ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Transcripción

1 FCULTD DE CIENCIS EXCTS, INGENIERÍ Y GRIMENSUR ESCUEL DE FORMCIÓN BÁSIC DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC LGEBR Y GEOMETRÍ NLÍTIC Secciones Cónics Ptrici Có -18-

2 grdezco los Profesores Mriel Ugrte y Rúl Ktz por l revisión del presente mteril, l Srt. Mrí Virgini Frontini y l Sr. Sntigo Brun por su colorción en l elorción de ls respuests de los ejercicios propuestos. nte l detección de culquier tipo de error u omisión, tnto en el desrrollo de l propuest como en ls respuests de los ejercicios, grdeceré comunicrl l dirección: co@fcei.unr.edu.r. Mg. Ptrici Có 1

3 Secciones Cónics En est unidd trjremos con curvs que fueron descuierts por geómetrs de l ntigu Greci, denominds secciones cónics o cónics. Ls primers definiciones de secciones cónics fueron trtds por el filósofo griego Menecmo, proximdmente en el ño 35. c. l estudir uno de los tres prolems clásicos griegos: duplicr el cuo 1 (los otros dos se refieren l cudrtur de un círculo y l trisección de un ángulo). Este prolem consiste en construir (utilizndo sólo regl y compás) un cuo de dole volumen que otro ddo, lo que unos ños más trde se comproó que er imposile. En l úsqued de l solución l prolem, Menecmo plnteó l necesidd de encontrr l intersección de dos curvs (ctulmente llmds práol e hipérol), que refieren ls secciones que se otienen l cortr un cono con un plno. Tod sección cónic propimente dich puede descriirse como intersección de un cono circulr recto de dole hoj con un plno que no pse por el vértice del cono. Dependiendo el nomre de l curv intersección: circunferenci, elipse, práol o hipérol, del ángulo que forme dicho plno con l rect que contiene l eje del cono (Figur 1). L myor prte de su trjo sore ls secciones cónics se h perdido, unque por los frgmentos que se tienen se puede deducir que investigó sus propieddes con stnte detlle, sin emrgo no se conoce cómo trz ests figurs plns. polonio de Perg resumió el conocimiento nterior él y lo mplió en un fmoso trtdo de ocho volúmenes (6-19. de C). Huo que esperr unos 19 ños, en los inicios del siglo XVII, pr que ls importntes plicciones de ls cónics quedrn puests de mnifiesto y ésts jugrn, de hecho, un ppel prepondernte en el cálculo, como por ejemplo, cundo Kepler demostró que ls órits de los plnets son elíptics. Puede resultrte muy enriquecedor mirr el video que es un relizción visul pulicd por el Dpto. de Mtemátic Eductiv del CINVESTV, México. Figur 1 ctividd 1 1. Investig cuál es l posición reltiv del plno respecto del cono pr otener un punto, un rect o dos rects. Reliz un gráfic de cd situción.. Indg revemente l iliogrfí de Menecmo, polonio de Pers y Kepler utilizndo los hipervínculos señldos en cd cso. 3. El siguiente video es un prte de l películ gor que refiere históricmente l contenido trtdo. 1 ver l respecto: Los griegos comenzron definiendo ls secciones cónics en términos de intersecciones de plnos con conos, pero tmién pueden definirse teniendo en cuent diversos spectos desde otrs rms de l mtemátic: como l geometrí nlític (que desrrollremos en este curso), l geometrí proyectiv, etc. Mg. Ptrici Có

4 En l geometrí linel del plno y del espcio hemos considerdo con detlle ecuciones lineles en dos vriles de l form x y c y x y cz d, que correspondes rects en R y plnos respectivmente. Nos proponemos hor estudir el conjunto de puntos definidos por ecuciones en ls misms vriles, pero de segundo grdo. Un ecución de ese tipo dee contener l menos uno de los términos de segundo grdo x, x tener (no necesrimente) un término de primer grdo en ls vrilesxey y otro término independiente. Un ecución de segundo grdo en ls vriles x e yes de l form: x Bxy Cy Dx Ey F (1) y o y, puede donde por lo menos uno de los coeficientes, B o Ces distinto de cero. (1) se l llm ecución generl de segundo grdo. L pregunt: Qué representción geométric tiene un ecución de segundo grdo? es l que guirá el desrrollo del presente mteril. Pr relizr ls gráfics de ecuciones recomendmos utilizr lgún softwre, grficdor online o plicción, dependiendo del dispositivo que utilices. Hy un lrg list de opciones que se ctulizn dirio, por lo que sólo nomrmos lguns de ells. Si utilizs un computdor puedes elegir lguno de los siguientes softwre pr Windows (lires y grtuitos que puedes descrgr de l págin indicd): GeoGer ( o Mxim ( o utilizr un grficdor online como Wolfrm lph ( Symol ( Mthwy ( y muchos más. Si prefieres trjr con un dispositivo móvil: tlet o celulr, existen ls versiones pr ndroid de GeoGer o Mxim, o elegir entre un grn cntidd de plicciones disponiles desde Google Ply, como por ejemplo: GeoGer, Clculus Tools, Wolfrm lph, Mthwy, etc. Si no estás fmilirizdo con ninguno recomendmos elegir GeoGer en culquier de sus versiones y que es el se utilizrá en este punte. ctividd Opcionl: Explorndo forms con softwre ) Utiliz lguno de los recursos ntes menciondos pr relizr ls gráfics de ls siguientes ecuciones 1)x 4y 4xy 1 3)9x 16y 4xy 8x6y 5) xyx-y-3 7) x 6x y 5 9) x y 4xy-8x-8y8 11) x 13) x y x 6y 1 -xy 18y x-3y-6 )16y 9x 36x18 4)x 4x 4y 3y 67 6)-x y 3xyx3y 1 8) 9x 1) x 1)4x 16xy 16 14)xy 1 ) grup ls ecuciones que tienen forms precids. 4y 36x 8y 31 9y xy35 c) Investig si es posile estlecer un relción entre ls gráfics pertenecientes un mismo grupo con los coeficientes de sus respectivs ecuciones. Explic revemente el criterio utilizdo. Mg. Ptrici Có 3

5 Circunferenci DEFINICIÓN GEOMÉTRIC DE UN CIRCUNFERENCI Un circunferenci es el lugr geométrico de los puntos P de un plno que equidistn de otro punto fijo C, llmdo centro, en un cntidd constnte r, llmd rdio (r es un número rel positivo ). Si llms Γ l circunferenci de centro C y rdio r, puedes descriirl con notción de conjunto: Γ ( C, r) { P / d( C, P) r} C r P 1. Ecución de l circunferenci l fijr un sistem de referenci de coordends crtesino ortogonl, cd punto del plno tiene socido un pr de coordends crtesins. Supón que el centro C tiene coordends (,) y consider un punto del plno P de coordends (x, y). Se tiene que: P ( x, y) Γ( C, r) d( C, P) r CP r Si reemplzs CP x) ( y) r ( y elevs mos miemros l cudrdo llegs l ecución: ( x ) ( y) r Ecución crtesin de un circunferenci de centro C(,) y rdio r () L siguiente gráfic corresponde un circunferenci de centro en C (,) y rdio r: Figur Si en prticulr, el centro de l circunferenci se encuentr en el origen de coordends, esto es,, l ecución correspondiente es: x y r Ejemplo 1: Encuentr l ecución de l circunferenci de rdio 3, con centro en el punto de coordends (-1, 4) y luego represéntl gráficmente. Sustituyendo en () -1, 4 y r 3, result: ( x 1) ( y4) 3 Mg. Ptrici Có 4

6 o equivlentemente x y x8y 8 L ecución otenid es de tipo (1), donde los coeficientes y C son igules entre sí, e igules 1 y demás el coeficiente B es nulo. ctividd : Represent gráficmente l circunferenci recién otenid utilizndo culquier softwre mtemático. En este punte utilizmos GeoGer. Prolem teórico: Qué condiciones deen cumplir los coeficientes de l ecución generl de segundo grdo (1) x Bxy C y Dx Ey F pr representr lgericmente un circunferenci? Si desrrolls l ecución (), otienes l siguiente expresión: x y xy r (3) que es un ecución del tipo (3), donde: B, D -, E - y F r. L ecución (3), cumple ls siguientes condiciones: es de segundo grdo. los coeficientes de los términos de segundo grdo son igules. no tiene término rectngulr (B ). Ests tres condiciones son necesris pr que un ecución de segundo grdo (3) se un circunferenci. Ejemplo : Dd l ecución x y x 6y9, corresponde l ecución de un circunferenci?, y en ese cso cuál es su centro y rdio? Qué rtificio lgerico puedes usr pr que prezc l sum de dos inomios l cudrdo en el primer miemro? Vmos por psos: grup los términos que contengn l mism vrile, escriiendo l ecución dd en l form: ( x x) ( y 6y) 9 complet cudrdos en l vrile x, sumndo y restndo el número 1 l expresión ( cudrdo de l mitd del coeficiente dex). Procede de l mism form con l expresión ( mitd del coeficiente dey). L ecución originl es equivlente : ( x grupndo términos se lleg l ecución: x 1) 1 ( y x x ), (not que 1 es el y 6y), sumndo y restndo el número 9 (9 es el cudrdo de l 6y 9) 99 ( x 1) ( y 3) 1 que corresponde es un circunferenci de rdio 1 y centro (1, -3). Mg. Ptrici Có 5

