Unidad 10 Límites de funciones. Continuidad.

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1 Unidad 10 Límites de funciones. Continuidad. PÁGINA 01 SOLUCIONES 1. Podemos decir lo siguiente: f( ) tiende a () cuando tiende a ( ) y tiende a ( ) ( y tiende a ( ) g ( ) tiende a ( ) cuando tiende a ) ( ) cuando tiende a. cuando tiende a ( ). ( ) h ( ) tiende a ( ) cuando tiende a ( ) y tiende a () cuando tiende a. t ( ) tiende a ( ) cuando tiende a ( ) y tiende a ( ) cuando tiende a ( ). 19

2 PÁGINA 19 SOLUCIONES 1. Designamos los colores por: rojo (R), verde (V), azul (Z) y amarillo (A); y las tres formas por: cuadrada (C), circular (O), triangular (T) y pentagonal (P). Por ensayo y error las colocamos en un tablero 4 4, cumpliendo las condiciones que marca el enunciado. Una solución es: Podemos encontrar hasta 7 soluciones distintas.. El número total de amanitas ha de ser múltiplo de 9 menos 1, es decir, 8 amanitas. Haciendo el problema mediante ecuaciones: 8 8 = = 8 amanitas

3 . El enunciado del problema nos muestra que el número de latas de zumo debe ser un número impar. Por ensayo y error dirigido obtenemos: Hay 7 latas de zumo. El 1. er amigo se bebe 7 0,5 4 latas. Quedan latas. = El. o amigo se bebe 0,5 latas. Queda 1 lata. = El dueño de la casa se bebe 1 0,5 1 lata. = Luego, efectivamente, había inicialmente 7 latas de zumo. Este problema se puede resolver también por medio de ecuaciones. 4. Sea n un número real. i n ( n ) = ( 1) ( 1) ( 1) Veamos si 1 1 n n n n n n = ( ) ( n ) i n n1 1 =, pues es producto de tres números consecutivos. i i i i i i ( ) ( ) Si n= n 1= y n 1=, luego n1 n n 1 = = 1, i i i i i i ( ) ( ) Si n 1= n=, por lo que n n1 n n 1 = = 1, i i ( ) ( ) Si n 1= n=, porloquen n1 n n 1= = 1, ( n ) i En cualquier caso, efectivamente, n 1 = 1. i i i i i 141

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5 SOLUCIONES 1. Las soluciones quedan: a) f () = 1; g) f ( ) = 1 l) f ( ) = 1,5 r) g( ) noeiste 5,5,5 b) f ( )no eiste h) f ( ) = 1,5 m) g(1) = s) g(,5) no eiste c) f ( ) = i) f ( 5) no definida n) g( ) = t) g( ) no eiste 1 d) f ( ) = if ( 6) = 1 o) g( ) = u) g( ) no eiste 5 e) f(5) = j) f( ) = 1 p) g() = 0 6 f) f ( ) = 1 k) f ( ) = q) g( ) = Las correspondencias quedan: a) g( ) = b) g(1) = c) g( ) = 1 1. Las gráficas quedan: 14

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7 SOLUCIONES 4. Las respuestas quedan: a) f ( ) = h) g( ) = 1 b) f ( ) = i) g( ) = 1 c) f ( ) = 1 j) g( ) = d) Asíntota horizontal : y = 1. k) Asíntota horizontal : y= 0. Asíntotas verticales : = 1; = 1. Asíntota vertical : =. e) f ( ) = l) g( ) = 1 f) f ( ) = m) g( ) = 0 1 g) f ( ) = 1 n) g( ) = Las representaciones quedan: 145

8 6. Los resultados son: 5 a) = b) = c) = d) = 9 1 e) ( 7) = 7 f) g) 10 = 0 h) 1 0 = = 1 6 i) = 0 j) = k) = 0 l) = 1 1 m) = n) = o) 6 = p) =

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10 SOLUCIONES 7. Los ites y la gráfica quedan: f () = ( 1) = f () f () ( ) = = = f () = ( ) = f () = ( 1) = f () no eiste f () = ; f () = 8. Los ites quedan: a) [ 7 ] = b) = c) [4 7 5] = d) [ 4] = 5 1] 7 5 e) = 0 f) = g) = h) = 4 5 i) 6 = 9. Los ites quedan: a) 1 0 ( 1)( ) = = ( 1)( ) 4 ( 1) ( 1) 0 b) = = 1 c) 9 0 ( )( ) = = ( )(5 ) 17 d) ( 1)( 1)( = ( 1)( 1) 1) 4 = 148

