Probabilidad para una V.A. Continua. P( a X b) = f ( x)

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1 Tema 4: Variables Aleatorias Contínuas Prof. Heriberto Figueroa S. Capítulo 4 Variables Aleatorias Continuas y sus Distribuciones de Probabilidad 4.1. Variables Aleatorias Continuas Una variable aleatoria X se dice continua si su conjunto de valores posibles es un continuo de valores (es decir, un intervalo de números reales). Para a < b números reales, entonces es posible cualquier número x entre a y b). Estd. Pedmath. V.A.C 1 Estd. Pedmath. V.A.C Función Densidad de Probabilidad Una v.a. X se dice que tiene función densidad de probabilidad, si existe la derivada F(x)/dx = f(x) para todo x (salvo posiblemente en un número finito). f(x) se llama brevemente densidad. 1. f (x) > para todo valor de x.. - f ( x ) dx = 1 Area = 1 Sea X una v.a.c. Entonces una función de densidad de probabilidad de X es una función f (x) tal que para dos números cualesquiera a y b, b a X b) = dx a El gráfico de f es la curva de densidad. y = Estd. Pedmath. V.A.C 3 a b Estd. Pedmath. V.A.C 4 Probabilidad para una V.A. Continua Si X es una v.a.c, entonces para cualquier número c, x = c) =. Para dos números cualesquiera a y b con a < b, a X b) = a < X b) = a X < b) = a < X < b) Diferencias importantes entre cuantías y densidades Y, una v.a.d. con cuantía f(y) X, una v.a.c. con densidad f(x); f(y)=y = k) = la probabilidad que el suceso sea k. f(x) es una función particular con la propiedad que para cualquier suceso A = (a,b), A) es la integral de f sobre A A) = A X = k) = dx = k k b a dx dx = Estd. Pedmath. V.A.C 5 Estd. Pedmath. V.A.C 6 1

2 Ej 1. (4.1) X = cantidad de tiempo en el cual un libro de la reserva limitada a horas en la biblioteca de una universidad es chequeado por la selección al azar de estudiante y supongamos que X tiene como función de densidad.5x x = otherwise a. x 1) = dx =.5 xdx = x =.5 4 b..5 x 1.5) = c. P xdx =.5 ( x > 1.5) =.5 xdx = Estd. Pedmath. V.A.C 7 Distribución Uniforme Una v.a.c. X se dice que tiene distribución uniforme en el intervalo [a, b], escrito X ~ U (a,b) si la densidad de X es 1 a x b f ( x; a, b) = b a otherwise Tov Estd. Pedmath. V.A.C 8 Ej. X ~ U (a, b) a) Given b > a, f (x) b b 1 x b 1 b) dx = dx = = ( b a) = 1 a a b a b a a b a Let X ~ U (, 1) X<.5) =.5.1<x<.9 ) = =.8 X >.35) = 1 X<.35) = =.65 a<x<b) = (b a) Distribución Exponencial X ~ Exp( λ) X se dice que tiene distribución exponencia si para algún λ >, 1 = e λ x λ x > x < Estd. Pedmath. V.A.C 9 Estd. Pedmath. V.A.C 1 Ej 3. Considemos un fabricante de ampolletas que tienen una esperanza de vida media de 3 horas. Se garantiza el reembolso del dinero si la ampolleta falla antes de 3 horas. Qué proporción de las ventas de la compañía se podría ocupar si se necesita hacer reembolsos de dinero? Sea X = tiempo que la ampolleta permanece operable, entonces el objetivo es encontrar X<3) 1 x / 3 X ~ Exp( λ) λ = 3, = e 3 X e u 3 1 < 3) = e 3.1 = =.1 x 3 dx =.1 u e du Estd. Pedmath. V.A.C Funciones de Distribución Acumulativas y Valores Esperados La función de distribución acumulada, F(x) para una v.a.c., X, también se puede escribir, para todo número x, como ( ) x F( x) P X x f ( y) dy = = Estd. Pedmath. V.A.C 1

