LEY DE BENFORD Y SUS APLICACIONES

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1 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA ESCUELA DE MATEMÁTICA LEY DE BENFORD Y SUS APLICACIONES PRESENTADO POR: RAÚL ANTONIO MARTÍNEZ GÁMEZ CARLOS ERNESTO CANIZALES RIVERA PARA OPTAR AL GRADO DE: LICENCIATURA EN ESTADISTICA ASESOR: Dr. JOSÉ NERYS FUNES TORRES. CIUDAD UNIVERSITARIA, SAN SALVADOR, FEBRERO 009.

2 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR RECTOR : ING. RUFINO ANTONIO QUEZADA SÁNCHEZ SECRETARIO GENERAL : LIC. DOUGLAS VLADIMIR ALFARO CHÁVEZ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA DECANO : DR. RAFAEL ANTONIO GÓMEZ ESCOTO SECRETARIA : MARÍA TRINIDAD TRIGUERROS DE CASTRO ESCUELA DE MATEMÁTICA DIRECTOR : ING. CARLOS MAURICIO CANJURA LINARES ii

3 DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS Le eico este triunfo principalmente a Dios. Le agraezco a Dios too poeroso por esta enición, gracias a el pue alcanzar una e las metas mas importantes en mi via, le agraezco a mis pares María Marta Gámez y José Martínez por su apoyo principalmente a mi mare por el amor intenso que me tiene y por su ayua inconicional, a mi hermana Johanna Martínez y Ingri Vilorio le oy la gracias por su apoyo y cariño, a mis amigos y mi compañero e tesis les oy las gracias por su apoyo y sus consejos. De igual forma le agraezco a mi asesor Dr. José Nerys Funes quien con sus enseñanzas contriuyo para el esarrollo e este traajo e grauación. Raúl Antonio Martínez Gámez. iii

4 Quiero agraecer a Dios por haer alcanzao una e mis más mayores metas y anhelos en mi via, por haer puesto en mí el eseo e salir siempre aelante sin importar los ostáculos y ificultaes que se presentan a la vez e realizar los sacrificios necesarios para superarlos. Agraezco tamién a mi familia por su apoyo, a mi mare, auelos, tíos, etc. por su valioso aporte económico y por ar tan importantes concejos y enseñarme que no existen caminos fáciles en la via; agraezco a mis ex compañeros e clase, principalmente a Azucena Jaimes por motivarme a salir siempre aelante meiante sus consejos, tamién a Ingri Martínez, Carolina Linares, Raquel Alvarenga, etc. Aemás agraezco a Naia Carranza por enseñar el espíritu e un veraero estuiante, por sus consejos y ayuas a lo largo e mi carrera y por estar siempre ispuesta a aclarar cualquier interrogante. Tamién a mi compañero e tesis por ayuarme a ver las cosas ese otra perspectiva, a mi asesor e tesis Dr. José Nerys Funes Torres por su paciencia, apoyo, consejo, enseñanzas, etc. que nos transmitió entro y fuera el aula y contriuir en el esarrollo e nuestro traajo e grauación. Carlos Ernesto Canizales Rivera iv

5 TRABAJO DE GRADUACIÓN APROBADO POR: ASESOR : Dr. JOSÉ NERYS FUNES TORRES. v

6 ÍNDICE DE CONTENIDOS Introucción...viii Capítulo I: Introucción a la ley e Benfor.. Introucción. Descurimiento e la Ley e Benfor...3 Primeros pasos para explicar la Ley e Benfor..7.4 Los ígitos equiproales no son invariantes e escala Invarianza e escala...6 Ejemplo e variales que cumplen la Ley e Benfor Datos que satisfacen la ley e Benfor Datos que no satisfacen la Ley e Benfor 3.7 Aplicaciones e la Ley e Benfor.4.8 Ley e istriución e los ígitos Ley e istriución el primer ígito significativo Distriución e los primeros ígitos significativos Ley el istriución el seguno ígito significativo Ley el ésimo ígito significativo Proailia conicionaa e los ígitos Generalización e la Ley e Benfor, istriución mantisa...37 Capítulo II: Explicación e la Ley e Benfor. Introucción La función mantisa y la sigma álgera Lemas sore la sigma álgera..5 vi

7 .4 Ley general el ígito significativo Escala invariante Base invariante Teorema principal..79 Capítulo III: Ley e Benfor y sus aplicaciones 3. Introucción Pruea e ona e ajuste La Ley e Benfor en el recuento e votos Aplicación e la Ley e Benfor en las elecciones presienciales e El Salvaor en el Descripción e los atos Análisis el primer ígito significativo el recuento e votos Análisis el seguno ígito significativo el recuento e votos Conclusiones e la aplicación 5 Apénice: Teoría e la Meia y Teoría Ergóica..7 Anexos Biliografía... 8 vii

8 INTRODUCCIÓN Durante muchos años la Ley e Benfor no ha sio más que una simple curiosia estaística sin funamento matemático alguno ni aplicaciones reales. Hoy en ía, la Ley está firmemente asaa en la Teoría e la Proailia, goza e un gran interés el púlico y presenta importantes aplicaciones a la vista e la estaística. La Ley se ha propuesto como un posile test e evaluación e los resultaos otenios, ya sea por meios analíticos o e simulación, meiante moelos matemáticos en los que intervienen atos que verifiquen la istriución logarítmica, como por ejemplo: En los resultaos e elecciones presienciales y atos fiscales como la eclaración e impuesto sore la renta. En este sentio se ha utilizao para etectar posiles situaciones e fallos e irregulariaes. La Ley e Benfor que tamién es conocia como la Ley e los números anómalos asegura que, en toa colección e números e la via real, los ígitos iniciales e los números no son equiproales, es ecir aquellos números que empiezan por el ígito ocurren con mayor frecuencia, seguios e los que empiezan por el, etc. hasta el 9 que es el menos frecuente, esto inica que a meia crece el valor el primer ígito, más improale es que éste forme parte e un número. Este hecho, que se amite como Ley, se puee aplicar a atos relacionaos con el muno natural o con elementos sociales. Sin ua la aplicación más llamativa e importante e la Ley, consiste en su utilización como posile meio para ayuar a la etección e atos erróneos o frauulentos. Si se etecta que un gran conjunto e atos, tienen un comportamiento contrario a lo esperao, no verifica la Ley, puee ser eio a la presencia e atos inexactos o quizás inventaos o "retocaos" lo que posiilita aplicaciones tales como la etección e fraue fiscal y e manipulaciones contales, por mencionar algunas. viii