7 Mg. Ptrici Có 6 Ejemplo 3: Vemos si l ecución 1 y x y x represent un circunferenci. Pr ello, dividimos mos miemros por y otenemos: 1 y x y x completndo cudrdos como en el ejemplo, otenemos: 1 ) 1 ( ) 1 ( y x que represent un circunferenci de centro 1, 1 y rdio 1. En este cso los coeficientes de los términos cudráticos no vlen l unidd, pero son igules entre sí, podemos decir que: Si l ecución (3) es un circunferenci entonces:, B C (4) hor ien: Es suficiente que un ecución de segundo grdo cumpl l condición (4), pr que se un circunferenci? Pr llegr un respuest reliz l siguiente ctividd: ctividd 3: Complet cudrdos y determin si ls siguientes ecuciones de segundo grdo tienen por gráfic un circunferenci. ) 6 y x y x ) 1 x y x Qué h ocurrido en cd cso con el segundo miemro?, qué representn cd un de ests ecuciones? Pr otener un respuest de crácter generl l pregunt inicilmente plnted, plicmos el mismo método de completr cudrdos l ecución dd en (5): F E D E y D x F E E y D D x F y E x D y x F Ey D x y x Pr que est ecución se un circunferenci de centro E D,, el segundo miemro dee ser el cudrdo del rdio. Pr ello se deerá cumplir que: 4 4 > F E D. Por lo expuesto y pr dr respuest l prolem teórico inicilmente plntedo se dee pedir que: Un ecución de l form F Ey Dx Cy x represent un circunferenci si se cumple que: y 4 - C F E D > En ese cso el centro de l circunferenci se encuentr en el punto de coordends E D, y su rdio está ddo por l expresión 4 4 F E D

8 ctividd 4: 1) Hll l ecución de l circunferenci de rdio y cuyo centro está en (,3). ) Encuentr l ecución de l circunferenci cuyo centro está en (1,6) y que contiene (-.). 3) Hll l ecución de l circunferenci de rdio 4 que ps por los puntos (-3,) y (5,). 4) Determin l ecución de l circunferenci que ps por los puntos (,),(4,) y (,-4). 5) Encuentr l ecución de l circunferenci que ps por los puntos (-1,1) y (,3) y cuyo centro está situdo en l rect x 3 y ) Descrie el conjunto de soluciones de x y x 4y. 7) Descrie el conjunto de soluciones de 3x 3y x 4y 4. 8) Otén l ecución de l circunferenci tngente mos ejes, que conteng l punto (-8,-1). Existe únic solución? 9) Demuestr que pr culquier elección del número, l ecución x y y 1es l ecución de un circunferenci que ps por los puntos (1,) y (-1, ). Dónde está el centro de est circunferenci? ctividdes con Softwre GeoGer: Ingres en cd un de ls págins indicds y reliz l ctividd propuest en cd un de ells. Recomendmos ingresr con Mozill Firefox y tener l versión de Jv ctulizd Rect tngente un circunferenci en uno de sus puntos Qué relción existe entre un rect tngente un circunferenci en uno de sus puntos, llmémoslo Q, con l rect determind por el centro de l circunferenci y este punto Q? Reliz un gráfic que descri l situción plnted. Ejemplo 4: Queremos hllr l ecución de l rect tngente l circunferenci con centro en el punto C (-1,-) y de rdio 5, en el punto Q (,). Otén l representción gráfic de l circunferenci y l rect en un mismo sistem de referenci crtesino ortogonl, utilizndo primero lápiz y ppel y luego un softwre mtemático. Proemos que el punto Q (,) pertenece l circunferenci clculndo l distnci entre ese punto y el centro: d ((,),(-1,-)) ( 1) ( ) 5 5 Como el resultdo coincide con el vlor del rdio, firmmos que el punto Q (,) pertenece l circunferenci. Como el vector CQ(3,4) es norml l rect tngente, un ecución de l mism es: 3 x 4y c Usmos el punto de tngenci pr determinr el vlor del término independiente, oteniendo l ecución: 3 x 4y14 Mg. Ptrici Có 7

9 Vemos cómo resolver el ejemplo nterior con el softwre GeoGer siguiendo ls siguientes instrucciones: * escrie en el cmpo de entrds ls coordends del centro (-1,-) y luego puls Enter. Repite ingresndo ls coordends del punto de tngenci (,). * otiene l grfic l circunferenci que ps por estos dos puntos. Pr ello utiliz el otón de l rr de comndos y elige l opción ingresdos y precerá en l pntll l circunferenci uscd., clique con el mouse sore los dos puntos recién * ingres el vector (3,4) determindo por los dos puntos y luego mntén cciondo el otón desplzándolo de mner que su origen coincid con el centro de l circunferenci. * por último grfic l rect tngente por el punto (,) utilizndo l opción rect perpendiculr, que se encuentr disponile cundo despliegs el curto otón de l rr de comndos. Un vez cciondo este otón seleccion con el mouse el vector y el punto de tngenci, y en l pntll visulizrás l rect tngente uscd. Oserv que en l ventn lgeric, uicd l izquierd de l pntll, prece l ecución de l rect, tl como se ve en l siguiente figur. Figur 3 ctividd 5: Resuelve con lápiz y ppel y luego verific el resultdo utilizndo un softwre mtemático. 1) L ecución de un circunferenci es x y 4x8y 5. Cuál es l ecución de l rect tngente est circunferenci en (1, )? ) Si l rect y x es tngente un circunferenci en (3,3) y l rect y xps por el centro de mism; cuál es l ecución de dich circunferenci? 3) Hll l ecución de l circunferenci cuyo centro es el punto de coordends (-1,-4) y es tngente l rect x 3y Intersección de rect y circunferenci Pr encontrr los puntos de intersección de un rect r y un circunferenci C necesitremos resolver un sistem de ecuciones en dos vriles. Recordemos que un sistem de ecuciones lineles puede un solución, infinits o ningun. Cuáles pueden ser ls posiles soluciones l intersecr un rect y un circunferenci? Mg. Ptrici Có 8

10 ctividd 6: 1) Hll l intersección de l rect 3 y 4x y l circunferenci ( x ) ( y1) 4. Represent gráficmente l rect y l circunferenci. ) Dd l circunferenci de ecución y 5 x, determin los vlores de k pr los cules l rect x y k result secnte, tngente, o exterior l circunferenci. Verific l solución con softwre. 3) Dds l rect y l circunferenci de ecuciones x y5 y ( x ) ( y 1) r Cuánto dee vler el rdio pr que ms figurs sen secntes? 1.5 Ecuciones prmétrics de l circunferenci Hst quí hemos trjdo con l ecución crtesin de l circunferenci. Y utilizmos ecuciones prmétrics, como por ejemplo pr representr rects. hor veremos cómo tmién se puede representr circunferencis utilizndo un prámetro. Si fijmos un sistem de referenci crtesino ortogonl en el plno y considermos el vector posición OP correspondiente un punto P, es posile representrlo medinte sus componentes de l form: ( OPcost OP sent) OP, Figur 4 donde t indic el ángulo medido en rdines determindo por el semieje positivo de ls x, y l semirect OP. Dd un circunferenci de centro C(,) y rdio r, es sencillo ver que todo punto P(x,y) perteneciente l mism, tiene por coordends: x rcost y r sent pr unvlor det [,π) (5) Figur 5 En un circunferenci de centro C(,) y rdio r, todo punto P(x,y) de l mism verific que: OP OC CP ( x, y) (, ) ( rcost, rsent ) de donde: pr lgún t [,π) x rcost y rsent t < π (6) nálogmente, todo punto cuys coordends verifiquen ls ecuciones (6) pertenece un circunferenci de centro C(,) y rdio r. Figur 6 Ls expresiones (5) y (6) recien el nomre de ecuciones prmétrics de un circunferenci, l primer con centro en (,) y rdio r, y l segund con centro (,)y rdio r. Mg. Ptrici Có 9

