COLEGIO DE POSTGRADUADOS

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1 COLEGIO DE POSTGRADUADOS INSTITUCIÓN DE ENSEÑANZA E INVESTIGACIÓN EN CIENCIAS AGRÍCOLAS CAMPUS MONTECILLO SOCIOECONOMÍA, ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA ESTADÍSTICA PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA PARA PROCESOS POISSON NO HOMOGÉNEO FRANCISCO JULIAN ARIZA HERNANDEZ T E S I S PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO DE: M A E S T R O EN C I E N C I A S MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MÉXICO 2005

2 La prst tsis titulada: PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA PARA PROCESOS POISSON NO HONOGENEO, ralizada por l alumo: Fracisco Julia Ariza Hrádz, bajo la dircció dl Cosjo Particular idicado, ha sido aprobada por l mismo y acptada como rquisito parcial para obtr l grado d: MAESTRO EN CIENCIAS SOCIOECONOMÍA, ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA ESTADÍSTICA CONSEJO PARTICULAR CONSEJERO Dr. Humbrto Vaqura Hurta ASESOR Dr. José A. Villasñor Alva ASESOR Dr. Migul Ágl Martíz Damiá ii

3 A A f A A A A y M l l l l l c l b o c s c a c a a j o l a b c c i c o d a t c s b c a y j o i c m d i c a b t a m l a l r b l i a l d c o l a l d c u m l c s c f u l i b f u b d a d j c c c m l a m l c i c l a l a l r r a l a s c d c d AGRADECIMIENTOS c o ó m Cosjo Nacioal d Cicia y Tcología (CONACYT) p o r s u g r a a p o y o q u r i d ó d u r a t t o d o s m s t u d i o s d s t r í a. o r m Colgio d Postgraduados, p o r h a i ó a d é m s u s a u a s. b r m r i d a d o a o p o r t u i d a d d g u i r m i o s i t g r a t s d i C o s j P a r t i a r : i d i Dr. Humbrto Vaqura Hurta m i m á s s i i o o s j o s m i s m o s q u r o c r o a g r a d c i m g r a u t i i d a d t o, p o r s u s a t i a d a s i z a i ó l p r t t r a s i s. s u s Dr. José A. Villasñor Alva p o r s u o s j o s y d i s p o i i d a d p a r a d v a d i i o s a p a r t i a r p a r t i p a s u i ó, s u s t i p o o m t a r i o s v i s i ó c r t a d o s, s t t r a s i s. Dr. Migul Ágl Martíz Damiá, p o r s u s o r a i ó p a r a i z a i ó l p r t t r a o p i i o o. s t a a t i a d a s, s u o r i t a i ó i a g r a d c i m t o o s p r o t o d a s a q u l l a s p r s o a s q u f s o r s, m i s o m g u a m a p a ñ r a r o s d r o c l a s o p a r t i, p i p r s o a s d a d m i i s t r a t i v o y s t a t a r a, a t o d o s g r a i a s. iii

4 DEDICATORIA A mis padrs A mi sposa y A mis hrmaos F. J. A. H. iv

5 RESUMEN. E st trabajo, s prsta ua pruba d bodad d ajust basada l stimador d momtos dl Coficit d Corrlació (PCC), y ua Pruba d Razó d Vrosimilituds Gralizada (PRVG) para u Procso Poisso No Homogéo (PPNH). Estas prubas s aplica a u cojuto d datos, qu rprsta los timpos d ocurrcia d fallas u sistma d cotrol. Aquí, utilizamos stas prubas d mara complmtaria, ya qu primro s dsarrolló la PCC para vrificar si los timpos d falla dl sistma sigu l Procso Gol-Okumoto tomado cuta la fució d distribució Wibull (PPNH-W), y dspués s dsarrolló la PRVG para podr discrir si stos timpos d falla sigu u modlo más simpl como l Procso Gol- Okumoto utilizado la fució d distribució Expocial (PPNH-E) o bi u PPNH-W, cocluydo co u ivl d sigificacia d 0.05, qu los timpos d falla sigu u PPNH-W. Admás s raliza u studio d simulació Mot-Carlo para la potcia y tamaño d ambas prubas, obtido rsultados satisfactorios para los casos studiados. Palabras Clav: Distribució Asitótica, Fució d Itsidad, Pruba d Bodad d Ajust, Simulació Mot-Carlo. ABSTRACT. I this work, th Corrlatio Cofficit Goodss of Fit Tst (CCGFT) ad th Gralizd Liklihood-ratio Tst (GLRT) ar dvlopd for No-Homogous Poisso Procsss (NHPP) usig a giv itsity fuctio. Ths tsts ar applid to a data st that cosists of th failur tims i a cotrol systm. First a CCGFT was dvlopd to vrify if that failur tims of th systm ar a NHPP with a Wibull itsity fuctio (NHPP-W). Th, a GLRT was dvlopd to kow if thos failur tims follow a NHPP with a Expotial itsity fuctio (NHPP-E) or a NHPP-W. Thrfor with a sigificac lvl of 0.05, it is cocludd that th failur tims follow a NHPP-W. Also th siz ad powr of both tst ar dtrmid showig satisfactory rsults for th studid cass. Ky words: Asymtotic Distributio, Itsity Fuctio, Mot-Carlo Simulatio, Goodss of Fit Tst. v

6 Cotido 1. INTRODUCCIÓN ANTECEDENTES PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA OBJETIVOS MARCO TEÓRICO ALGUNOS CONCEPTOS DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS Procso d Poisso Procso Poisso Homogéo y No Homogéo MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD PRUEBAS DE HIPÓTESIS Fució d Potcia y Tamaño d la Pruba PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA Distribució Asitótica d la Pruba d Razó d Vrosimilituds PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PARA UN PPNH IMPLEMENTACIÓN DE LA PRUEBA ESTADÍSTICA DE PRUEBA EJEMPLO DE APLICACIÓN PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA PARA UN PPNH IMPLEMENTACIÓN DE LA PRUEBA ESTADÍSTICA DE PRUEBA CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO DE APLICACIÓN ESTUDIO DE SIMULACIÓN PARA EL TAMAÑO Y POTENCIA DE LAS PRUEBAS PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Tamaño d la PCC Potcia d la PCC vi

7 6.2 PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES Tamaño d la PRVG Potcia d la PRVG CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA ANEXO A ANEXO B vii

8 INTRODUCCIÓN Capítulo I 1. INTRODUCCIÓN Muchos d los fómos alatorios, tals como l úmro d accidts automovilísticos u cruc d carrtra, l úmro d fallas d ua máquia o sistma, l rcorrido d ua partícula movimito browiao, l volum d agua fluctuat sistma d sumiistro d agua, l crcimito d ua població (humaa o bactriológica), tc., s prsta la aturalza y so studiados difrts áras como la Física, Igiría, Biología, Mdicia, Cicias Socials, y otras disciplias citíficas. Estos fómos gralmt so distribuidos forma irrgular dtro d algua rgió dl spacio o algú itrvalo d timpo, lo qu implica qu para su studio s haga uso d la toría d procsos stocásticos. Para l studio d muchos d stos fómos alatorios, dos procsos stocásticos dsmpña u papl fudamtal, l Procso d Wir y l Procso d Poisso. El dsarrollo d st trabajo s foca básicamt l studio dl Procso d Poisso, rfrt a fómos alatorios como so los procsos d coto. El Procso Poisso No Homogéo (PPNH) s usado rutiaria y xtsivamt para modlar fallas sistmas rparabls y prubas para softwar. El trabajo qu s raliza sta tsis cosist dsarrollar prubas d validació stadística, para u cojuto d datos, qu rprsta los timpos d ocurrcia d fallas u sistma d cotrol, los cuals s dsa vrificar si los timpos d falla obdc a u PPNH co Ariza H. F. J. 1

