1 APLICACIONES DE LA INTEGRAL

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1 UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Prof Jorge Ruiz Cstillo 1 APLICACIONES DE LA INTEGRAL 11 Are entre curvs Definición- Sen f,g :[, b] R dos funciones integrbles, entonces el áre de l región R entre los gráficos de f g, [, b] está dd por : áre (R) = f () g () d Z π áre(r) = f () d = HlreláredelregiónR cotd por el gráfico de ls curvs = e =, Ejenplos- 1 Hllr el áre de l región R del plno encerrd por el gr fico de l curv de ecución =cos, π Solución- Solución- áre(r) = f () g () d = 1 Hlle el áre de l región R encerrd por el gráfico de ls curvs de ecuciones = 1 e = Solución- áre(r) = 1 µ 1 f () g () d 1 ( +) 1 d = 9 1

2 Ejercicios- 1 Encuentre el áre de l región cotd por ls curvs de ecuciones: = +6 +5e = 6 +5 Determine el áre de l región interior ls circunferencis de ecuciones: + = + = Clcule el áre de l región del primer cudrnte limitd por el eje ls curvs de ecuciones: =, =+ e = Clcule el áre encerrd por ls curvs de ecuciones = f () = e = g () = 1 Cálculo de volumen Dd un región sólid D tl ue pr cd, [, b] l sección trnsversl ue ps por intersect D en un región de áre constnte A, pr cd, entonces el volumen de D es V = A (b ) Por ejemplo si D es un cilindro recto de rdio r, entoncesa = πr, h Luego V (D) =πr h Supongmos hor ue el áre de cd sección trnsversl es A () no necesrimente constnte pr cd [, b] sip es un prtición de [, b], P = {, 1, n }, entonces el volumen V de l región D es proimdmente Por lo tnto sí V A (t 1 ) 1 + A (t ) + + A (t n ) n = A (t k ) k V = lim kpk V (D) = A (t k ) k A () d es el volumen del sólido D cus secciones trnsversles en el punto [, b] tienen áre A () Ejemplo- encontrr el volumen V del sólido D cus secciones trnsversles son circulres con rdio, 1 Solución- A () = π π V (D) = Z 1 A () d = Z 1 π d = π 5

3 Ejercicios- Encontrr el volumen del sólido cu secciones trnsversles son: 1 circulres de rdio, 1 cudrdos de ldo, 1 Encontrr el volumen de un cono, cilindro, esfer 11 Método del disco Cundo un curv continu no negtiv definid por f sobre [, b] se gir lrededor del eje se gener un región sólid ue tiene sector circulr ue corresponde discos de rdio f (), cuárees El volumen de este sólido es Ejemplos- A () =π [f ()], [, b] V = π [f ()] d 1 Clcule el volumen de un esfer de rdio Solución- En este cso f () =, V = Z [f ()] d = π Se Rh l región comprendid entre l gráfic de f () =cos sin, con, π i eleje Hlle el volumen V del sólido obtenido l rotr R en torno del eje Encontrr el volumen del sólido cotdo por: z = + z =1 Observción- 1 Si f g son continus tles ue g () f (), entonces el volumen del sólido generdo l girr l región R entre f g, [, b] en torno del eje, estáddopor: V = π ³[f ()] [g ()] d Se f un función continu tl ue f () c, [, b] El volumen del sólido generdo l rotr l curv = f () lrededor de l rect = c es: 1 Método del nillo V = π [f () c] d Si hcemos girr el rectángulo cotd por =, = b, = c lrededor del eje obtenemos un sólido (nillo cilindrico) de rdios b El cilindro interior tiene volumen: V 1 = πc

4 El cilindro eterior tiene volumen: V = πcb Luego el volumen del cilindro es: V = V 1 V = πc b Se hor f un función continu no negtiv sobre [, b] SeP = {,, n } un prtición de [, b] ElvolumenV k del sólido obtenido l rotr l región entre l gráfic de f eleje, [ k 1, k ] proimdmente es: V k πf (t k ) k k 1,tk [ k 1, k ],k =1,,, n = πf (t k )( k + k 1 )( k k 1 ) = πt k f (t k )( k k 1 ),cont k = k + k 1 Luego el volumen del sólido obtenido l rotr lrededor del eje l región entre l gráfic de f eleje, [, b] proimdmente es: Por lo tnto, es decir V π V =π lim t k f (t k ) k kpk V =π t k f (t k ) k, f () d ue es el volumen del sólido obtenido l girr lrededor del eje l región R entre el gráfico de f eleje, [, b] Observción- 1 Si f () g (), b, entonces l girr l región R entre ls gráfic sde f g lrededor del eje se gener un sólido de volumen V =π (f () g ()) d Si c<, entonces el volumen del sólido obtenido l rotr l región entre l gráfic de f eleje, b; lrededor de l rect de ecución = c es: V =π ( c) f () d De cuerdo lo visto l rotr un región lrededor del eje horizontl usremos el método del disco si rotmos en torno l un eje verticl usremos el método del nillo En relidd se puede usr culuier de losdosmétodosenmboscsos

