UNIDAD 12: Distribuciones bidimensionales. Correlación y regresión

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1 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales UNIDAD 1: Dstrbucones bdmensonales. Correlacón regresón ACTIVIDADES-PÁG La meda la desvacón típca son: 1,866 0,065. Los jugadores que se encuentran por encma de 1,95) del ntervalo [1,95;,00); en total 7. = 1, ,065 = 1,931 son 5 del ntervalo [1,90;. La meda la desvacón típca son 105 3, 95. El ntervalo buscado es:, (105 3,95; 105 3,95) (81,05; 18,95 ). En el ntervalo anteror se encuentran = 54 valores del total, que representan el ,5% del total La nube de puntos parece en el gráfco. La recta ajustada a ojo puede ser al bsectrz del prmer cuadrante, =. La correlacón será postva fuerte, próma a 1. S calculamos el coefcente de correlacón lneal obtenemos r = 0,97. 18

2 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales ACTIVIDADES-PÁG Veamos los dos casos límte: 1º: S r = 0, entonces, V = π h R, que concde con el volumen del clndro. º: S r = R, entonces, V = π h (R + R ) = π R h, pero s r = R el volumen es cero. Luego la fórmula es falsa.. Los números felces de una cfra son 1 7. Los números felces de dos cfras son: 10, 13, 19, 3, 8, 31, 3, 44, 49, 68, 70, 79, 8, 86, 91, Los prmeros números felces de tres cfras son: 100, 103, 109, 19, 130, 133, 139, Después de varos ntentos vemos que la stuacón fnal, para lograr el objetvo buscado, que debe quedar en la vía muerta superor es: W 1 W L. Llamamos A al lugar en que ncalmente está el vagón W 1 B al lugar donde está ncuamente el vagón W. Los pasos a segur son: 1º L coge W 1 lo lleva a la vía muerta de abajo. º L da la vuelta al crcuto pasando por el túnel empuja a W hasta el punto A. 3º L coge W 1 lo lleva junto a W. 4º L da la vuelta al crcuto empuja a ambos vagones a la vía muerta de arrba, quedando la stuacón que buscábamos, W 1 W L. 5º L remolca a W hasta el punto A. 6º L da la vuelta al crcuto engancha a W 1 llevándolo a la poscón B. 7º L vuelve a la vía muerta de arrba los vagones han cambado de poscón. 4. Este problema es una doble smetría. Construmos P, smétrco de P respecto a la banda (1), Q smétrco de Q respecto a la banda (). Unmos P Q llamamos A B a los puntos en que la recta P Q corta a las bandas. La traectora pedda es PABQ. 183

3 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales ACTIVIDADES-PÁG a) Utlzando la tecla procedendo como se eplca en el teto, obtenemos los sguentes parámetros: Var Stat = = = S = 5.01 σ = 4.69 n = 8.00 Var Stat = = = S = 4.57 σ = 4.7 = Var Stat σ = 4.7 = mínx = máx = míny = máy = Para calcular el coefcente de correlacón de Pearson covaranza: fj j ,50 17,15 N 8 17,15 Con este valor obtenemos: r 0, 86 4,69 4,7 r, calculamos prevamente la b) La recta de regresón del peso (Y) sobre la estatura (X) es: 17,15 ( ) 78,50 ( 181) 4,69 0,78 6,39 La recta de regresón de la estatura (X) sobre el peso (Y) es: 17,15 ( ) 181 ( 78,50) 4,7 0,94 107,34 Con la calculadora se determnan así: Para la recta de regresón del peso (Y) sobre la estatura (X), en el menú de tecla STAT, elegmos CALC segudo de la opcón 4:LnReg(a+b), tecleando posterormente L1, L (teclas nd 1; tecla, teclas nd ) obtenemos, como vemos en la magen, la recta de ecuacón = 0,78 6,39 LnReg = a + b a =.78 b =

