UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE--4-M---7 CURSO: Matemática Básica SEMESTRE: Primero CÓDIGO DEL CURSO: TIPO DE EXAMEN: Eamen Final FECHA DE EXAMEN: 8 e mayo e 7 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Juan Carlos Martini Palma DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Juan Carlos Martini Palma COORDINADOR: Ing. José Alfreo González Díaz REVISÓ EL EXAMEN: Ing. Renato Ponciano

2 Matemática Básica Tema : ( puntos) Eamen Final Temario A Un epósito en forma e cono circular recto, con su vértice hacia arriba y su base sobre el suelo tiene un raio e metros y una altura e 6 metros. Si el epósito se encuentra lleno e agua, calcule el trabajo realizao al bombear toa el agua hasta una altura e 7 metros sobre el nivel el suelo. Tema : ( puntos) a. Calcule la erivaa y simplifique la respuesta: b. Calcule el límite: y 5sen 5 5 lim ln c. Calcule la longitu e arco para la curva aa en el intervalo, y 6 Tema : (5 puntos) La base e un sólio es un círculo cuya ecuación es y 4. Encuentre el volumen el sólio si toas las secciones transversales tienen forma e cuarao, con una e sus iagonales en la base el sólio y perpenicular al eje y. Tema 4: (5 puntos) Encuentre las ecuaciones e las os rectas que son tangentes comunes a las gráficas e las curvas cuyas ecuaciones son Tema 5: ( puntos) y y Un cilinro circular recto sin tapaera, será construio al pegar los os etremos opuestos AC y BD e una lámina rectangular que tiene una iagonal BC cuya longitu es 4 centímetros. Encuentre el volumen máimo el cilinro. y 4

3 Matemática Básica A B 4 cm y y C D Tema : ( puntos) Eamen Final Temario B Un epósito en forma e cono circular recto, con su vértice hacia arriba y su base sobre el suelo tiene un raio e metros y una altura e 4 metros. Si el epósito se encuentra lleno e agua, calcule el trabajo realizao al bombear toa el agua hasta una altura e 6 metros sobre el nivel el suelo. Tema : ( puntos) a. Calcule la erivaa y simplifique la respuesta: b. Calcule el límite: y 9sen 9 lim ln c. Calcule la longitu e arco para la curva aa en el intervalo, y 6 Tema : (5 puntos) La base e un sólio es un círculo cuya ecuación es y 9. Encuentre el volumen el sólio si toas las secciones transversales tienen forma e cuarao, con una e sus iagonales en la base el sólio y perpenicular al eje y. Tema 4: (5 puntos) Encuentre las ecuaciones e las os rectas que son tangentes comunes a las gráficas e las curvas cuyas ecuaciones son y y y 4

4 Matemática Básica Tema 5: ( puntos) Un cilinro circular recto sin tapaera, será construio al pegar los os etremos opuestos AC y BD e una lámina rectangular que tiene una iagonal BC cuya longitu es 4 centímetros. Encuentre el volumen máimo el cilinro. A B 4 cm y y C D

5 Matemática Básica SOLUCIÓN DEL EXAMEN TEMARIO A Tema : ( puntos) Un epósito en forma e cono circular recto, con su vértice hacia arriba y su base sobre el suelo tiene un raio e metros y una altura e 4 metros. Si el epósito se encuentra lleno e agua, calcule el trabajo realizao al bombear toa el agua hasta una altura e 6 metros sobre el nivel el suelo. No. Eplicación Operatoria. Primero se grafica la sección transversal el tanque y se establece un sistema e referencia. El cono está compuesto por iscos e raio.. Para calcular la fuerza se necesita conocer el peso el agua, que es el proucto e la masa por la gravea. La masa se puee calcular usano la ensia el agua. El volumen esta ao por el área e los iscos que componen el cono multiplicao por la altura el agua y, pero como esta cambia se escribe como un iferencial y. Como el agua se mueve en la irección y, se ebe escribir el raio en terminos e y por meio e triangulos semejantes. ρ = m = [kg V m ] m = V V = A c y = π y = 6 6 y = 6 y