9 INTRODUCCIÓN fució d itsidad t λ ( t ) ; E = θβ β β > 0, θ > 0, o bi si so u PPNH co fució d 1 t itsidad ( t ) t α β λ α ; W = θβα β > 0, θ > 0, α > Atcdts Alguos d los fómos alatorios mcioados atriormt, pud sr studiados como u Procso Poisso No Homogéo, co ua fució d itsidad λ(t) dada, por lo qu s razoabl probar l cotrast d hipótsis siguit: H : λ( t ) s costat vs H : λ ( t ) s moótoa crcit (1.1) 0 1 E l cotrast d hipótsis dada (1.1), s importat asumir u PPNH u itrvalo d timpo (0,T] y qu l úmro d vtos ocurridos hasta l timpo T, sa ua variabl alatoria Poisso N T, co timpos d ocurrcia 0<T 1 <T 2 < <T <T. Cox y Lwis (1966) mcioa qu ua d las primras prubas para (1.1), s atribuida a Laplac y mustra qu sta pruba s óptima para probar u PPNH co fució d itsidad loglial. Esta pruba sta basada la stadística: L T = i i= 1 T (1.2) 0 Bajo cirtas codicios d rgularidad, la stadística L dfiida (1.2) y aplicado l Torma Ctral dl Límit os dic qu para grad, si Z L =, tocs Z N(0,1), Cox y Lwis (1966), Aschr y Figold (1984). Etocs para u tamaño d Z 2 12 mustra, y u α* dado, s ti qu α* = P{L> + 1 α* }, dod Z 1-α* s l 1-α* ésimo > + α* cuatil d la distribució N(0,1). Por lo tato, s rchaza H 0 (1.1) si: L Z1 Cox (1955), discut l uso d la pruba d Laplac, para probar: H t vs H t β t 0 : λ( ) = λ 1 : λ( ) = λ (1.3) Ariza H. F. J. 2

10 INTRODUCCIÓN Boswll (1966), dsarrolla la Pruba d Razó d Vrosimilituds, para l jugo d hipótsis dado (1.1), asumido u PPNH arbitrario y codicioado N =. Saw (1975), prsta ua uva forma para probar l jugo d hipótsis dada (1.1). E su prstació cosidra l hcho d qu T 1, T 2,, T, so las stadísticas d ord d ua mustra d tamaño, d la dsidad f(t)= λ(t) ; dod Λ (T) T (T ) λ( t )dt Λ = 0 Vaqura (1997), aplica tambié la Pruba d Razó d Vrosimilituds, para probar tdcia datos d Ozoo, asumido u PPNH co fució d itsidad α α 1 β t ( t ) t ;, 0, (, ) λ = µα α µ > β, admás, compara los stimadors d máxima vrosimilitud co l stimador o paramétrico Krl suavizado d λ(t). Crow (1974) dsarrolla la mtodología para u uvo PPNH: 1 β H t 0 : λ( t ) = vs H1 : λ( t ) = θ θ θ β 1 (1.4) Crow (1984) cosidra ua pruba d bodad d ajust para datos qu provi d u PPNH usado la stadística d Cramr-vo Miss y obti ua tabla d valors críticos para sta stadística. Park y Kim (1992) usa la stadística d Kolmogorov-Smirov, la d Cramr-vo Miss y la d Adrso-Darlig para ua pruba d bodad d ajust para l procso Ly Potcia, llos prsta tablas d valors críticos para sas stadísticas. Lucas (2000) raliza ua pruba d bodad d ajust para l mismo procso, utilizado como stadística d pruba l stimador d momtos dl coficit d corrlació. Muchos modlos d cofiabilidad ha sido propustos para modlar los timpos d fallas prubas para softwar, tals como l modlo d Dua (1964), Jliski y Morada (1972), Gol y Okumoto (1984), Cox y Lwis (1966), tr otros. Ariza H. F. J. 3

11 INTRODUCCIÓN 1.2 Platamito dl Problma Cuado s ti u cojuto d datos, muchas vcs s iicia l procso d stimació putual o por itrvalo d parámtros, supoido qu sos datos provi d u modlo distribucioal coocido. Esto, dbido a varias razos, ua s qu pud sucdr qu o xista prubas d validació stadística para l modlo propusto, u otra porqu la implmtació d tal pruba d validació sa muy difícil d aplicar y l ivstigador la pas por alto o simplmt co bas la xpricia d trabajar co l modlo, o s ralic tal vrificació. La prst ivstigació surg co la motivació d aalizar u cojuto d datos, los cuals rprsta los timpos d ocurrcia d fallas d u Sistma d Datos para Tácticas Navals. Por lo tato, st studio cosist pricipalmt d dos fass importats: Fas 1. Vrificar mdiat ua pruba d bodad d ajust basada l Coficit d Corrlació qu los timpos d falla so u PPNH co fució d itsidad ( t ) t α 1 β t λ α ; W = θβα β > 0, θ > 0, α > 0. Est s l Procso Gol-Okumoto co fució d distribució Wibull (PPNH-W). Fas 2. D cumplirs la Fas 1, s dsarrolla la Pruba d Razó d Vrosimilituds Gralizada para vrificar si los timpos d falla prtc a u modlo más rstrigido como l Procso Gol-Okumoto co fució d distribució Expocial, l cual s u t PPNH co fució d itsidadλ ( t ) ; E = θβ β β > 0, θ > 0 (PPNH-E), cotra l modlo altrativo d u PPNH co fució d itsidad 0, α > 0 (PPNH-W). ( t ) t α 1 β t λ α ; W = θβα β > 0,θ > Ariza H. F. J. 4

12 OBJETIVOS Capítulo II 2. OBJETIVOS Los objtivos d st studio so: 1) Dsarrollar ua pruba d bodad d ajust basada l stimador d momtos dl coficit d corrlació, para probar: 1 t 1 0 : ( ) α α α β α βt λ = θβα 1 : λ( ) θβα H t t vs H t t Así como l obtr los valors críticos d la pruba. 2) Dsarrollar la Pruba d Razó d Vrosimilituds Gralizada, para vrificar l siguit cotrast d hipótsis: α βt α 1 βt 0 : λ( ) = θβ 1 : λ( ) = θβα H t vs H t t 3) Ralizar u studio d simulació Mot-Carlo para stimar l tamaño y potcia d ambas prubas. Ariza H. F. J. 5

13 MARCO TEÓRICO. Capítulo III 3. MARCO TEÓRICO Esta scció coti ua rvisió sobr ocios lmtals y básicas d la toría d Procsos Estocásticos, particular dl Procso d Poisso; así como tambié, alguos procdimitos d ifrcia stadística como la stimació d parámtros por máxima vrosimilitud y d prubas d hipótsis. 3.1 Alguos Cocptos d Procsos Estocásticos La toría d los Procsos Estocásticos s dfi gralmt como la part diámica d la toría d Probabilidads, dod s studia u cojuto d v.a. s (llamado procso stocástico) dsd l puto d vista d su itrdpdcia y su comportamito límit (Parz, 1972). Es dcir, simpr qu xamimos a u procso o fómo alatorio qu s dsarroll a través dl timpo y qu sté cotrolado por lys probabilísticas más qu las dtrmiísticas, s a lo qu llamamos u Procso Estocástico. Ua dfiició formal d procso stocástico s la siguit: U procso stocástico s u cojuto d variabls alatorias {X(t) : t T}; dod t s u parámtro qu toma valors l cojuto T, al cual s l llama cojuto ídic dl procso (Parz, 1972). Ariza H. F. J. 6

