Escuela Politécnica Superior de Málaga. CÁLCULO

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1 Escuela Politécnica Superior de Málaga. CÁLCULO. Cálculo en una variable.. En los números que se describen a continuación, Cuáles son racionales y cuales no? Encontrar la fracción generatriz para aquellos que sean racionales: (a (b 3, (c, (d, 9 (e, (f 9, 9. Representa en la recta los conjuntos que se expresan mediante el valor absoluto: (a A = {x R : x + 5 < } (b B = {x R : x 9 7} (c C = {x R : < x 9 7} (d D = {x R : 4x + 9 > 8} (e E = {x R : 4x 9 8x} 3. Qué valores de x cumplen que x <.? 4. Si x [.9,.], Podemos afirmar que x <.3? 5. Si x [.8,.], Cuál es el menor valor de ɛ que hace cierta la desigualdad x < ɛ? 6. En cada caso, halla las partes reales e imaginarias y el módulo. Exprésalos en forma trigonométrica y polar. (a ( 3i ( +i. (b ( + i 3 (c las raíces sextas de ( i (d ( 3i 7. Halla las soluciones de z = 8. Calcula las partes real e imaginaria de las exponenciales (a e (+3πi (b e +πi 4 9. Halla los valores de z para los que (a e z = (b e z = + 3i

2 . Resuelve la ecuación cos z =. Calcula los logaritmos (a log (b log ( (c log ( ei. Dibuja las gráficas de las funciones: (a f(x = x (b f(x = x(x + 3(x + 4 (c f(x = e 5x (d f(x = sen x (e f(x = ln x 5 (f f(x = x 3. Expresa distintas ecuaciones paramétricas x = x(t, x = y(t de las curvas que vienen definidas implicitamente por: (a 3x 4y = 5 (b x + y = 4 (c x + 9y = 4. Esboza la gráfica de las curvas para los valores de t indicados cuyas ecuaciones parmétricas vienen dadas por: (a x = t, y = t + 3, t 5 (b x = 4t 5, y = t + 3; t (c x = + cos t, y = 3 + sen t, π t π (d x = cos t, y = tan t, [ π 4, π 4 ] (e x = e t, y = e t, t IR 5. Para cada curva parametrizada, encuentra una expresión F (x, y implícita de la trayectoria que describe: (a x = t, y = t + 3, t 5 (b x = 4t 5, y = t + 3, t (c x = + cos t, y = 3 + sen t, π t π (d x = cost, y = sin t, t [, π] 6. Da las ecuaciones paramétricas de la curva Cicloide que es la que describe un punto situado sobre una circunferencia al rodar sobre el eje OX desde el origen. (Utiliza el parámetro t =ángulo que ha girado la circunferencia. Inicialmente t =.

3 7. Expresa en coordenadas polares los puntos que en cartesianas son: (4, 4, (,. 8. Expresa en cartesianas los puntos que en polares son (3, 5π 6, (5, π. 9. Expresa en polares las curvas que en cartesianas vienen dadas como: (a y = 3 (b x = (c y = 6x (d x = 8y (e x y = 6. Haz un esbozo de la curva que tiene la ecuación polar: (a θ = π 4 (b r = 4 sen θ (Circunferencia (c r = + cos θ (Cardiode (d r = cos 3θ (Rosa de tres pétalos (e r = a sen θ (Rosa de cuatro pétalos (f rθ = (Espiral (g 4r = θ (Espiral. Expresa en cartesianas las siguientes curvas expresadas en polares. Dibujarlas. (a r cos θ = 5 (b θ = π 6 (c r cos θ = (d r = + cos θ. Calcula los siguientes límites: a lim x x 3 8 x d lim tg x + x x + x b lim x x x e lim x (x 3 sen g lim x x + x x h lim x + x x + x + 3. Analiza la continuidad de las funciones: (a f(x = x x (b f(x = x 9 x 3 c lim cos x x ( 3 3x 5 + x + 3 f lim x x x + (c Función parte entera denotada por [[x]] que se define como (d f(x = [[sen x]] definida en [, π] i lim x 3x5 + 7x 3 + [[x]] = el mayor número entero n tal que n x