9 Evientemente la no satisfactiilia e la Ley e Benfor en un conjunto eterminao e atos no es pruea suficiente e la existencia e irregulariaes, pero, sin emargo, constituye un uen inicio para justificar una inspección más etallaa. Una aplicación real es la auitoria contale en la que se han esarrollao sistemas asaos en el análisis e los ígitos como ayua en la úsquea e patrones repetitivos y extraños en los atos. En muchos países, como por ejemplo Venezuela y México; se ha utilizao como principal herramienta en la etección e fraues electorales. En las pasaas elecciones Presienciales e México e 006, se encontraron ciertos istritos con anomalías en el conteo e voto, es ecir, que la istriución e los primeros ígitos, especialmente la el seguno, no se ajustaa satisfactoriamente a la Ley e Benfor, lo cual llevó a las autoriaes a un recuento e los votos para verificar los atos proporcionaos por el Instituto Feeral Electoral (IFE). En este sentio, el ojetivo principal el siguiente ocumento es presentar etallaamente la teoría matemática y estaística concerniente a la Ley e Benfor; en el capítulo eucimos las fórmulas e istriución e los ígitos significativos, aemás e ar las principales características que los atos een e cumplir para poer someterlos a un escrutinio con la Ley e Benfor; en el capítulo emostramos los principales teoremas y lemas que funamenten la ley y algunos ejemplos e ellos; en el tercer capítulo señalamos como aplicar las fórmulas y a la vez como interpretar los resultaos otenios meiante la Ley utilizano para ello, los atos e la Elección Presiencial El Salvaor 004. ix

10 CAPITULO I INTRODUCCIÓN A LA LEY DE BENFORD

11 . Introucción. En este capítulo se presenta una reve introucción a la Ley e Benfor, su escurimiento, sus campos e aplicación, los atos en los cuales se esperan que se cumpla icha Ley, y en cuales no, aemás se presenta la erivación e las principales fórmulas e istriución para los primeros ígitos significativos y la generalización e la Ley a atos continuos. En la primera sección se presenta un reve resumen el escurimiento e la Ley e Benfor; en la sección seguna, se muestran algunos aportes e varios autores en su intento e ar una explicación matemática e la Ley; en la tercera y cuarta sección se presentan una reve noción sore el significao e Escala Invariante meiante un ejemplo ilustrativo; en la quinta sección se an algunos ejemplos e variales que satisfacen o no la Ley e Benfor; en la sexta sección se presentan algunas campos e aplicación recientemente escuierto e e para la Ley; en la séptima sección se presentan la erivación estaística e las principales fórmulas e istriución e los primeros ígitos significativos, la istriución conjuntas y conicionaas e lo ígitos; en la octava y última sección se introuce la Distriución Mantisa y la generación e la Ley e Benfor a atos meiante ésta función.. Descurimiento e la Ley e Benfor. El escurimiento e la Ley e Benfor se a en el año e 88 por el matemático y astrónomo Simon Newcom. Un ía, él consultaa una tala e logaritmos para realizar unos cálculos y se io cuenta; que las primeras páginas se encontraan más viejas y esgataas que las finales, A qué se eía esto? Al parecer para realizar sus cálculos la gente utilizaa con mayor frecuencia el logaritmo e

12 números que suelen empezar por ígitos pequeños que los que empiezan por ígitos altos. Este astrónomo eujo que los ígitos iníciales e los números (al menos los utilizaos en su traajo que provenían principalmente e la oservación e los astros) no son equiproales; sino que el aparece como ígito inicial más frecuente, seguio el, etc. hasta el 9 que es el menos proale. Meiante un reve e ingenioso razonamiento, aunque sin presentar realmente un argumento formal ni fórmula matemática, Newcom enunció veralmente una relación o ley logarítmica: la ley e proailia e ocurrencia e números es tal que las mantisas e sus logaritmos son equiproales. Aemás concluyó que la proailia e los os primeros ígitos significativos (ase 0) satisfacen las siguientes relaciones: () () Pr o( primer ígito significativo ) log ( + ),,, Pr o( seguno ígito significativo ) log ( + (0 + ) ), 0,,,9 Aemás él io la siguiente tala e proailia para los primeros os ígitos: Tala.. Frecuencia e aparición e los primeros os ígitos significativos ao por Newcom P() P()

13 Figura.. Frecuencia e aparición e los primeros os ígitos significativos aa por Newcom. Distriución el Primer Dígito Distriución el Seguno Dígito Newcom puntualizó que la istriución e un ígito converge a la istriución uniforme así como su posición crece en la mantisa, es ecir; en el caso e la istriución el tercer ígito, la proailia será casi la misma para caa ígito, y para las istriuciones el cuarto y e los siguientes ígitos, las iferencias serán menos apreciales. Aunque Newcom no aportó ninguna explicación matemática para su escurimiento. Lo anotó como una simple curiosia, y frente a una falta e interés general, fue rápiamente olviaa hasta 938, cuano el Físico Fran Benfor e la compañía General Electric, se io cuenta el mismo patrón. Entusiasmao por el escurimiento, estuió 3,779 números provenientes e 7 muestras e too tipo: áreas fluviales, constantes y magnitues físicas y químicas, funciones matemáticas e incluso números e irecciones e personas y números tomaos e portaas e revistas. A partir e esa asta colección e números, calculó las frecuencias e aparición el primer ígito en caa una e las muestras, y tamién el promeio e toas juntas. El resultao se resume en la siguiente tala: 4

14 Tala.. Frecuencia e aparición el primer ígito significativo en los experimentos e Fran Benfor. Titulo/Dígitos Muestras Área e Ríos Polación Constantes Artículos e Perióicos Golpes Espectrales Presión Péria H.P Mol. Wgt Drenaje Peso atómico Digest Datos e costo Voltios e rayos X Liga Americana Cuerpo negro Direcciones Tasa e muertes Promeio Error Proale El Error Proale se ha calculao meiante la siguiente expresión: promeio 00*log0 + 5