14 MARCO TEÓRICO. T gralmt rprsta al timpo (pro tambié pud sr spacio) y X(t) s ua fució d dos variabls, s dcir X(t) X(w,t), dod w Ω (spacio mustral d X) y t T. Sobr la aturalza dl cotradomiio d X (dotado por Rx), l cual s llamado spacio-stado y la aturalza d T, o tmos rstricció, d tal mara qu pud sr cotabls o cotiuos. Co bas lo atrior, podmos distiguir a los procsos stocásticos como sigu: Si Rx = { 0,1,2,... }, u cojuto umrabl, l procso stocástico s llamado, procso stocástico co spacio d stados discrtos. Sí Rx = o algú itrvalo d (o umrabl, cotiuo) s dic qu l procso stocástico toma valors rals. Sí T = {0,1,2,... } s dic qu l procso stocástico s u procso d timpo discrto. Sí T = (0, ) s dic qu l procso stocástico s u procso d timpo cotiuo. Ua ralizació o fució mustral d u procso stocástico {X(t) : t T}, s ua asigació d u posibl valor d X(t), para cada t T. Los valors d X(t) pud sr 1- dimsioal, 2-dimsioal o k-dimsioal, (Karli ad Taylor, 1975). Los procsos cotadors o d coto, rprsta uo d los tipos clásicos d los procsos stocásticos, juto co los procsos stacioarios idpdits, procsos d Markov y procsos d rovació, (Karli ad Taylor, 1975) Procso d Poisso El Procso Poisso juga u papl muy importat dtro d los procsos d cotaj, ya qu s usa como u modlo para l coto d vtos alatorios. Dfiició 1 Procso Poisso. Sa u procso cotador { N(t): t > 0 }, s dic qu s d tipo Poisso co itsidad l, l>0, sí: Ariza H. F. J. 7

15 MARCO TEÓRICO. i. N(0) = 0 ii. Para cualquira timpos t 0 = 0 < t 1 < t 2 <... < t, los icrmtos dl iii. procso N(t 2 )- N(t 1 ), N(t 3 ) N (t 2 ),..., N(t ) N (t -1), so v.a s idpdits. Para toda s, t 0, la v.a. N(t+s)-N(s) ti distribució Poisso. λt ( λt) P{ N( s+ t) N( s)} = ; = 0,1, 2,... (3.1)! Por la dfiició 1, s ti qu l procso ti icrmtos stacioarios idpdits y admás s pud vr d la cuació (3.1) qu: E{N(t)} = lt, y V(N(t)) =lt (vr dmostració Karli ad Taylor, 1975). Otra dfiició altrativa stá dada por: Dfiició 2 Procso Poisso: Es u procso cotador { N(t): t > 0 }, co itsidad l, l>0, sí: i. N(0) = 0 ii. El procso ti icrmtos idpdits y stacioarios. iii. Pr {N(h) = 1} = lh + 0(h) iv. Pr {N(h) 2} = 0(h). dod 0(h) s cualquir catidad qu dspués d dividirla por h tid a cro, como h 0 E Ross (1996) s dmustra qu la Dfiició 1 y la Dfiició 2 so quivalts Procso Poisso Homogéo y No Homogéo Para u Procso d Poisso {N(t): t > 0} co itsidad l, l>0, s dfi la fució d itsidad o razó d ocurrcia d vtos como: λ ( ) d d t = E{ N( t)} m( t) dt = dt (3.2) Ariza H. F. J. 8

16 MARCO TEÓRICO. A m(t) s l llama la fució mdia dl procso, s dcir: t m( t) = λ( s) ds (3.3) 0 Sí m(t) = lt, implica qu l(t) = d (lt) = l, tocs s dic qu l procso Poisso dt s Estacioario u homogéo. E muchos casos s factibl cosidrar a l como a ua fució d t, i.. l = l(t). Sí l Procso d Poisso {N(t): t > 0}, s tal qu las codicios 2, 3 y 4 d la dfiició 2 so rmplazadas por (Basawa ad Prakasa, 1980): i. N(t) t >0, ti icrmtos idpdits. ii. Pr{N(t+h)-N(t) = 1} = l(t)h + 0(h) iii. Pr{N(t+h)-N(t) 2} = 0(h). dod 0(h) s cualquir catidad qu dspués d dividirla por h tid a cro, como h 0 Etocs s dic qu l procso {N(t): t > 0}, s u Procso Poisso No Homogéo o o Estacioario. S prsta a cotiuació las pricipals propidads d u Procso Poisso No Homogéo, (Basawa ad Prakasa, 1980). a) Sa N 1, N 2,... variabls alatorias qu dota l úmro d vtos qu ocurr itrvalos disjutos, digamos [0, u 1 ), [u 1, u 2 ),... Etocs N 1, N 2,... so variabls alatorias idpdits Poisso, s dcir: ur ur xp λ( s) ds λ( s) ds u u Nr = = =! r 1 r 1 Pr{ } ; 0,1, 2,... (3.4) Ariza H. F. J. 9

17 MARCO TEÓRICO. b) Sa 0 < t 1 < t 2 <... los timpos los cuals los vtos ocurr. Etocs los itrvalos tr ocurrcia T k = t k - t k-1 (k = 1, 2,... ) so variabls alatorias idpdits co dsidad: t k ft ( t ) ( ) xp ( ) k k = λ tk λ s ds (3.5) tk 1 c) Codicioado a N(t) =, los timpos los cuals los vtos ocurr; s dcir, 0 < t 1 < t 2 <... < t ( To) so distribuidos como las stadísticas d ord qu corrspod a ua mustra alatoria d obsrvacios d la dsidad: λ( t) f ( t) = ; 0 t T T λ( s) ds (3.6) λ(t) = λ. Esta fució s rduc a ua distribució uiform sobr l itrvalo (0,T 0 ) cuado 3.2 Método d Máxima Vrosimilitud El método d máxima vrosimilitud s ua d las técicas más populars para obtr stimadors; y para mostrar corrctamt a st método primro s dfi a la fució d vrosimilitud como: Dfiició 3 Fució d Vrosimilitud, (Mood, 1974): La fució d vrosimilitud d las variabls alatorias, X 1,X 2,...,X, idpdits idéticamt distribuidas (iid), s dfiida como la dsidad cojuta d las variabls alatorias, la cual s cosidrada como ua fució d los parámtros; s dcir: Ariza H. F. J. 10

18 MARCO TEÓRICO. L( θ; x) = f ( x,..., x ; θ ) = i= 1 X1,... X 1 f X i ( x ; θ ) i (3.7) Not qu la cuació (3.7) l parámtro θ pud sr u vctor. La fució d vrosimilitud L(θ; x 1,x 2,..,x ) da la vrosimilitud cuado las variabls alatorias toma u valor particular x 1, x 2,...,x. La vrosimilitud s l valor d ua fució d dsidad y cuado s ti variabls alatorias discrtas s ua probabilidad. Para u cojuto d datos obsrvados rprstados por x 1,x 2,...,x, qu provi d ua fució d distribució f(x;θ), l problma d los stimadors d máxima vrosimilitud cosist coocr cual s l valor d θ qu os da la vrosimilitud o probabilidad mas grad para s cojuto d datos obsrvado; otras palabras, qurmos cotrar l valor d θ Θ, dotado por ˆ θ, l cual maximiza la fució d vrosimilitud L(θ;x 1,x 2,... x ); gralmt ˆ θ s ua fució d x 1, x 2,...,x, s dcir : ˆ θ = (,..., ) (3.8) g x1 x Cuado st s l caso, la variabl alatoria Θ= ˆ g( X1,..., X ) s llamada stimador d máxima vrosimilitud d θ. Dfiició 4. Estimador d Máxima Vrosimilitud, (Mood, 1974): Sa L(θ) = L(θ;x 1,x 2,... x ), la fució d vrosimilitud para las variabls alatorias X 1, X 2,..., X. Si ˆ θ [dod ˆ θ = (,..., ) s ua fució d las obsrvacios x 1, x 2,..., x ] s l valor d θ g x1 x Θ, l cual maximiza a L(θ), tocs Θ= ˆ g( X1,..., X ) s l stimador d máxima vrosimilitud d θ. Y ˆ θ = g ( x,..., ) 1 x s l stimador d máxima vrosimilitud d θ, para la ralizació x 1, x 2,... x. Ariza H. F. J. 11