4 (e f(x = (f f(x = x si x > si x x x Encuentra la derivada de las funciones: a y = e 3x b y = 3x+ c y = x e x d y = (4x 3 + 7x e y = sen x cos 3x f y = ln sen 3t t 3 g y = x5 + 3x 4 x 3 h y = (x 3 + x 3 i y = (x 5 x x j y = 3x 4 [ ] 4 k y = l y = 4x (5x + 3 (x 3 x m y = sen x n y = (x + sen 5 x 6 o y = x arccos x p y = 3 x q y = arcsen e x r y = tan (e 3x s y = ln(cos x t y = ln ( + x u y = ln(sec x + tan x 5. Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones: a f(x = { x + 3 x x x x > b g(t = t t 6. Determina los coeficientes a y b para que f(x sea derivable en el punto x =. f(x = { x + x ax + b x < 7. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = x en el punto x =. Comprueba gráficamente el resultado. 8. Determina el punto de la gráfica de f(x = x x en el que la recta tangente sea 3x 9y 4 =. 9. Encuentra los puntos de la gráfica de la función y = x3 3 3x + 8x donde la tangente sea horizontal. En qué punto la tangente es paralela a la recta x+y =5? 3. Halla la derivada tercera de la función f(x = x cos x. 3. Halla una fórmula para la derivada n-ésima de la función f(x = ln x. 3. Halla las derivadas de las funciones que vienen definidas implícitamente por la curva x +y = Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia (x + (y = en los puntos en los que x= Halla las derivadas de las siguientes funciones, utilizando logaritmos: a y = x tg x b y = x 3 sen x (x + (x

5 35. Aproxima linealmente los valores de: arctg(.;.999 y sen Dados 5x 3 + x x +, (x 3 + 7(x + 4 y (x + 3(x 3 + 4, exprésalos como polinomios centrados en x = Para cada una de las funciones siguientes, halla el polinomio n-ésimo de Taylor en x = : a f(x = e x b f(x = 5x 5 4x + x c f(x = (x 3 + (x 4(x + 7 d f(x = sen x e f(x = cos x f f(x = ln( + x g f(x = arctan x h f(x = + x i f(x = + x 38. Utiliza los resultados del ejercicio anterior y aplica convenientemente el principio de sustitución para hallar el polinomio de orden 3 en x = de las siguientes funciones: a f(x = e sen x b f(x = c f(x = ln( + sen x + ln( + x 39. Calcula el polinomio de Taylor centrado en el de orden 4 de las siguientes funciones: a f(x = sen x + cos x b f(x = sen x cos x c f(x = sen x + cos x d f(x = e f(x = cos x ln( + x f f(x = + x e x x De todas estas funciones indica cuáles son infinitésimos en x =. 4. Da un infinitésimo equivalente para las siguientes funciones: a f(x = ln( + sen x en x = b f(x = e x x en x = c f(x = e x x en x = d f(x = + x en x = ( e f(x = tan x π en x = π f f(x = a x+ en x = 4. Utiliza infinitésimos equivalentes para calcular los límites siguientes: a lim ln( + sen x x b lim ln cos ax ln cos bx c lim x (a x d lim ( a x + b x x g lim x x 4 ln( + x x(e x3 ( sen ax e lim x sen bx a b h lim x + (x + (x + 3 x 3(x 4. Calcula los siguientes límites: ( ( /x (x a lim x b lim x 5 3 3( + cos x sen x (x x cos x d lim (cos x /x (ln x g lim x x e lim ln(x + e x x h lim x sen x sen x ( x c lim x ln x ( f lim x i lim x π + cos x e x f lim x 4 i lim x e x e + ln x ( x π x + e x tan x

6 43. Utiliza el polinomio de Taylor de grado para calcular el valor aproximado de e.. Estima el error cometido. 44. Aproxima el valor de 3 e con un error menor que Aproximar con cuatro cifras decimales los valores de: e., ln.8 y cos 36 o. 46. Halla los extremos absolutos de las siguientes funciones en el intervalo indicado: a f(x = x 3 3x x + 5 en [, 3] b f(x = 3 x en [, 4] 47. Un granjero tiene m. de tela metálica que va a utilizar para construir tres lados de un corral rectangular haciendo uso, como cuarto lado del corral, de un muro recto que ya existe. Qué dimensiones maximizarán el área del corral? 48. Una lámina metálica rectangular mide 5 m. de ancho y 8 m. de largo. Se van a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa. Como debe hacerse para obtener una caja del máximo volumen posible? 49. Halla los puntos de la gráfica de y = 4 x que están más próximos y más alejados del punto (,. 5. Calcula las áreas de x, x y x3 como límites de sumas de Riemman. (Observación: n = 6 n(n + (n +, n 3 = ( n(n + 5. Teniendo en cuenta esa definición de integral calcula los límites: (a lim n ( n+ n+ (b lim n ( n n n n+n (c lim n ( n +n +n n +n n (d lim n ( + n + + (n+ (n+ (e lim n ( n + n + + n n n (n+n 5. Sabiendo que f es una función integrable en [, 5] y que f = 6, f = 4 y 5 entonces 5 f. h 53. Para f función integrable en un entorno del, calcula el límite lim f h h 54. Calcula las derivadas de las funciones que se indican. (a F (x = (b g(x = (c t(x = x a x x cos 3 x t dt f(tdt (t ln(t dt f =, halla

