Capítulo 5. Integrales sobre curvas y superficies

Transcripción

1 Capítulo 5. Integrales sobre curvas y superficies 5.1. Integrales de funciones escalares sobre curvas 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas 5.3. Teorema de Green 5.4. Integrales sobre superficies parametrizadas 5.5. Teorema de Stokes, Teorema de Gauss. 1 / 26

2 5.1. Integrales de funciones escalares sobre curvas Vamos a ver cómo se puede integrar una función R 3 R a lo largo de una trayectoria dada. Definición Sea f : R 3 R y sea c : [a, b] R R 3 una curva parametrizada, con c(t) = ( x(t), y(t), z(t) ). La integral de f a lo largo de c es b f ds = f ( x(t), y(t), z(t) ) c (t) dt. c a (Aquí ds se refiere al segmento infinitesimal en cada punto de c.) Ejemplo: sea c : [, 2π] R 3, t (cos(t), sin(t), t) (un segmento de hélice), y sea f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Calcular c f ds. Tenemos c (t) = ( sin(t), cos(t), 1), luego c (t) = 2 para todo t. Por lo tanto f ds = c 2π (1 + t 2 ) 2 dt = 2 [ t + t3 3 ] 2π = π(3 + 4π2 ). Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.1. Integrales de funciones escalares sobre curvas 2 / 26

3 5.1. Integrales de funciones escalares sobre curvas Un caso especial interesante es aquel en el que c representa una curva plana: c : [a, b] R 2, t ( x(t), y(t) ), y tenemos una función f : R 2 R definida sobre esta curva. Podemos calcular la integral de f a lo largo de la curva: f (x, y) ds c = b a f ( x(t), y(t) ) x (t) 2 + y (t) 2 dt. Si f, esto es el área de la pared sobre c definida por f. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.1. Integrales de funciones escalares sobre curvas 3 / 26

4 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas Ahora vamos a ver cómo podemos integrar campos vectoriales a lo largo de una trayectoria dada. En este caso tenemos lo siguiente. Definición (Integral de ĺınea) Sea F : R 3 R 3 un campo vectorial y supongamos que F es continuo sobre la curva dada por c : [a, b] R 3. Definimos la integral de ĺınea de F sobre c por la fórmula b F ds = F ( c(t) ) c (t) dt. c a Ejemplo: sea c(t) = ( sin(t), cos(t), t ), t [, 2π], y sea F (x, y, z) = (x, y, z). Calcular c F ds. Aplicando la definición tenemos c F ds = 2π ( ) ( ) 2π sin(t), cos(t), t cos(t), sin(t), 1 dt = t dt = [ t 2 /2 ] 2π = 2π 2. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas 4 / 26

5 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas Ejemplo: sea c(t) = (t, t 2, 1), t [, 1], y sea F (x, y, z) = (x 2, xy, 1). Calcular c F ds. (Nótese que escribiendo ds = ( dx, dy, dz) se puede escribir c F ds = c x 2 dx + xy dy + dz.) Tenemos c F ds = 1 (t2, t 3, 1) (1, 2t, ) dt = 1 t2 + 2t 4 dt = [ t ] 2t5 1 5 = = En todos estos casos vemos que estas integrales dependen de F y también de la elección de c. Ahora bien, como vimos en unos ejemplos anteriores, es posible parametrizar una misma curva (como conjunto de puntos) con diferentes funciones c. Damos una definición formal de tales cambios de parametrización como sigue. Definición (Reparametrización de una curva) Sean I = [a, b ], I 1 = [a 1, b 1 ] intervalos en R, sea h : I I 1 una biyección de clase C 1, y sea una curva en el espacio dada por c 1 : I 1 R 3. Llamamos la función c = c 1 h : I R 3 una reparametrización de c 1. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas 5 / 26

