Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot Método de Newton

Transcripción

1 Estalmat Madrid Miguel Reyes Diámica compleja Cojutos de Julia y Madelbrot Método de Newto Los úmeros complejos Los úmeros complejos so los úmeros de la forma a dode a y b so úmeros reales e i es la uidad imagiaria. E el campo de los úmeros complejos todas las ecuacioes poliómicas tiee solució, e particular las ecuacioes de segudo grado: i 43 3i Los úmeros complejos se represeta e el plao, e cuyo caso se llama plao complejo: eje imagiario b a a a b parte real parte imagiaria a eje real El cojuto de todos los úmeros complejos se represeta por:, Ejercicio Resuelve las siguietes ecuacioes y factoria los correspodietes poliomios: 3 4 6

2 peracioes co úmeros complejos Suma y diferecia: w w Por ejemplo: (3 i) (34 i) (3) ( 34) i5 i E geeral: ( a ) ( cdi) ( ac) ( bd) i ( a) ( cdi) ( ac) ( bd) i Producto y cociete: E forma ómica se opera como omios teiedo e cueta que i. Por ejemplo: ( 3 i)(34 i) (3 4 i) 3 i(34 i) 6 8i9ii 6 8i9i 8 i 3 i ( 3 i)(34 i) 6 8i9ii 6 8i9i 6 7i 6 7 i 34 i (3 4 i)(3 4 i) 9 6i Ejercicio 3 Efectúa las siguietes operacioes: Ejercicio Halla y tales que: Ejercicio 5 Si, y 34, realia las siguietes operacioes: 5 3 Números complejos e forma polar Además de por sus partes real e imagiaria, los úmeros complejos queda uívocamete determiados por su módulo y su argumeto: b a forma ómica: a r a r a b (modulo) forma polar: r b ta (argumeto) a forma expoecial (Euler):

3 Ejercicio Escribe e forma polar los siguietes úmeros complejos dados e forma ómica: E forma polar, el producto y cociete so más simples: w rs w s r producto: w rs r r w s cociete: w s Ejercicio 6 Dados los úmeros complejos,, y, exprésalos e forma polar y realia las siguietes operacioes e forma ómica y polar Aplicacioes geométricas Al multiplicar u úmero complejo por otro de módulo y argumeto α, se obtiee el úmero complejo que resulta de girar u águlo α co cetro el orige. Al multiplicar úmero por otro de módulo y argumeto α, se obtiee el que resulta de girar u águlo α co cetro el orige y multiplicar su módulo por. Ejercicio 7 Dos vértices cosecutivos de u cuadrado so, y 5,. Ecuetra las coordeadas de los otros dos vértices. Es úica la solució? Potecias: Usado módulo y argumeto, el cálculo de potecias es secillo: r r y, para todo 3

4 El sistema diámico f () La órta que sigue el puto e este sistema diámico es:,,,,,, dode f( ) f f( ) 4 ( ) 8 3 Halla la órta de i. Hacia dode se dirige? Halla la órta de ( i) /. Hacia dode se dirige? Halla la órta de i. Hacia dode se dirige? Ecuetra ua expresió geeral para e fució de. Expresa el módulo de e fució del módulo de. Hacia dóde se dirige la órta de u úmero complejo co? Hacia dóde se dirige la órta de u úmero complejo co? Hacia dóde se dirige la órta de u úmero complejo co? Co la expresió obteida, justifica los resultados obteidos para las órtas. Este sistema diámico permite obteer ua expresió geeral para cualquier térmio de la órta e fució del primero: f ( ) de dode se deduce que:, si, si mietras que si la órta se queda atrapada e la circuferecia uidad. Este cojuto de putos, que so frotera etre los que su órta diverge y los que su órta permaece acotada se llama cojuto de Julia del sistema diámico. putos cuya órta diverge cojuto de Julia putos co órta acotada 4

5 Los sistemas diámicos f () c Para cada valor del úmero complejo c hay u sistema diámico, y la órta que sigue el puto e dicho sistema diámico es:,,,,,, dode f( ) c f( ) c c c 3 f( ) c c c c E este caso, si c, o se puede obteer ua expresió geeral para cualquier térmio de la órta e fució del primero y, por tato, es muco más difícil coocer la órta de los putos del plao complejo. Si embargo, la situació es parecida al caso c : hay putos cuya órta diverge a ifiito y putos cuya órta permaece atrapada e u cojuto acotado, siedo la frotera etre uos y otros putos el cojuto de Julia asociado al sistema diámico correspodiete. A cotiuació aparece los cojutos de Julia asociados a varios sistemas diámicos: c.5. 5i c.. i c.. 75i c i c. 66i c. 5 Tatos los cojutos de Julia obteidos aquí, como todos los posibles, se puede clasificar e uo de los dos tipos siguietes: Coexos: todos sus putos está uidos por putos del cojuto. Discoexos: o hay dos putos que se pueda uir por putos del cojuto. 5

6 El cojuto de Madelbrot Es el cojuto de todos los úmeros complejos c para los que es coexo el cojuto de Julia asociado al sistema diámico f ( ) c. El cojuto de Cator es coexo co frotera fractal: 6

7 El método de Newto El teorema fudametal del álgebra afirma que todo poliomio p () de grado tiee exactamete raíces, cotado su multiplicidad. El método de Newto es u método que permite obteer las raíces del poliomio p () como putos atractivos de las órtas del sistema diámico asociado a la fució p( ) Np( ) p '( ) Es decir, cada órta de este sistema diámico coverge a ua de la raíces, y las regioes de atracció de cada ua de sus raíces suele teer estructura fractal. Regioes de atracció de la raíces del poliomio p ( ), que so: Regioes de atracció de la raíces 3 del poliomio p ( ), que so: y 3 i Regioes de atracció de la raíces 4 del poliomio p ( ), que so: y i Regioes de atracció de la raíces 5 del poliomio p ( ). 7