3 Uso de F(x) para Calcular Probabilidades Sea X be una v.a.c. con densidad f(x) y distribución F(x). Entonces para cualquier número a, X > a) = 1 F( a) Y para dos números cualesquiera a y b con a < b, Función de Distribución Acumulada Suceso Probabilidad concerniente del suceso en a X términos de X Suceso concerniente a X Probabilidad del suceso en términos de X a X b) = F( b) F( a) Estd. Pedmath. V.A.C 13 Estd. Pedmath. V.A.C 14 Valor Esperado El valor esperado o valor medio de una una v.a.c. X con densidad f (x) es ( ) ( ) µ X = E X = x f x dx Cuando existe la integral Estd. Pedmath. V.A.C 15 * Valor esperado de h(x)* Si X es v.a.c. con densidad f(x) y h(x) es cualquier función de X, entonces [ ] µ h( X ) E h( x) = = h( x) dx f es la densidad de X Estd. Pedmath. V.A.C 16 Varianza y Desviación Estándar La varianza de una v.a.c. X con densidad f(x) y media µ es σ X = V ( x) = ( x µ ) dx ( ) = E[ X µ ] La desviación estándar es σ = V ( x). ( ) [ ] V ( X ) = E X E( X ) X Fórmula de Cálculo Estd. Pedmath. V.A.C 17 Mediana de una Distribución La mediana, de una distribución contínua denotada µ%, es el percentil 5 avo. Así µ% satisface.5 = F ( % µ ). Es decir, la mitad del área bajo la curva de densidad está a la izquierda de µ%. Estd. Pedmath. V.A.C 18 3

4 Percentiles Sea p un número entre y 1. El percentil (1p) avo de la distribución de una v.a.c. X denotado por η( p), está definido por Distribución uniforme continua 1 =, a < x < b y tov b - a ( η ) η ( p) p F ( p) f ( y) dy = = Estd. Pedmath. V.A.C 19 Estd. Pedmath. V.A.C Ej 4. X ~ U (a,b), EX, Var(X)? 1 =, X ( a, b) b a b b x x b 1 EX = x dx = dx ( b a = = a b a ( b a) a ( b a) EX = ( a + b) / = b a = ( a x dx = + ab + b ) / 3 Var = EX ( EX ) = x x b dx = b a 3( b a) a ( a b) b a a ) Estd. Pedmath. V.A.C y Ubicación de 1 puntos aleatoriamente en un cuadrado x y <- runif(1,, 5) runif(1,, 5) Estd. Pedmath. V.A.C Estd. Pedmath. V.A.C 3 Estd. Pedmath. V.A.C 4 4

5 Estd. Pedmath. V.A.C 5 Estd. Pedmath. V.A.C 6 Ej 5. X ~ Exp( λ) EX, Var(X)? 1 x/ λ = e, X >, λ > λ 1 x / λ EX = x dx = λ x e dx = λ 1 x / λ EX = x dx = = λ x e dx λ Var = EX ( EX ) = λ Ej 6. Para personas infectadas con cierta forma de malaria, el tiempo X que permanecen en remisiones está descrito por la siguiente densidad, 1 = x, 9 x 3 Cuál es el tiempo promedio que tales pacientes permanecen en remisión? x 3 EX = x dx = x x dx = =. 5 años years 9 36 Estd. Pedmath. V.A.C 7 Estd. Pedmath. V.A.C 8 Ej 6 (Cont.). X =Tiempo en remisión, y 1 = x, x 3 9 Cuál es la probabilidad que un paciente de malaria permanezca en remisión durante todo un año? ( > 3 1) = x P X x dx = = (7 1) 96.9% Obtención de f(x) a partir de F(x) Si X es una v.a.c. con densidad f(x) distribución F(x), entonces para todo número para el cual la derivada es F ( x) =. Estd. Pedmath. V.A.C 9 Estd. Pedmath. V.A.C 3 5