4 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales Para la recta de regresón de la estatura (X) sobre el peso (Y), en el menú de tecla STAT, elegmos CALC segudo de la opcón 4:LnReg(a+b), tecleando posterormente L, L1 (teclas nd ; tecla, teclas nd 1) obtenemos, como vemos en la magen, la recta de ecuacón = 0, ,34 LnReg = a + b a =.94 b = a) Utlzando la tecla procedendo como se eplca en el teto, obtenemos los sguentes parámetros para los datos de la tabla del enuncado: Var Stat = 1.5 = = S = 6.94 σ = 6.50 n = 8.00 Var Stat = = = S = σ = = Var Stat σ = = mínx = máx = 3.00 míny = máy = Para calcular el coefcente de correlacón de Pearson r, calculamos prevamente la covaranza: fj j ,5 337,50 653,15 N ,15 Con este valor obtenemos: r 0, 996 6,50 100,84 La recta de regresón del número de conejos (Y) sobre el número de zorros (X) es: 635,15 ( ) 337,50 ( 1, 5) 15,48 8,5 6,50 La recta de regresón del número de zorros (X) sobre el número de conejos (Y) es: 635,15 ( ) 1,5 ( 337,50) 0,06 0,43 100,84 185

5 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales Con la calculadora se determnan así: Para la recta de regresón del número de conejos (Y) sobre el número de zorros (X), en el menú de tecla STAT, elegmos CALC segudo de la opcón 4:LnReg(a+b), tecleando posterormente L1, L (teclas nd 1; tecla, teclas nd ) obtenemos, como vemos en la magen, la recta de ecuacón = 15,48 + 8,5 LnReg = a + b a = b = 8.5 Para la recta de regresón del número de zorros (X) sobre el número de conejos (Y), en el menú de tecla STAT, elegmos CALC segudo de la opcón 4:LnReg(a+b), tecleando posterormente L, L1 (teclas nd ; tecla, teclas nd 1) obtenemos, como vemos en la magen, la recta de ecuacón = 0,06 0,43 LnReg = a + b a =.06 b = -.43 b) Estmamos la cantdad de conejos que habría s hubera 10 zorros, calculando en la recta de regresón de Y sobre X, de ecuacón = 15,48 + 8,5, el valor que se obtene al hacer = 10. Operando, obtenemos: S = 10 = 15, ,5 = 163,3. Por tanto, s hubera 10 zorros, la cantdad de conejos estmada sería 163. c) Estmamos la cantdad de zorros que habría s hubéramos contado 350 conejos, calculando en la recta de regresón de X sobre Y, de ecuacón = 0,06 0,43, el valor que se obtene al hacer = 350. Operando, obtenemos: S = 350 = 0, ,43 = 0,57. Por tanto, s hubera 350 conejos, la cantdad de zorros estmada sería 1. ACTIVIDADES-PÁG Las solucones son: La meda: 17, 5. La desvacón típca: 1, 91 El número de países en:, (159,59;185,41 es 161. ) 186

6 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales, (146,68; 198,3) 3, 3 (133,77; 11,3) es 00. es 00.. Los valores peddos son: Las medas artmétcas son: A 6, 7 B 8, Las desvacones típcas son: 743 (6,7) 3, A 809 (8,5), B Será aconsejable optar por la marca B, a que tene maor meda, a su vez, menos desvacón típca. 3. En cada caso queda: a) No este correlacón. b) Este correlacón negatva fuerte. c) Este correlacón postva fuerte. d) No este correlacón. 4. a) La tabla de doble entrada es: Y X Vajes / Vajes TOTALES hjos padres TOTALES b) El dagrama de dspersón es: 187

7 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales Se observa una correlacón negatva fuerte (puede calcularse el coefcente de correlacón r = - 0,944). ACTIVIDADES-PÁG a) La tabla bdmensonal de doble entrada es: X Totales Y Totales b) La tabla bdmensonal smple es: f c) Las tablas de las dstrbucones margnales son: Total f Total f d) La dstrbucón correspondente a la varable X condconada a que Y tome el valor 5 es: Total / Y 5 f e) La dstrbucón correspondente a la varable Y condconada a que X tome el valor 5 es: Total / X 5 f a) La tabla bdmensonal smple es:

8 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales f b) Los parámetros buscados son: f f f Sumas ,3 (5,3) 1, f f f Sumas ,63 (3,63) 0, c) La meda artmétca la desvacón típca de la dstrbucón de la varable X condconada a que Y valga 4 es: 189 / 4 f / 4 f f / Sumas / Y 4 5,607 / 4 (5,607) 0, d) Calcula los parámetros anterores para la dstrbucón de la varable Y condconada a que X valga 5. / 54 f / 5 f f /