5 Ejemplos- 1 Se f () = +1, 1 Encontrr el volumen del sólido generdo por f l girr R lrededor del eje Solución- Z 1 V =π (f () g ()) d = 1 π Se R l región cotd por l prábol =8 l rect de ecución = Clculr el volumen del sólido ue se obtiene l rotr l región R en torno () del eje Solución- f () = V = π (b) del eje Solución- f () = V = π f () d =8 π [f ()] d =8π d = 18 5 π d =16π Observción- Usndo el método del nillo g () = V =π (c) de l rect de ecución = Solución- f () = V = π Z ( g ()) d ( ) f () d =8 π (d) de l rect de ecución = Solución- f () = V = π ( +)f () d =8 π (e) de l rect de ecución = 6 Solución- g () = 8 8 ( ) d = π ( +) d =8π V = Z Z π ( +6)( g ()) d =π ( +6) µ d = 8 = 18π Observción- Usndo el método del disco f () = g() = V = π ³[f ()+6] [g ()+6] d = 18π Se R l región entre ls gráfics de f () = g () = con [, ] Encontrr el volumen del sólido generdo l rotr R en torno del eje Solución- V = π = π = π Z 1 Z 1 µ 8 5 (f () g ()) d +π d +π 5 π (g () f ()) d = d = 5

6 Ejercicios- 1 Encontrr el volumen del sólido generdo l rotr l región entre l gráfic de f () = +1eleje, [1, ] lrededor del eje () Utilizndo el método del disco (b) Utilizndo el método del nillo Utilice el método del disco el método del nillo pr girr l mism región nterior en torno () del eje (b) de l rect de ecución = (c) de l rect de ecución =5 (d) de l rect de ecución = (e) de l rect de ecución = 1 Relice lo mismo ue en los ejercicios nteriores cundo l región R está cotd por los gráficos de = e = 1 Longitud de curvs Se f un rect, entonces l longitud de sobre [, b] es l distnci entre los puntos (, f ()) (b, f (b)), es decir l = (b ) +(f (b) f ()) Se f :[, b] R, declsec 1 SeP = {, 1,, n } un prtición de [, b] Podemos proimr l gráfic de f sobre [ k 1, k ] por l rect L k ue ps por k 1,f(k 1 ) (k,f( k )), por lo ue l longitud l k de l gráfic de f sobre [ k 1, k ] l podemos proimr por l longitud de l k, es decir l k ( k k 1 ) +(f ( k ) f ( k 1 )) De cuerdo l teorem del vlor medio eiste t k ] k 1, k [ tl ue f ( k ) f ( k 1 )=f (t k ) k Por lo tnto l k 1+[f (t k )] k Luego l longitud de l curv en form proimd es: Por lo tnto es decir l l = l k = lim kpk l = 1+[f (t k )] k 1+[f (t k )] k, 1+[f ()] d ue es l longitud de l curv definid por l función f con primer derivd continu sobre [, b] 6

7 Ejemplos- 1 Si f () =ln(cos), l = Z π π h π, π i, entonces 1+[f ()] d =ln sec +tn i π π =ln Clculr l longitud de rco de l curv definid por = 1; Indicción- f () = 1 Z l = 1+[f ()] d = 8 ³ Clculr l longitud de rco de l curv definid implícitmente por: = + 8; Indicción- Derivndo implícitmente c/r : = = = Ecuciones Prmétrics Definición-Consideremos n =o n =e I un intervlo rel Se r : I R R n un función continu, entonces rec (f) es un curv en R n Recibe el nombre de curv definid prmétricmente por r Clculr l longitud de rco de l curv definid por =, 5 Solución- f () = Z 5 l = 1+[f ()] d = 5 7 Ejercicio- Observción- 1 En R, r (t) =(f (t),g(t),h(t)),t I Un curv C en R está definid prmétricmente por r si: C = rec (f) = (,, z) R :( t I)(,, z) =r (t) ª = (,, z) R :( t I)(,, z) =(f (t),g(t),h(t)) ª = (,, z) R :( t I) = f (t), = g (t),z = h (t) ª = f (t) De uí obtenemos ue: = g (t),t I z = h (t) es un representción prmétric pr C Tmbién podemos escribir r (t) =f (t)bi + g (t)bj + h (t) b k,donden b i, bj, b o k es l bse cnónic de R r () r (b) reciben el nombre de punto inicil punto finl de l curv respectivmente 5 L representción prmetric determin un sentido de recorrido de l curv 6 En el plno h dos sentidos de recorridos posibles Estos reciben el nombre de sentido horrio sentido ntihorrio respectivmente 7 L curv se dice cerrd si r () =r (b) 7

