1 1 m m m 1 1 m 1 m 2 1 m m 1 m 1 m 1 m 2 1 m 2 m m 1 m 1 0 m

Transcripción

1 a) La matriz de los coeficientes es m A m m m m y la matriz ampliada B m m. Estudiemos sus rangos según los posibles valores de m : En la matriz A, el mayor rango posible es 3: m m m m m m m m m m m m m m 0 m Para m : : rga rgb 3 nº de incógnitas el sistema es compatible determinado Para m : rga pues el menor 0 0. Estudiemos ahora el rango de B. Para ello, orlamos el menor anterior con los términos independientes (sustituyendo m por, naturalmente): 0 0 rgb Por lo tanto: rga rgb nº de incógnitas el sistema es compatible indeterminado. b) Para m el sistema es compatible indeterminado y es equivalente al sistema: y z z y λ Consideramos z como un parámetro: z λ λ, y λ λ λ Luego las soluciones son: λ, y, z λ

2 CD c) La matriz CD solo tiene una fila linealmente independiente pues la segunda fila es la opuesta de la primera y la tercera es el vector nulo. Por tanto: rg CD SOLUCIÓN La ecuación del haz de planos (conjunto de los planos que contienen a una recta) es: y λ 3y z 4 0 Seleccionemos de entre todos ellos el que pasa por el punto 0, 0, 0 : 0 0 λ λ 0 λ 4 Luego el plano buscado es: y 3y z 4 0 y z 0 4 y z 0 SOLUCIÓN a) a.) Se trata de una función racional cuyo dominio es menos los valores de que anulen al denominador. El denominador es una función irracional pero como 0 0 Dom f Asíntotas verticales: no tiene pues la función no tiende a cuando tiende a algún valor determinado. Asíntotas horizontales: lím lím y es una asíntota horizontal cuando lím lím y es una asíntota horizontal cuando Asíntotas oblicuas y m n: f() m lím lím lím 0 se trata de las asíntotas horizontales, ya obtenidas

3 a.) f'() 0 (punto crítico) f''() f''() 0 es un máimo 3 relativo. Además: f() luego la función tiene un máimo relativo en, a.3) f() 5 5 el punto de tangencia es 3 5, 5 La pendiente de la recta tangente es: La ecuación de la recta tangente es: 5 f'() y 5y y b) Realicemos la división entre ambos polinomios (a la derecha): Tenemos entonces: 3 3 d d ln C SOLUCIÓN. Sea F el suceso le gusta el fútbol y B el suceso le gusta el balonmano. Los porcentajes de alumnos a los que les gusta uno de los dos deportes, ambos o ninguno es: F futbol) es B 50% 30% 0% p p F 0,8 y la de su contrario La probabilidad de obtener 3 éitos es: 0% a) p F B p F p B p F B 0,80 0,40 0,30 0,9 b) Nos encontramos ante una eperiencia dicotómica en la que prestamos atención a si ocurre el suceso F (éito) o su contrario F. Cuando se repite n veces una eperiencia dicotómica y nos preguntamos por la probabilidad de obtener un determinado número de éitos, estamos ante una distribución binomial. En nuestro caso, el número de veces que se repite la eperiencia es 0 y la probabilidad de éito (a un alumno elegido al azar le gusta el k p F 0, ! p F 3 0,8 0, 0,8 0, 0,5 0, , ! 7! 3 3

4 k 0 a) A ki k k k Para que la matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de 0. 3 k 0 3 A ki 0 k 0 k 9 6k k k k 6k 8k 0 k k 6k k k 0 k A ki k 0, y k 6k 8 0 k k 4 b) A 3I X I X A 3I I Obtengamos las matrices que necesitamos: 0 0 A 3I y calculemos su inversa: A 3I Traspuesta Adjunta Inversa A 3I I Tenemos: X

5 a) La recta y el plano pueden ser secantes (se cortan en un punto), paralelos (no tienen puntos comunes) o la recta contenida en el plano (todos los puntos de la recta pertenecen al plano). Si consideramos el sistema formado por las dos ecuaciones que definen a la recta y la ecuación del plano, el sistema de tres ecuaciones así formado puede ser compatible determinado (recta y plano secantes), incompatible (recta y plano paralelos) o compatible indeterminado (recta contenida en el plano). y z y z 3 Las matrices de los coeficientes, A, y ampliada, B, son: 3 a y az 4 a a 4 Estudiemos sus rangos: A a 4a a a 4 5a 5 0 a a a Luego para a : rga rgb nº de incógnitas sistema compatible determinado la recta y el plano son secantes. Para a : rga pues el menor 0 Orlemos el menor anterior con los términos independientes para conocer el rango de B: rgb 3 4 Como rga rgb el sistema es incompatible la recta y el plano son paralelos b) El plano es 4 y z 4 el vector n 4,, es normal al plano y, por tanto, direccional de cualquier recta perpendicular al plano. Como además la recta pasa por el punto P0,, 0, la ecuación continua de la recta es: y z 4 5

6 a) f() a 3 b c Por pasar por el punto, : b c En el punto En el punto, su tangente tiene pendiente : tiene un máimo relativo: f' Como f'() 3a b: b f' 0 3a b 0 De las tres condiciones se sigue: a, b, c 3 b) lím lím lím lím lím e e e e e SOLUCIÓN Organicemos los datos en una tabla de contingencia. Partamos de que el total de trabajadores de la empresa es 00 (por ejemplo). A la categoría A pertenecen entonces 00 0,30 60 de los que 600,05 3 hablan inglés. A la categoría B pertenecen 00 0,5 50 de los que 500,0 0 hablan inglés. A la categoría C pertenecen 00 0,45 90 de los que 900,60 54 hablan inglés: A B C TOTAL Inglés (I) No inglés TOTAL p I 0, a) 54 p C / I 0, b) 6