6 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas A priori puede parecer que una integral a lo largo de una curva depende de la parametrización de la curva. El resultado siguiente precisa en qué medida se puede dar una tal dependencia. Teorema Sea F : R 3 R 3 un campo vectorial, supongamos que F es continuo sobre una curva de clase C 1 dada por c 1 : [a 1, b 1 ] R 3, y sea c : [a, b ] R 3 una reparametrización de c 1. Entonces tenemos c F ds = ± c 1 F ds, donde el signo en ± depende de si la reparametrización conserva la orientación de la trayectoria, en cuyo caso el signo es +, o si invierte la orientación de la trayectoria, en cuyo caso el signo es. El hecho que haya esta dependencia en el signo se debe al producto escalar. En el caso de funciones escalares, como integramos más bien la cantidad positiva c (t), no ocurre este cambio de signo, y por tanto no cambia el valor de la integral bajo reparametrizaciones de la curva. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas 6 / 26

7 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas Teorema Sea f : U R 3 R una función y supongamos que f es continua sobre una curva de clase C 1 dada por c 1 : [a 1, b 1 ] R 3. Entonces para cualquier reparametrización c de c 1, tenemos c 1 f ds = c f ds. Además de esta última propiedad, para funciones escalares tenemos también el resultado fundamental siguiente. Teorema fundamental de integración sobre curvas Sea f : R 3 R de clase C 1 sobre una curva de clase C 1 dada por c : [a, b] R 3. Entonces tenemos c f ds = f ( c(b) ) f ( c(a) ). En particular, si F : R 3 R 3 es un campo vectorial conservativo, entonces una integral de ĺınea de F a lo largo de c sólo depende de los puntos extremos de c(a), c(b) (no del camino particular que toma c entre estos puntos). Nótese en particular que si c(b) = c(a) entonces c f ds =. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas 7 / 26

8 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas Ejemplo: sea c(t) = ( t4 4, sin( π 2 t)3, ), t [, 1], y sea F (x, y, z) = (y, x, z). Calcular c F ds. Observamos que esta integral se puede escribir c y dx + x dy = c (xy) ds. Por lo tanto, el teorema fundamental implica que la integral es f (c(1)) f (c()) donde f (x, y, z) = xy, luego la integral es = 1/4. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas 8 / 26

9 5.3. Teorema de Green En esta sección estudiamos un resultado importante que nos da una herramienta para calcular integrales de funciones sobre ciertas regiones en R 2. El resultado en cuestión reduce una tal integral sobre una región a una integral más simple, calculada sobre la frontera de la región, como sigue. Teorema de Green Sea D una región elemental en R 2, sea D el borde de D, y supongamos que D está parametrizado de modo que se recorra en el sentido que deja D a la izquierda del vector director (sentido antihorario). Sean P, Q : D R funciones de clase C 1. Entonces tenemos ( Q P dx + Q dy = x P ) dx dy. y D D Aquí D P dx + Q dy es otra manera de escribir la integral de ĺınea D (P, Q) ds. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.3. Teorema de Green 9 / 26

10 5.3. Teorema de Green Ejemplo: verificar el teorema de Green para P(x, y) = x, Q(x, y) = yx, con D el disco unitario {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. Por un lado tenemos D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}, que podemos parametrizar por ( cos(θ), sin(θ) ) con θ [, 2π]. Por lo tanto tenemos (x, yx) ( dx, dy) D P dx + Q dy = D = 2π (cos(θ), cos(θ) sin(θ)) ( sin(θ), cos(θ)) dθ = 2π sin(θ) cos(θ) + sin(θ) cos(θ) 2 dθ ] 2π + [ cos(θ) 3 ] 2π 3 =. = [ cos(θ) 2 2 Por otro lado, tenemos ( ) Q D x P y dx dy = D y dx dy = 2π 1 r 2 sin(θ) dr dθ = 1 2π 3 sin(θ) dθ = 1 [ ] 2π 3 cos(θ) =. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.3. Teorema de Green 1 / 26

11 5.3. Teorema de Green Una consecuencia interesante del teorema de Green es que podemos calcular el área de una región conociendo únicamente la frontera de esta región. Corolario Sea D una región donde podemos aplicar el teorema de Green. Entonces el área de D es A(D) = 1 2 D x dy y dx = 1 2 D ( y, x) ds. Prueba. Tomemos P(x, y) = y, Q(x, y) = x. Entonces, aplicando el teorema de Green, tenemos 1 2 D x dy y dx = ( ) 1 x 2 D x ( y) y dx dy = dx dy = A(D). D Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.3. Teorema de Green 11 / 26