6 Ej 7.Una v.a.c. X tiene la función de distribución que se muestra abajo, encontrar la correspondiente densidad 1/ < X 3/ 4) x < x < F( x) = x x < 1 = F( x)' = x x < 1 1 x 1 x Método Method 1: 1: < x ) = F( ) F( ) = = / 4 3/ 4 5 Método Method: : < x ) = = = 4 xdx x 1/ 1/ 16 Estd. Pedmath. V.A.C 31 Ej 8. X =tiempo de remisión, y 1 = x, x 3 9 µ = EX =. 5 años µ ~? 3 m 1 m 1 X < µ ) = x dx = = o 9 7 ~ 7 µ = 3 =.38 años asimetría izquierda Estd. Pedmath. V.A.C Distribución Normal Distribución Normal Estándar Una v.a.c. Z, se dice que tiene una distribución (,1) normal estándar, escrito X ~ N si su densidad, para - < z <, es x Área sombreada Φ( z) f ( z ) = e π La Distribución es z x Φ ( z ) = e dx Tema 4. VAC Prof. Heriberto Figueroa S. Estd. Pedmath. V.A.C 33 - π z a. Distribución Normal Estándar Sea Z la distribución normal estándar. Encuentre (de la tabla) Z.85) Área a la izquierda de.85 =.83 b. Z > 1.3) = 1 Z 1.3) =.934 c..1 Z 1.78) = Z 1.78) Z.1) = =.9446 Estd. Pedmath. V.A.C 34 Distribución normal estándar Ej 9. Sea Z variable normal estándar. Encuentre (de la tabla) a. Z 1.5) = Φ(1.5) =.8944 b. Z > 1.5) = 1 Φ(1.5) = =.156 c. Z 1.5) =Φ( 1.5) =.156= Z > 1.5) d. Z > 1.5) = 1 Φ( 1.5) =.8944= Z 1.5) e..1 Z 1.78) Encontrar el área a la izquierda de 1.78 y se sustrae enseguida el área a la izquierda de.1. = Z 1.78) Z.1) = =.9446 Estd. Pedmath. V.A.C 35 Estd. Pedmath. V.A.C 36 6

7 z α Notación z α denotará el valor sobre el eje de medición para el cual el área bajo la curva z está a la derecha de z α. Área sombreada = Z z α ) = α z α Estd. Pedmath. V.A.C 37 Ej. Sea Z una variable normal estándar. Encuentre z si. Z < z) =.978. Mire la tabla y encuentre una entrada =.978 entonces lea hacia atrás para encontrar el valor pedido z = b. z < Z < z) =.813 z < Z < z ) = < Z < z) z < Z ) =.966 = [z < Z ) ½] = z < Z ) 1 =.813 z = 1.3 Estd. Pedmath. V.A.C 38 Ej 11.( z α y percentil). Denotemos por z α al valor de Z para el cual Z zα ) = α Por definición, de rango intercuartílico (IQR), para la curva normal estándar es la diferencia de Q = z z.5.75 Encuentre Q. Q = z.5 z.75 =.67 (.67) = Distribución Normal Una v.a.c. X se dice que tiene distribución normal con parámetros -< µ <, σ >, Si la densidad f está dada por 1 ( x µ ) /( σ ) = e < x < σ π Estd. Pedmath. V.A.C 39 Estd. Pedmath. V.A.C 4 Curva Normal Porcentaje aproximado de área dentro de desviaciones estándar dadas (regla empírica). 99.7% 95% 68% Estd. Pedmath. V.A.C 41 Estd. Pedmath. V.A.C 4 7

8 Estd. Pedmath. V.A.C 43 Estd. Pedmath. V.A.C 44 Tabla Estd. Pedmath. V.A.C 45 Estd. Pedmath. V.A.C 46 Estd. Pedmath. V.A.C 47 Estd. Pedmath. V.A.C 48 8