15 Benfor oservó que incluso usano tal mezcla e atos, los números encajaan astante ien en la ley que Newcom haía escuierto meio siglo antes. Alreeor el 30% empezaan por, el 8% por, etc. (osérvese la figura ). Su análisis era una pruea e la existencia e la ley, pero Benfor tampoco fue capaz e explicar ien por qué era así. Figura.. Frecuencia e aparición e los primeros os ígitos significativos aa por Newcom Benfor Oservaa Benfor oservó aemás que la Ley logarítmica era astante ajustale en la mayoría e muestras seleccionaas por él en su experimento. A partir e los resultaos empíricos Benfor postuló una ley llamaa Ley e Benfor o Ley e los Números Anómalos para la proailia e que el primer ígito sea. Según icha ley, la proailia que en una serie e atos su primer ígito significativo sea igual al número es alreeor el 30%, 7.6% para el,.5% para el 3 y continua ecrecieno hasta llegar a 4.58% la cual correspone al 9. El análisis e Benfor era una pruea más e la existencia e la Ley. 6

16 .3 Primeros Pasos para Explicar la Ley e Benfor. Benfor mismo intentó explicar el fenómeno investigano el conjunto e los números enteros naturales, en una tentativa para proar que éstos vienen naturalmente e nuestro sistema numérico. En un inicio, trató e proar que el conjunto e los enteros que tiene al número uno como primer ígito, es ecir, { D } {, 0,,,..., 9, 00, 0, 0,...,99, 000, 00,..., 999,...} tienen una proailia e log 0 () entre los enteros. El prolema que encontró (y que muchos encontraron antes que él) es que este conjunto no tiene una frecuencia asintótica natural, es ecir que el límite: (3) lim car{ { D } {,,3,4,..., } n n n NoExiste Dao que el limite e (3) no existe, pero a meia que crece el valor e n, está oscilano en una escala logarítmica entre os extremos que no son siempre constantes (ver figura 3), con un valor mínimo e 0... y un máximo e Figura.3. Frecuencia e aparición el primer ígito () 7

17 Existen varias vías para efinir un límite para (3), y varias e ellas tienen al valor eseao log ( ) 0. El prolema es primeramente que los métoos e integración no son únicos y por supuesto que la mayoría e ellos no tienen a la Ley e Benfor y la aproximación misma es un poco uosa ya que ésta quiere proar que la Ley es vália para el sistema completo (es ecir que es completamente universal), y por supuesto muchos conjuntos e atos incluso los naturales no verifican la Ley e Benfor. Roger Pinham; un matemático e New Jersey en 96, contriuyó para resolver este prolema. El razonamiento e Pinham fue el siguiente. Supongamos que realmente existe una Ley e frecuencias e ígitos. En tal caso, icha Ley eería ser universal. Tanto si calculamos los precios en Dólares, Euros, Colones o Yenes, o si meimos la longitu en centímetros, pulgaas, metros o ilómetros, la frecuencia e aparición e los ígitos eería permanecer inalteraa. Es ecir, Pinham afirmaa que la istriución e frecuencias e los ígitos eía ser invariante frente a camios e escala. Con este razonamiento, Pinham fue el primero en oservar que la Ley e Benfor era invariante frente a la escala. Luego emostró que si una ley e frecuencias e ígitos era invariante frente a camios e escala, entonces se trataa e la Ley e Benfor. La pruea aportaa ia confirmano que la Ley e Benfor realmente existe. Haía toavía algunos prolemas enormes en este razonamiento, sin emargo, la hipótesis ásica fue existe una ley universal, y por supuesto que es astante ifícil o imposile e amitir. Sin emargo fue Raimi en 969, quien emuestra finalmente la inepenencia e la unia e meia e la Ley e Benfor, Raimi no sólo aporta el funamento matemático e esta inepenencia e escala, sino 8

18 que aemás en un intento ivulgativo, añae explicaciones intuitivas e la invariailia. El principio e los 90 parece ser un perioo e renovación para la Ley e Benfor. Esto es quizá eio al escurimiento e un nuevo campo importante e aplicación, es ecir, la etección e fraue. Uno e los papeles claves escritos sore el tema fue la tesis octoral e Mar Nigrini (en 99 en el Departamento e Contailia, Universia e Cincinatti). En los 90, una e las principales contriuciones al análisis e la Ley e Benfor es ciertamente eio al teorema e Theoore Hill, quien fijó un marco e traajo correcto e proailia para la Ley e Benfor, extenió la iea e invarianza e escala a invarianza e ase ( Por qué epenería una ley universal e la ase en la que lo números son escritos?), e introujo un nuevo camino para consierar la Ley e Benfor. Sin emargo, esta Ley no ha poio ser proaa en forma total. Una aproximación más natural y e hecho tan natural que sorprenentemente naie la ha estuiao antes que Hill en 995, es pensar en que los atos son una mezcla e istriuciones iferentes. Actualmente ésta aproximación parece ser relevante al experimento e Benfor, óne los atos provienen e más e 0 istriuciones variaas. Hill enlazó esta iea con invarianza e escala (y e ase) para hacer una explicación consistente (pero aún no completa) e la Ley e Benfor..4 Los ígitos equiproales no son invariantes e escala. La mayoría e la gente tiene la intuición e que caa uno e los ígitos el al 9 tiene la misma proailia e aparecer como primer ígito significativo en cualquier cifra. Supongamos que este es el caso y veamos qué ocurre con un conjunto e cantiaes que se convertirán e Euros a Dólares con el valor (ficticio) 9

19 e Dólares por Euro. Es astante fácil averiguar qué ocurrirá oservano caa ígito uno por uno. Si el primer ígito significativo es, entonces al multiplicar por se otenrá un nuevo primer ígito ó 3 con la misma proailia. Pero si el primer ígito significativo es 5, 6, 7, 8 ó 9 el nuevo primer ígito será. Se esprene que en el nuevo conjunto e atos, el primer ígito es iez veces más proale que cualquier otro primer ígito (véase la figura 4). En el iagrama e la Figura 4 la notación [ a, ) inica la gama e números mayores o iguales que a pero estrictamente menores que. Figura.4. Ilustración gráfica e la invarianza e escala. Distriución Uniforme Inicial Tenencia a X [5,0) Mapea a [,.5) Mapea a [.5,) Mapea a 3 [,.5) Mapea a 4 [.5,3) Mapea a 5 [3,3.5) Mapea a 6 [3.5,4) Mapea a 7 [4,4.5) Mapea a 8 [4.5,5) Mapea a 9 La intuición nos falló: la istriución uniforme original se orienta con fuerza hacia el ígito. Así que si la invarianza frente a la escala es necesaria, la istriución uniforme no es la respuesta acertaa. 0

