DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL. APROXIMACIÓN POLINÓMICA. DESARROLLOS EN SERIE

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1 DEIVACIÓN Y DIFEENCIACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VAIABLE EAL. APOXIMACIÓN POLINÓMICA. DESAOLLOS EN SEIE.- Calcular, aplicado la defiició, las derivadas de las siguietes fucioes e el puto : a) f ( ) se( ) b) f ( ) L( ) f( + ) f( ) si( + ) si( ) lim lim a) si cos + si cos si si (cos ) + si cos lim lim si (cos ) si cos / lim + lim si lim + cos lim si lim + cos cos b) + + L f( + ) f( ) L( + ) L( ) lim lim lim lim + lim

2 .- Calcular e el orige las derivadas de las siguietes fucioes: a) f ( ) + / b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e se ( / ) si si Solució : a) No tiee setido f ( ) b) No eiste f ( ) c) f ( ) d) No eiste f ( ) a) La fució NO está defiida e el orige y por lo tato, o tiee setido allar la derivada e el orige de coordeadas. b) f( + ) f() se(/ ) f () lim lim limsi(/ ) f () c) Sólo tiee setido calcular el límitre por la dereca, porque la fució o está defiida a la izquierda del orige: + f( + ) f() f ( ) lim lim lim d) Sabemos que esta fució preseta u puto aguloso e el orige. Por lo tato, se puede afirmar que o es derivable e ese puto..- Estudiar la derivabilidad de la fució f e los putos y -: f ( ) se ( ) si si > > si Solució : f o es derivable e f derivable e - ( f ( ) ) 4

3 + f( + ) f() si a.) f ( ) lim lim + + f( + ) f() a.) f ( ) lim lim Por lo tato, se puede afirmar que esta fució NO es derivable e el orige. b.) Derivada por la dereca: + f f f ( ) lim lim lim lim lim ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ( ) ) b.) Derivada por la izquierda: f( + ) f( ) [( )( + ) ] ( ( ) ) f ( ) lim lim lim + Por lo tato, la fució es derivable e este puto y f ( ) 4.- Estudiar la derivabilidad e el puto de la fució: f ( ) se ( ) si > si + si < Solució : f derivable e ( f ( ) ) + f( + ) f() si( + ) f ( ) lim lim lim f( + ) f() + f ( ) lim lim lim + Por lo tato f ( + ) f ( ) f () 5.- Estudiar la cotiuidad y derivabilidad e el puto de la fució: f ( ) se ( / ) si si 5

4 Solució : f cotiua y derivable e ( f ( ) ) a) Cotiuidad e el orige: a.) f () a.) lim f( ) lim se(/ ) lim [acotado] Por lo tato se cumple que b) Derivabilidad e el orige: lim f ( ) f() y f es cotiua e el orige. si f( + ) f() f () lim lim lim si lim [acotado] Por lo tato, la fució es derivable e el orige. 6.- Sea la fució f ( ) + 4+, que satisface las codicioes del teorema del valor medio e el itervalo [, 4]. Hallar la abscisa de u puto de la curva e el cual la tagete es paralela a la recta determiada por los putos A(,) y B(4,). Solució : 7.- Probar que la fució f ( ) ( + )( ) co [ /, ] verifica las codicioes del teorema de olle y allar el valor o los valores de e dode f ( ). Solució : 5/4 8.- Dada la fució y f ( ) : a) Probar que es difereciable e y. b) Comparar Δy co dy e dicos putos cuado Δ d.. Solució : : Δy., dy. : Δy.79, dy Estudiar si es difereciable e la fució: 6