9 Distribuciones Normales No Estándar Si X tiene distribución normal con media µ y desviación estándar σ, entonces Z = X µ σ Tiene distribución normal estándar Estd. Pedmath. V.A.C 49 Estd. Pedmath. V.A.C 5 Ej. Sea X una variable aleatoria normal con µ = 8 and y σ =. Encuentre Find X 65) P ( X 65) = P Z (.75) = P Z =.66 Características de las curvas normales Simétrica y con forma de campana. Probabilidad que un valor esté dentro de k desviaciones estándar de la media. Localización y forma caracterizada completamente por medio de la media y la desviación estándar. Estd. Pedmath. V.A.C 51 Estd. Pedmath. V.A.C 5 Ej. Una peste particular ha surgido en una escuela primaria. Se ha determinado que el tiempo de permanencia de la peste tiene distribución normal con µ = 6 días y σ =1. 5 días Encontrar la probabilidad que para un estudiante seleccionado al azar, la peste le durará entre 3.75 y 9 días X 9) = P Z = P 1.5 Z = =.914 ( ) Percentiles de una distribución normal arbitraria (1p) avo percentil = de normal + (1p) avo percentil de normal estándar µ σ Estd. Pedmath. V.A.C 53 Estd. Pedmath. V.A.C 54 9

10 Z score X µ X ~ N( µ, σ ), Z = ~ N(,1) σ a µ X µ b µ a X b) = P σ σ σ a µ b µ b µ a µ = P Z = Φ Φ σ σ σ σ X µ a µ a µ a µ X a) = P = P Z = Φ σ σ σ σ X µ b µ b µ X b) = 1 X < b) = 1 P = P Z σ σ σ a µ = Φ σ Estd. Pedmath. V.A.C 55 Ej 14. Una persona será considerada como DUI si la concentración de alcohol en la sangre, X, es.1%. Aunque los analizadores del aliento usados para este propósito son notablemente precisos, las máquinas muestran una cierta cantidad de error de medición. Repitiendo las mediciones con al analizador de aliento (X) tomadas en una misma persona produce una distribución de las respuestas que se puede describir mediante una densidad normal con μ = Concentración verdadera el alcohol en la sangre de una persona σ =.4%. Cuales son las oportunidades que una persona sea incorrectamente boleteada con una multa por DUI, si esta persona tiene una concentración verdadera de.95%? Estd. Pedmath. V.A.C 56 X ~ N(.95,.4 ) Percentiles de una Distribución Normal Arbitraria arresto DUI ) = X.1) X = P.4.4 = Z 1.5) = 1 Z < 1.5) = 1 Φ(1.5) = =.156 z α es el 1(1 α) normal estándar (1p) avo percentil de normal X ~N( µ, σ ) avo percentil de la distribución X µ Z = = z σ α = µ + zασ Estd. Pedmath. V.A.C 57 Estd. Pedmath. V.A.C 58 Ej 14. Mensa es una socieda internacional dedicada a fines intelectuales. Cualquier persona con un IQ en el % superior de la población general es elegible para unírseles. Cuánto es el menor IQ que calificaría a una persona para pertenecer a la sociadad? Suponga que los IQ tienen distribución normal con µ = 1 and y σ =16 Así, X = valor de IQ, X ~ N(1, 56) X x ) =. ó X < x ) =.98 l X 1 xl 1 xl 1 X < xl ) = P < = P Z < = Z <.5) = Z < z ) = xl 1 Así =.5 xl 16 = = 133 l Estd. Pedmath. V.A.C 59 Aproximación Normal para la Distribución Binomial Sea X una v.a.d. binomial basada en n ensayos, cada uno con una probabilidad p de ocurrencia. Si el histograma de probabilidad binomial no es muy asimétrico ( µ = np and y σ = npq. ), entonces X se puede aproximar por una distribución normal con x +.5 np X x) Φ npq Estd. Pedmath. V.A.C 6 1

11 Continuity correction c Y d) d ) c f ( x dx Reemplazando los límites c y d por c 1/ y d + 1/ se llama corrección por continuidad. Es lo apropiado para cualquier distribución de probabilidad discreta está siendo aproximada por un área bajo la curva. Estd. Pedmath. V.A.C 61 Detalle de la Aproximación de la Normal a la Distribución Binomial X ~ Bin (n, p), donde np>1 ó nq>1, entonces X x) = X x +.5) = P X np x +.5 np np(1 p) np(1 p) x +.5 np x +.5 np P Z = Φ np(1 p) np(1 p) Estd. Pedmath. V.A.C 6 Estd. Pedmath. V.A.C 63 Estd. Pedmath. V.A.C 64 Estd. Pedmath. V.A.C 65 Estd. Pedmath. V.A.C 66 11