19 MARCO TEÓRICO. Muchas d la fucios d vrosimilitud cumpl co cirtas codicios d rgularidad. Por jmplo, si L(θ) s difrciabl co rspcto a sus parámtros, s posibl obtr los stimadors d máxima vrosimilitud para θ 1,...,θ k rsolvido l sistma d cuacios: dl( θ ) = 0; i= 1,..., k (3.9) dθ i Cuado sto o s posibl, s pud utilizar otras altrativas como los métodos uméricos o xtrmos d fucios moótoas. 3.3 Prubas d Hipótsis Ua hipótsis stadística s ua hipótsis acrca d la distribució d ua població. Ua dfiició formal s: Dfiició 5. Hipótsis Estadística (Mood, 1975): ua hipótsis stadística s ua asvració o cojtura acrca d la distribució d ua o más variabls alatorias. Si la hipótsis stadística la distribució s cutra compltamt spcificada, tocs s llamada hipótsis simpl; d otra mara, s llamada hipótsis compusta. Sa X 1, X 2,..., X ua mustra alatoria co dsidad f(x;θ), dod θ s l parámtro d la distribució, θ Ω, Ω coocido. Etocs, típicamt s ti itrés probar l jugo d hipótsis: H : θ ω vs H : θ Ω ω (3.10) 0 1 dod ω Õ Ω, Ω Õ k y ω s coocido. Esto s, co bas X 1, X 2,..., X s dsa dcidir si rchazamos H 0 a favor d H 1 o o rchazamos H 0. Ariza H. F. J. 12

20 MARCO TEÓRICO. Para sto s utiliza ua pruba qu stá basada l cojuto X = {x x ua ralizació d X}. Etocs la pruba s ua partició d X X A y X R, s dcir X A» X R = X y X A X R = «. Etocs si la ralizació x d X ca X A, o s rchaza Ho y si ca X R, s rchaza Ho. A X A s l llama rgió d o rchazo y a X R s l llama rgió d rchazo o rgió crítica. Gralmt, X R os dfi ua pruba: X R = {x X : s(x) > k}; dod a s(x) s l llama stadística d pruba. Para cada pruba X R, s l asocia ua fució idicadora: tal qu, φ : X {0,1} X R φ ( x) = 1, si x X X R = 0, si x X R A (3.11) Es dcir, la rgla d dcisió sría: Rchazar H 0 si φ(x) = 1 No Rchazar H 0 si φ(x) = Fució d Potcia y Tamaño d la Pruba Dcidido si s acpta o s rchaza ua hipótsis ula H 0, u xprimtador pud comtr u rror. Usualmt, las prubas d hipótsis so valuadas y comparadas a través d sus probabilidads d comtr rrors. Cuado usamos la pruba φ. Podmos comtr dos tipos d rrors: Error tipo I. Rchazar H 0 cuado ralmt s vrdadra. Error tipo II. No rchazar H 0 cuado ralidad s falsa. Ariza H. F. J. 13

21 MARCO TEÓRICO. Por lo tato, s razoabl scogr ua pruba φ* qu miimic la probabilidad d ocurrcia d ambos tipos d rrors. Pro dsgraciadamt, tal pruba φ* o xist, ya qu cuado s miimiza la probabilidad d uos d los rrors, aumta la probabilidad d otro rror. Por sta razó, s fija la probabilidad d comtr l rror tipo I y s trata d miimizar la probabilidad dl rror tipo II. Cosidrmos la siguit dfiició: Dfiició 6. Fució d potcia, (Caslla, 2002): La fució d potcia d ua pruba d hipótsis co rgió d rchazo X R s ua fució d θ dfiido por: β( θ) =P( X X ) (3.12) R La fució d potcia idal s 0 para toda θ ω y 1 para toda θ W - ω. Excpto situacios trivials, sta forma idal o pud sr obtida; si mbargo, ua bua pruba ti ua fució d potcia crcaa a 1 cuado θ W - ω y crcaa a 0 cuado θ ω. Las siguits dos dfiicios s usa cuado discutimos prubas qu cotrola la probabilidad d Error tipo I. Dfiició 7 Tamaño d ua pruba. (Caslla, 2002): Para 0 α 1, ua pruba co fució d potcia β(θ) s ua pruba d tamaño α si: sup ( ) θ ωβ θ α = (3.13) Dfiició 8 Nivl d ua pruba, (Caslla, 2002): Para 0 α 1, ua pruba co fució d potcia β(θ) s ua pruba d ivl α si: sup ( ) θ ωβ θ α (3.14) Ariza H. F. J. 14

22 MARCO TEÓRICO. Notamos qu si θ W - ω, tocs: β(θ) = P{ φ(x) = 1 θ} = 1 - P{φ(x) = 0 θ} =1 - P{Error tipo II usado φ θ } (3.15) Es dcir, P{Error tipo II usado φ θ } s pquña cuado β φ (θ) s próxima a uo co θ W - ω. Por lo tato, s dsabl cotrar ua pruba φ* d tamaño α, tal qu su fució d potcia β φ* (θ) sa uiformmt máximo rspcto a todas las prubas d tamaño α. Por lo tato, φ* s tal qu: 1. β φ* (θ) α, para toda θ ω 2. β φ* (θ) β φ (θ), para toda θ W - ω y cualquir otra pruba φ qu cumpla 1. A la pruba φ* s l llama la pruba uiformmt más pott d tamaño α, (UMP(α)) para probar la hipótsis (3.10). 3.4 Pruba d Razó d Vrosimilituds Gralizada Exist difrts métodos para dsarrollar prubas d hipótsis, stos procdimitos so utilizados difrts situacios, dpdido dl problma. Ahora s dscrib u método gral y qu casi simpr s aplicabl y muchos d los casos s tambié óptimo. El método d razó d vrosimilituds gralizada para probar hipótsis stá rlacioado co la stimació d parámtros por máxima vrosimilitud. Si asumimos qu X 1, X 2,..., X s ua mustra alatoria d ua població co fució d dsidad f(x θ), (θ pd sr u vctor) la fució d vrosimilitud s dfiida como: L( θ; x1,..., x ) = L( θ; x) = f ( x ; θ ) = f ( x ; θ ) (3.16) Xi i i= 1 Sa Ω l spacio d parámtros, tocs la pruba d razó d vrosimilituds s dfi como: Ariza H. F. J. 15

23 MARCO TEÓRICO. Dfiició 9 Pruba d razó d vrosimilituds (Caslla, 2002): la pruba d razó d vrosimilituds stadística para probar la hipótsis: H 0 : θ ω vrsus H 1 = θ Ω- ω s: supθ ω L( θ;x) λ( x)= sup L( θ;x) θ Ω (3.17) La pruba d razó d vrosimilituds ti ua rgió d rchazo d la forma {x: λ(x) c}, dod c s cualquir umro tr 0 y 1. Es dcir, rchazamos H 0 para valors pquños d λ(x). Notamos qu λ(x) s ua fució d x 1,,x, s dcir λ(x 1,,x ), por lo qu λ(x) s ua stadística y por lo tato o dpd d igú parámtro. Gralmt la pruba d razó d vrosimilituds s ua bua pruba Distribució Asitótica d la Pruba d Razó d Vrosimilituds Cuado s aplica la Pruba d Razó d Vrosimilituds a u problma complicado s posibl qu la distribució d la stadística λ(x) sa itratabl aalíticamt, tocs ua aproximació a la distribució pud hacrs usado la distribució asitótica d la pruba d razó d vrosimilituds. El siguit torma rfir a dicha distribució asitótica. Torma 1. (Mood, 1975): Sa X 1,,X ua mustra co fució d dsidad f X (x;θ), dod θ = (θ 1,, θ k ). Supoga qu l spacio d parámtros dotado por Θ k-dimsioal. S dsa probar la hipótsis: H 0 : θ 1 = θ 1,,θ r = θ r, θ r+1,,θ k, dod θ 1,,θ r so costats coocidas y θ r+1,,θ k so o spcificadas. Etocs -2 log λ(x) s ua variabl alatoria qu s distribuy aproximadamt como ua distribució ji-cuadrada co r grados d librtad, χ ; cuado la hipótsis ula s vrdadra y l tamaño d mustra s grad. 2 r Ariza H. F. J. 16