20 .5 Invarianza e escala. Tal y como argumentó Pinham, el hecho e que encontremos too tipo e atos en el muno real que parecen encajar en la Ley e Benfor, sugiere que esa ley ee ser invariante frente a la escala. Por qué? Porque poemos meir nuestros atos con una gama e escalas istintas (Pies/Metros, Euros/Dólares, Galones/Mililitros, etc.). Si la ley e frecuencia e ígitos es real, eería serlo para toas (no hay razón para que sólo una escala e meias, la que elijamos al azar, sea la correcta). Así que si hay una ley e istriución e los primeros ígitos significativos, eería mantenerse inepenientemente e las uniaes usaas. Pero que significa realmente la invarianza frente a la escala e istriución el primer ígito significativo? Quiere ecir que si multiplicamos toos los números por una constante aritraria (como hacemos cuano camiamos e Liras a Yenes, o Pies a Metros), la istriución e frecuencia el primer ígito eería permanecer inalteraa. Como estamos interesaos en la istriución e los primeros ígitos significativos, tiene sentio expresar los números en notación científica x 0 n, one x< 0 y n Z (Esto es posile con toos los números excepto el cero). El primer ígito significativo es, sencillamente, el primer ígito e x. Poemos erivar fácilmente una istriución invariante frente a la escala para cuano hayamos encontrao una istriución invariante frente a la escala para x..6 Ejemplos e variales que satisfacen la Ley e Benfor En este punto poríamos sentirnos tentaos a revisar la forma en que elegimos los números e la lotería. Aiós a las fechas e los cumpleaños y ienvenio Benfor. Notaremos la iferencia?

21 Lamentalemente, la respuesta es negativa. El resultao e la lotería es totalmente aleatorio, e forma que caa número tiene la misma proailia e aparecer. A largo plazo, la frecuencia el primer ígito eería permanecer, por tanto, en proporción exacta con respecto a la cantia e números e la lotería que empezarán por ese ígito. Por otro lao, consieremos los tiempos e los 400 metros olímpicos en segunos. Ninguno comienza por! De la misma manera, pensemos en los manatos, en años, e los políticos muniales. Igualmente, muy pocos empiezan por. Al contrario que la lotería, estos atos no son aleatorios, sino que están muy conicionaos. El aanico e posiiliaes es muy limitao como para permitir que se cumpla una ley e frecuencia e ígito. En otras palaras, la Ley e Benfor necesita atos que no sean totalmente aleatorios ni muy conicionaos, sino que estén más o menos en meio. Los atos pueen ser e una gran variea y suelen ser el resultao típico e iversos procesos, con muchas influencias. Por ejemplo, las cifras e polación e puelos y ciuaes pueen variar ese ecenas o cientos a miles o millones, y les afecta un gran aanico e factores. En general las principales características que een e cumplir los atos numéricos en los cuales se verifica la Ley e Benfor son las siguientes: Escala Invariante Base Invariante (Posteriormente en el capítulo se presentarán las emostraciones e los teoremas relacionaos a las características mencionaas).

22 .6. Datos que satisfacen la ley Los siguientes conjuntos e atos numéricos que se presentan a continuación, según experimentos realizaos por Benfor satisfacen la Ley ya que cumplen las características anteriores (escala y ase invariante). Áreas e ríos. Estaísticas e Baseall, Constantes y Magnitues Físicas y Químicas. Polaciones en Diferentes Municipios. Pagos e Impuestos sore la Renta. La ley e Exponenciación x a o el proucto o ivisión e un elevao número e atos aleatorios uniformemente istriuios o sus recíprocos que en el límite presentan la istriución logarítmica. En el campo e la física se ha hallao la istriución logarítmica en la via meia e las esintegraciones raiactivas e partículas alfa constantes físicas más usuales. y en las En economía recientemente se ha oservao que eterminaos ínices ursátiles tamién siguen la Ley e Benfor al igual que una gran cantia e magnitues económicas y sociales..6. Datos que no satisfacen la ley A continuación se presentan algunas ases e atos que según experimentos realizaos por Fran Benfor, no satisfacen la Ley. Datos proceentes e istriuciones uniformes (por ejemplo; números e lotería): por no cumplir el requisito e invariante e escala (véase la sección.3). 3

23 Datos proceentes e istriuciones normales (por ejemplo: eaes e personas). Datos que tienen limitao el valor el ígito inicial (por ejemplo: los precios e muchos prouctos suelen restringirse a unos pocos valores, muchas veces uno solo, por razones comerciales y e mercao). Números telefónicos (e un municipio) o ocumentos e ientia, pues se asignan aritrariamente no para meir una eterminaa característica e un ojeto sino con el propósito e ientificarlo y istinguirlo e otros ojetos semejantes. Números proceentes e evaluar funciones como / x, x, ó /x..7 Aplicaciones con la Ley e Benfor. A principios el siglo pasao la ley e e Benfor fue vista como una clase e fisura matemática sin algún entorno práctico, en los años 70 con la llegaa e las computaoras se pensó en algunas aplicaciones; una e ellas fue el Diseño e computaoras cuano se iseña una computaora o se escrie una rutina, se een e consierar las istriuciones e los operaores. Coificar los números reales requiere por ejemplo eciir con qué número e its se escriirá la mantisa (esto es enlazao con intervalos e confianza). Un cierto patrón en la mantisa conucirá a iferentes elecciones, para optimizar los procesos e velocia y almacenamiento. Otra aplicación que se realizo con la Ley e Benfor fue en la Moelación matemática, aparentemente imaginaa por Varian en 97. La cual está asaa en la siguiente iea: Si un cierto conjunto e valores siguen la Ley e Benfor, entonces los moelos para los corresponientes valores preictivos tamién 4