11 0 ( )( ) 1 e) = = = ( )( 6) ( )( ) 4 f) ( )( ) = =± 4 4 ( ) ( 1 1)( 1 1) g) = = = = ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1) ( 1) ( 1) h) = = = = ( 1)( 1) 1 0 ( ) ( ) ( )( ) i) = = = 8 0 ( ) ( ) 10. Los ites quedan: a) 1 1 = 1 b) = ; = = ( )( ) c) = = = 0 d) ( ) 0 ( ) = = = ( )( ) e) = = = = f) 1 ( ) ( )( 1) = = 4 4 = 149

12 11. Los ites quedan: a) = e = e = e = = 6 b) e e = e = 0 5 c) ( ) = e = e = e = e 1. Las asíntotas quedan: a) Asíntota vertical : = 1 d) Asíntota horizontal : y = 0 Asíntota horizontal : y = b) Asíntotas verticales : = ; = e) Asíntota verticales : = 1; =1 Asíntota horizontal : y = 0 Asíntota horizontal : y = 1 c) Asíntota vertical : = f) Asíntota vertical : = 0 Asíntota oblicua : y = Asíntota oblicua : y = 150

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14 SOLUCIONES 1. Los ites quedan: a) = 6 b) 4 6 = = c) = ( 6 4)( 1) 1 d) = = 1 0 ( )( 1) e) = = ( 4 )( 1) 4 f) 6 (1 1) [ ] = e = e = e Queda: a) F (0) = 5000 animales hay en la actualidad ( t = 0). b) La población tiende a estabilizarse a animales, puesto que: 15000t = 7500 t t 15. Queda la epresión: = 0 9 Los beneficios se anulan cuando el tiempo crece indefinidamente. 16. Queda: a) M (0) = 40 montajes b) t 600t t 10 = ; = 600 t t t t c) = 500 t = 1,8 días. El máimo número de montajes que puede hacer es 600. t 15

15 17. Las asíntotas son: = 0 y C( ) =. Las tendencias son: = ; = La función y = es creciente en todo su dominio y el valor máimo lo alcanza en = 0 y 5 vale 8. La función f( ) = es decreciente en su dominio ( para > 0 ) y el valor 0,5,5 máimo lo alcanza en = 0 y vale 8. Por tanto la máima puntuación es 8 puntos. 15

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17 SOLUCIONES 19. Se calcula del siguiente modo: ( ) f ( ) = 1 = 1 ( ) f ( ) = = ( ) f ( ) = = 0 f ( ) =6 f ( ) f ( ) = 6 f ( ) =6 f(0) = ; f(1) = 0; f() =6 {} La función f( ) es continua en 0 0. El estudio en cada caso queda: a) f( ) no es continua en = 0 pues no está definida en ese punto. b) g ( ) es continua en toda la recta real. c) h ( ) es continua en toda la recta real. g ( ) = 1. 0 h ( ) = 1. 1 f ( ) noeiste En cada caso queda: i f ( ) = i f ( ) = 1 0 i f ( ) = 0 i f ( ) = i f( )es discontinua no evitable en = 0 155

18 i g( ) = 1 i g( ) = 1 i g( ) = i g( ) = i g ( )es discontinua no evitable en = i h( ) = i h( ) = 0 i h( ) = 1 1 i h( ) = 1 1 i h ( )es continua en = 1. En cada caso queda: a) Veamos la continuidad de f( ) en = y= 4. f () = ( ) f ( ) = 4 = 0 f ( ) = 0 = f () = 0 Luego f ( ) es continua en =. f ( ) = ( ) = 0 f (4) = ( ) f ( ) = = f ( ) = 5= 5 f ( ) Luego f ( ) no es continua en = 4. 4 b) Veamos la continuidad de g ( ) en = 0y=. g(0) =1 5 g( ) = =1 5 g( ) Luego g( ) no es continua en = 0. 0 g( ) = 1= g() = g( ) = 1= 10 g( ) = g() = Luego g( ) es continua en =. g( ) = = 156