9 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales Sumas / 5 3,55 / 5 (3,55) 0,50 7. Las respuestas a los apartados son: a) X Y 1 3 Total Total f f b) 3,01 0, 98 1,54 0,71 X Y 8. Las solucones son: a) b) Para amabas varables queda: 390 7,8 horas dormdas X 50 0,89 141,8 horas televsón Y 50 0,55 190

10 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales c) El porcentaje de ndvduos por encma de al meda es 0, 6, es decr, el 6%. 50 d) Para el cálculo de r 1078 XY, calculamos la covaranza: XY 7,8,8 0,436. X Y 50 0,436 El coefcente de correlacón es: r 0, 89. 0,89 0,55 La correlacón es mu fuerte negatva. ACTIVIDADES-PÁG La covaranza es 11,5 14,3,55. AB,55 3,67,7 El coefcente de correlacón es: r 0, 55. La correlacón es negatva débl. 10. La correspondenca de cada gráfco con su coefcente de correlacón es: a) r = 0,05 b) r = 0,71 c) r = - 0,98 d) r = 0,93 e) r = - 0,6 11. Los parámetros estadístcos son:,68; 15,4; 1,8; 7,97; 8,47 X 8,47 a) El coefcente de correlacón es: r 0, 58. 1,8 7,96 8,47 b) La recta de regresón es: 15,4 (,68), es decr, =,56 + 8,54. 3,31 1. a) El dagrama de dspersón puede verse en el dbujo. Y XY 191

11 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales Los parámetros que se obtenen en el cálculo del coefcente de correlacón lneal son: 0,8 6, , X Y XY El valor del coefcente es: r 564 6,03 94,55 0,989 Observamos que el valor obtendo nos permte afrmar que este un ecelente grado de dependenca postva, es decr, que a maor número de conejos, este maor número de rapaces. b) Las rectas de regresón son: De Y sobre X es: De X sobre Y: ( 0,8) 15,51 7,39 6, ,8 ( 330) 0, ,55 Sus gráfcas pueden verse en el dbujo. c) Estmamos la cantdad de conejos que habría s hubera 10 rapaces: En la recta de regresón de Y sobre X: s = 10, entonces = 15, ,39 = 16,49 16 conejos. En la recta de regresón de X sobre Y: s = 10, entonces 10 = 0, = 150 conejos. 19

12 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales d) Estmamos la cantdad de rapaces que habría s hubera 350 conejos: En la recta de regresón de Y sobre X: s = 350, entonces 350 = 15,51 + 7,39,09 rapaces. En la recta de regresón de X sobre Y: s = 350, entonces = = rapaces. Es más fable la segunda estmacón, a que el valor ncal de la prmera se aleja bastante de la meda de rapaces. 13. Al ser el coefcente de correlacón r = 0,7; obtenemos: XY XY r 0,7 5 7,5 X Y XY 6,5. La recta de regresón de Y (estatura de los hjos) sobre X (estatura de los padres) es: 6,5 170 ( 168) 1,05 6,4 5 S un padre mde 180 cm, se estma que su hjo tendrá = 1, ,4 = 18, 6 cm. Nota: Todos los datos se han convertdo en centímetros. ACTIVIDADES-PÁG Calculamos prevamente los parámetros correspondentes a las dstrbucones margnales la covaranza, obtenendo: , ,40,5 9, (9,38), , ,38 0,93 a) El coefcente de correlacón lneal vale: r 0,93 7,75,83 La recta de regresón del peso (Y) en funcón de la edad (X) es: 0,96 0 3,50 0 1,5 0,00 3 6,5 9 39,06 18,75 6 8, ,00 48,00 9 9, ,64 8, , ,04 1, , ,00 165, , ,56 08,80 1 1, ,0 53,05 4 1, ,76 30, , ,5 101,0 0,93 9,38 ( 1) 0,35 5,19 7,75 En el dbujo puede verse la nube de puntos la gráfca de la recta de regresón. 193