24 seguirán la Ley. Hill calificó este tipo e aplicaciones como Benfor-in- Benfor-out. Pero sin ua alguna en la actualia el campo más importante e aplicación e la ley, es la etección e fraue. En 99 se escurió que los atos financieros encajan en la Ley e Benfor. Este hecho resulta tremenamente importante para etectar fraues en las finanzas, como por ejemplo, en la eclaración e impuestos. El Dr. Mar Nigrini, un profesor e contailia e Dallas, lo ha utilizao con astante éxito. Si alguien trata e falsificar, por ejemplo, su eclaración e la renta, irremeialemente tenrá que inventar algún ato. Al intentarlo, la tenencia e la gente es utilizar emasiaos números que comienzan por ígitos a mita e escala como por ejemplo; 5, 6, 7, y pocos que comiencen por. Esta violación e la Ley e Benfor hace resaltar la alarma. El Dr. Nigrini ha creao un programa informático para etectar en qué meia algunos atos suministraos encajan con la Ley e Benfor. El resultao ha sio increílemente exitoso. Recientemente la oficina el Fiscal el Distrito e Broolyn ha tratao siete importantes casos e fraue y el programa el Dr. Nigrini fue capaz e etectar los siete casos. Tamién se utilizó icho programa para analizar la eclaración e la renta e Bill Clinton. Aunque, reveló que proalemente haía varios reoneos en lugar e cifras exactas, no huo inicios e fraue. El métoo e Benfor, tiene a su vez algunas limitaciones en la etección e fraue. De hecho, a menuo los atos pueen alejarse e la Ley e Benfor por motivos perfectamente inocentes. A veces las cifras no pueen arse e forma precisa, y es entonces cuano aparece el reoneo, lo cual puee moificar al primer ígito e un número. Asimismo, sore too cuano se trata e precios, las 5

25 cifras 95 y 99 aparecen emasiao, eio a estrategias e mareting. En estos casos, la Ley e Benfor poría inicar un fraue cuano realmente no sea el caso. El métoo no es infalile. Sin emargo, el uso e esta ley no se ciñe a la caza e fraues. Con la Ley e Benfor es posile etectar un camio significativo en las cifras reportaas por parte e empresas y/o personas en años consecutivos. Demasiao camio inicaría que algo ana mal. Se poría ahorrar tiempo, inero y meios si los sistemas informáticos se manejaran e forma más eficaz. En países e Latinoamérica, específicamente en Venezuela y México; se ha utilizao como principal herramienta en la etección e fraues electorales. En las pasaas elecciones Presienciales e México e 006, se encontraron ciertos istritos con anomalías en el conteo e voto, es ecir, que la istriución e los primeros ígitos, especialmente la el seguno, no se ajustaa satisfactoriamente a la Ley e Benfor, lo cual llevó a las autoriaes a un recuento e los votos para verificar los atos proporcionaos por el Instituto Feeral Electoral (IFE). Mientras que un equipo e Friurgo está traajano en la iea e istriuir espacio el isco uro según la Ley e Benfor. Científicos elgas investigan si la Ley e Benfor puee usarse para etectar irregulariaes en casos clínicos. Mientras tanto, la uena correlación existente entre las estaísticas polacionales y la Ley e Benfor significa que puee usarse para verificar moelos emográficos. Quién sae en qué más casos sería útil? El Dr. Nigrini comenta: Preveo muchas aplicaciones, pero para mí es fascinante en sí misma. Consiero a Benfor un gran héroe. Su ley no es mágica, pero a veces lo parece. 6

26 .8 Ley e istriución e los ígitos. En esta sección se presentará la eucción formal e los primeros ígitos significativos, es ecir; la ley e istriución el primer ígito significativo, la ley e istriución el seguno ígito significativo, la ley e istriución el ésimo ígito significativo, la ley e istriución conjunta e los os primeros ígitos significativos, la ley e istriución conjunta e los os ígitos significativos, etc..8. Ley e istriución el primer ígito significativo. Proposición.8.. La Distriución el primer ígito significativo, se efine e la siguiente manera: P( ) log0 +,,...,9 { } Demostración. Too fenómeno que sigue la Ley e Benfor cumple que es invariante frente a camios e escala, es ecir, que la istriución e proailia e una variale aleatoria x es inepeniente e la escala e meición. Como los valores numéricos e los atos epenen e las uniaes e meición, según como Roger Pinham estaríamos interesaos en encontrar una istriución Universal P (x) sore tales números, talque esta proailia permanezca invariante ajo camios e escala, es ecir; (4) Px ( ) f ( ) P( x); con constante 7

27 Si x es el resultao e un camio e escala e la variale x entonces la proailia e icho camio e escala es igual al proucto e la P( x ) por una constante f (). Para que P (x) y P (x) sean funciones e istriución e proailia, estas tienen que cumplir que Pxx ( ) y Pxx ( ) ( ) Px ( ) ( x) f ( ) P( x ) ( x) f ( ) P( xx ) ; por ecuación (4) f ( ) P( xx ) f ( ) P( xx ) f ( ) f ( ) ; ya que P( xx ) Ahora si erivamos parcialmente respecto a en la ecuación (4) tenremos que P( x) f ( ) P( x) P( x) P( x) P( x) ( P( x)) xp'( x) P( x) 8

28 u x ( ) u P '( u ) ( ) P u u P u '( ) ( ) Pu u P'( u) ( ) xp'( x) Px ( ) ( Pu ) y Si hacemos y Px ( ) y P'( x) x y las sustituimos en la ecuación anterior, entonces Por tanto x x y y y x y x y y y y x x x x In( y) In( x) In( y) In( ) x y x Px ( ) con x [,0) x 9

29 Puesto que ya conocemos la istriución e proailia que es invariante en escala tenremos que; la proailia e que el primer ígito significativo sea igual a, está aa por: ( ) P P X + 0 P( xx ) P( xx ) Sustituyeno P( x) por en la fórmula anterior se tiene. x ( ) P X + 0 x x x x ln( x ) ln( x ) + 0 ln( + ) ln( ) ln(0) ln() ln + ln(0) log 0 + P ( X ) log + Por tanto 0 Con,, 3, 9, como queríamos emostrar 0

30 Otra forma e proar: Si una istriución para x es invariante frente a la escala, la istriución e y log ( x) eería permanecer inalteraa cuano sumáramos un valor 0 constante a y. Por qué? Porque multiplicaríamos a x por una constante a. y entonces log 0( ax) log 0( a) + log 0( x) log 0( a) + y Ahora ien, la única istriución e proailia e y [0,) que permanecerá invariaa espués e sumar una constante aritraria a y, es la istriución uniforme. Para convencernos e esto, pensemos en la forma e la función e ensia e proailia para la istriución uniforme. Figura.5. Ilustración gráfica e la istriución e y. X 0 D Y LOG() LOG() LOG(0) En la Figura.5, y se istriuye uniformemente entre log0( ) 0 y log0( 0). Si queremos encontrar la proailia e que sea eemos calcular. ( ) P( X < ) P( 0 y< log0( ) ) P Con lo que ( ) 0 ( ) log 0 0 ( ) P y log