11 Comprue que todo punto de un circunferenci dd por su ecución crtesin stisfce sus ecuciones prmétrics y vicevers. ctividd 7: 1) Determin ls ecuciones prmétrics de l circunferenci cuy ecución crtesin es x y x 4y 11. ) Encuentr un ecución crtesin y represent gráficmente l circunferenci dd por ls siguientes ecuciones prmétrics: x 4cost x 3 cost ) t < π ) t < π y 4sent y sent 3) Grfic con lápiz y ppel ls curvs dds por ls siguientes ecuciones y verific tu respuest con un softwre: x 1 cost π π x 3 3cost ) t < ) π t< π y sent y 3sent ctividd complementri: 1) Encuentr l ecución de l circunferenci de rdio 4, cuyo centro está en l rect x 3y 6 y es tngente l rect 3 x 4y 1. Pr ver si hy más de un solución te sugerimos que representes gráficmente ls ecuciones implicds en el prolem. ) Dd l circunferenci y 4 x, hll el vlor de de mner que l rect y x 3, resulte ) tngente ) secnte c) no teng puntos de contcto. 3) Hll l ecución de un circunferenci inscript en el triángulo cuyos vértices se encuentrn en (5,4),(-15,-1) y (3/3,-/3). 4) En un plz de form circulr de rdio 5 m se vn poner 7 froles cuys ses son círculos de un 1 m de rdio, el resto de l plz lo vn utilizr pr semrr césped. Clcul el áre de l región cuiert por césped. 5) un hexágono regulr 4 cm de ldo se le inscrie un circunferenci y se le circunscrie otr. Hll el áre de l coron circulr sí formd. 6) En un circunferenci un cuerd de 48 cm dist 7 cm del centro. Clcul el áre del círculo. Mg. Ptrici Có 1

12 Práol El primero en usr el término práol fue polonio de Perge en su trtdo Cónics, considerd or cumre sore el tem. Es polonio quien mencion que un espejo prólico reflej de form prlel los ryos emitidos desde su foco, propiedd usd hoy en dí en ls ntens stelitles. L práol tmién fue estudid por rquímedes, nuevmente en l úsqued de un solución pr un prolem fmoso: l cudrtur del círculo, dndo como resultdo el liro Sore l cudrtur de l práol. Comenzmos presentndo l definición de práol desde un punto de vist geométrico, pr rrir luego l ecución lgeric..1 DEFINICIÓN GEOMÉTRIC DE UN PRÁBOL Un práol es el conjunto de todos los puntos P del plno que equidistn de un rect fij d, llmd directriz, y de un punto fijo F, llmdo foco, que no pertenece d. L gráfic de un práol Ƥ con directriz d y foco F puede descriirse como el siguiente conjunto de puntos: P ( d, F) { P / d( P, d) d( P, F) } Figur 7 Se llm eje de l práol l rect que contiene l foco y es perpendiculr l directriz, y vértice l punto intersección de l práol y el eje. ctividdes con GeoGer: Es posile visulizr l construcción de un práol. Ingres en cd un de ls págins indicds y reliz ls ctividdes propuests. Ecución de l práol con vértice en el origen de coordends y eje horizontl o verticl Fijdo el sistem coordendo crtesino ortogonl usul, el lugr geométrico que estmos considerndo qued crcterizdo por el siguiente conjunto de puntos: P ( F, d) { P ( x, y) / d( P, F) d( P, d) } Comencemos considerndo práols con vértice en el origen de coordends, foco en el punto F(,p), eje verticl y directriz l rect d) y-p. L figur 8 muestr el cso en que p>. Mg. Ptrici Có 11

13 Figur 8 Semos que: L distnci del punto P(x, y) l punto F(,p) es igul PF x ( y p) L distnci del punto P(x, y) l rect d) y-p es igul El punto P(x, y) pertenece l práol si: y p x ( y p) y p elevndo mos miemros l cudrdo, desrrollndo inomios y grupndo términos, llegmos l ecución de l práol: x ( y p) ( y p) x y p y p y p y p x 4 En este cso el eje de l práol es el eje y, que result ser un eje de simetrí de l curv, y que si reemplzmos (x, y) por ( x, y) l ecución no cmi. Podemos resumir que: Práol con vértice en (,) y eje focl verticl Si p, x 4 p y p y (7) es l ecución cnónic o reducid de un práol con ls siguientes propieddes: * foco en el punto F de coordends (, p) * directriz rect d) de ecución y - p * rms hci rri si p> y hci jo si p< x 4 p y (p>) Figur 9 x 4 p y (p<) Hy cutro posiciones posiles pr un práol con vértice en (,) y foco sore uno de los ejes coordendos, de ls cules cmos de descriir dos. Mg. Ptrici Có 1

14 ctividd 8: Práol con vértice en (,) y eje focl horizontl Comprue que l ecución y 4 px (8) p, represent un práol con vértice en el origen de coordends y eje horizontl. Represent gráficmente el conjunto de puntos que verificn dich ecución y compárls con ls siguientes figurs. y 4 p x (p>) y 4 p x (p<) Verific que ests práols tienen ls siguientes propieddes: * foco en el punto F de coordends (p, ) * directriz rect d) de ecución x -p * rms hci l derech si p> e izquierd si p< Figur 1 Ejemplo 5: Encontrr el foco y l directriz de l práol x 4 y. De l ecución deducimos que es un práol con foco sore el eje y, con p 1 y rms hci rri. Por lo tnto el foco se encuentr en el punto (, 1) y l directriz tiene ecución y -1. Ejemplo 6: 1 3 Ddos el foco F (-, ) y l directriz x 3 1, encontrr l ecución de l práol. Reemplzndo p 3 1 en l ecución (8), rápidmente encontrmos que l ecución uscd es: y 4 x 3. Llegremos l mism solución si uscmos todos puntos P(x,y) que definen l práol como lugr geométrico. Pr cd uno de estos puntos se cumple que su distnci l foco es igul su distnci l rect directriz, esto es: elevmos mos miemros l cudrdo x 1 ( x ) y x x y x x simplificmos y otenemos l mism ecución y 4 x 3. Ejemplo 7: Hllr l ecución de l práol con vértice en el origen y foco en (,). El eje de l práol es horizontl, entonces l ecución es de l form: foco es, nos qued que: y 8x. Gráficmente: y 4 px. Como l distnci del vértice l Mg. Ptrici Có 13

15 Figur 11 ctividd 9: Represent gráficmente ls práols de los ejemplos 5 y 6 utilizndo culquier softwre mtemático. ctividd 1: 1) Determin ls coordends del foco y l ecución de l directriz de cd práol. Represent gráficmente cd un. ) x y ) y 4x c) 6x y d) x 4y ) Hll l ecución de l práol con l informción dd en cd cso, teniendo en cuent que el vértice está siempre en el origen de coordends. Represent gráficmente. ) foco en (, ) ) l directriz es l rect x 4 c) l directriz es l rect y 3/ 3) Hll l ecución de l práol cuyo foco es el punto F(, -4/3) y su directriz es l rect y - 4/3. 4) Dd l práol y 4xdetermin los puntos P de l mism, tl que l distnci de P l foco es igul 4. 5) Determin gráfic y nlíticmente los puntos de intersección de l curv de ecución y x ecución y x. 6) Deduce ls ecuciones de ls práols que tienen vértice en el origen, y focos F 1 (, 1/8), F (,1/), F 3 (,1) y F 4 (,4). Trz ls gráfics de ests práols. qué conclusión puedes llegr? y l rect de 7) Determin l ecución de l práols cuyo vértice está en (, ) y contiene l punto (, 4). Puede existir más de un solución?.3 Ecución de l práol con eje de simetrí prlelo uno de los ejes coordendos Queremos encontrr l ecución de un práol con eje de simetrí prlelo uno de los ejes coordendos y vértice en un punto de coordends (h,k)(h y k no nulos l vez). Qué condiciones deen stisfcer ls coordends de un punto P(x, y) pr pertenecer l gráfic de un práol con eje verticl (horizontl) y vértice en (h,k)? y en tl cso, Cuáles son ls coordends del foco y cuál es l ecución de l directriz? El siguiente gráfico nos yudrá encontrr l ecución uscd pr el cso de eje verticl: Figur 1 Mg. Ptrici Có 14