6 Matemática Básica. Se calcula la fuerza necesaria para mover el agua fuera el tanque. 4. La istancia que se mueve el agua es la iferencia entre 7m sobre el suelo y el lugar one esta el agua y. F = a m F = ( π ( 6 y ) y)(9.8) = 7 y 5. Se sustituye la masa y la istancia encontraa en la ecuación e trabajo. W = (7 y) (98 π ( 6 y ) ) y 6. Se integran ambos laos e la ecuacion. Como la altura el agua es e 6m; y esta restringia a y 6. Por lo que los limites e la integral el lao erecho son y 6. W 6 W = (7 y) (98 π ( 6 y ) ) y 6 W = 45π (7 y)(6 y) y 7. Se opera lo que esta aentro e la integral y se separa la integral. 6 (7 y)(6 y) y 6 = y y 6 + 9y y 6 yy 6 + 5y 8. Se resuelve caa integral y se suman los resultaos. W = 45π( ) W = 97π J = J

7 Matemática Básica Tema : ( puntos) a. Calcule la erivaa y simplifique la respuesta: y 5sen 5 5 No. Eplicación Operatoria. Como es la erivaa e una suma, los terminos se pueen erivar por separao. Primero se eriva el primer termino usano la efinicion e la erivaa e sen () y la regla e la caena. sen () = 5sen ( 5 ) = Se opera aentro el raical y se simplifica = 5 = ^. Luego se eriva el seguno termino usano la regla e la erivaa e un proucto y la regla e la caena. 5 = 5 + ( (5 ) ( )) 4. Se simplifica la erivaa operano la frección. 5 = = = 5. Luego se restan la os erivaas y se simplifica. (5sen ( 5 ) 5 = 5 5 = (5sen ( 5 ) 5 = 5

8 Matemática Básica b. Calcule el límite: lim ln No. Eplicación Operatoria. Para resolver este limite primero se opera la función. lim ( + ln () ) = lim ln () ( + ln ()( ) ). Luego se evalúa el limite. lim ln () ln () ( ) = + ln ()( ) ln ()( ) = Forma Ineterminaa. Como el limite tiene forma ineterminaa se aplica L Hôpital al limite erivano el numeraor y enominaor inepenientemente y se vuelve a evaluar. lim ( + + ln ()) = Forma Ineterminaa = + ln () 4. Como el limite tiene forma ineterminaa se aplica L Hôpital al limite erivano el numeraor y enominaor inepenientemente y se vuelve a evaluar. lim ( ( ) ) = + ( ) ^ + + ^ + = lim + ( ln () ) =

9 Matemática Básica c. Calcule la longitu e arco para la curva aa en el intervalo, y 6 No EXPLICACION OPERATORIA. Para calcular la longitu e arco se utiliza la siguiente formula. b L = + ( y ) a. Primero se calcula la erivaa e la función y se simplifica. ( 6 + ) = = 4 4. Se sustituye la erivaa en la formula y se opera el cuarao. L = + ( 4 4 ) = Se opera la fracción y se simplifica operano y sacano factor comun 4 al numeraor. L = = Se factoriza el numeraor y se opera el raical. L = = (4 + ) 4 4 = 4 + = +

10 Matemática Básica 6. Se calculan las integrales y se suman. L = = 7 L = 7 u =.4 u Tema : (5 puntos) La base e un sólio es un círculo cuya ecuación es y 4. Encuentre el volumen el sólio si toas las secciones transversales tienen forma e cuarao, con una e sus iagonales en la base el sólio y perpenicular al eje y. No EXPLICACION OPERATORIA. Primero se calcula la longitu e la iagonal e las secciones transversales. l = 4 y l = 4 y