31 En general, ( ) ( < + ) P log ( n) y< log ( n+ ) P n Pn X n ( 0 0 ) Con lo que otenemos ( ) P n 0 ( n+ ) log log 0 ( n) y ( n ) ( n) log + log 0 0 n+ n log0 La fórmula log0 n n + fue precisamente la fórmula aportaa por Newcom y más tare por Benfor para la proporción e números cuyo primer ígito es n. Así que poemos emostrar que la invarianza frente a la escala para la istriución e las frecuencias el primer ígito e x implica que icha istriución ee ser la Ley e Benfor. En el figura.6 se presenta la forma en que se comporta la istriución el primer ígito significativo, La Ley e Benfor estalece que en una lista e hechos o fenómenos e la via real, la frecuencia que el primer ígito significativo sea igual a uno es cerca el 30%, que sea os e aproximaamente 7%, así, los ígitos mayores tienen una menor proailia e ocurrencia en comparación con la e los ígitos más pequeños.

32 Figura.6. Distriución el primer ígito significativo Proailia acumulaa el primer ígito significativo. Proposición.8... La istriución a cumulaa el primer igito significativo se efine e la siguiente forma: (5) P( x ) log 0( + ) ; con,,3 9 Saemos que la istriución acumulaa e una variale iscreta se efine como la suma e la función e ensia ese - hasta el valor e x: P ( X x) P( i) x i Utilizano el concepto anterior para el caso e la istriución acumulaa el primer ígito significativo, se tiene: 3

33 Demostración. P( x ) Pi ( ) log i i i + i log [ log ( i+ ) log ( i) ] log ( i) 0 i log ( + ) log i+ i ( i) log () log 0 0 log ( + ) + ( + ) ( i+ ) 0 i i i log log 0 0 ( i) ( i) log 0 () + i log 0 ( i) Por tanto P( x ) log 0( + ), como queríamos emostrar.8. Distriución conjunta e los primeros ígitos significativos. De una forma análoga con la que otuvimos la ley e istriución el primer ígito significativo, poemos otener una ley que proporcione la istriución conjunta e los primeros ígitos significativos. Proposición.8.. La istriución logarítmica conjunta e los primeros ígitos significativos,,, (sieno un entero positivo) se efine e la siguiente manera: (6) i P(,,, ) log0 + i. 0 ; para too entero positivo i Con,,,9 0,,,,9; j j 4

34 Demostración. Notemos que la sumatoria interna, es simplemente la representación en ase ecimal el número z cuyos primeros ígitos significativos son respectivamente,..., y,, con lo que la proailia e ocurrencia e esos ígitos es simplemente log 0 (+ / z). Done: z i i. 0 i Para la eucción e la ecuación, hagamos el número z.... Entonces z... puee escriirse e la siguiente manera: z o i ( ) z 0 i i Luego usano el mismo razonamiento empleao para la otención e la istriución el primer ígito otenemos lo siguiente: P (,..., ) + z z 0 + z z 0 ln( z) P (,..., ) P (,..., ) P ( z) ( z) P ( z) ( z ) ln( z) ( + z) ln( z) ln ln(0) 5

35 ln + z P(,..., ) ln(0) P(,..., ) log 0 + z ; justo lo que queríamos emostrar y finalmente otenemos que P(,..., ) log0 + i0 i i Osérvese que los límites e integración inferior y superior son, respectivamente, z y z +; ya que con esto estaríamos otenieno la proporción e números en los cuales sus primeros ígitos significativos sean,...,,. Por ejemplo, la función e istriución conjunta para los primeros os ígitos significativos es: (, ) log0 + 0 i i i P En la ecuación anterior puee apreciarse que a meia que crecen los valores para y se tenrá una mayor proailia conjunta, es ecir, la función e istriución es monótona ecreciente, en la siguiente tala y figura se ilustra, tal comportamiento. 6

36 Tala.3. Proailia conjunta para los primeros os significativos. P (, ) P (, ) P (, )

37 Figura.7. Distriución conjunta e los primeros os ígitos significativos Mientras que la función e istriución conjunta para los primeros tres ígitos significativos viene aa por: 3 3 (,, 3) log0 + 0 i i i P Es e mencionar que, si la istriución e los ígitos significativos oeece una ley logarítmica, entonces los ígitos significativos no son inepeniente entre si. Ejemplo.8..: La proailia e que el primer ígito significativo sea y que el seguno ígito significativo sea es: Por una parte, la proailia conjunta el primer y seguno ígito tomano respectivamente los valores e y. 3 p(, ) log , 8

38 Mientras que la proailia e que el primer ígito significativo sea por la proailia e que el seguno ígito sea es la siguiente p ( )* p ( ) log 0()* log 0 + log log Se oserva claramente que el valor e amas proailiaes es ligeramente iferente..8.3 Ley el seguno ígito significativo. Proposición.8.3. La istriución e proailia para el seguno ígito significativo es: 9 ( ) p( ) log ; 0,,,...,9 (7) ( ) Done y respectivamente. 0 representan el primero y seguno ígito significativo, Demostración: Px ( ) ( x) Px ( ) ( x) Px ( ) ( x) P ( ) Px ( ) ( x) Px ( ) ( x) Px ( ) ( x) ( x) ( x) ( x) x x x ( x) ( x) ( x) x x x ln( x) + ln( x) ln( x) ln(0)

39 ln( + ) ln(0 + ) ln( + ) ln(0 + ) ln(9 + ) ln(90 + ) ln(0) ln(0) ln(0) log 0 + log log ( ) log log + (0 + ) log + (90 + ) log 0 + (0 + ) Que es precisamente lo que queríamos emostrar. Nótese que el primer cociente e integrales es precisamente la proporción e números, cuyos primer y seguno ígitos son respectivamente y. El seguno cociente, que el primer y seguno ígito sean y, y así sucesivamente hasta llegar al noveno cociente el cual representa la proporción e números cuyo primer ígito sea 9 y su seguno ígito sea. En la siguiente tala se muestra la proailia e ocurrencia para el primer y seguno ígito significativo, utilizano las ecuaciones e las proposiciones.7.. y.7.3., respectivamente. Tala.4. Proailia e los os primeros ígitos significativos P() P() Oservemos que la istriución e las proailiaes para el seguno ígito tiene ser un poco más uniforme que la presentaa para el primer ígito. En la siguiente figura se muestra la istriución el seguno ígito. 30