16 Semos que: Distnci de P F ( x p h) ( y ( k )) (distnci de un punto otro) Distnci de P d y ( k p) (distnci de un punto un rect) Igulndo: ( x h) ( y k p) y ( k p) elevndo mos miemros l cudrdo, grupndo y simplificndo, llegmos l ecución ( x h) 4 p( yk) Se puede repetir un procedimiento nálogo pr el cso de eje horizontl. Podemos sintetizr que: Práol con vértice en (h,k) y eje focl verticl. Si p, ( x h) 4p( yk) (9) es l ecución cnónic de un práol con ls siguientes propieddes: * vértice en el punto V de coordends (h,k) * foco en el punto F de coordends (h, kp) * directriz rect d) de ecución y k-p * rms hci rri si p> y hci jo si p< (x-h) 4 p(y-k) p>o (x-h) 4 p( y-k) p< Figur 13 ctividd 11: Práol con vértice en (h,k) y eje focl horizontl Si p, comprue que l ecución: ( y k) 4p( xh) (1), represent un práol con vértice en el punto de coordends (h, k) y eje focl horizontl. Represent gráficmente el conjunto de puntos que verificn dich ecución y compárls con ls siguientes figurs. (y-k) 4 p(x-h) p>o (y-k) 4 p(x-h) p< Verific que ests práols cumplen con ls siguientes propieddes: * vértice en el punto V de coordends (h, k) * foco en el punto F de coordends (hp, k) * directriz rect d) de ecución x h-p * rms hci l derech si p> y hci l izquierd si p< Figur 14 Mg. Ptrici Có 15

17 Ejemplo8: 1 1 Encontrr el foco de l práol dd por l ecución: y x x Si multiplicmos por mos miemros y completmos cudrdos llegmos l ecución: ( x 1) ( y1). 1 Comprándol con l ecución (9), concluimos que: h 1, k 1y p. Como p<, ls rms de l práol se re hci jo, su foco tiene coordends (h, k p ) ( -1, 1 ) y l directriz viene dd por l ecución y3/. Su gráfic tiene el specto que muestr l figur 15. Figur 15 ctividd 1: 1) Hll vértice, foco y directriz de cd un de ls siguientes ecuciones y grfic cd práol. ) y 4y 8x1 1 1 ) - (x ) y c) y 16x9y 4 d) x 4x8y 9 e) x 4x y 5 f) 4y 3x4 8y ) Deduce l ecución de l práol que verific ls condiciones dds en cd ítem y represent gráficmente. ) foco F(,4) y directriz y. ) foco en F(7,) y directriz x-5. c) foco F(4,3) y directriz y 5. d) vértice en (-1,), eje prlelo l eje x, p-1 e) vértice en (,), eje prlelo l eje x, p. f) vértice en (,1), eje prlelo l eje y, p-3/8. 3) Encuentr y represent gráficmente l práol que verific que su eje de simetrí es prlelo l eje x y contiene los puntos (4, -),(,) y (3, -3). Volvemos pensr el prolem teórico plntedo pr circunferenci: Qué condiciones deen cumplir los coeficientes de l ecución generl de segundo grdo (1) x Bxy C y Dx E y F pr representr lgericmente un práol con eje prlelo uno de los ejes coordendos? Vemos qué similitudes encontrmos en los desrrollos de cd un de ls ecuciones: ( x h) 4 p( yk) (1) y ( y k) 4 p( xh) (11) desrrollndo (1) y (11): x -xhh 4 p y-4pk x -hx-4p y(h 4pk) y -k y k 4 px-4ph y 4px-k y (k 4ph) En mos csos oservmos que: tienen un solo término de segundo grdo. En l primer C y en l segund. no tiene término rectngulr (B ). Mg. Ptrici Có 16

18 Podemos decir que: Pr que l ecución (1) represente un práol con eje prlelo lguno de los ejes coordendos, es necesrio que: (1) y B o C y B hor ien: Es suficiente que un ecución de segundo grdo cumpl l condición (1), pr que se un práol? Pr llegr un respuest reliz l siguiente ctividd: ctividd 13: 1) Investig cuáles de ls siguientes ecuciones tienen por gráfic un práol. ) x x -15 ) y - 4 y 4 c) x 1 d) 5 y y 3 x ) Verific que un ecución de tipo (3) con BC, esto es: x D x Ey F represent un práol con vértice en el punto de coordends D -, D 4F 4E y tiene como eje de simetrí l rect de ecución: D x lguns propieddes y plicciones de ls práols Un de ls propieddes más utilizds de l práol es l de reflexión. En Físic, un superficie se dice reflector si en culquier punto los ángulos que formn un ryo incidente y uno reflejdo con l norml son igules. Es decir si el ángulo de incidenci es igul l de reflexión. Si pensmos en un práol como l sección trnsversl de un espejo prólico, un ryo de luz que proced del foco de l práol se reflej siguiendo un líne prlel l eje. sí, un reflector prólico reflej l luz en form de hz de ryos prlelos. Recíprocmente, l luz que lleg l reflector prólico en form prlel l eje de simetrí, se concentr ene le foco. En el sitio puedes cceder en form dinámic e interctiv lo recién descripto. Ests propieddes son l se pr l construcción de los fros de utomóviles, telescopios reflectores y espejos prólicos en los telescopios. L tryectori de un proyectil tmién descrie un práol. Puedes visulizrlo en Un plicción más de ls práols, unque secundri, se encuentr en ls órits de los comets. ciert distnci del Sol, existe un velocidd umrl llmd velocidd de escpe. Cundo un comet tiene es velocidd o un myor, escp del sistem solr; si su velocidd es menor, permnece dentro del cmpo grvitcionl del Sol. El tryecto del comet es prólico si su velocidd es igul l velocidd de escpe. En éste cso el comet se cerc l Sol un sol vez y se retir hci el espcio pr nunc volver. Tmién se formn práols en cierts plicciones técnics. Cundo se cuelg un puente de un cle, es preferile distriuir de mner uniforme el peso del puente y en ese cso el cle tom l form de un práol. Los rcos Mg. Ptrici Có 17

19 prólicos tienen myor resistenci que otrs forms; rzón por l cul los puentes de rco de concreto se construyen muchs veces en form de práol. Otro ejemplo que nos será de much utilidd más delnte, es l superficie engendrd l girr un práol en torno su eje. Te imgins l form de est superficie? Qué nomre te prece que puede tener? Tienes presente lgun construcción edilici con est form? Si no reconoces ningun consult el tem en internet. Puede resultr interesnte ver distintos ejemplos de práols presentes en l nturlez y en l vid diri en: ctividd complementri 1) Un fro de utomóvil tiene un reflector prólico de cm de diámetro y 1 cm de profundidd. qué distnci del vértice dee colocrse el foco luminoso? ) Un fro (o liz) emple un reflector prólico de 1 m de diámetro. Qué profundidd dee tener pr que l fuente luminos se coloque medi distnci entre el vértice y el plno de l orill l orde? 3) Un comet procedente del espcio profundo se cerc l Sol siguiendo un órit prólic (el sol se encuentr en el foco de l práol). Cundo está 1 millones de mills del Sol (más o menos l distnci de l Tierr l Sol), l líne que une l Sol y l comet, formn un ángulo de 6º con el eje de l práol. Cuál será l distnci mínim entre el Sol y el comet? (Sugerenci: el punto de un práol más cercno l foco es el vértice. Us l definición de un práol y no un ecución de l form estándr) 4) Se h decidido diseñr un puente colgnte como se ve en l figur: Si semos que el cle superior tiene form prólic, conocemos l ltur de ls dos torres y de uno de los tirntes, y semos que l distnci de torre torre es de 1 m, con distncis entre tirntes igules, cuál serí l ltur pr cd uno de los tirntes que se encuentrn entre ls dos torres? 5) Ls torres de un puente colgnte están 5 pies de distnci y slen 1 pies sore l superficie de l crreter. Los cles principles, o portntes entre ls torres (llmds pilones u horcs) llegn 1 pies de ltur de l crreter, en el centro del puente, y hy cles verticles de suspensión, que se llmn péndols, cd 1 pies. Clcul ls longitudes de ls péndols intervlos de 5 pies. 6) Verific que ls ecuciones prmétrics de un práol con vértice en el punto (h,k) y eje focl horizontl, de 1 ecución (x-h) 4 p (y - k), están dds por el sistem x t 4p y k t eje focl es verticl? t R. Cuáles son ls ecuciones prmétrics si el 7) Determin ls ecuciones prmétrics del rco de l práol de ecución y 4xcomprendido entre los puntos (,) y (-9,6). 8) Busc prolems o plicciones relciondos con el tem y compártelos con tus compñeros Mg. Ptrici Có 18