12 Comparación de binomiales normalizadas para p = 1/3 y n = 5,, 5,. 1, 5, 1 y 5. Estd. Pedmath. V.A.C 67 Estd. Pedmath. V.A.C 68 Estd. Pedmath. V.A.C 69 Estd. Pedmath. V.A.C 7 Estd. Pedmath. V.A.C 71 Estd. Pedmath. V.A.C 7 1

13 Estd. Pedmath. V.A.C 73 Estd. Pedmath. V.A.C 74 Estd. Pedmath. V.A.C 75 Estd. Pedmath. V.A.C 76 Estd. Pedmath. V.A.C 77 Estd. Pedmath. V.A.C 78 13

14 Ej. En un pequeño colegio particular la tasa de aprobación es 7% en Algebra. Si 5 estudiantes se matriculan en un semestre determinado en el curso, determine la probabilidad de que al menos 375 de los estudiantes pasen. µ = np = 5(.7) = 36 σ = npq = 5(.7)(.8) X 375) Φ = Φ(1.55) 1 Regla del Cualquier v. a. normal µ 1 σ < X < µ + 1 σ ) = 1< Z < 1) = 68% µ σ < X < µ + σ ) = < Z < ) = 95% =.9394 X ~ N( µ, σ ), Z ~ N(, 1) µ 3 σ < X < µ + 3 σ ) = 3 < Z < 3) = 99.7% Estd. Pedmath. V.A.C 79 Estd. Pedmath. V.A.C 8 Distribución Exponencial Una v.a.c. X tiene una distribución exponencial con parámetros si su densidad es λ λe f ( x; λ) = λx x De otherwise otro modo 4.4. La Distribución Gamma y sus Relacionadas La función Gamma La función gamma Γ α ( ) α 1 x Γ ( α) = x e dx se define como Para α > Note que; α -1 - x α -1 - x α -1 - x α - - x Γ( α ) = x e dx = - x de = -{[x e ] - ( α - 1) x e dx} α - - x = ( α - 1) x e dx = ( α 1) Γ( α - 1). Si α n (un entero positivo), entonces Γ( α ) = ( α - 1)! Estd. Pedmath. V.A.C 81 Estd. Pedmath. V.A.C 8 Distribución Gamma Una v.a.c X tiene distribución gamma si su densidad es 1 α 1 x / β x e x α f ( x; α, β ) = β Γ( α) Tovotherwise Media y Varianza La media y la varianza de una v.a.c. X que tiene distribución Gamma son E( X ) = µ = αβ V( X ) = σ = αβ (en el gráfico, r α, λ 1/β) Donde los parámetros satisfacenα >, β >. La distribución gamma estándar tiene β = 1. Estd. Pedmath. V.A.C 83 Estd. Pedmath. V.A.C 84 14

15 Probabilidades de la distribución Gamma Sea X con distribución gamma de parámetros α and y β. Entonces para x >, la densidad de X está dada por x X x) = F( x; α, β ) = F ; α β donde x α 1 y y e F( x; α) = dy Γ( α) Estd. Pedmath. V.A.C 85 Media y Varianza La media y varianza de una variable aleatoria X que tiene distribución exponencial 1 1 µ = αβ = σ = αβ = λ λ Estd. Pedmath. V.A.C 86 Distribuciones Gamma y Exponencial Sea X con distribución gamma con α=1 y β = 1/λ, entonces X tiene distribución exponencial, Con densidad dada por x < F( x; λ) = λx 1 e x Note que S(t) = 1 F(t) = e -λt, se llama la función ( Análisis de sobrevivencia y Teoria de renovación) Estd. Pedmath. V.A.C 87 Aplicaciones de la Distribución Exponencial Suponga que el número de sucesos que ocurren en cualquier intervalo de tiempo de longitud t tiene distribución Poisson de parámetro αt y que el número de ocurrencias en intervalos no traslapantes independientes entre sí. Entonces la distribución de los tiempos transcurridos entre las ocurrencias de dos sucesos sucesivos es exponencial de parámetro λ = α. Estd. Pedmath. V.A.C 88 Distribución Ji.Cuadrado Sea v entero positivo. Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución Jicuadrado con parámetro v si la densidad de X es la gamma con densidad de parámetros α = v / and y β =. 1 ( v / ) 1 x / x e x v / f ( x; v) = Γ( v / ) x < Distribución Ji-cuadrado El parámetro v se llama número de grados de libertad (gl) de X. El símbolo χ se usa a menudo en lugar de Ji-cuadrado Estd. Pedmath. V.A.C 89 Estd. Pedmath. V.A.C 9 15