13 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales b) Los valores de la varanza resdual el coefcente de determnacón son: La varanza resdual vale: e 6,30 9 0,70 El coefcente de determnacón es: 0,70 R 1 0,91 8,00 c) El ncremento del peso esperado en un mes, podemos calcularlo como la dferenca de los pesos esperados para dos meses consecutvos, por ejemplo para = 1 = : S = 1, entonces ˆ (1) 0,35 1 5,19 5,54 kg. S =, entonces ˆ () 0,35 5,19 5,89 kg. La dferenca es ˆ () ˆ (1) 5,89 5,54 0,35 kg. ˆ 0,35 5, 19 Puede observarse que el peso esperado en un mes concde con el coefcente de regresón m 0,93 0,35 7,75. d) El peso esperado para un nño de 14 meses es: ˆ (14) 0, ,19 10,08 kg. El peso esperado para un nño de dos años medo (30 meses) es: ˆ (30) 0, ,19 15,66 kg. e ˆ e 0 3,50 5,19-1,69,86 3 6,5 6,4 0,01 0,00 6 8,00 7,9 0,71 0,50 9 9,0 8,34 0,86 0, ,0 9,39 0,81 0, ,00 10,44 0,56 0, ,60 11,49 0,11 0,01 1 1,05 1,54-0,49 0,4 4 1,60 13,59-0,99 0,98 6,30 194

14 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales 15. a) El dagrama de dspersón puede verse en el dbujo. b) Los parámetros que se obtenen en el cálculo del coefcente de correlacón lneal son: 45,91 3,75,68 59,41 X Y XY El valor del coefcente es: r 59,41,91,68 0,968 Observamos que el valor obtendo nos permte afrmar que este un ecelente grado de dependenca negatva, es decr, que a maor profunddad, este menos oígeno en el agua del embalse. c) La recta de regresón de Y sobre X es: 59,41 3,75 ( 45),91 0,11 8,85 Su gráfca puede verse en el dbujo. 195

15 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales d) Calculamos las estmacones de la cantdad de oígeno en el agua a las dstntas profunddades que se pden: Para = 5 m, tenemos que = - 0, ,85 = 6,1 mg/l. Para = 55 m, tenemos que = - 0, ,85 =,8 mg/l. Para = 85 m, tenemos que = - 0, ,85 = - 0,5 mg/l. Puede observarse que los dos prmeros valores son razonables, pero el últmo carece de sentdo. e) Nos audamos de los cálculos que aparecen en la tabla. ˆ 0,11 8, 85 e ˆ e 10 7,50 7,75-0,5 0, ,00 6,65-0,65 0, ,40 5,55-0,15 0, ,80 4,45 1,35 1, ,60 3,35 0,5 0, ,40,5-0,85 0, ,30 1,15-0,85 0, ,0 0,05-0,03 0,0009 3,8384 3,84 La varanza resdual vale: e 0, ,48 El coefcente de determnacón es: R 1 0, 93 7, a) Como la recta de regresón de Y sobre X es 4 3 = 0, su pendente es el coefcente de regresón vale: 4 m 3 La pendente de la recta de regresón de X sobre Y, 3 = 1, es: m 3 La relacón entre el coefcente de correlacón lneal los coefcentes de regresón nos permte calcular: r 4 3 m m 1,41 3 El coefcente de correlacón es mu alto nos permte afrmar que las varables están mu relaconadas. b) Sabemos que las dos rectas de regresón pasan por el punto puntos. 196,, centro de gravedad de la nube de

16 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales Para calcular las medas de las varables, calculamos el punto de corte de las dos rectas. Resolvendo el sstema, obtenemos: La nota meda en teoría es 3 la nota meda en práctca es La representacón gráfca puede verse en el dbujo. El centro de gravedad de la dstrbucón es el punto de corte de las rectas de regresón. Por tanto: 0,91 5,88 0,85 13,4 El centro de gravedad es el punto 36,39; 7,3 G. 36,39 7,3 El cuadrado del coefcente de correlacón lneal es gual al producto de los coefcentes de regresón. Susttuendo, obtenemos: r m m r 0,91 0,85 r 0,7735 0, Observando los gráfcos vemos que el ángulo formado por las rectas es más pequeño en las dstrbucones II) IV). Por tanto, en estos casos es más sgnfcatvo. Analzando las ecuacones de las rectas obtenemos los resultados que sguen. 197