24 MARCO TEÓRICO. Como s ha mcioado la scció 3.4.1, l pricipio d la pruba d razó d vrosimilituds dic qu H 0 s rchazada para valors pquños d λ(x), pro tocs -2 log λ(x) crc cuado λ(x) dcrc, tocs ua pruba qu s quivalt a la pruba d razó d vrosimilituds s rchazar H 0 para valors grads d -2 log λ(x). Etocs, l torma 1 os da ua distribució aproximada para los valors d -2 log λ(x), cuado H 0 s vrdadra. Etocs la pruba para u tamaño α dado, s: 2 Rchazar Ho si y solo si -2 log λ(x) > χ1 α (r) dod 2 χ1 α (r) s l (1-α)-cuatil d la distribució ji-cuadrada co r grados d librtad. Notamos qu los grados d librtad r s l umro d compots dl spacio paramétrico qu so spcificados la hipótsis ula. 3.5 Pruba dl Coficit d Corrlació La pruba dl Coficit d Corrlació s basa mdir l grado d asociació lial tr ua variabl dpdit digamos Y- y otra variabl idpdit X; sto mdiat l stimador d momtos dl coficit d corrlació, dfiido por: r= Corr( X, Y ) = i= 1 ( X X )( Y Y ) i 2 2 ( X i X ) ( Yi Y ) i= 1 i= 1 i (3.18) Cab mcioar qu s spra ua corrlació crcaa a uo tr las variabls X y Y bajo H 0, s dcir casi prfcta. Por lo tato, la pruba rchaza H 0 cuado r (3.18) s mor a u valor c, qu cumpla qu 0 c 1. s dcir para ua α dada P{rchazar H 0 H 0 }= P{r c α, H 0 }= F(c α, ), d dod c α, = F -1 (α ) y F s la fució d distribució d r bajo H 0. Ariza H. F. J. 17

25 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Capítulo IV 4. PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PARA UN PPNH E st capítulo s prsta la pruba dl Coficit d Corrlació, la cual os srá útil para dar validz a cojutos d datos qu s supo sigu u procso poisso o homogéo. Co frcucia, uo comiza u aálisis probabilístico d u fómo dado, stablcido como hipótsis qu alguos d sus lmtos alatorios ti ua distribució d probabilidad particular. Etocs cuado dsamos vrificar tals hipótsis forma stadística, s dcir H 0 : F(x) = F 0 (x), dod x = x 1, x 2,... x, so obsrvacios idpdits d variabls alatorias co fució d distribució F(x) y F 0 (x) s algua fució d distribució particular, s dic qu a stas prubas stadísticas s ls llama Prubas d Bodad d Ajust, (Kdall y Stuart, 1973) Las prubas d bodad d ajust so ua part importat cualquir tipo d aálisis d datos y so útils para sabr si ua distribució d probabilidad supusta s cogrut co u cojuto d datos dado. Ua gra varidad d prubas d bodad d ajust s pud cotrar la litratura, como so la pruba d bodad d ajust jicuadrada, pruba d Parso, pruba d Kolmogorov-Smirov, pruba dl Coficit d Corrlació, pruba d Razó d Vrosimilituds Gralizada, tc. Ariza H. F. J. 18

26 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN A cotiuació s prsta l dsarrollo mtodológico d la pruba dl coficit d corrlació para u procso poisso o homogéo co ua fució d itsidad λ(t) dada d atmao. Como s ha mcioado atriormt ua pruba rlativamt scilla d implmtar s la pruba dl Coficit d Corrlació ; dod la distribució d la stadística d pruba s obtida usado simulació Mot- Carlo. La pruba dl coficit d corrlació fu itroducida por Fillib (1975) para probar bodad d ajust d la distribució Normal. Las tablas furo actualizadas por Looy y Gulldg (1985). Esta pruba fu hcha ordado los datos, asociado co cada datum dl valor sprado d las stadísticas d ord co igual rago, lugo calculado l coficit d corrlació tr los datos y las dsviacios ormals stádar, fialmt usado las tablas para cotrar la probabilidad d ajust asociado co las corrlacios obsrvadas. Kiiso (1985) prsta ua tabla para probar bodad d ajust d la distribució d valors xtrmos Tipo I (Gumbl) usado l método dl Coficit d Corrlació. Lópz (2000) tambié utiliza l método dl Coficit d Corrlació para probar u Procso Poisso No Homogéo. 4.1 Implmtació d la Pruba Implmtar la pruba dl coficit d corrlació cosist básicamt aplicar la mtodología qu dsarrolla Lópz (2000), la cual cosidra ua pruba d bodad d ajust para la fució d valor mdio d u Procso Poisso No Homogéo (PPNH) usado l stimador d momto dl coficit d corrlació como stadística d pruba. Si s studia a u fómo alatorio como u PPNH durat u priodo d timpo (0, T 0 ), co timpos d ocurrcia d vtos t 1, t 2,, t, y co fució d valor mdio m(t), la mtodología s dsarrolla codicioado a N = y lializado la fució d valor mdio m(t), d mara siguit s usa l coficit d corrlació tr X y Y qu rsulta d lializar las fució mdia d la fució d itsidad. Ariza H. F. J. 19

27 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Dicho lo atrior l problma cosist cotrastar: Η : m( t ) = m* ( t ) vs Η : m( t ) m* ( t ) (4.1) 0 1 El rsultado d sta pruba idica si la fució d la valor mdio m*(t) s adcuada para dicho PPNH o bi si ésta s difrt. S pud vr tambié qu la hipótsis hcha (4.1) pud sr xprsada térmios d la fució d itsidad λ(t) dl PPNH. E st trabajo s studia dos modlos prstados por Kuo y Yag (1996), para la fució d itsidad. Para st tipo d modlos s csario asumir qu N ti ua distribució Poisso co mdia θ. D modo, qu s part dl supusto qu {N(t); t > 0} s u PPNH co m(t) = θf(t), dod F s la fució d distribució acumulada d f. E α βt βt particular cuado F(t) = θ (1 ), tocs N(t) s u PPNH co m( t) = θ (1 ). Dicho lo atrior, l modlo qu aquí s trabaja s l siguit: α α βt m*( t) = θ (1 ) t [0, T ], α > 0, β > 0, θ > 0 (4.2) 0 Es dcir, sustituydo (4.2) (4.1), particularmt s dsa ralizar l siguit cotrast d hipótsis: α α β t β t 0 : m* ( t ) θ( 1 ) vs 1 : m*( t ) θ( 1 ) Η = Η (4.3) El modlo qu sigu ua fució d itsidad co fució d valor mdio prstada (4.2) s ua modificació dl procso d Gol-Okumoto (Gol-Okumoto, 1979), l cual utiliza u fució d distribució Expocial la fució d itsidad. Si mbargo l procso d Gol-Okumoto pud sr tambié cosidrado co ua fució d distribució Wibull, como s l caso qu s prsta (4.2), al qu llamarmos PPNH-W. Estos modlos ha sido utilizados prubas d softwar para modlar timpos d falla. Kuo y Yag (1996) obti los stimadors d máxima vrosimilitud y baysiaos para stos modlos. Ariza H. F. J. 20