20 Elipse 3 Según el modelo ristotélico, durnte dos mil ños se creyó que los plnets se movín en órits circulres lrededor de l Tierr, fue en el siglo XVII que Kepler demostró que ls órits son elíptics y que el Sol está en uno de los focos. Comenzmos presentndo l definición de elipse desde un punto de vist geométrico, pr rrir luego l ecución lgeric. 3.1 DEFINICIÓN GEOMÉTRIC DE UN ELIPSE Un elipse es el conjunto de todos los puntos P del plno tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos F 1 y F es constnte. Esos dos puntos se llmn focos de l elipse y l distnci entre ellos se llm distnci focl. L gráfic de un elipse E con focos F 1 y F puede descriirse como el siguiente conjunto de puntos (por comodidd llmmos l sum de ls distncis del punto los focos): { P/ d( P, F) d( P, ) } E ( F, F) 1 F 1 Figur 16 Un elipse puede construirse por vrios métodos. Uno muy sencillo (llmdo método del jrdinero ) consiste en tomr un cuerd de longitud y fijr con estcs sus extremos en dos puntos del terreno (F 1 y F ), y con un movimiento continuo extender l cuerd mnteniéndol tens hst dr un giro completo. ctividd 14: 1) Trz un elipse, tn exctmente como pueds, en el pizrrón de clse. Cómo te yudrís con un sog y dos compñeros pr logrrlo? ) Repite el proceso en un hoj de ppel. Qué ocurre cundo l distnci entre los focos es muy grnde? y Cuándo es muy pequeñ? 3) Visuliz un nimción de est construcción ingresndo : 3. Ecución de l elipse con centro en el origen de coordends y eje focl horizontl o verticl Fijdo el sistem coordendo crtesino usul, el lugr geométrico que estmos considerndo qued crcterizdo por el siguiente conjunto de puntos: E ( F, ) { P x, y) / d( P, F) d( P, F ) } 1 F ( 1 Queremos representr un elipse como el conjunto de soluciones de un ecución, tl como lo hicimos con circunferenci y práol. Pr otener un ecución más sencill, colocmos los focos sore el eje x en F 1 (-c,) y F (c,), de mner que el origen de coordends esté uicdo l mism distnci entre ellos. En este cso F 1 F c L distnci del punto P(x,y) l focof 1 (c,) es igul Figur 17 ( x c) y Mg. Ptrici Có 19

21 L distnci del punto P(x, y) l foco F (-c,) es igul ( x c) y Si P(x,y) es un punto de l elipse, dee cumplir que: d P, F) d( P, F ) ( 1 O se: ( x c) y ( x c) y trjndo lgericmente llegmos : ( c ) x y ( c ) Oservemos el triángulo determindo por los punto F 1 (-c,), F (c,) y P(x,y) de l figur 17. L distnci entre los focos escy l sum de ls longitudes de los otros dos ldos es. Como l longitud de un ldo de un triángulos es menor que l sum de los otros dos, tenemos que: c <, o c <, entonces c >, lo que nos permite reemplzr c por un número positivo, por ejemplo:, es decir c, llegndo l ecución Si dividimos mos miemros por x y otenemos l ecución de l elipse 1 x y (13) Es inmedito ver que si el punto P(x, y) pertenece l elipse (verific su ecución), los puntos P 1 (-x, y), P (-x,- y) y P 3 (x,- y) tmién pertenecen l curv. Esto permite firmr que los ejes coordendos son ejes de simetrí de l curv, y el origen de coordends es centro de simetrí. En prticulr l eje que contiene los focos se lo llm eje focl. Verr Pr representr gráficmente l curv conviene conocer ls intersecciones con los ejes coordendos. l hcer y otenemos x 1, de donde x o x ±. Esto dice que l gráfic cruz l eje x en los puntos de coordends (-,) y (,). estos puntos se los llmn vértices y l segmento que los une, cuy longitud es, eje myor. De l mism form, si hcemos x, otenemos y ±, de donde sle que l curv cruz l eje y en los puntos de coordends (,-) y (,). El segmento que los une se llm eje menor y mide. Como >, el eje myor es más lrgo que el eje menor. Podemos resumir que: Elipse con centro en (,) y eje focl horizontl x y Con c ( < ), 1(13), es l ecución cnónic o reducid de un elipse que cumplen con ls siguientes propieddes: * centro en el punto C de coordends (,) * focos en los punto F 1 y F de coordends(-c, ) y(c,), - c * vértices en (-,) y (,) * eje myor horizontl de longitud * eje menor verticl de longitud Figur 18 Mg. Ptrici Có

22 El softwre GeoGer rind de form sencill l posiilidd de grficr elipses. Pr ello deemos desplegr el otón, uicdo en l rr de herrmients, y elegir l opción elipse, pr luego mrcr con el mouse tres puntos sore l pntll, los dos primeros representn los focos y el tercero un punto culquier d l elise. En l siguiente figur se muestr que l sum de ls distncis de culquier punto de l elipse los focos es simepre l mism, en este cso 7.. GeoGer rind l posiilidd de recrer construcciones de elipses siguiendo diferentes métodos. Los siguientes link nos muestrn lguns de ells: envolvente) hipotrocoide) compás de rquímedes) ctividd 15: Elipse con centro en (,) y eje focl verticl 1) Con x y c, comprue que 1 (14) es l ecución cnónic o reducid de un elipse con centro en (,) y focos sore el eje y. Represent gráficmente el conjunto de puntos que verificn dich ecución y compárl con l siguiente figur. Verific que l elipse tiene ls siguientes propieddes: *focos en los puntosf 1 y F de coordends (, -c) y (, c) * vértices en los puntos de coordends (, -) y (, ) * eje myor verticl de longitud * eje menor horizontl de longitud ) Justific que l gráfic es simétric con respecto los ejes coordendos y l origen de coordends Figur 19 Mg. Ptrici Có 1

23 Ejemplo 9: Hllr los focos y los vértice de l elipse de ecución 4x 9y 36. Otener su representción gráfic. Dividimos mos miemros de l ecución por 36, llegndo : x y 1. Podemos firmr que se trt de un elipse 3 c ; de donde con focos sore el eje x, vértices en ( ± 3,).Pr determinr los focos utilizmos que c 94 5 Por lo tnto los focos se encuentrn sore el eje x y tienen coordends( ± 5,) Figur Ejemplo 1: Encontrr l ecución de l elipse con focos en los puntos (-1,) y (1,) y semieje myor igul 3. Vemos dos forms posiles de resolución: Por los dtos semos que 3 y c 1, por lo que el semieje menor es c L ecución uscd es x y Otr mner de encontrr l solución es utilizndo definición de elipse culquier punto P(x,y) dee verificr que l sum de ls distncis de P los focos es igul ", esto es: ( x -1) y ( x 1) y 6 Elevndo l cudrdo mos términos: ( x -1) y ( x 1) y ( x-1) y ( x 1) y 36 ( x -1) y ( x 1) y 17-x -y Elevndo otr vez l cudrdo y simplificndo otenemos un ecución equivlente: 8x 9y 7. ctividd 16: Represent gráficmente ls elipses de los ejemplos 9 y 1 utilizndo culquier softwre mtemático. 3.3 DEFINICIÓN DE EXCENTRICIDD El número c e recie el nomre de excentricidd, siendoc. Se puede demostrr que l form de un elipse depende del cociente c. ctividd 17: x y 1) Comprue que todo punto P(x,y) perteneciente un elipse verific ls desigulddes: 1 y 1, de lo que result: x, y, esto dice que l gráfic de l elipse se encuentr completmente dentro del rectángulo determindo por ls rects ) Verific que < e < 1. x ± y y ±. 3) Qué form tom un elipse si c es csi igul?, y si c es cercn? Podemos decir que l excentricidd es un medid del estirmiento de l elipse? 4) Propón lgunos ejemplos que muestren ls distints forms que tomn ls gráfics de elipses según los vlores de c. Ejemplo 11: Deducir l ecución de un elipse con focos en (,-8) y (,8) y excentricidd e4/5. De los dtos semos que c8 y e4/5. Entonces: Mg. Ptrici Có

24 pr clculr utilizmos que: c c, reemplzndo llegmos que 6, por lo que l ecución de l elipse es: x y Clculmos ls intersecciones con mos ejes coordendos, oteniendo los puntos ( ± 6,) y (, ± 1) y su gráfic tendrá el siguiente specto: Figur 1 ctividd 18: 1) Pr cd un de ls siguientes elipses determin ls medids del eje myor y l del semieje menor, ls coordends de los vértices, focos y l excentricidd. Reliz ls gráfics. ) x y 1 ) 16x y 64 c) x y ) Encuentr l ecución de l elipse según ls condiciones que se dn en cd cso. Reliz l gráfic de cd un y verific ls misms con un softwre mtemático. ) ps por el punto 7 P (,3), eje myor está sore eje x y su longitud es el dole de l de su eje menor. ) Vértices (, ±8), excentricidd 3/5. c) Centro en el origen de coordends, ejes en los ejes coordendos y ps por los puntos (-1, 4) y ( 3,). d) Longitud del eje myor 4, longitud del eje menor, focos en el eje y. e) Extremos del eje menor en (-1,) y (1,), distnci entre focos 6. f) Excentricidd 1/9, focos en (,-) y (,). g) Excentricidd 3, focos en el eje y, y longitud del eje myor 4. h) Focos en (± 5,), longitud del eje myor 1. 3) En cd uno de los siguientes ítems determin ls coordends de los puntos de intersección de ls curvs dds por sus ecuciones. Utiliz un softwre pr visulizr ls gráfics y verificr los resultdos hlldos: ) x y 3 y 5x y 9 ) x y x y 5 y 1 c) x y x y 1 y Ecución de l elipse con ejes de simetrís prlelos los ejes coordendos Queremos encontrr l ecución de un elipse con ejes de simetrís prlelos los ejes coordendos y centro en un punto de coordends (h, k) (h y k no nulos l vez). Qué condiciones deen stisfcer ls coordends de un punto P(x,y) pr pertenecer gráfic de un elipse con eje focl horizontl (verticl) y vértice en el punto (h,k)? y en tl cso, Cuáles son ls coordends de los focos y de los vértices? Mg. Ptrici Có 3