11 Matemática Básica. Se calculan los laos el cuarao usano pitagoras. Los laos al cuarao son iguales al area. a + a = 4(4 y ) a = 6 4y a = A = 8 y. El iferencial e volumen esta ao por el area multiplicao por un iferencial e longitu. Se integran ambos laos e la ecuación para encontrar el volumen. La base el sólio esta restringia e la siguiente manera: y V V = (8 y )y V = (8 y )y V = (8y y ) = 64 =. V = 64 u =. u

12 Matemática Básica Tema 4: (5 puntos) Encuentre las ecuaciones e las os rectas que son tangentes comunes a las gráficas e las curvas cuyas ecuaciones son y y y 4 No. Eplicación Operación. En la grafica se puee observar que las rectas tienen la misma peniente pero con signos opuestos. Esto se puee confirmar con la erivaa.. La erivaa e una función es la peniente e la recta tangente, por lo que al erivar las funciones obtenremos las penientes e la rectas. y = ( ) = y (a) = a y = ( + 4) = y (a) = a La peniente m tambien se puee calcular usano os puntos. Se usan los puntos e intersección (a, a ) y ( a, a + 4) para calcular la peniente y se simplifica. La peniente m tambien se puee calcular usano os puntos. Se usan los puntos e intersección ( a, a ) y (a, a + 4) para calcular la peniente y se simplifica. Se igualan las penientes encontraas para encontrar los puntos e intersección. m = y y = a + 4 ( a ) a a = a + 4 a m = y y = a + 4 ( a ) a ( a) = a + 4 a m = a = a + 4 a a 4 = m = a = a + 4 a a 4 = a = ±, m =, m =

13 Matemática Básica 6. Usano la ecuación punto-peniente se encuentran las ecuaciones e las os rectas. y() y = m( ) y () ( ) = ( ) y () ( ) = ( + ) y () = + y () = + Tema 5: ( puntos) Un cilinro circular recto sin tapaera, será construio al pegar los os etremos opuestos AC y BD e una lámina rectangular que tiene una iagonal BC cuya longitu es 4 centímetros. Encuentre el volumen máimo el cilinro. A B 4 cm y y C D No. Eplicación Operación Para calcular el volumen e un cilinro es necesario saber el raio y V c = πr h = πr. la altura el mismo. Al momento e construir el cilinro y = h se convierte en el perimetro e la base y y se convierte en la altura. V c = π ( π ) y. Se escribe en terminos e y utilizano el teorema e Pitagoras, para que el volumen epena e solo una variable. + y = 576 = 576 y

14 Matemática Básica. Se sustituye en la ecuación e volumen y se simplifica. 576 y V c = π ( ) π 576y y y = 4π 4. Para encontrar los valores críticos e la ecuación, se utiliza el críterio e la primera erivaa. Se utiliza la respuesta positiva y V c = 44 π y 4π = y = 576 y = ± 9 5. Para comprobar que el valor encontrao es un máimo se utiliza el criterio e la seguna erivaa. Como el resultao e la seguna erivaa es menor que, V c tiene un máimo relativo en y = 9. V c = (44 π y 4π ) = 6y 4π = y π V c ( 9) = 9 π = 6.6 V c ( 9) = < V c ( 9) = π = 4.4 u V c ma = 4.4 u

15 Matemática Básica SOLUCIÓN DEL EXAMEN TEMARIO B* *Solo se resolverán los problemas istintos al Temario A Tema : ( puntos) Un epósito en forma e cono circular recto, con su vértice hacia arriba y su base sobre el suelo tiene un raio e metros y una altura e 4 metros. Si el epósito se encuentra lleno e agua, calcule el trabajo realizao al bombear toa el agua hasta una altura e 6 metros sobre el nivel el suelo. No. Eplicación Operatoria. Primero se grafica la sección transversal el tanque y se establece un sistema e referencia. El cono está compuesto por iscos e raio.. Para calcular la fuerza se necesita conocer el peso el agua, que es el proucto e la masa por la gravea. La masa se puee calcular usano la ensia el agua. El volumen esta ao por el área e los iscos que componen el cono multiplicao por la altura el agua y, pero como esta cambia se escribe como un iferencial y.. Como el agua se mueve en la irección y, se ebe escribir el raio en terminos e y por meio e triángulos semejantes ρ = m = [kg V m ] m = V V = A c y = π y = 4 4 y = 4 y