28 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Como m(t) s difrciabl, tocs la fució d itsidad o razó d ocurrcia d fallas dfiida (3.2), para (4.2) s: 1 ( t ) t α α βt λw = θβ α ; θ > 0, β > 0, α > 0 (4.4) Ahora l modlo prstado (4.2) pud sr scrito forma lial como s mustra a cotiuació: m( t) log log(1 ) = logβ + α log t; θ (4.5) Escribido la forma gral: Y = b+ a X (4.6) m( t) Dod Y = log log(1 ) ; θ (4.2) y θ s u parámtro dscoocido. X = log t, b= log β, a = α para l PPNH-W 4.2 Estadística d Pruba Como s pud vr, ustro studio d u PPNH s cuta co los timpos d ocurrcia d vtos {t 1,..., t } co fució d itsidad λ(t), t (0, T 0 ], y codicioado a N(t) =, los timpos los cuals los vtos ocurr; s dcir, 0 < t 1 < t 2 <... < t ( T 0 ) so distribuidos como las stadísticas d ord qu corrspod a ua mustra alatoria d obsrvacios d la dsidad dada (3.6), s dcir: Por lo tato: λ( t) f ( t) = ; 0 t T T0 0 λ( s) ds 0 t λ( s) ds 0 m( t) F( t) = = ; T0 λ( s) ds m( T0 ) (4.7) Ariza H. F. J. 21

29 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Etocs N(t) = s ua ralizació d la variabl alatoria (m(t 0 )). Dado qu las t i so los timpos d ocurrcia d vtos y hacido tmos: T 0 λ T = m(t 0 0 ), tocs d (4.7), m( t ) = λ F( t ) (4.8) i i S pud vr qu (4.8) ti ua distribució como la i-ésima stadística d ord, d ua mustra d tamaño d la distribució U(0,λ T ); ya qu F( ) covrg probabilidad a ua distribució uiform stádar. Por lo tato la i-ésima stadística d ord d ua mustra alatoria d tamaño d ua distribució U(0,1) ti ua distribució ta(i,-i+1); s dcir, F(t i ) ~ ta(i, -i +1), (Arold, 1992). Ya qu m(t i ) s ua catidad o obsrvabl durat l procso, tocs u bu stimador d st valor dscoocido, s su valor mdio rprstado por: E{ m( t )} =λ i T0 i (4.9) + 1 Sustituydo a m(t i ) por E{m(t i )} la cuació (4.5), rsulta sr: λt i 0 log log(1 + 1 ) = logβ + α log ti; i= 1, 2,.., θ λ i θ + 1 T0 log log(1 ) = logβ + α log i; = 1,2,..., t i (4.10) E ua situació ral dod solo s obsrva l úmro total d vtos N = u priodo d timpo [0,T 0 ] y los timpos d ocurrcia d vtos t i s, las cosidracios para obtr (4.10) so fudamtals. Bajo sta situació, l parámtro λ T = m(t 0 0 ) rprsta l umro d vtos promdio ocurridos hasta l timpo T 0, y pud sr stimado por N = (Boswll, 1966); d la misma mara l parámtro θ, para st tipo d Ariza H. F. J. 22

30 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN modlos, rprsta l valor mdio d la variabl alatoria N, la cual ti distribució (θ), Kou y Yag (1996), por lo tato pud sr stimado por N =, d la misma mara qu λ T 0. Etocs la cuació (4.10), rsulta fialmt d la forma siguit: Dod: i log log(1 ) = logβ + α log ti; i= 1,2,..., + 1 i Y = log log(1 ) y X = log ti; i= 1, 2,..., + 1 (4.11) (4.12) Por otro lado, la vracidad d la H 0 stará susttada por l grado d asociació lial tr las variabls X y Y obtidas (4.12). Esta dpdcia lial tr la variabls X y Y s mdida mdiat l stimador d momtos dl coficit d corrlació r, dfiido (3.18). Dado qu l stadístico r s ivariat rspcto a sus parámtros d localidad y scala, tocs la fució d distribució F(r) o dpd d los parámtros a y b d la cuació (4.6), pro si dpd dl tamaño d mustra, por lo tato para calcular las costats críticas c α*, utilizamos l procdimito siguit: para ua α* dada, la P{rchazar H 0 H 0 }= P{r c α*, H 0 }= F r (c α*, ), d dod c α*, = F -1 r (α*) y F r s la fució d distribució d r. Por lo tato, la rgla d dcisió s: Rchazar Ho si y solo si r c α*, (4.13) E st trabajo la obtció d la distribució dl stadístico r (stadística d pruba) s obti usado simulació Mot-Carlo, co la ayuda dl paqut R vrsió (véas axo A). Como s ha mcioado la distribució d r dpd furtmt dl valor d λ T 0 ; así l comportamito al timpo T 0 dpd d la ralizació d N = ; por lo tato s suficit studiar la distribució d r para u valor fijo d λ T 0 ; hacido Ariza H. F. J. 23

31 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN qu N tom valors d acurdo a la distribució (θ), rpitido st procso muchas vcs bajo m(t) podmos obtr la distribució d r dado. El procso d simulació Mot-Carlo para obtr la distribució dl stadístico r bajo m(t), dado u valor fijo d θ, α y β, pud rsumirs los siguits pasos: 1. Codicioado N = y bajo m(t), simular los timpos d ocurrcia d vtos t 1,, t. 2. Calcular l valor d X y Y, sgú (4.12). 3. Calcular la stadística r, dfiida (3.18). 4. Rptir los pasos dl 1 al 3, hasta obtr ua mustra d tamaño m lo suficitmt grad d r. 5. Obtr los cuatils para cada tamaño d mustra y α* dados. Co bas al procdimito atrior s gró la Tabla 1 qu mustra los valors críticos c α*,, para difrts valors d λ T (tamaño d mustra) y α* (ivls d sigificacia), co m = l paso 4- y co la ayuda dl softwar R vrsió (véas axo A). E l caso l qu s dsé obtr u valor crítico c α*, co u tamaño d mustra difrt a los prstados la Tabla 1; ést s pud aproximar co la ayuda d las xprsios logarítmicas obtidas mdiat míimos cuadrados ordiarios utilizado la cuació gral: y= c l( x ) + d (4.14) dod c y d so costats y l s l logaritmo atural (priao). Las xprsios s prsta l cuadro siguit, co u R 2 > α* 0 < C 0.01, = l () C 0.01, = l () C 0.025, = l () C 0.025, = l () C 0.05, = l () C 0.05, = l () Ariza H. F. J. 24

32 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Valors críticos α* =0.05 α* =0.025 α* = Tamño d mustra () Figura 4-1. Valors críticos d la stadística r para difrts tamaños d mustra y ivls d sigificacia α* = 0.01, y E la figura 4-2 s mustra la forma d la distribució d r forma gráfica, para difrts valors d βt λ (tamaños d mustra), bajo m( t) = θ (1 ), para u valor fijo T 0 α d β = ½ y α = 1, y m = La gráfica qu s prsta la figura 4-2 os mustra, qu coform l tamaño d mustra o mas bi l úmro mdio d ocurrcia d vtos aumta, la distribució dl stadístico r tid a coctrars a la uidad, lo cual implica qu aumta la rgió d rchazo d la pruba, cuado l valor d λ T 0 aumta. Esta situació la podmos vrificar los valors críticos c α*, la Tabla 1. Ariza H. F. J. 25

33 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA DE r F(r) 1 N = N = N = N = N = N = r Figura 4-2. Distribució d r dado qu N =, cada ua co rpticios. Ariza H. F. J. 26

34 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Tabla 1. Valors críticos para la pruba d bodad d ajust para l PPNH-W Nivls d α* N = 1% 2.5% 5% 10% 15% 20% 25% 50% 75% 95% Ariza H. F. J 27