16 Ji-cuadrado Estd. Pedmath. V.A.C 91 Estd. Pedmath. V.A.C Otras Distribuciones Continuas dnorm(x) Normal t gl=1 t gl=3 t gl= x Distribución Weibull Una v.a.c X tiene distribución Weibull si la densidad es α α α α 1 ( x / β ) x e x f ( x; α, β ) = β x < Donde los parámetros satisfacen α >, β >. Estd. Pedmath. V.A.C 93 Estd. Pedmath. V.A.C 94 Media y Varianza La media y varianza de una variable X que tiene distribución Weibull son, respectivamente: 1 1 µ = β Γ 1+ σ = β Γ 1+ Γ 1+ α α α Distribución Weibull La función de distribución (acumulativa) de una v.a.c. Weibull con parámetros α y β, es α ( x / β ) 1 e x F( x; α, β ) = x < Estd. Pedmath. V.A.C 95 Estd. Pedmath. V.A.C 96 16

17 Densidades Weibull Deexp(x) Distribución Weibull Distribución Lognormal Una v.a.c no negativa X tiene distribución lognormal si la v.a.c Y = ln(x) tiene una distribución normal resultante con parámetros µ y σ : 1 [ln( x) µ ] /( σ ) e x f ( x; µ, σ ) = πα x x < Estd. Pedmath. V.A.C 97 Estd. Pedmath. V.A.C 98 Media y Varianza Distribución Lognormal La media y la varianza de una variable X con distribución lognormal son µ + σ / µ + σ σ ( ) E( X ) = e V ( X ) = e e 1 La distribución (acumulativa) de una v.a. X lognormal es F( x; µ, α ) = X x) = P[ln( X ) ln( x)] ln( x) µ ln( x) µ = P Z = Φ σ σ Estd. Pedmath. V.A.C 99 Estd. Pedmath. V.A.C 1 Grafico de distribución lognormal Distribución Beta Una v.a.c. X se dice que tiene una distribución beta con parámetros A, B, α y β. Si la densidad de X es f ( x; α, β, A, B) = 1 Γ ( α + β ) x A B x B A Γ( α) Γ( β ) B A B A De otherwise otro modo α 1 β 1 x Estd. Pedmath. V.A.C 11 Estd. Pedmath. V.A.C 1 17

18 Media y Varianza La media y varianza de una variable X con distribución beta son α µ = A + ( B A) α + β ( B A) αβ σ = ( α + β ) ( α + β + 1) 4.6. Gráficos de Probabilidad Percentil muestral En una muestra de tamaño n con las observaciones ordenadas de menor a mayor. La observación i ésima menor en la lista se toma como el [1(i.5)/n] percentil muestral. Estd. Pedmath. V.A.C 13 Estd. Pedmath. V.A.C 14 Gráfico de Probabilidad Normal Un gráfico de los pares ([ 1( i. 5) n] mo z-percentil, i-ésima observación menor ) En un sistema de coordenadas bidimensional se llama gráfico de probabilidad normal. Si la muestra proviene de una distribución normal los puntos se ubicarán muy cercanos a la recta con pendienteσ e interceptoµ. Densidades Beta Densidades Beta Estd. Pedmath. V.A.C 15 Estd. Pedmath. V.A.C 16 Mas allá de la normalidad Consideremos una familia de distribuciones de probabilidad que involucren dos parámetros θ 1 y θ. Sea F( x; θ1, θ) la correspondiente distribucion acumulada. Los parámetros θ y θ 1 se dicen parámetros de localización y escala x θ1 F( x; θ1, θ) is es a función function de of. θ Estd. Pedmath. V.A.C 17 18