Físic 84 Universidd de Tlc

5 RM() pr f(x) = (1 + x) en [, ] ) Usndo el Teorem Fundmentl del Cálculo se obtiene el vlor excto: (x + 1) dx = (x + 1)3 3 = 3 8. Por lo tnto, el método del rectángulo con puntos, entreg un vlor de l integrl definid clculd, excto hst el primer deciml. Not 1.1 Como es de suponer, en el método del rectángulo (RM) comentdo, es posible elegir en cd subintervlo, en lugr del punto medio, el punto izquierdo o derecho. Ests dos vrintes entregn otros dos métodos: Método del rectángulo con punto izquierdo (RI) y el Método del rectángulo con punto derecho (RD) Ejercicio 1.1 Encontrr un vlor proximdo de usndo los métodos RI y RD con n =. (1 + x) dx 1.3 Regl del Trpecio Ddo un número nturl n. L regl del trpecio consiste en determinr un proximción del vlor de l integrl definid b f(x) dx proximndo l función f, por un función definid por trmos medinte funciones lineles. Observción. Pr clculr un proximción de l integrl definid b f(x)dx usndo l regl del trpecio, se procede de l siguiente mner: Instituto de Mtemátic y Físic 85 Universidd de Tlc

6 Pso 1: Dividir el intervlo I = [, b] en n subintervlos de igul longitud x = b n Est división o prtición determin en el intervlo I = [, b] los siguientes puntos: = 1 = + x = + x. n = + n x = b obteniendo n sub-intervlos de I, de igul longitud x I i = [ i 1, i ], donde { i 1 = + (i 1) x i = + i x Pso : En cd sub-intervlo I i = [ i 1, i ] l función f se proxim por l función linel determind por los puntos ( i 1, f( i 1 )) y ( i, f( i )). Pso 3: Un proximción de l integrl definid de f en cd sub-intervlo I i = [ i 1, i ], medinte este método es: [ ] f(i 1 ) + f( i ) f(x) dx i 1 i x = [f( i 1 ) + f( i )] x Not 1. Cundo f( i 1 ) y f( i ), est proximción corresponde geométricmente, l áre del trpecio cuyos vértices son ( i 1, ), ( i, ), ( i, f( i )) y ( i 1, f( i 1 )), respectivmente, como se ilustr en l siguiente figur: Instituto de Mtemátic y Físic 8 Universidd de Tlc

7 Luego: Pso 4: Un proximción de l integrl definid de f en el intervlo I = [, b], medinte este método, es: b i n f(x) dx = f(x)dx i=1 i 1 n [f( i 1 ) + f( i )] x i=1 = [f( ) + f( 1 )] x [f( n 1) + f( n )] x = [f( ) + f( 1 ) f( n 1 ) + f( n )] b n Teorem 1. Un proximción numéric de l integrl definid de f en [, b] usndo l regl del trpecio es: T (n) = [f( ) + f( 1 ) + f( ) f( n 1 ) + f( n )] b n Ejemplo 1. Considerr l integrl definid: (x + 1) dx 1) Clculr un proximción de l integrl definid, pr n =, usndo l regl del trpecio. ) Pr est integrl definid se puede clculr su vlor excto. Comprr l proximción obtenid, con el vlor excto de l integrl definid Desrrollo: Se f(x) = (x + 1). 1) Usndo l regl del trpecio, con n = : Pso 1: Considerr un prtición del intervlo I = [, ] en sub-intervlos de igul longitud x = 1 3. Pso : Est prtición determin en I = [, ], los puntos: =, 1 = 1 3, = 3, 3 = 1, 4 = 4 3, 5 = 5 3, = obteniendo los intervlos: Instituto de Mtemátic y Físic 87 Universidd de Tlc

8 I 1 = [, 1 3 ], I = [ 1 3, 3 ], I 3 = [ 3, 1], I 4 = [1, 4 3 ], I 5 = [ 4 3, 5 3 ], I = [ 5 3, ] Pso 3: Completndo l tbl: i f( i ) Luego: (x + 1) dx T () = ( ) = T() pr f(x) = (1 + x) en [, ] Instituto de Mtemátic y Físic 88 Universidd de Tlc

9 ) Usndo el Teorem Fundmentl del Cálculo se obtiene el vlor excto: (x + 1) dx = (x + 1)3 3 = 3 8. Por lo tnto, el método del trpecio con puntos, entreg un vlor de l integrl definid clculd, excto solmente en su prte enter. Ejercicio 1. Encontrr un vlor proximdo de 4 (4 x ) dx usndo el método del trpecio con n =. Ilustrr gráficmente. Not 1.3 Como es de suponer, l encontrr un vlor proximdo de un integrl definid, es importnte tener un ide de que tn cerc éste se encuentr del vlor vlor excto de dich integrl. El siguiente teorem entreg un respuest est inquietud. Teorem 1.3 Se f un función continu con f (x) K cundo x b. Si E RM y E T representn los errores que se cometen l clculr proximdmente b f(x)dx con los métodos del rectángulo y trpecio respectivmente, con n subintervlos, se tiene que E RM (n) = b K(b )3 f(x)dx RM(n) 4n y E T (n) = b K(b )3 f(x)dx RM(n) 1n Ejemplo 1.3 Clculr 1 cos(x) dx usndo el método del trpecio, considerndo n =. Estimr el error cometido. Solución: El vlor proximdo de l integrl propuest, usndo el método señldo es.4543 ( verificrlo!). En este cso, como f(x) = cos(x), se tiene que f (x) = 4 cos x. Luego, f (x) 4 ( por qué?). Por lo tnto el error cometido l clculr l integrl propuest con el método del trpecio, viene ddo por: Luego, Por lo tnto, E T () = cos(x) dx cos(x) dx.4599 Instituto de Mtemátic y Físic 89 Universidd de Tlc

10 Luego, el vlor proximdo clculdo, tiene grntizdo como excto, hst el primer deciml. 1.4 Autoevlución Encontrr un vlor proximdo de 1 (ex 1.5) dx, considerndo n = y usndo los métodos del rectángulo y del trpecio. Ilustrr gráficmente. Respuest: Método del rectángulo Método del trpecio RM() =.4359 T () = Desfío Se quiere clculr proximdmente el áre de cierto terreno que se encuentr bordedo por un pequeño richuelo. Pr ello se hn medido distncis l borde del mismo, tomds prtir de l vll que delimit dicho terreno y que está en line rect. Ls medids en metros que se hn obtenido, tomds de diez en diez metros, prtir de un extremo de l vll, son:,, 1, 8, 5, 9, 1, 5 y. Encontrr un estimción del áre del terreno. Instituto de Mtemátic y Físic 9 Universidd de Tlc

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