12 5.3. Teorema de Green Ejemplo: verificar el teorema de Green para F (x, y) = ( P(x, y), Q(x, y) ) donde P(x, y) = x 2 y, Q(x, y) = x + xy + y 2, con D el círculo de radio 1, i.e. D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}. Parametrizamos de nuevo D con x = cos(θ), y = sin(θ). Tenemos que P dx + Q dy es igual a ( ) cos(θ) 2 sin(θ), cos(θ)+sin(θ) cos(θ)+sin(θ) 2 ( sin(θ), cos(θ) ) dθ D 2π = 2π sin(θ) cos(θ) 2 +sin(θ) 2 +cos(θ) 2 +sin(θ) cos(θ) 2 +sin(θ) 2 cos(θ) dθ = 2π 1 + sin(θ) 2 cos(θ) dθ = [ ] θ + sin(θ)3 2π 3 = 2π. Por otro lado tenemos ( ) Q D x P y dx dy = ( ) D (1 + y) ( 1) dx dy = D 2 + y dx dy. Hacemos el cambio de variables (x, y) = ( r cos(θ), r sin(θ) ), que tiene jacobiano r (como vimos anteriormente). Encontramos que esta integral es 1 2π (2 + r sin(θ)) r dθ dr = 4π 1 r dr + 1 r 2 [ cos(θ)] 2π dr = 2π. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.3. Teorema de Green 12 / 26

13 5.3. Teorema de Green Ejemplo: hallar la integral de F (x, y) = y ( ) P(x, y), Q(x, y), con P(x, y) =, Q(x, y) = x, a lo largo del círculo D centrado en el x 2 +y 2 x 2 +y 2 origen y de radio r (parametrizado con orientación positiva, es decir dejando el disco D a la izquierda). Se verifica la conclusión del teorema de Green en este caso? Tenemos por un lado D P dx + Q dy = 2π r sin(θ) r 2 Tenemos por otro lado que Q x P y ( r sin(θ)) + r cos(θ) r (r cos(θ)) dθ = 2π dθ = 2π. 2 = (en efecto Q x = y 2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 = P y ). De modo que no se da la conclusión en cuestión aquí. Por qué? La razón es que P y Q no son de clase C 1 sobre D, puesto que las derivadas parciales no son continuas en el origen. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.3. Teorema de Green 13 / 26

14 5.4. Integrales sobre superficies parametrizadas En esta sección extendemos los métodos que hemos visto para integrales sobre curvas a integrales sobre superficies. Sea pues una superficie parametrizada por Φ : D R 2 R 3. Tenemos entonces las nociones siguientes. Definición (Integral de una función escalar sobre una superficie) Sea S una superficie en el espacio parametrizada por Φ : D R 2 R 3. Sea f : U R 3 R una función continua con U S. Definimos la integral de f sobre S por la fórmula siguiente: f (x, y, z) da = f ( Φ(u, v) ) T u T v du dv. S D Esta definición tiene una clara interpretación intuitiva: el elemento infinitesimal de área de la superficie en el punto Φ(u, v) viene dado por T u T v du dv, como aproximación infinitamente precisa de S en este punto. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.4. Integrales sobre superficies parametrizadas 14 / 26

15 5.4. Integrales sobre superficies parametrizadas Seguimos con otra definición importante, esta vez para campos vectoriales. Definición (Integral de un campo vectorial sobre una superficie) Sea S una superficie en el espacio parametrizada por Φ : D R 2 R 3. Sea F : U R 3 R 3 un campo vectorial continuo con U S. Definimos la integral de F sobre S por la fórmula siguiente: F da = F (Φ(u, v)) (T u T v ) du dv. S D Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.4. Integrales sobre superficies parametrizadas 15 / 26

