La Elipse. Distancia Focal : F 1 F 2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F 1 y F 2 Eje menor : CD = 2 b. Además se cumple que a
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- Catalina Vera Flores
- hace 5 años
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1 L Elipse L elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos es constnte. Estos dos puntos fijos se llmn focos de l elipse. Elementos de l Elipse Vértices : A, B, C, D Distnci Focl : F 1 F = c Eje myor o focl : AB = Focos : F 1 y F Eje menor : CD = b Centro : C Además se cumple que b c Dependiendo si l elipse se encuentr centrd o y trsld, su ecución principl se puede escribir de l siguiente form: Elipse centrd en el origen (0,0) Elipse trsld con centro en (h,k) x b y 1 ( x h) ( y k) b 1
2 Al visulizr l gráfic, podemos determinr fácilmente l ecución de l elipse de l siguiente form: Cso 1. Elipse centrd en el origen (0,0) cuyo eje myor se encuentr sobre el eje x. L ecución de est elipse es simplemente x y 1 3 o escrit de otr form x y Debemos fijrnos simplemente en el l longitud de l elipse en los ejes x e y, pr sí determinr su ecución. En este cso el eje myor de l elipse se encuentr sobre el eje x y tiene un longitud de 6 uniddes, entonces tenemos que 6, luego 3. Asimismo el eje menor se encuentr sobre el eje y teniendo un longitud de 4 uniddes, luego tenemos que b 4, entonces b. Si queremos encontrr los focos de est elipse podemos ocupr l relción b c. Cso. Elipse centrd en el origen (0,0) cuyo eje myor se encuentr sobre el eje y. L ecución de est elipse es simplemente x y 1 3 o escrit de otr form x y Debemos fijrnos simplemente en el l longitud de l elipse en los ejes x e y, pr sí determinr su ecución. En este cso el eje myor de l elipse se encuentr sobre el eje y y tiene un longitud de 6 uniddes, entonces tenemos que 6, luego 3. Asimismo el eje menor se encuentr sobre el eje x teniendo un longitud de 4 uniddes, luego tenemos que b 4, entonces b. Si queremos encontrr los focos de est elipse podemos ocupr l relción b c. Nótese que los vlores que ocupmos siempre son con respecto l eje myor (de longitud ) pudiendo ir este en el eje x o eje y
3 Cso 3. Elipse trsldd, centrd en (h,k) cuyo eje myor se encuentr sobre el eje x. Como l elipse se trsld según ls coordends de su centro, en este cso el punto (,1). ( x ) ( y 1) Su ecución qued determind por 1 3 ( x ) ( y 1) Al igul que en los csos nteriores, debemos fijrnos en l longitud los ejes de l elipse, pr sí determinr su ecución. En este cso el eje myor de l elipse se encuentr sobre el eje x y tiene un longitud de 6 uniddes (se encuentr desde 1 5), entonces tenemos que 6, luego 3. Asimismo el eje menor se encuentr sobre el eje y teniendo un longitud de 4 uniddes (se encuentr desde 1 3), luego tenemos que b 4, entonces b. Si queremos encontrr los focos de est elipse podemos ocupr l relción nteriores. b o escrit de otr form c, l igul que en los csos Cso 4. Elipse trsldd, centrd en (h,k) cuyo eje myor se encuentr sobre el eje y. Como l elipse se trsld según ls coordends de su centro, en este cso el punto (-1,). ( x 1) ( y ) Su ecución qued determind por 1 3 ( x 1) ( y ) Al igul que en los csos nteriores, debemos fijrnos en l longitud los ejes de l elipse, pr sí determinr su ecución. En este cso el eje myor de l elipse se encuentr sobre el eje y teniendo un longitud de 6 uniddes (se encuentr desde 1 5), entonces tenemos que 6, luego 3. Asimismo el eje menor se encuentr sobre el eje x teniendo un longitud de 4 uniddes (se encuentr desde 3 1), luego tenemos que b 4, entonces b. Si queremos encontrr los focos de est elipse podemos ocupr l relción b c, l igul que en los csos nteriores. o escrit de otr form
4 Excentricidd de un elipse L excentricidd determin l form de l elipse, entre más cerc del vlor uno se encuentre, l form de l elipse será lrgd, y si, por el contrrio más cerc del vlor cero, su form es más redond (será un circunferenci) L excentricidd de un elipse es el cociente de l distnci entre los focos l distnci entre los vértices; L excentricidd tom vlores que se encuentrn entre cero y uno. Ddo que 0 c entonces 0 e 1 1. Si el vlor de c es muy próximo l vlor de, entonces el vlor de e es muy próximo l vlor 1; en cuyo cso l elipse se lrg.. Si el vlor de e es muy próximo l vlor 0, entonces el vlor de c es muy próximo l vlor 0 se l elipse se proxim un circunferenci cundo e se proxim 0. L excentricidd, se determin por l fórmul e c b Longitud del ldo recto de un elipse Cd cuerd PQ perpendiculr l eje focl, trzd desde los focos de un elipse, se denomin ldo recto de l elipse o tmbién ltus rectum. Como los puntos P y Q son simétricos respecto l eje focl, entonces l longitud del ldo recto es: b Su longitud del ldo recto es
5 Ejemplo1 Encuentr l ecución principl y generl de l elipse, si los focos son, F 4, 6 el semieje myor es 3 uniddes. Solución F y 1 4 3, el vlor de c. El centro de l elipse es C ( 4,4) c b 4 b 9 b 5 L ecución de l elipse serí según l informción x 4 y 4 1 ecución principl de l elipse x 4 5 y x 8x 16 5 y 8y x 7x 144 5y 40y ecución generl de l elipse Los vértices de l elipse son los puntos A B 1 1 4, 1 y A 4, 7 4 5, 4 y B 4 5, 4
6 Ejemplo : Dd l elipse de ecución 4x 9y 3x 18y 37 0 Determin l ecución de l elipse en su form principl, sus focos y sus vértices. 4x 9y 3x 18y 37 0 Ecución generl de l elipse 4x 3x 9y 18y 37 Agrupmos términos x e y 4( x 8x) 9( y x) 37 Fctorizmos 8x y y x Completmos cudrdos de binomio 4 9 y 1 36 x x Escribimos como cudrdo perfecto 9 y 1 Dividimos por 36 4 x y 4 1 Ecución de l elipse en su form principl Su centro se encuentr en el punto (4,1) Su eje myor se encuentr sobre el eje x, por ende, el eje myor sobre el eje y Entonces tenemos que el vlor de 3 y b, con estos dtos podemos clcul c c b c c 5 Teniendo el vlor de c, podemos clculr los focos y los vértices de l elipse F 1 ( 4 5, 1) F (4 5,1) A 7, 1); (1,1) y 4,3 B 1 ( A B 4,-1 1
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