35 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN 4.3 Ejmplo d Aplicació E sta scció s trata u jmplo co datos rals utilizado la mtodología d la pruba d bodad d ajust d coficit d corrlació dsarrollada la scció atrior. Los datos qu aquí s maja, so obtidos d Kuo y Youg Yag (1996). Estos datos rfir a 31 timpos tr fallas (x 1,,x 31 ), los cuals furo basados l rport ralizado para uo d los grads módulos dl Sistma d Datos d Táctica Naval (NTDS). Los primros 26 rrors d falla furo cotrados durat la fas d producció dl sistma y las últimas 5 fallas durat la fas d pruba. Los timpos tr fallas (x 1,,x 31 ), s prsta a cotiuació: Tabla 2. Timpos d ocurrcia tr fallas Fut: Kuo y Youg Yag (1996) Kuo y Youg Yag (1996) utiliza st mismo cojuto d datos para ralizar ua comparació tr los stimadors d Bays y los stimadors d Máxima Vrosimilitud, utilizado varios modlos como l prstado (4.2), l cual s u modlo muy utilizado por difrts autors para modlar PPNH s cofiabilidad d softwar. E st stido, s dsa vrificar, primra istacia, si los datos d la Tabla 2, 1 t so u PPNH co fució d itsidad ( t ) t α β λ α ; W = θβα β > 0, θ > 0, α > 0. (PPNH-W), utilizado la pruba d bodad d ajust dl Coficit d Corrlació; sto co la aplicació la mtodología prstada la scció 4.2. S obti los timpos d falla (t 1,,t 31 ), mdiat i i j;,,..., y s j= 1 t = x i= 1 2 mustra la Tabla 3. Ariza H. F. J. 28

36 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Tabla 3. Timpos d ocurrcia d las fallas E la figura 4-3, s prsta ua gráfica t vs N(t), dod prmit obsrvar l úmro d fallas acumuladas al timpo T 0, corrspodit a los datos prstados la Tabla 3. N(t) t Figura 4-3. Gráfica dl úmro d fallas acumuladas al timpo T 0. Etocs, s ti qu los valors d X y Y, dfiidos (4.12); s dcir: i Y = log log(1 ) ; + 1 ˆλ T =, qu para ustro caso s = 31. Ahora, calculado y X = log t i ; i = 1, 2,, Podmos ya calcular l Coficit d Corrlació r qu s ustra stadística d pruba, mdiat la cuació: Ariza H. F. J. 29

37 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN r= Corr( X, Y ) = i= 1 ( X X )( Y Y ) i 2 2 ( Xi X ) ( Yi Y ) i= 1 i= 1 i S raliza las opracios csarias la cuació atrior y s ti fialmt qu l valor d r s Ahora mdiat la rgla d dcisió, dcidimos si los datos apoya o o a la hipótsis H 0, s dcir, si los datos d la Tabla 2 so u PPNH-W, para sto supogamos qu qurmos u tamaño d pruba α* = 0.05; tocs d la Tabla 1, obtmos l valor crítico c 0.05,31 para sta pruba, l cual s obti c 0.05,31 = F -1 (0.05) = Por lo tato, la rgla d dcisió s rchazar H 0 si y solo si r c Etocs, dado qu r = > , s dcid o rchazar H 0 ; s dcir, co u ivl d sigificacia dl 0.05, podmos apoyar la hipótsis y cocluir qu los timpos d fallas (t 1,,t 31 ) prstados la Tabal 2 so u Procso Poisso No Homogéo co 1 fució d itsidad ( t ) t α α βt λw = θβ α ; θ > 0, β > 0, α > 0, (PPNH-W). Por otro lado, u caso particular dl PPNH-W, s l Procso Poisso No Homogéo d tipo Expocial (PPNH-E), l cual s ti cuado α = 1 la fució d valor mdio d la cuació (4.2), s dcir cuado los timpos d ocurrcia d fallas sigu u Procso Poisso No Homogéo co ua fució d valor mdio m*(t) = θf(t), dod F s la fució d distribució acumulada d la distribució Expocial co parámtro β, s dcir: βt m*( t) = θ (1 ) t [0, T ], β > 0, θ > 0 (4.15) 0 Co fució d itsidad: ( t ) λe = θβ βt ; θ > 0, β > 0 (4.16) Tato l PPNH-W y l PPNH-E so modlos qu ha sido muy utilizados prubas d softwar para modlar timpos d fallas sistmas Kou y Yag (1996). Ariza H. F. J. 30

38 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Ahora, ua vz qu s cooc qu los timpos d ocurrcia d falla sigu u PPNH-W, s mustra itrsat y dsabl vrificar si éstos timpos d falla pud prtcr a u modlo mas rstrigido como u PPNH-E. El icovit st problma, s qu mdiat la Pruba dl Coficit d Corrlació o podmos sabr co crtza si los timpos d falla sigu u PPNH-E o bi u PPNH-W, ya qu s vidt qu l modlo PPNH-E s u submodlo dl PPNH-W; s dcir s ti cuado α = 1 l PPNH-W. Por tato, s plata l dsarrollo d la Pruba d Razó d Vrosimilituds Gralizada, la cual cotrastamos qu los timpos d falla prstados la Tabla 3 t so u PPNH co fució d itsidad λ ( t ) ; E = θβ β β > 0, θ > 0, cotra qu so u 1 t PPNH co fució d itsidad ( t ) t α β λ α ; W = θβα β > 0, θ > 0, α > 0. Ariza H. F. J. 31

39 PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA. Capítulo V 5. PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA PARA UN PPNH La pruba qu s propo a cotiuació ti la fialidad d vrificar si los timpos d ocurrcia d vtos t 1, t 2,..., t, obsrvados u priodo d timpo [0,T 0 ] d u procso d poisso o homogéo obdc a u PPNH-E o bi a u PPNH-W. E otras palabras, probar qu los timpos d vtos t 1, t 2,..., t, so u PPNH co fució d itsidad dada (4.16) o bi rchazar a favor d qu s u PPNH co fució d itsidad dada (4.4). El método d razó d vrosimilituds gralizada stá rlacioado co la stimació d parámtros por máxima vrosimilitud, los cuals so utilizados la fució d vrosimilitud dfiida (3.16). Aquí, la pruba s dsarrolla codicioado N(t) =, y los timpos los cuals los vtos ocurr; s dcir, 0 < t 1 < t 2 <... < t ( T 0 ) so distribuidos como las stadísticas d ord qu corrspod a ua mustra alatoria d obsrvacios d la dsidad dada (3.6). Por lo tato, la fució d distribució cojuta d 0 < t 1 < t 2 <... < t To codicioado N =, sta dada por: f ( t ) = T! λ( t ) r= 1 T0 ( λ( s) ds 0 ) r (5.1) Ariza H. F. J. 32

40 PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA. 5.1 Implmtació d la pruba La pruba cosist obtr l stimador λ* qu s l cocit d la vrosimilitud máxima bajo l spacio d parámtros d la hipótsis ula, H 0 y la vrosimilitud máxima bajo todo l spacio paramétrico. Para ustro caso, la fució d vrosimilitud s obti sustituydo la fució d itsidad (4.16) la cuació (5.1) bajo la hipótsis ula, y la fució d itsidad (4.4) (5.1) bajo la hipótsis altrativa. Ahora focádoos a ustro problma d studiar a u PPNH u priodo d timpo [0,To], co timpos d ocurrcia d vtos t 1, t 2,, t, co fució d itsidad λ(t), y codicioado N =, s ti itrés cotrastar la siguit hipótsis: α βt α 1 βt 0 : λ( ) θβ 1 : λ( ) θβα H t = vs H t = t (5.2) Aquí podmos otar qu (5.2) s quivalt a probar: H : α = 1, α > 0 vs H : α 1, α > 0 (5.3) 0 1 α 1 β cuado s ti u PPNH co fució d itsidad λ( t) = θβαt t. Por lo tato, os focarmos la cotrastació d hipótsis d (5.3). α Ariza H. F. J. 33