16 5.4. Integrales sobre superficies parametrizadas Para curvas parametrizadas vimos que el valor de la integral cambia de signo si se invierte la orientación de la parametrización. Con superficies ocurre un hecho similar. Dos parametrizaciones Φ 1, Φ 2 de una misma superficie tienen misma orientación si el vector T u T v para Φ 1 tiene producto escalar positivo con el vector T u T v para Φ 2, en todo punto. Teorema Sea S una superficie en R 3 y sean Φ 1, Φ 2 dos parametrizaciones de S. Sea F : U R 3 R 3 un campo vectorial continuo con U S. Entonces tenemos Φ 1 F da = Φ 2 F da si Φ 1, Φ 2 tienen la misma orientación, y Φ 1 F da = Φ 2 F da si Φ 1, Φ 2 tienen orientación opuesta. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.4. Integrales sobre superficies parametrizadas 16 / 26

17 5.4. Integrales sobre superficies parametrizadas Como vimos con integrales sobre curvas, la integral en que aparece sólo la norma del vector director es invariante bajo reparametrizaciones. Para integrales sobre superficies ocurre algo similar. Teorema Sea S una superficie en R 3 y sean Φ 1, Φ 2 parametrizaciones de S cualesquiera. Entonces para cualquier función continua f : U R 3 R con U S tenemos f da = f da. Φ 1 Φ 2 Ejemplo: supongamos que la superficie en cuestión es la gráfica de una función g(x, y), con (x, y) en una regón D. Entonces tenemos e 1 e 2 e 3 g T x T y = 1 x = ( g x, g y, 1). 1 g y Deducimos que Φ F da = D F 1 g x F 2 g y + F 3 dx dy. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.4. Integrales sobre superficies parametrizadas 17 / 26

18 5.5. Teoremas de Stokes y de Gauss Pasamos a estudiar los dos últimos resultados centrales del curso, a saber el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia (de Gauss). Como veremos, estos resultados se pueden entender como generalizaciones del teorema fundamental del cálculo. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.5. Teoremas de Stokes y de Gauss 18 / 26

19 Teorema de Stokes Supongamos que S es una superficie en R 3, cuya frontera S parametrizamos como una curva cerrada c. El teorema de Stokes (o Kelvin-Stokes) relaciona la integral de ĺınea de un campo vectorial F : R 3 R 3 alrededor de c con la integral del rotacional de F sobre S. Teorema de Stokes Sea S una superficie en R 3 definida por una parametrización Φ : D R 2 S, y sea F : U R 3 R 3 un campo vectorial de clase C 1 sobre U S. Entonces tenemos ( F ) da = F ds. S S Interpretación geométrica: Nótese que, habiendo fijado una curva cerrada c en R 3, podemos tener distintas posibilidades para la elección de la superficie S con frontera c. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.5. Teoremas de Stokes y de Gauss 19 / 26

20 Teorema de Stokes Observación: la orientación que debemos tomar para S es la que induce la regla de la mano derecha tomando en cuenta el vector normal a S. Dicho en términos intuitivos, si estamos sobre la superficie con la dirección hacia arriba marcada por este vector, entonces la orientación deseada para S es la que deja S a nuestra izquierda cuando recorremos la frontera. Veamos qué nos da la aplicación del teorema de Stokes en el caso en que S R 2 = {(x, y, z) R 3 : z = }. Aquí Φ(u, v) = (u, v, ), (u, v) D. Sea F = (P, Q, R) el campo vectorial en cuestión. Tenemos entonces e 1 e 2 e 3 F = x y z P Q R = ( R y Q z, R x + P z, Q x P y ). Tenemos T u T v = e 3, luego S ( F ) da = ( ) Q S x P y dx dy. Por otro lado, tenemos S F ds = P dx + Q dy. En este caso pues, el S teorema de Stokes se reduce al teorema de Green. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.5. Teoremas de Stokes y de Gauss 2 / 26

21 Teorema de Stokes Ejemplo: sea S la superficie siguiente, con borde {(x, y) : x 2 + y 2 = 1} y la orientación indicada: Hallar S ( F ) da, con F = (y, x, exz ). Nótese que no es necesario parametrizar S, basta aplicar el teorema de Stokes sobre S. Usamos el cambio de variables (x, y) = (r cos(θ), r sin(θ)). Tenemos pues S ( F ) da = S F ds = 2π (sin(θ), cos(θ), e ) ( sin(θ), cos(θ), ) dθ = 2π 1 dθ = 2π. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.5. Teoremas de Stokes y de Gauss 21 / 26