7 55. Para la función f definida en [, 3] f(t = si t < t si t < 5t + si t 3 halla, la función F área acumulada en [, 3], F (x = x f y calcula F (3, F (, F ( y F (. 56. Halla el valor del real K que satisface la igualdad 3 f(xdx = K, donde f(t = { si x < si x Pon un ejemplo de una función que admita sólo hasta la segunda derivada en x =. 58. Sabiendo que f( = y que f (x = x 3 +, calcula f(. 59. Calcula: a ke x dx b d g x x + dx e x 3 + x dx h j ax + b dx m p s k 6 cos(3x + dx c x sen xdx dx f e x cos x dx i (ax + b n dx x x 6 x 5x + 7 dx n x(x dx q 9 4x dx t (x 3 + x + dx l cos 3x ( + sen 3x 5 dx x 3 dx 3 9 x ax + b (ax + bx + c dx x x 4 + x dx o + x dx x 3 + x e x sen e x dx r ln(cos x tg x dx x x + 5 dx u 4x x dx 6. Utiliza la regla de Barrow para calcular las siguientes integrales: a x ln 6 3 x dx b e x x + dx c ln x dx 6. Calcula las integrales impropias que se indican, (a (b (c (d x dx (x dx x dx e x dx 6. Calcula las integrales impropias que se indican, (a x dx

8 (b (c (d (x dx x dx e x dx 63. Calcula las áreas que se indican: (a La comprendida entre las gráficas de las funciones x(x (x 3 y x(x (x 4. (b La comprendida entre las gráficas de las curvas y x 4 = y y x = 64. Halla el valor de c tal que la región limitada por y = x, y = y x = 4 esté dividida en dos regiones de áreas iguales por la recta y = c. 65. Sea la región del primer cuadrante acotada por las curvas de ecuación y = x, x = e y =. Halla el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región plana anterior alrededor de: i el eje OX ii el eje OY iii la recta y = 3 iv la recta x = utilizando el método de los discos o el de las capas. 66. Sea un sólido de base plana y altura h. Supóngase que el área de una sección paralela a x unidades de la base es c(h x para x [, h] y alguna constante c independiente de x. Prueba que el volumen del sólido es bh/3 donde b es el área de la base. 67. Se corta una cuña de un tronco (cilíndrico de radio dm dando dos cortes con una sierra mecánica que llegan hasta el centro del tronco. Si uno de los cortes se hace perpendicular y el otro formando un ángulo de 3 con el primero, qué volumen tendrá la cuña? 68. Calcula el volumen de la esfera de radio R mediante el procedimiento de hacer girar una función alrededor del eje OX. 69. Se taladra una esfera de radio R por uno de sus diámetros con una broca de radio r. Halla el columen de la esfera taladrada. 7. Calcula el volumende un toro de radios mayor y menor respectivamente R y r, a Mediante el método de capas b Mediante el método de discos. 7. Calcula el volumen que se genera la región acotada por y = x +, y = x +, x =, x = al hacerla girar sobre (a El eje X (b La recta y = 3 7. Utiliza el cálculo del volumen mediante secciones para determinar, (a El volumen de una esfera de radio a (b El volumen de un elipsoide de semiejes a, a y b. (c El volumen de una pirámide recta de altura h y base cuadrada de lado a (d El volumen de un sólido cuya base es un circulo en el plano XY de radio a, y la sección del sólido al intersecarlo con un plano perpendicular al eje X es un triángulo equilátero.

9 73. Se desea contruir un contenedor de papel en forma de pirámide truncada, con las bases superior e inferior, que son cuadrados de lados 6 y, y co volumen metro cúbico. Cuál será la altura?