8 Ejemplos 1 Si un prtícul se mueve trvés de un trectori en el plno, entonces está trectori C tiene coordends e ue dependen del tiempo t Luego un representción prmétric pr C tiene l form = f (t) C :,t I = g (t) donde f g son continus sobre I L curv C con ecuciones prmétrics =cost C :,t [, π] =sint represent un elipse centrd en el origen ue + 9 =1 = t C : =t 1 represent un segmento de rect,t [, 1] Encontrr ls ecuciones prmétrics de un circunferenci C con centro en (, 1) rdio Solución- ( ) +( +1) =9 =cost C :,t [, π] +1=sint o =+cost C : =1+sint,t [, π] 5 Encontrr ls ecuciones prmétrics de l curv C de intersección del plno de ecución = con l superficiedeecución + + z = Solución- L proección de C en el plno z tiene ecución por lo tnto + =1 = cost C : = cost,t [, π] z =sint 6 Encontrr ls ecuciones prmétrics de l curv C de intersección de ls superficies de ecuciónes z = + con z = Solución- L proección de C en el plno tiene ecución ( 1) + =1 por lo tnto =1+cost C : =sint,t [, π] z =+cost 8

9 V = π Z =π = = =t sin t π = 6π d Z t=π t= (t sin t)(1 cos t)(1 cos t) dt 11 Longitud de rco en ecuciones prmétrics Se C un curv con ecuciones prmétrics = f (t) C : = g (t),t [, b] z = h (t) donde f, g h son funciones con primer derivd continu Se prueb de mner similrl cso de un curv en coordends rectngulres (ejercicio) ue l longitud de l curv C es: l = [f (t)] +[g (t)] +[h (t)] dt 7 Hllr el volumen del sólido de revolución generdo l rotr en torno del eje l región entre el primer rco de l cicloide de ecuciones: = t sin t, =1 cos t eleje Solución- Por el método del nillo Observción- 1 En el cso n =, = f (t) C :,t [, b] = g (t) donde f g son funciones con primer derivd continu ued l = [f (t)] +[g (t)] dt L fórmul En el cso n =o n =sic es prmetrizd por r : I R R n, entonces est mism fórmul se escribe Ejemplos- l = kr (t)k dt donde k k represent l norm del vector 1 L circunferenci C (,) es prmetrizd por: = cos t C :, t π = sin t su longitud es l =π 9

10 Un función f :[, b] R se puede prmetrizr por: = t,t [, b] = f (t) Obtenemos ½ (t) =1 (t) =f (t) l longitud de l curv definid por f es: l = 1+[f ()] dt Hllr l longitud de un rco de l cicloide de ecuciones Solución- l =8 1 Are de superficies = f (θ) =θ sin θ, = g (θ) =1 cos θ El áre de l superficiedeuncubodeldo es: S =6 El áre de l superficiedeuncilindroderdfio r longitud h es: S =πrh El áre de un tronco de cono de longitud l rdiosr 1 r es: S =π r 1 + r l = π (r 1 + r ) l Considere hor f :[, b] R un función no negtiv con primer derivd continu sobre [, b] Pr cd k =1,,, n: eláredelsuperficie del sólido obtenido l rotr f en torno del eje, [, b] es proimdmente igul l áre del tronco de cono de longitud l = ( k k 1 ) +(f ( k ) f ( k 1 )) derdiosr 1 = f ( k ), r = f ( k 1 ) Así obtenemos: S k π (f ( k )+f ( k 1 )) ( k k 1 ) +(f ( k ) f ( k 1 )) como en csos nteriores por el teorem del vlor medio plicdo f sobre [ k 1, k ],eistet k tl ue: Además f ( k ) f ( k 1 )=f (t k ) k f ( k )+f ( k 1 ) f (t k )+f (t k )=f (t k ) Por lo tnto S k πf (t k ) 1+[f (t k )] k De est mner l superficie generd por f tiene un áre proimd: es decir, S = S k π S = π lim kpk S =π f (t k ) f (t k ) 1+[f (t k )] k 1+[f (t k )] k f () 1+[f ()] d es el áre de l superficie obtenid l rotr f lrededor del eje 1