17 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales I) El coefcente de regresón de la recta = + vale m = 1, lo que sgnfca que la covaranza es no nula. Por lo tanto, no puede ser el coefcente de regresón de la otra recta m = 0, como ocurre con la recta = 4. Es decr, esta stuacón carece de sentdo, a que no es posble que haa una dstrbucón con estas dos rectas de regresón. II) En este caso, 4 m, m r 0, III) Para esta dstrbucón m 0, m 0 r = 0. IV) En esta dstrbucón, m 1, 4 4 m r 0, De nueve podemos ver que la correlacón es sgnfcatva en los apartados II) IV). ACTIVIDADES-PÁG El dagrama de dspersón puede verse en el dbujo. Los parámetros que se obtenen en el cálculo del coefcente de correlacón lneal son: 14,4 51,5 333,7 53, ,18 X Y XY 198

18 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales El valor del coefcente es: r 5593,18 51,5 53,61 0,9487 Se trata de una correlacón negatva, en los lugares con más días de lluva ha menos horas de sol recíprocamente. La recta de regresón de Y sobre X es: 5593,18 333,7 ( 14,4) 9, ,1 51,5 S se han regstrado = 100 días de lluva se predcen: = - 9, ,1 568 horas de sol. 0. a) Tomando el año 1978 como año 1, la representacón gráfca puede verse en el dbujo. A la vsta de la nube de puntos parece que tene una tendenca lneal que crece con el tempo. Para poder confrmarlo hallamos el coefcente de correlacón lneal. 199

19 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales , ,5, , (707,6) 7, ,5 707,6 77,8 77,8,87 7,39 El coefcente de correlacón lneal vale r 0, 99. b) La ecuacón de la recta de regresón de la nclnacón (Y) en funcón del tempo (X) es: 77,8 707,6 ( 5,5) 9,44 655,68 8,4 c) Calculamos el coefcente de determnacón. ˆ 9,44 655, 68e ˆ e ,1-1,88 3, ,56 1,56, ,44 -,56 6, ,88 4,88 3, ,3-0,68 0, ,76 4,76, , 6,0 38, ,64 1,36 1, ,08-6,9 47, ,63 163,63 10 La varanza resdual vale: 16, 37 e 16,37 750,1 El coefcente de determnacón es: R 1 0, 98 00

20 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales d) El valor ajustado para 1918 en la recta de regresón es: ˆ ( 59) 9,47 ( 59) 655,68 96,95 El valor obtendo es mu dferente de 71, esto es debdo a que el año 1918 está mu alejado del ntervalo de años que estamos consderando. 1. Calculamos los parámetros de la dstrbucón bdmensonal consderando el número de horas como varable X el número de gérmenes como la varable Y , ,5 1, , (36,67) 11, ,5 36,67 19,67 a) La ecuacón de la recta de regresón del número de gérmenes (Y), por centímetro cúbco, en funcón del tempo (X) es: 19,67 36,67 (,5) 6,73 19,85 1,71 b) Calculamos el coefcente de determnacón. ˆ 6,73 19, 85 ˆ e e ,85 0,15 0, ,58-0,58 0, ,31-0,31 0, ,04 0,96 0, ,77 0,3 0, ,50-0,50 0,500 1,6795 1,6795 La varanza resdual vale: e 0,

21 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales 0,799 El coefcente de determnacón vale R 1 0, ,53 El coefcente de correlacón es r 0,9979 0, c) Estmamos el número de gérmenes a las 6 horas: ˆ (6) 6, ,85 60,6 Al cabo de 6 horas habrá uno 60 mles de gérmenes por centímetro cúbco. Esta estmacón tene una gran probabldad de ser válda a que el coefcente de determnacón es mu alto.. De las rectas de regresón no podemos asegurar cuál es la de regresón de Y sobre X cuál la de X sobre Y. Supongamos que la prmera de ellas es la de regresón de Y sobre X, se tene: = - 1 su coefcente de regresón es m = -. La segunda corresponderá a la de regresón de X sobre Y, se tene: su coefcente de regresón es 3 m. 5 Con los datos anterores se obtene el coefcente de determnacón es: 3 6 R m m 5 5 lo cual carece de sentdo. 1 En consecuenca, es necesaro elegr las rectas de la otra forma posble. La recta de regresón de Y sobre X es = 0, se tene: su coefcente de regresón es 5 m. 3 La recta de regresón de X sobre Y es = 0, se tene: su coefcente de regresón es m. 0

22 Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales El sgo negatvo de m m nos ndca que la dependenca lneal entre las varables es de tpo nverso, el coefcente de determnacón es: R m m ,83 Como el coefcente de correlacón es coefcente vale: r R estamos ante una dependenca de tpo nverso, este r 0,83 0,91. 03