25 ctividd 19: Elipse con ejes de simetrí prlelos los ejes coordendos y centro en (h,k) Con c, comprue que cd un de ls siguientes ecuciones represent un elipse con centro en el punto de coordends (h,k) y eje focl horizontl o verticl respectivmente. ( x h) ( yk) ( xh) ( yk) 1 (16) 1 (17) Represent gráficmente el conjunto de puntos que verificn dichs ecuciones y compárls con ls siguientes figurs: ( x h) ( yk) ( x h) ( yk) 1 Verific que se cumplen ls siguientes propieddes: eje focl horizontl 1 eje focl verticl * focos en F 1 y F de coordends (h-c, k) y (hc, k) *focos en F 1 y F de coordends (h, k-c) y (h, kc) * vértices en (h-, k) y (h, k) * vértices en (h, k-) y (h, k) * eje myor horizontl de longitud *eje myor verticl de longitud * eje menor verticl de longitud * eje menor horizontl de longitud ctividd : c *excentricidde Figur 1) Encuentr el centro, los focos y los vértices de cd elipse, y determin l longitud de los ejes myor y menor. Trz ls gráfic de cd un. x ) ( ) ( y 3) x 3 1 c) ( ) ( 1 ) x y 1 ) ( ) 4y 4 16 ) En cd cso determin l ecución de l elipse que verifique ls condiciones dds y represent gráficmente: ) centrd en el origen de coordends, un vértice en (1, ) y un foco en (-6, ). ) centro en el punto (1,-), l distnci entre los vértices es 8 uniddes, eje focl horizontl y excentricidd es ½. c) el punto (1,1) es uno de los extremos de su eje menor, tiene un vértice en el punto (3,5) y su eje myor es verticl. d) comprte un vértice y un foco con el vértice y foco de l práol x 4y 4, y que tiene su otro foco en el origen de coordends. 3) Determin l ecución de un elipse cuyos ejes de simetrí son prlelos los ejes coordendos, siendo l elipse tngente los mismos en los puntos (4,) y B(,-3). Represent gráficmente l elipse. Plntemos hor l mism pregunt que en los csos de circunferenci y práol: Qué condiciones deen cumplir los coeficientes de l ecución generl de segundo grdo (1) 9 4 x Bxy Cy Dx Ey F pr representr lgericmente un elipse con ejes prlelos los ejes coordendos? Mg. Ptrici Có 4

26 Relizndo un nálisis similr los relizdos nteriormente, podemos llegr l siguiente conclusión: Pr que l ecución (3) represente un elipses necesrio que: C > y B (17) hor ien: Es suficiente que un ecución de segundo grdo cumpl l condición (17), pr que se un elipse? Pr llegr un respuest reliz l siguiente ctividd: ctividd 1: 1) Cuáles de ls siguientes ecuciones tienen por gráfic un elipse, un punto o el conjunto vcío ) x y 4x 4y 6 ) x y 4x4y 1 c) x y 6x y4 d) x y y 1 e) x y 4y 4 f) x y x1 ) Determin cuál dee ser el vlor de F pr que l gráfic de l ecución 4x y 4( xy) F represente: ) un elipse ) un punto c) el conjunto vcío. lguns propieddes y plicciones de ls elipses: Ls elipses tienen dos plicciones comunes con ls demás secciones cónics, y lguns plicciones únics. Durnte dos mil ños se creyó que los plnets se movín en órits circulres lrededor de l Tierr, según el llmdo modelo ristotélico. En el siglo XVII, Kepler demostró que ls órits son elíptics y que el Sol está en uno de los focos, por est rzón se ndonó el modelo ristotélico del sistem solr. No ostnte es posile que hy órits circulres, y lguns (entre ells l Tierr) son csi circulres. De hecho, si redujérmos l órit de l Tierr de tl modo que el eje myor tuvier 8 pulgds de longitud, el eje menor tendrí 7.8 pulgds. Con es diferenci tn pequeñ es difícil reconocer que l órit se un elipse o un círculo. L otr propiedd que tienen en común ls elipses con ls otrs secciones cónics es l propiedd reflector de los espejos elípticos. Un fuente luminos en un foco de un elipse se reflej hci el otro foco. L plicción principl de esto se d en ls llmds óveds de los murmullos, que son unos recintos con óved elíptic (en relidd, un elipsoide, que es un elipse tridimensionl) en donde un person ocup l posición de uno de los focos y puede murmurr lguien que esté en el otro sin que lo oign los demás. Otr plicción es el empleo de reflectores elípticos de ultrsonido pr disgregr los cálculos renles: se coloc el reflector de tl modo que el cálculo esté en uno de los focos y l fuente sonor en el otro, ls onds se concentrn en l piedr hciéndol virr y desintegrándol. Todos estos conceptos tmién se plicn en l erodinámic e hidrodinámic: un l, quill o timón elípticos producen menos resistenci por fricción que otrs forms. Uno de los ejemplos más conocido es el del l elíptic desrrolld en el vión de cz ritánico Spitfire, de l Segund Guerr Mundil. ctividd complementri 1) Un crpintero construirá l cuiert de un mes elíptic prtir de un hoj de mder contrchpd, de 1, por 3,5. Trzrá l elipse con el método del jrdinero. Qué longitud de cordón usrá, y qué distnci clvrá ls tchuels si l elipse dee tener el tmño máximo que dmite l hoj de mder? ) L Tierr se mueve en órit elíptic lrededor del Sol, y éste está en uno de los focos de l elipse. Ls distncis mínim y máxim de l Tierr l Sol son km y 15.18km, respectivmente. Cuál es l excentricidd de l elipse? Qué longitudes tiene el eje myor y el eje menor? 3) L distnci (centro centro) de l Lun l Tierr vrí desde un mínimo de km hst un máximo de 46.7 km. Clcul l excentricidd de l órit lunr y ls longitudes de los ejes myor y menor. Mg. Ptrici Có 5

27 4) Un puente está formdo por pilstrs verticles con semielipses entre ells. Cd semielipse slv un clro de 5 pies, tiene 1 pies de lto en ls pilstrs y pies de lto en el centro del clro. Deduce un ecución de l semielipse, si el eje x está en el piso y el origen l mitd del clro. 5) Pr un ojeto en órit elíptic en torno l Lun, los puntos de l órit que están más cerc y más lejos del centro de l Lun se llmn perilunio y polunio, respectivmente. Son los vértices de l órit. El centro de l Lun está en uno de los focos de l órit. L nve espcil pollo II se puso en órit lunr cuyo perilunio est km (68 mills) y el polunio km (195 mills) de l superficie del stélite. Suponiendo que l Lun es un esfer de 173 km de rdio, deduce un ecución de l órit de l pollo II. (Coloc los ejes de coordends de tl modo que el origen quede en el centro de l órit, y los focos estén en el eje x). 6) Verific que ls ecuciones prmétrics de un elipse de ecución x y 1, están dds por el sistem x cost t [, π). y cost 7) Determin los focos de ls siguientes elipses ) t [, π) x cost 3 ) x 3cost t [,π). y sent y sent 8) Busc prolems o plicciones relciondos con el tem y compártelos con tus compñeros. Mg. Ptrici Có 6