40 Figura.8. Distriución el seguno ígito significativo Verificación e los axiomas e proailia e la istriución el seguno ígito significativo. a) Primer axioma: 0 P ( ) Demostración. De la figura anterior se oserva que las proailiaes para los iferentes valores que puee tomar son toas positivas y a la vez son toas menores que, el cual tamién se puee comproar muy fácilmente e la ecuación que no importa que valor tome siempre se estaría sumano el logaritmo e valores cercanos pero mayores a uno, los cuales como ya saemos son siempre mayores que cero y que a su vez éstos son menores a uno. ) Seguno axioma: 9 0 P ( ) 3

41 Demostración. Tenemos que P ( ) log 0 ( + (0 + ) ) P ( ) log P ( ) log P ( ) log Y ahora el traajo se reuce a emostrar que los os prouctorios involucraos en la última expresión son iguales a 0. Se otiene que: ( + )( + ) ( 9+ ) ( )( ) ( ) Al simplificar otenemos que: justo lo que se quería emostrar. Con lo cual, se compruea que 9 0 P ( ) 3

42 Y que la istriución logarítmica el seguno ígito significativo, efectivamente es una istriución e proailia. Distriución acumulaa el seguno ígito. Proposición.8.3.: La istriución a cumulaa el seguno igito significativo se efine e la siguiente forma: ( ) (8) P( ) log0 + ( 0 + ) De manera similar a la emostración el seguno axioma e proailia, poemos eterminar la istriución acumulaa para el seguno ígito significativo, es ecir, eterminar la proailia e que el valor el seguno ígito significativo sea menor o igual a un, esto es. 9 ( ( ) ) P( ) log La cual se reuce a: 0 P ( ) log 0 ( + ) (9 + ) Ley el -ésimo ígito significativo. Proposición.8.4.: La función e istriución el -ésimo ígito significativo, viene aa por la siguiente fórmula: (9) P ( ) log 0 + i i i 33

43 Con un razonamiento muy similar al utilizano en la proposición.7.3., poemos otener la función e istriución para el -ésimo ígito significativo..8.5 Proailiaes conicionaas e los ígitos Proailia conicionaa el seguno igito. Al igual que en toa istriución e proailia conjunta poemos, en este caso, eterminar la proailia e que el seguno ígito significativo tome el valor ao que el primero ya ha tomao el valor e. Para eso usamos simplemente la efinición e proailia conicionaa para el caso e os variales, la cual es la siguiente: ( y/ x) P P( y, x) P( x) ; Proailia conicionaa e y ao el valor e x Done: P ( y, x) es la proailia conjunta e las variales x e y y P (x) es la istriución marginal e la variale x Así, se tiene: ( / ) P P(, P( ) ) Como 34

44 Y P(, ) log 0 log log log P( Otenemos finalmente que P ( / ) i [ + ( *0+ ) ] + *0 i *0+ + *0+ ) log log i * ( + ) log log 0 En la siguiente tala se muestra las proailiaes corresponientes. PRIMER DIGITO Tala.5. Proailia conicionaa el seguno ígito. SEGUNDO DÍGITO

45 .8.5. Proailia conicionaa el -ésimo ígito. De una manera muy similar a la utilia para la otención el la proailia conicionaa el seguno ígito poemos eterminar la proailia que el -ésimo ígito significativo tome el valor e.,,, los valores ao que los primeros (- ) ígitos han tomao Para otener icha proailia hacemos uso e la proailia coniciona generalizaa, la cual es astante similar para el caso e os variales: De esta manera tenremos que P(,,..., ) P( /,..., j) ; j P(,,..., ) De los resultaos anteriores saemos que P (,,..., ) log0 + log 0 i *0 + i *0 i i *0 i i j i i i Y tamién que P (,,..., ) log + 0 i i 0 ( ) i 36

46 log + i 0 i 0 i i 0 Con lo que otenemos finalmente que ( /,..., ) P i ( ) i ( ) i + i 0 i log0 i i 0 + i 0 i log0 i 0 i i ( ) i ( ) i.9 Generalización e la Ley e Benfor: la istriución mantisa. Ya hemos proao que la istriución logarítmica conjunta e los primeros ígitos significativos,,..., ( Ν ) se efine por: P (,..., ) log0 + i 0 i i (6) { } { } para too entero positivo too y too j j,....,,...,9, 0,,...,9, Sin emargo, en su forma más general, la Ley e Benfor es una eclaración acerca e las istriuciones e las mantisas; la cual, evientemente, pertenece al campo e los números reales: Pr( mantisa x) log x; x [,0) (0) 0 37

47 Done la mantisa e un número real x es el número otenio e x camiano el punto ecimal al lugar inmeiato siguiente al primer ígito significativo (iferente e cero). Ejemplos: M (9) M (0.09) M (90) 9 M (3.) M (0.003) M (300) 3. M (.) M () M (000). Definición.9.. La función mantisa M es la función : R + [,0) M tal que M ( x) r, one r es el único número en [,0) que cumple n Ζ. x 0 n r para algún Es fácil visualizar la equivalencia e las ecuaciones (0) y (6). Proposición.9.. La istriución logarítmica conjunta e los primeros ígitos significativos,,..., ( Ν ) se puee generalizar al caso continúo meiante la istriución e proailia e la mantisa M e la siguiente forma: P ( M ( x) r) log0( r), one [,0) r (0) Demostración: Consiste en proar la equivalencia e las ecuaciones (6) y (0). Así:. (6) (0). Proaremos que (0) es vália; asumieno que (6) se cumple. i) Supongamos que r tiene solamente un igito significativo, es ecir r : P ( M r) 0; si log0 ( ); si < 0 38