22 Teorema de Stokes Ejemplo: sea S la parte del paraboloide de ecuación z = 1 x 2 y 2 que tiene z, y sea F (x, y, z) = (y, z, x). Transformar la integral de superficie S ( F ) da en una integral de ĺınea, y calcularla. La superficie S tiene la siguiente representación: Haciendo de nuevo un cambio a coordenadas polares, tenemos S F da = S F ds = 2π (sin(θ),, cos(θ)) ( sin(θ), cos(θ), ) dθ ] 2π = π. = 2π sin(θ) 2 dθ = 2π 1 cos(2θ) 2 dθ = [ θ 2 sin(2θ) 4 Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.5. Teoremas de Stokes y de Gauss 22 / 26

23 Teorema de Gauss de la divergencia El teorema de la divergencia es otro ejemplo importante de resultado que relaciona la integral de un campo vectorial F sobre una región con la integral de cierta combinación de derivadas de F sobre la frontera de la región. La combinación en cuestión aquí es la divergencia F. Teorema de la divergencia Sea Ω un subconjunto de R 3 compacto y tal que su frontera Ω es suave. Sea F : U R 3 R 3 un campo vectorial de clase C 1 sobre U Ω. Entonces F dv = F da. Ω Ω Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.5. Teoremas de Stokes y de Gauss 23 / 26

24 Teorema de Gauss de la divergencia Ejemplo: usar el teorema de la divergencia para calcular W F ds donde W es la bola cerrada x 2 + y 2 + z 2 1 y F (x, y, z) = (x,, ). En este caso la aplicación del teorema de Gauss es sencilla: Tenemos F = 1. Luego W F da = W F dv = W 1 dv = V = 4 3 π. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.5. Teoremas de Stokes y de Gauss 24 / 26

25 Teorema de Gauss de la divergencia Ejemplo: calcular S F da con F (x, y, z) = (xy 2, x 2 y, y), donde S es la superficie del cilindro Ω : x 2 + y 2 = 1 acotado por los planos z = 1, z = 1, e incluyendo los discos x 2 + y 2 1 para z = 1, z = 1. Para el cálculo de esta integral usamos el teorema de Gauss. Tenemos F = x xy 2 + y x 2 y + z y = y 2 + x 2. Tenemos Ω F dv = Ω x 2 + y 2 dv. Cambiamos a coordenadas ciĺındricas: (x, y, z) = (r cos(θ), r sin(θ), z), recordando que este cambio tiene jacobiano r. Con este cambio la integral es 1 2π 1 1 r 3 dr dθ dz = 4π 1 r 3 dr = 4π [ r 4 /4 ] 1 = π. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.5. Teoremas de Stokes y de Gauss 25 / 26

26 Teorema de Gauss de la divergencia Ejemplo: sea S la superficie del cubo x, y, z 1, con la orientación dada por la normal exterior, y sea F = (x 2, y 2, z 2 ). Calcular S F da. Calculamos la integral de dos maneras: 1) Directamente 2) Usando el teorema de Gauss. 1) Calculamos las 6 integrales correspondientes a las caras del cubo. i) Cara z = 1: la integral es 1 ii) Cara z = : la integral es 1 1 (x 2, y 2, 1) (,, 1) dx dy = 1. 1 (x 2, y 2, ) (,, 1) dx dy =. iii) Cara y = 1: la integral es 1 (x 2, 1, z 2 ) (, 1, ) dx dz = 1. Seguimos así con las otras 3 caras. Obtenemos S F da = ) Tenemos F = 2(x + y + z). El teorema nos dice que S F da es V F dv = (x + y + z) dx dy dz = 2( 3 1 x dx) = 3. Capítulo 5. Integración sobre curvas y superficies 5.5. Teoremas de Stokes y de Gauss 26 / 26