11 1 Se f () =, [, 1] encontrr el áre de l superficie generd l rotr f lrededor el del eje Solución- f es derivble f () =, [, 1] Z 1 S =π f () 1+[f ()] d = π ³1 1 7 Observción-Silcurvuegenerlsuperficieestáddpor lsecucione prmétrics = f (t), t [, b] = g (t) entonces l superficie tiene áre: S =π g () [f (t)] +[g (t)] dt Ejemplo- Clculr el áre de l superficie de revolución obtenid l rotr el rco de =,entre =e =1 Solución- S = π ³1 1 7 Ejemplo- 1 Encontrr el áre de l superficie delesferderdio Solución = f (t) = cos t, t, π = g (t) = sin t Z π S =π g () [f (t)] +[g (t)] dt =π Hllr el áre de l superficie de revolución generd l rotr en torno l eje "l crdioide" de ecuciones = f (θ) =cosθ cos θ, = g (θ) = sinθ sin θ Solución-( cos θ cos θ, sinθ sin θ) Coordends polres S = 18π 5 En el plno elegimos un punto fijo O ue llmmos polo Desde est punto trzmos un semi-rect horizontl l derech del polo ue llmmos eje polr Si P es un punto del plno, su posición ued determind por su distnci l polo el ángulo ue form l semi-rect OP con el eje polr Observción- En coordends crtesins (rectngulres) l representción de un punto es únic En coordends ³ polres un punto P tiene infinits representciones Por ejemplo P, π tmbién puede escribirse P ³, π +π o P ³, π π + etc 11

12 En generl (r, θ +kπ) ( r, θ +(k +1)π), k Z son representciones pr el punto P (r, θ) Pr efectos de cálculos conviene permitir tomr r vlores negtivos con el siguiente convenio El punto ( r, θ + π) es otr representción del punto (r, θ) Observción- Suponemos ue el polo coincide con el origen (, ) del sistem de coordends rectngulres Se P un punto de coordends rectngulres (, ) de coordends polres (r, θ) Tenemos: cos θ = sin θ = r r por lo tnto = r cos θ = r sin θ Ests relciones permiten clculr ls coordends de un punto en coordends rectngulres conocids sus coordends polres o vice-vers En este último cso r = p + θ =rctn r,6= Ejemplo- Encontrr ls coordends rectngulres de P ³ Solución- P (, ) = cos π, sinπ = 1, ³, π Gráficos en coordends polres Definición- el gráfico de un ecución en coordends polres es el conjunto de todos los puntos P (r, θ) ue stisfcen un ecución dd Ejemplos- Dibujr l gráfic de ls siguientes ecuciones: 1 r =cosθ r = θ, θ Solución- µ 1 Circunferenci con centro en C, rdior = π π π π 5π θ 6 6 r r pro, 6 1, 5 1, 5, 6 15 En generl r = ± cos θ, > represent l ecución de un circunferenci de rdio centro en (±, ) Ejercicio- Verificrl gráficrl r = ± sin θ, > represent l ecución de un circunferenci de rdio centro en(, ±) Ejercicio- Verificrl gráficrl 1

13 Espirl de Aruímides π π π π π 5π θ π π 6 r, 5 1, 1, 6,, 1, 7 6, 7, 9 θ Simetrís-Lssiguientesreglsestándescritsentérminosdelosejes e en coordends rectngulres Un ecución en coordends polres F (r, θ) =es simétric c/r l ) eje,si: (r, θ) Grf (F )= (r, θ) Grf (F ) (l reemplzr θ porπ θ l ecución no cmbi, o θ por π θ) b) eje, si:(r, θ) Grf (F )= (r, π θ) Grf (F ) (l reemplzr θ por π θ l ecución no cmbi) c) polo, si:(r, θ) Grf (F )= (r, π + θ) Grf (F ) o ( r, θ) Grf (F ) (l reemplzr θ por π + θ o r por r l ecución no cmbi) Observción- 1 si un ecución verific dos de ls simetrís descrits, entonces tmbién verific l tercer Los criterios de simetrís ddos no siempre dn informción Por ejemplo el gráfico de l ecución r =sinθ, rosde pétlos, no verific ls regls de simetrís descrits sin embrgo dmite tods ls simetrís posibles como se preci en el gráfico ue sigue 6515e-7 Ejemplo- Gráficr 1 r =cosθ r =(1 cos θ) Solución- 1 Ros de pétlos Simetrís eje : θ por θ- H eje : θ por π θ- H polo:h π θ 6 π π π r 1 1 1