48 39 Así: Si entonces 0 ) ( ) ( ) ( M P M P r M P, porque la istriución e proailia e M es una función e ensia. La proailia e que una variale continua tome un valor en particular es cero. Si 0 < entonces ) ( log ) ( log ) ( ) ( 0 0 r D P r M P, utilizano la fórmula e la función acumulaa para el primer ígito significativo. ii) Supongamos que r tiene más e un ígito significativo. Así: r 3. En notación ecimal: i i i r ) ( , con, 0,..., 0 > > > Luego, ),...,, (... ),, ( ), ( ) ( ) ( ) ( D D D P D D D P D D P D P M P r M P ),,, (... ),, ( ), ( ) ( ) ( 3 3 D D D P D D D P D D P D P r M P Según la hipótesis e la istriución conjunta e los ígitos tenemos:

49 log... 0 log 0 log ) ( log ) ( 3 3 i i i r M P Analicemos separaamente caa sumatorio e la ecuación anterior, así: log log 0 0 log 0 log Ahora, siguieno el mismo razonamiento con los sumanos e la expresión anterior, se llega al resultao esperao. Por ejemplo, para el último sumano e ( ) P M r, log 0 log i i i i i i i i i

50 Por lo que: PM ( r) log 0 log log log log log log ( ) + log 0 + ( ) ( ) 0( ) ( ) i ( r) 0 0 ( i ) i + log (0 + ) (0 + + log i i 0 0 i i i i ) Sin emargo, si uno o varios e los j ( j> ) son nulos o si el resultao sigue sieno válio.. (0) (6). Proaremos que (6) es vália; asumieno que (0) se cumple. Es ecir, poemos eucir la fórmula e la istriución logarítmica conjunta e los primeros ígitos significativos,,..., ( Ν ) a partir e la istriución e proailia e la función mantisa. Así 4

51 ( PD (, D,..., D ) P M< + 3 Como queríamos emostrar. + ( )) + ( ( )) + ( ) log log log ( ) log ( ) 0 log log ( ) 0 + log 0 + ( ) log i i i Finalmente, la istriución logarítmica conjunta e los primeros significativos,,..., se puee generalizar istriución e proailia e la mantisa M. ígitos al caso continúo meiante la 4

52 CAPÍTULO II EXPLICACIÓN DE LA LEY DE BENFORD 43

53 . Introucción En este capítulo se explica el funamento matemático y estaístico e la Ley e Benfor, principalmente el e efinir el espacio propio e proailia, ya que es una e las claves principales para entener la Ley, tamién, estuiaremos los aportes esarrollao por algunos autores en su intento e explicarla, tales como; Theoore Hill, Roger Pinhan, Mar Nigrini, entre otros. En la primera sección se efine y se an algunos ejemplos e la Función Mantisa y la Sigma Álgera, aemás e presentar una reve relación e éstas; en la sección seguna, se estuian y se emuestran algunos lemas e interés sore la Sigma Álgera los cuales estarán ligaos a las secciones siguientes; en la tercera sección se presentan las funciones e istriución para los primeros ígitos en cualquier ase; en la cuarta sección se presentan la Escala Invariante, algunos ejemplos e estas istriuciones y se finaliza con un teorema muy importante que trata sore la unicia e la Escala Invariante; en la quinta sección se presenta la Base invariante, algunos ejemplos y efiniciones claves; en la sexta y última sección se presentan os teoremas muy fuertes sore la Base Invariante y algunas efiniciones y proposiciones necesarias para la emostración e éstos.. La Función Mantisa y la Sigma Álgera Antes e pasar a efinir formalmente la función mantisa y la sigma álgera presentamos la siguiente efinición. Definición..: El trío ( Ω, M, Ρ ) recie el nomre e espacio proailístico o espacio e proailia, one Ω es un espacio muestral, M es una σ á lgera e sucesos sore Ω y P es la meia e proailia sore M. 44

54 Siguieno la efinición e espacio proailístico en este punto es importante efinir el conjunto M (σ á lg era ), ya que se tiene una noción sore el resto e los elementos ( Ω, Ρ ) el espacio e proailia para too fenómeno que sigue la Ley e Benfor, el espacio muestral, generao por un fenómeno e Benfor es y la meia e incertiumre el espacio proailístico, es la función e istriución el primer, seguno,, ésimo ígito significativo, e un número eterminao. + R Definición..: Para caa entero >, la función mantisa (ase ), función M : + [, ) R e tal manera que ( x) r, M M es la one r es un único número que está en el intervalo [,) con n x r para algún n Z. Nota: La restricción el ominio e M a + R, es sólo por conveniencia y este puee extenerse a toos los reales por meio e M ( 0) 0 y M ( x) M ( x), pero este caso no se aorará ya que hemos visto con anterioria que si algún fenómeno sigue la Ley e Benfor es imposile que se oserven valores negativos, pero esto epenerá que tipo e interpretaciones les emos a éstos (una ganancia e -3 tamién puee interpretarse como una péria e +3), por el momento traajaremos únicamente con valores positivos. Osérvese aemás que la efinición.9. es un caso particular cuano 0. Definición..3: Para E [, ), sea n E M ( E) E R + Z n Sieno esta la mantisa σ -álgera y comúnmente enotaa por M y es la σ -álgera sore los + R generaa por M. 45

55 Done implicará la unión finita (infinita) e elementos isjuntos os a os. Ejemplos..4 (Función Mantisa) ) M 9) 9 (9), 9 [, 0) [, 00) ; ao que 0 ( M *0 9*00, 0 Z ) M (9). 00,.00 [, ) ao que 9 8 * 3 9, 3 Z 3) M (.4). 4, ao que 0 0 [ ) [ ) *0, Z 4) si E,5,0, 0, n Z : (, ), entonces, [ ) n E M ( E) 0,5 n Z [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) , ,0.5,5 0,50 00, n n n {} { n Z} porque {} M0( {}) {} { } 0 0 5) 0 :, 0 0 R [ ) R [ ) [ ) n Z n ( ) [ ) + + 6),, porque, M,, R, >, Z; + n Z La interpretación que poemos arle a la efinición..3 poría ser la siguiente: la σ álgera mantisa es en realia el conjunto e toos los números reales cuyo primer ígito significativo se encuentra en el intervalo E, o más ien el conjunto e toos los números reales tales que su mantisa se encuentra en E. Oservación: se verifica que la σ álgera mantisa es en realia una sigma álgera, para ello eemos proar las siguientes propieaes. i) Ω M ii) S M { } es S c M iii S es S ) M M N N 46

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