5 .- Sea la fució f ( ) f ( ) a) Hallar f ( ), si eiste. se( ) si si se( ) Solució : f o es difereciable e si si b) Obteer para co d. la diferecial e caso de que eista. c) Obteer la recta tagete a la curva f() e el puto. d) Hallar, si eiste, la diferecial seguda d y e. APOXIMACIÓN POLINÓMICA DE FUNCIONES Solució: a) f ( ) b) dy() c) y d) d y( ) / ( d).- Obteer los poliomios de Taylor e -, de grado y 5 de p ( ) 4 Cuál es el grado del poliomio que debemos cosiderar para que el error sea?. Solució: p ( ) ( + ).- Obteer el poliomio de Taylor de grado 5 e el puto de la fució f ( ) tg( ). 5 Solució: p5 ( ) Obteer el poliomio de McLauri del grado que se idica, y calcular ua cota del error cuado [ : a) f ( ) e ( grado ) b) g( ) se ( ) ( grado 5) c) ( ) cos( ) ( grado 6) Solució: a) p ( ) + +! +! + +! r( ) e ( + )! [ 7

6 5 b) p5( )! + 5! r 5( ) [ 6! 4 6 c) p6 ( ) +! 4! 6! r ( ) 6 [ 7! 4.- Calcular el poliomio de Taylor de grado e el orige de la fució f ( ) L(+ ). 4 ( ) Solució: p ( ) cos( ) 5.- Obteer el poliomio de MacLauri de grado de la fució f ( ), determiado ua cota del error cuado [. e Solució: p( ) + r ( ) [ Acotar el error cometido al cosiderar e !!! 4!. Solució: E < Calcular se(.) co u error meor que.. Solució: se(.). 8.- Demostrar que la diferecia etre se ( a+ ) y se( a) + cos( a) o es e valor absoluto mayor que ( / ). 9.- Idicar el proceso de obteció de las siguietes fórmulas aproimadas: a) + + ( / ) ( / 8) b) + + ( / ) ( / 9).- Sea f : ua fució co derivada primera y seguda cotiuas, y a. Calcular ( aplicado Taylor): f ( a+ ) f ( a+ ) + f ( a) lim Solució: f ( a).- Calcular cos(.) co u error meor que.. (.) Solució: cos(. ) 5 (.) (.).- Si se(. ). +, obteer ua cota del error al cosiderar la! 5! aproimació aterior. 8

7 DESAOLLOS EN SEIE Solució: E (.) 6 6!.- Desarrollar las siguietes fucioes e serie de potecias, idicado dóde es válido el desarrollo: ( ) a) f ( ) L( + ) Solució: f ( ) ( + ) b) f ( ) + ( Solució: f ( ) ( /, / ) m c) f ( ) ( + ) co m, supuesto que es desarrollable d) f ( ) se( ) Solució: f ( ) m Solució: f ( ) (, ) F H G ( ) ( + )! + I KJ e) f ( ) cos( ) Solució: f ( ) ( ) ( )! f) f ( ) e Solució: f ( )!.- a) Desarrollar e serie de potecias la fució: f ( ) arcse co [ + b) Sustituyedo e dico desarrollo, la serie umérica correspodiete os permite calcular el valor de π / arcse ( ). Determiar el úmero de térmios que debe tomarse e la serie para obteer u valor aproimado de π /4 co u error meor que.. ( ) Solució: a) f ( ) ( + ) b) N 5 + [.- Obteer los tres primeros térmios, o ulos, del desarrollo e serie de potecias de la siguiete fució: f ( ) arcse ( ) 4.- Obteer el desarrollo e serie de potecias de la fució: f ( ) Solució: 5 5 9

8 Solució: f ( ) (, ) 5.- Desarrollar e serie de potecias la siguiete fució determiado el itervalo abierto dode es válido el desarrollo: f ( ) ( ) 6.- Obteer el desarrollo e serie de la fució arctg(). F + Solució: f ( ) ( ) (, ) HG I KJ ( ) Solució: arctg( ) ( + ) 7.- Desarrollar e serie de potecias las siguietes fucioes: a) f ( ) ( + ) L( + ) b) f ( ) arctg( ) L + ( ) Solució: a) f ( ) + ( + ) ( ) b) f ( ) ( + ) ( + ) [ ( [ 4