14 e-1 Crdiode Simetrís eje : θ por θ- H eje : θ por π θ- No h informción polo: r por ro θ por π + θ- No h informción π π π 5π π θ π 6 6 r, 68 1, Ejercicio- Grficr 1 r =cosθ 19e-1 r =+cosθ 199 r = kθ, θ 1

15 Observción- Ls ecuciones: 1 r = sin (nθ); r = cos (nθ), tienengráfics llmds ross de pétlos El número de pétlos es n, sin es un entero impr es n si n es un entero pr r = ± b cos θ; r = ± b sin θ, se llmn crcoles Si = b se llmn crdiodes r = cos (θ), r = sin (θ), tienen el specto de un "ocho" Ecuciones en coordends polres crtesins Ejemplos- 1 Epresr en coordends polres: () = Solución- r sin θ = r cos θ sin θ = r cos θ r = r = sin θ cos θ r = Por lo tnto r = sin θ cos θ (b) + = Solución- r r cos θ = r (r cos θ) = r = r =cosθ Por lo tnto r =cosθ Epresr en coordends rectngules r = 1 1 cos θ Solución-r (1 cos θ) =1,θ 6= nπ, n Z r =1+r cos θ ± p + =1+ Elevndo l cudrdo 1= Intersección de curvs en coordends polres Sen r = f (θ) r = g (θ) dos curvs en coordends polres Se P (r, θ) un punto de intersección de f g distinto del polo Entonces ddo ue P (r, θ) tiene representción en coordends polres (r, θ +kπ) ( r, θ +(k +1)π), k Z, se tiene ue pr encontrr tods ls intersecciones de f g en coordends polres, debe resolverse ls ecuciones: f (θ) =g (θ +kπ) g (θ) =f (θ +kπ),k Z f (θ) = g (θ +(k +1)π) g (θ) = f (θ +(k +1)π),k Z f (θ) =g (θ) = Est últim es pr decidir si el polo es un punto de intersección Ejemplo- Encontrr los puntos de intersección de ls curvs definids por: Solución- f (θ) =g (θ +kπ),k Z cos θ =sin(θ +kπ) cos θ =sinθ 1 sin θ =sinθ sin θ = 1 sin θ = 1 r = f (θ) =cosθ r = g (θ) =sinθ 15

16 θ = π 6 θ = 5π 6 θ = π después de efectud l comprobción concluímos ue los ue siguen son puntos de intersección de ls curvs µ 1, π µ 1, 6, 5π µ, 1, π 6 Por otr prte, f (θ) = g (θ +(k +1)π),k Z cos θ =sinθ No port nuevs soluciones Finlmente: f (θ) =pr θ = π r = g (θ) =pr θ =,louemuestr ue el polo es el curto punto de intersección de ls curv Are en coordends polres El áre de un sector circulr de ángulo θ rdior es: A (r) = θ π πr = 1 θr Se f : [α, β] R,θ Ã r = f (θ), un función continu no negtiv, con β α π ser = {(r, θ) : r f (θ),α θ β} Se P = {θ,θ 1,, θ n } un prtición de [α, β] set k [θ k 1,θ k ] Si R k = {(r, θ) : r f (θ),θ k 1 θ θ k },entonceseláreder k es proimdmente A k 1 [f (t k)] θ k Luego A = A k 1 Tomndo el límite cundo kp k, A = 1 Z β α [f (t k )] θ k [f (θ)] dθ es el áre de l región R = {(r, θ) : r f (θ),α θ β} Ejemplo- clculrel áre de l región encerrd por l crdiode de ecución r =1+cosθ Solución- r = f (θ) =1+cosθ, θ π A = Z π [f (θ)] dθ = Z π (1 + cos θ) dθ = π Observción- Si f,g :[α, β] R son continus no negtivs pr β α π Si ( θ [α, β]) g (θ) <f(θ), entonces el áre de l región R = {(r, θ) :g (θ) r f (θ),α θ β} es: A = 1 Z β α ³[f (θ)] [g (θ)] dθ 16

17 Ejemplos- 1 Clculr el áre de l región definid l interior de r = f (θ) =cosθ l eterior de r = g (θ) =1+cosθ Solución- 175 A = 1 = 1 Z π π Z π π ³[f (θ)] [g (θ)] dθ = ³[ cos θ] [1 + cos θ] dθ = π Clculr el áre de l región interior mbs curvs del problem nterior Solución- A = 5π Clculr el áre de l región definid l interior de r = g (θ) =1+cosθ l eterior de r = f (θ) =cosθ Solución- A = π Clcule el áre de l región contenid l interior de r = f (θ) =cosθ o l interior de r = g (θ) =1+cosθ Solución- A = 5π Cálculo I II de Septiembre de 5 JRC 17