16 Matemática Básica. Se calcula la fuerza necesaria para mover el agua fuera el tanque. 4. La istancia que se mueve el agua es la iferencia entre 6m sobre el suelo y el lugar one esta el agua y. F = a m F = ( π ( 4 y ) y)(9.8) = 6 y 5. Se sustituye la masa y la istancia encontraa en la ecuación e trabajo. W = (6 y) (98 π ( 4 y ) ) y 6. Se integran ambos laos e la ecuacion. Como la altura el agua es e 4m; y esta restringia a y 4. Por lo que los limites e la integral el lao erecho son y 4. W 4 W = (6 y) (98 π ( 4 y ) ) y 4 W = 45π (6 y)(4 y) y 7. Se opera lo que esta aentro e la integral y se separa la integral. 4 (6 y)(4 y) y 4 = y y 4 + 4y y 4 64yy + 96y 4 8. Se resuelve caa integral y se suman los resultaos. W = 45π( ) W = 784 π J = 8.88 J

17 Matemática Básica Tema : ( puntos) a. Calcule la erivaa y simplifique la respuesta: No. Eplicación Operatoria y 9sen 9. Como es la erivaa e una suma, los terminos se pueen erivar por separao. Primero se eriva el primer termino usano la efinicion e la erivaa e sen () y la regla e la caena. sen () = 9sen ( ) = 9 9. Se opera aentro el raical y se simplifica = 9 = ^. Luego se eriva el seguno termino usano la regla e la erivaa e un proucto y la regla e la caena. 9 = 9 + ( (9 ) ( )) 4. Se simplifica la erivaa operano la frección. 5 = = = 5. Luego se restan la os erivaas y se simplifica. (9sen ( ) 9 = = (9sen ( ) 9 = 9

18 Matemática Básica b. Calcule el límite: lim No. Eplicación Operatoria ln. Para resolver este limite primero se opera la función. lim ( + ln () ) = lim ( ) (ln() + ln ()( ) ). Luego se evalúa el limite. lim (ln() + + ln ()( ) ) = ln() + ln ()( ) = Forma Ineterminaa. Como el limite tiene forma ineterminaa se aplica L Hôpital al limite erivano el numeraor y enominaor inepenientemente y se vuelve a evaluar. lim ( + + ln ()) = Forma Ineterminaa = + ln () 4. Como el limite tiene forma ineterminaa se aplica L Hôpital al limite erivano el numeraor y enominaor inepenientemente y se vuelve a evaluar. lim ( + ( ) + ^ ) = + ^ + = lim + ( ln () ) =

19 Matemática Básica Tema : (5 puntos) La base e un sólio es un círculo cuya ecuación es y 9. Encuentre el volumen el sólio si toas las secciones transversales tienen forma e cuarao, con una e sus iagonales en la base el sólio y perpenicular al eje y. No EXPLICACION OPERATORIA. Primero se calcula la longitu e la iagonal e las secciones transversales. l = 9 y l = 9 y. Se calculan los laos el cuarao usano pitagoras. Los laos al cuarao son iguales al area. a + a = 4(9 y ) a = 6 4y a = A = 8 y

20 Matemática Básica. El iferencial e volumen esta ao por el area multiplicao por un iferencial e longitu. Se integran ambos laos e la ecuación para encontrar el volumen. La base el sólio esta restringia e la siguiente manera: y. V = (8 y )y V = (8 y )y V V = (8y y ) = 7 u V = 7 u