41 PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA. Etocs, s ti qu la fució d vrosimilitud, bajo la hipótsis ula s: L E! λ( t ) i i= 1 = To 0 λ( s) ds ˆ ˆ ˆ βti! ( θβ ) i= 1 = ˆ [ ˆ βto θ (1 )] L ˆ β ti! ˆ i= β E = ˆ βto (1 ) (5.4) Ahora la vrosimilitud bajo todo l spacio d parámtros s: L W! λ( t ) i i= 1 = To = 0 λ( s) ds 1 ˆ α ˆ ˆ α βti! ( θβαˆ ti ) r= 1 ˆ α βt0 [ ˆ θ (1 )] L ( 1) log ˆ α α ti β ( ti ) ˆ i= 1 i=! β ˆ α W = ˆ α βt0 (1 ) (5.5) Dod δ ˆ = ( ˆ α, ˆ β, ˆ θ ) s l vctor d stimadors d máxima vrosimilitud, lo cuals s obti mdiat solució umérica co la ayuda d u programa ralizado R (véas programa 3 dl axo B), utilizado como valors iicials los stimadors d míimos cuadrados (véas programa 2 dl axo B). Ariza H. F. J. 34

42 PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA. 5.2 Estadística d pruba Ahora aplicado la cuació (3.17), la razó vrosimilituds para obtr la stadística d pruba s supθ ω L( θ; t ) λ* = sup L( θ; t ) = = θ Ω! ˆ β - ˆ β ti i= - ˆ βt0 ( 1- ) 1 ˆ ˆ α ( ˆ α - ) log ti - β ( t i ) ˆ i= 1 i=! β ˆ α ˆ ˆ α -βt0 ( 1- ) ˆ β ti ˆ α ˆ i= ˆT β 0! β ( 1 ) 1 ˆ ˆ α ( α ) log t i β ( t i ) ˆ i= 1 i= βto! ˆ β ˆ α ( 1 ) = ˆ β ti ˆ α i= ˆT β 0 ( 1 ) 1 ˆ ˆ α ( α ) log t i β ( t i ) ˆ i= 1 i= βto ˆ α ( 1 ) (5.6) Ua vz qu s obti la stadística d pruba λ*, s rquir cotrar su distribució d probabilidad, co la fialidad d obtr los valors críticos para la pruba co l tamaño spcificado. E ustro caso, la distribució probabilística d la stadística λ* o ti ua forma crrada, por lo qu rqurimos aplicar l torma 1, dfiido la scció 3.4.2, l cual stablc qu bajo cirtas codicios d rgularidad, la distribució asitótica d -2 log λ* cuado l tamaño d mustra tid a ifiito s distribuy como ua ji-cuadrada co u grado d librtad, χ 2 1. La stadística -2 log λ* pud sr rprstada ua forma más simpl d majar, s dcir: 2log λ* = 2 l ˆ ˆ E( 0; ) l W( ; ) δ t δ t (5.7) Ariza H. F. J. 35

43 PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA. dod l ˆ E( δ 0;t ) y l ˆ W( δ;t ) so las fucios log-vrosimilitud d las cuacios (5.4) y (5.5) rspctivamt, las cuals stá dadas por: l ( δˆ ; t ) = l ( ˆ θ, ˆ β, α = 1;t ) = log L E 0 E W i= 1 i ˆ βt0 ( ) = log!+ log ˆ β ˆ β t log 1 l ( δ;t ˆ ) = l ( ˆ θ, ˆ β, ˆ α;t ) = log L W i= 1 ˆ α i E ˆ ˆ α β T0 ( ) ( ) = log!+ log ˆ β + log ˆ α+ α 1 log t W ˆ β t log 1 i= 1 i (5.8) (5.9) Sustituydo (5.8) y (5.9) (5.7) obtmos ahora la stadística: λ ** = 2log λ* = 2 l ˆ ˆ E( 0 ) l W( ) δ ;t δ;t i= 1 i ˆ β T0 ( ) = 2[ log!+ log ˆ β ˆ β t log 1 log! log ˆ β ˆ ˆ α T0 ( ) ˆ ˆ α β i β i ( ) log ˆ α α 1 log t + t + log 1 ] i= 1 i= 1 ˆ α i i log ( ) log i i= 1 i= 1 i= 1 = 2 [ ˆ β t + ˆ β t ˆ α α 1 t ˆ T ˆ ˆ α β 0 β T0 ( ) log( ) log ] (5.10) Etocs por l torma 1, la distribució asitótica d λ** bajo la hipótsis ula H 0, stá dada por: 2 λ ** χ 1 (5.11) El pricipio d la pruba d razó d vrosimilituds dic qu H 0 s rchazada para valors pquños d λ*, pro como -2 log λ* crc cuado λ* dcrc, tocs ua pruba Ariza H. F. J. 36

44 PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA. qu s quivalt a la pruba d razó d vrosimilituds s rchazar H 0 para valors grads d λ ** = 2log λ *., s dcir: Rchazar H 0 si y solo si λ ** = 2log λ * > χ( 1), α* (5.12) dod χ (1),α* s l valor crítico d la pruba, l cual lo calculamos mdiat l siguit procdimito: para u α* dada, tocs: α* = P[rchazar H 0 H 0 s vrdadra] = Pr[λ** > χ (1),α* ] =1- Pr[λ** < χ (1),α* ] = 1-F(χ (1),α* ) 1-α* = F(χ (1),α* ) χ (1),α* = F -1 (1-α*) y F s la fució d distribució d λ**, qu corrspod a u ivl d sigificacia 1-α* la Tabla d la ji-cuadrada co u grado d 2 librtad, χ1 α (1). Si H 0 s rchazada, tocs s ti vidcia a favor d la altrativa H 1 ; s dcir, d qu los timpos d ocurrcia d vtos t 1,, t sa u PPNH-W; si por l cotrario, Ho o s rchazada, tocs o s ti vidcia para gar d qu los timpos d ocurrcia sa ua PPNH-E. 5.3 Cotiuació dl Ejmplo d Aplicació Como s ha mcioado l capítulo atrior, l problma qu s ti co la Pruba dl Coficit d Corrlació (PCC) s qu o podmos discrir si los timpos d ocurrcia d las fallas sigu u PPNH-E o bi u PPNH-W; por lo qu las sccios atriors s ha dsarrollado la Pruba d Razó d Vrosimilituds Gralizada (PRVG), para dar solució a st problma. Ariza H. F. J. 37

45 PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA. A cotiuació s dsarrolla l procdimito para vrificar si los timpos d falla, prstados la Tabla 2 so u PPNH-E o bi so u PPNH-W i. S plata l siguit cotrast d hipótsis: α βt α 1 βt 0 : λ( ) θβ = 1 : λ( ) = θβα H t vs H t t Aquí s pud vr, qu la hipótsis atrior s quivalt a cotrastar: H : α = 1, α > 0 vs H : α 1, α > α 1 β cuado s ti u PPNH co fució d itsidad λ( t) = θβαt t. α ii. S obti los stimadors d máxima vrosimilitud d los parámtros, co la ayuda dl programa 3 dl axo B, utilizado como smillas los stimadors d míimos cuadrados (véas programa 2 dl axo B) iii. S calcula l valor d la stadística d pruba, mdiat la cuació (5.10) (véas axo B), s dcir: ˆ α i i log ( ) log i i= 1 i= 1 i= 1 λ ** = 2[ ˆ β t + ˆ β t ˆ α α 1 t ˆ T ˆ ˆ α β 0 β T0 ( ) log( ) log ] Obtido l valor d λ** = iv. Aplicado la rgla d dcisió s dcid si apoyamos o o la hipótsis d qu los datos d la Tabla 2 so u PPNH-E, para sto supogamos qu qurmos u tamaño d pruba α = 0.05; tocs s obti l valor crítico para sta pruba, l cual s χ (1),0.05 = F -1 (1-0.05) y F s la fució d distribució d λ**, qu corrspod a u ivl d sigificacia 1-α* la Tabla d la ji-cuadrada co u grado d librtad, 2 χ1 α (1). Obtiédos l valor d La rgla d dcisió s Rchazar Ho si y solo si λ ** > χ(1), α*. Etocs ustro caso λ** = > , por lo qu s dcid rchazar Ho a favor d H 1, Ariza H. F. J. 38

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