28 Hipérol 4 Como mencionmos en l introducción ls secciones cónics fueron descuierts por Menecmo, en su estudio del prolem de l duplicción del cuo. En él se demuestr l existenci de un solución medinte el corte de un práol con un hipérol, lo cul es confirmdo posteriormente por Proclo y Ertóstenes. Sin emrgo, el primero en usr el término hipérol fue polonio de Perge en su trtdo Cónics. Nuevmente comenzremos presentndo l definición de hipérol desde un punto de vist geométrico, pr rrir luego su ecución lgeric. 4.1 DEFINICIÓN GEOMÉTRIC DE UN HIPÉRBOL Un hipérol es el conjunto de todos los puntos P del plno tl que el vlor soluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos F 1 y F es constnte. Esos dos puntos se llmn focos de l hipérol y l distnci entre ellos se llm distnci focl. L gráfic de un hipérol H con focos F 1 y F puede descriirse como el siguiente conjunto de puntos (por comodidd llmmos l constnte): { P/ d( P, F) d( P, ) } H( F, F) 1 F 1 Figur 3 Un hipérol puede construirse por vrios métodos que no son tn sencillos como en el cso de l elipse. ctividd : Visuliz l trz que descrien los puntos de un hipérol cundo se dn como dtos los dos focos, ingresndo 4. Ecución de l Hipérol con centro en el origen de coordends Fijdo el sistem de coordends crtesino usul, el lugr geométrico que estmos considerndo qued crcterizdo por el siguiente conjunto de puntos: H ( F, ) { P x, y) / d( P, F) d( P, F) } 1 F ( 1 Desemos representr un hipérol como el conjunto de soluciones de un ecución, tl como lo hicimos con ls cónics trtds nteriormente. Pr otener un ecución más sencill, colocmos los focos sore el eje x en F 1 (-c, ) y F (c, ), de mner que el origen de coordends esté uicdo l mism distnci entre ellos. En este cso F 1F c. Mg. Ptrici Có 7

29 Figur 4 Si P(x, y) es un punto culquier de l hipérol dee cumplir que: d P, F) d( P, F) ( 1 o se: ( x c) y ( xc) y Trjndo lgericmente llegmos l ecución: ( c ) x y ( c ) (18) Si oservmos l figur 3, vemos que en el triángulo PF 1 F es d P, F) d( P, F) c. En consecuenci, < c ( 1 < o se, < c, de donde < c por lo que existe un único número positivo tl que c. Reemplzndo en (18): x y o su equivlente: x y 1 Es inmedito ver que si el punto P(x, y) pertenece l hipérol (verific su ecución), los puntos P 1 (-x, y), P (-x,- y) y P 3 (x,- y) tmién pertenecen l curv. Esto permite firmr que los ejes coordendos son ejes de simetrí de l curv, y el origen de coordends es centro de simetrí. L rect que contiene los focos recie el nomre de eje focl o eje trnsversl, l distnci entre los focos es igul c y se llm distnci focl. L meditriz del segmento que une los focos, que tmién es un eje de simetrí de l curv pero no l intercept, se llm eje imginrio de l hipérol. L gráfic intersec l eje x en los puntos de coordends (-, ) y (, ) que se denominn vértices de l hipérol. No hy intersección con el eje y, porque l hcer x, se otiene y. x y Todo punto de l hipérol verific l desiguldd 1 1, entonces x, y por lo tnto x> o x<. Esto nos indic que l hipérol está formd por dos prtes llmds rms. En el cso de l hipérol tmién se llm excentricidd l número uno. c e, y se puede compror que es myor que El conjunto de puntos del plno que verificn ls dos inecuciones x e y determin un rectángulo. Ls rects que contienen sus digonles, dds por ls ecuciones y ± x, se llmn síntots de l hipérol. L gráfics de l hipérol y ls de sus síntots se cercn ritrrimente cundo los vlores de x e y se hcen suficientemente grndes. Pr que el diujo de un hipérol resulte más sencillo y preciso, es conveniente grficr el rectángulo con vértices en los puntos (-,), (,-), (,) y (,). Trzr ls rects síntots, que son ls que contienen los vértices simétricos con respecto l origen de coordends, y loclizr los vértices. Comenzr grficr cd rm prtiendo del vértice, de mner que se vy cercndo l síntot medid que se lej del centro. Mg. Ptrici Có 8

30 Si colocmos los focos sore el eje y en F 1 (,-c) y F (, c), l ecución de l hipérol es similr l nterior, intercmindo x por y. En este cso otenemos un hipérol con eje trnsversl verticl y ls síntots tienen ecuciones ctividd 3: y ± x. El procedimiento pr grficrls es el mismo. 1) Deduce que ls ecuciones de ls síntots de ls hipérols x y 1 y y x 1 son respectivmente, ls rects de ecuciones y ± x e y ± x. Podemos resumir que: Hipérol con centro en (,), eje focl horizontl u verticl Si x c, 1 y y x (18) y 1 (19) son ls ecuciones cnónics o reducids de hipérols con eje focles horizontl o verticl respectivmente que cumplen con ls siguientes propieddes: * focos en los puntos F 1 y F de coordends (-c, ) y (c,) *F 1 (,-c) y F (, c) * vértices en los puntos de coordends (-,) y (,) * (, -) y (, ) * eje focl horizontl de longitud * eje focl verticl de longitud * síntots y ± x * síntots y ± x c excentricidd e x y 1 y x 1 Figur 5 Ejemplo1: Determinr los vértices, focos, síntots y gráfic de l hipérol de ecución 4x 9y 36. Pr llevrl l form cnónic o reducid dividimos cd miemro de l ecución por 36, de donde: x y Como el término que contiene x es positivo, l hipérol tiene eje focl horizontl. Sus vértices están en (-3,) y (3,). Como c, 9 y 4, result que c, por lo que los focos se encuentrn en ( 13,) ±. Siendo que 3 y, ls ecuciones de ls síntots son y ± x. Después de trzr el rectángulo y ls síntots, 3 completmos el trzo de l hipérol, como se ve en l siguiente figur. Mg. Ptrici Có 9

31 Figur 6 Ejemplo13: Determinr los vértices, focos, síntots y gráfic de l hipérol cuy ecución es x 9y 9. Pr llegr l ecución reducid de l hipérol dividimos por (-9) llegndo l ecución y x 1. Como el 9 término y es positivo, l hipérol tiene eje focl verticl: sus focos y vértices están en el eje y. Siendo que 1 y 9, otenemos que c 1 1. Por lo que los focos están en (, ± 1) y ls síntots tienen ecuciones y ± x. Como 3 en el ejemplo nterior, trzmos el rectángulo, ls síntots y luego l trz de l hipérol, como se ve en l figur 6. Figur 7 Ejemplo14: Siendo que el centro de un hipérol es el origen de coordends, uno de los focos está en (-4,) y l distnci entre los vértices es 6, determinr su ecución. Grficr l curv y sus síntots. Como los focos están sore el eje x, l hipérol tiene eje focl horizontl, c 4 y 3. Como c, result que Por lo tnto l ecución de l hipérol es x y y ls síntots son ls rects de ecuciones 7 y ± 3 x, y su gráfic se ve de l siguiente form: Figur 8 Ejemplo15: Encontrr l ecución de un hipérol siendo que sus vértices se encuentrn en lo puntos (,-) y (,) y cuys síntots tienen ecuciones y ± x. Trzr l gráfic de l curv y sus síntots. Mg. Ptrici Có 3

32 L hipérol tiene eje focl verticl y que sus vértices están en el eje x y. Ls ecuciones de l hipérol son y y ± x ± x, de donde result que 1. Por lo que l ecución de l hipérol es x 1. 4 Como figur. c, c, sí c 5. Los focos están es (, ± 5). L gráfic se ve en l siguiente Figur 9 ctividd 4: 1) Hll los vértices, focos, excentricidd y síntots de ls siguientes hipérols. Grfic ls curvs. x x y ) y 1 ) 1 c) y x 1 d) 9x 4y ) En cd cso hll l ecución y gráfic de l hipérol con centro en el origen de coordends prtiendo de l informción dd. ) Un foco en (5, ) y un vértice en (3, ). ) Un vértice en (, ) y un foco en (, 4). c) Un vértice en (4, ) y síntots 3 5 y ± x. d) Excentricidd igul y un focos en (,-). 3 e) Ps por el punto 17 P(1, ) y un síntot de ecución y x. 3) Hll los puntos de intersección de l hipérol x y con l rect 3 x y. 4) Determin gráfic y nlíticmente los puntos de intersección de ls curvs de ecuciones: x y x y 5 y ) Hll l distnci del foco de l derech de l hipérol x 16y 144 l síntot de pendiente positiv. 4.3 Ecución de l hipérol con ejes de simetrís prlelos los ejes coordendos Tl como lo plntemos pr ls otrs secciones cónics, queremos encontrr l ecución de un hipérol con ejes de simetrís prlelos los ejes coordendos y centro en un punto de coordends (h, k) (h y k no nulos l vez). Qué condiciones deen stisfcer ls coordends de un punto P(x,y) pr pertenecer gráfic de un hipérol con eje focl horizontl (verticl) y vértice en el punto (h,k)? ctividd 5: Hipérol con ejes de simetrí prlelos los ejes coordendos y centro en (h,k) Comprue que cd un de ls siguientes ecuciones represent un hipérol con vértice en el punto de coordends (h,k),con eje focl horizontl y verticl respectivmente. ( x h) ( yk) ( y k) ( xh) 1 Represent gráficmente el conjunto de puntos que verificn dichs ecuciones y compárls con ls siguientes figurs: 1 Mg. Ptrici Có 31

33 Siendo ( x h) ( yk) ( y k) ( xh) 1 c, en cd cso expres ls coordends de los focos y de los vértices y verific que se cumplen ls siguientes propieddes: eje focl horizontl eje focl verticl *focos en los punto de coordends F 1 (h-c, k) y F (hc, k) *focos en los punto de coordends F 1 (h, k-c) y F (h, kc) * vértices en (h-, k) y (h, k) * vértices en (h, k-) y (h, k) Oserv que cd un de ls coordends de los focos y de los vértices están respectivmente un distnci c y del centro. * síntots y k ± ( xh) * síntots y k ± ( xh) *excentricidd c e Figur 3 1 ctividd 6: xh 1) Deduce que ls síntots de ls hipérols ( ) ( ) y ( ) ( ) 1 rects de ecuciones y k ± ( xh) y y k ± ( xh). yk yk 1 xh son respectivmente, ls Ejemplo16: Hllr l ecución cnónic de l hipérol con focos en (-1, ) y (5, ) y con vértices en (, ) y (4, ). Grficr l curv y sus síntots. 4. Como es l distnci entre l scis del centro de l hipérol y l del vértice, result. Rzonndo de l mism form c3, El centro de l hipérol es el punto medio de ls sciss de los vértices:, (,) y l ecución de l hipérol viene dd por: ( x) ( y) entonces Pr encontrr ls síntots reemplzmos los vlores de h, k, y ls respectivs ecuciones, llegndo : 5 y ± ( x). Figur 31 Mg. Ptrici Có 3

34 y 9 x 16 Ejemplo 17: Hllr centro, vértices, focos y síntot de l hipérol de ec ución ( ) ( ) 1. Grficr l curv y sus síntots. El centro tiene coordends (,), 3 y 4, por lo que c5. Ls coordends de los vértices y focos son respectivmente: (,± 3) y (,± 5) Figur 3 Ejemplo18: Representr gráficmente l hipérol de ecución 4x 3y 8x 16. Determinr centro, focos, vértices y ecuciones de ls sus síntots. Completmos cudrdos pr llegr su form reducid o cnónic. 4x 4( x 4( x 3y 4( x 1) x) 3y x 1) 3y y ( x 1) 4 3 8x 16 3y L hipérol tiene su centro en el punto (-1, ), vértices en (-1, ± ), focos en ( 1, ± 7). Pr representrl gráficmente diujmos el rectángulo determindo por los cutro puntos (-1, ± ) y ( 1± 3,). Ls síntots son ls rects que psn por los vértices de ese rectángulo con ecuciones: y ( x 1) e y ( x 1) 3 3 Figur 33 ctividd 7: 1) En cd uno de los siguientes ítems, determin l ecución de l hipérol que verific ls condiciones dds. Represent gráficmente cd un. ) focos en (-1, ) y (5, ) y vértices en (, ) y (4, ). ) vértices en (,) y (,6) y excentricidd igul 3/. c) focos en (16,) y (-1,) siendo l distnci entre sus vértices igul 4. Mg. Ptrici Có 33

35 ) Hll centro vértices, focos, excentricidd y síntots de ls siguientes hipérols y sus representciones gráfics. ( x 1) ) 4 y 1 ( x 1) ) 16 ( y3) 9 1 c) 4x 9( y) 36 d) 4( y1) 9( x 3) 1 Volvemos plnter l mism pregunt que hicimos en ls cónics nteriores, hor pr l hipérol: Qué condiciones deen cumplir los coeficientes de l ecución generl de segundo grdo (1) x Bxy C y Dx E y F pr representr lgericmente un hipérol con ejes prlelos los coordendos? Si relizmos un nálisis similr lo hecho en los otros csos, podemos llegr l siguiente conclusión: hor ien: Pr que l ecución (3) represente un hipérol es necesrio que: C < y B Es suficiente que un ecución de segundo grdo cumpl l condición (), pr que se un hipérol? () Pr llegr un respuest reliz l siguiente ctividd: ctividd 8: 1) nliz l representción gráfic que corresponde cd ecución, indicndo si se trt de un hipérol, dos rects secntes o el conjunto vcío. ) x y x ) x 8y 8x 16y c) y 14y 5 d) 9x y 18x 6y e) 4x y 8x y 6 f) x 1 y ) Determin cuál dee ser el vlor de F pr que l gráfic de l ecución 4x y 4( xy) F represente: ) un hipérol con eje focl horizontl ) un hipérol con eje focl verticl c) un pr de rects secntes ctividd 9: Pr cd uno de los siguientes ítems escrie y represent gráficmente l ecución de l hipérol que cumple con ls siguientes condiciones: ) centro en el foco de l práol de ecución x 16y, excentricidd igul 3/ y contiene el punto P (,-1). ) centro en vértice de l práol de ecución x 16y, excentricidd igul 3/, y contiene l foco de ordend positiv de l práol de ecución x y lguns propieddes y plicciones de ls hipérols: Propieddes de reflexión. Ls rects que unen los focos con culquier punto de un hipérol formn ángulos igules con l tngente l hipérol en dicho punto. Mg. Ptrici Có 34

36 Por tnto, si l superficie de un reflector, es generd por l revolución de un hipérol lrededor de su eje trnsverso, todos los ryos de luz provenientes del exterior que converjn sore un foco, se reflejn psndo por el foco. Est propiedd se emple veces en ciertos telescopios juntos con reflectores prólicos. Este principio se us en los telescopios del tipo Cssegrin. stronomí, tryectoris de comets. Un cuerpo celeste que proveng del exterior del sistem solr y se trído por el sol, descriirá un órit hiperólic, teniendo como un foco l sol y sldrá nuevmente del sistem solr. Esto sucede con lgunos comets. Un ejemplo de tryectori hiperólic es l descript por el comet Lulin. Recorrido de un steroide que vg liremente. Su tryectori será rectilíne (Ley de Newton) hst que se ve perturd por l proximidd de un plnet, por ejemplo, cuy trcción comienz curvrlo. En rros csos el steroide, será cpturdo por el plnet y cerá hci él o psr moverse siguiendo un órit elíptic su lrededor. Pero lo más prole es que descri un tryectori como l indicd: un rm de hipérol. L síntot de l izquierd mrc l tryectori que tendrí el steroide sin l influenci del cmpo grvittorio del plnet. L trcción, myor menor distnci, olig l steroide cmir cd vez más rápidmente de dirección. Cundo el steroide se lej del plnet decrece pultinmente l trcción y el movimiento tiende, de nuevo, ser rectilíneo: prece l segund síntot. El reloj de sol. Cd dí el Sol, desde que sle por el Este y se pone por el Oeste, descrie sore el cielo un rco de circunferenci. Este movimiento es prente, porque, en relidd, es consecuenci del movimiento dirio de rotción de l Tierr. Desde hce mucho tiempo se se que, cundo el Sol recorre el cielo lo lrgo de un dí, l somr que proyect un ojeto fijo descrie un curv cónic. Esto se puede compror experimentlmente si se v mrcndo, por ejemplo, cd medi hor, sore un superficie pln el límite de l somr que proyect un ojeto culquier. Los relojes de sol se fundmentn en este hecho. Están provistos de un mrcdor o estilete, llmdo gnomon, que proyect su somr sore un superficie pln donde están señlizds ls hors. El extremo de l somr indic l hor solr correspondiente. El sol, por lo lejno que está, se consider como un foco puntul de luz. L líne imginri que le une con el extremo del gnomon recorre lo lrgo del dí prte de l superficie de un cono, tmién imginrio. L superficie de este cono se cort por el plno del reloj donde se oserv l somr del extremo del gnomon. Por eso, l tryectori que sigue es somr es l de un cónic. En ls ltitudes de l Penínsul Iéric (de 38º 4º) es cónic es siempre un hipérol, tnto más curvd cunto más próximo esté el dí 1 de Junio (solsticio de verno) o l 1 de Diciemre (solsticio de invierno). En dos dís del ño, l tryectori de l somr que proyect el gnomon es un rect en todos los lugres de l Tierr. Esto ocurre en los dís 1 de mrzo (equinoccio de primver) y 3 de septiemre (equinoccio de otoño). L rzón es que, en esos dís, l tryectori del Sol y el extremo del gnomon están en un mismo plno que cort l plno de oservción en un rect. Mg. Ptrici Có 35