De la misma forma, la aceleración es la variación de la velocidad con respecto al tiempo y se representa como:

Transcripción

1 Versión: Septiembre 01 La diferencial Por: Sandra Elvia Pérez En el curso de Cálculo Diferencial estudiaste la derivada desde diferentes puntos de vista; uno de ellos es la razón de cambio, donde una de las principales aplicaciones es el concepto de velocidad, que relaciona la variación del desplazamiento con respecto al tiempo. Vista la velocidad como una razón de cambio se representa como: En donde: ds representa el cambio en el desplazamiento y dt representa el cambio en el tiempo. A cada una de estas variables se les denomina diferencial. A partir de la velocidad, se puede representar la variación del desplazamiento solamente despejando ʻ ds ʼ, la cual quedará como: A esta expresión se le denomina diferencial del desplazamiento. De la misma forma, la aceleración es la variación de la velocidad con respecto al tiempo y se representa como: 1

2 Versión: Septiembre 01 Donde el diferencial de la velocidad será: Para obtener la diferencial de cualquier función sólo tienes que determinar la derivada de una función y despejar la diferencial. Ve algunos ejemplos de la forma de obtener la diferencial de algunas funciones. Ejemplo 1 Encuentra la diferencial dy de la siguiente función: 3 y 4x Obtienes la derivada de la función dy 1 8x + 5 Se despeja el dy dy ( 1 8x + 5)

3 Versión: Septiembre 01 Ejemplo Encuentra la diferencial dy de la siguiente función: y tan( x 3 4) Obtienes la derivada de la función Se despeja el dy dy (3x )sec ( x 3 4) 3 dy (3x )sec ( x 4) No olvides multiplicar por el diferencial de la variable independiente porque si no, el resultado que estás obteniendo es el de la derivada. Ejemplo 3 5 x y Calcula la diferencial para la función x + 1 para el valor de 1 x y el 0. Calcula la derivada de y x + 1 3

4 Versión: Septiembre 01 ( x ) x ( x + 1) 10x ( x + 1) dy ( x + 1) (1) Para encontrar el diferencial dy despeja: Sustituyendo los valores de x 1 y el 0. dy dy dy ( x + 1) 5( 1) + 10( 1) ( 1+ 1) ( 3.75)(0.) (0.) Por lo tanto, dy Una diferencial te permite encontrar aproximaciones. Ejemplo 4 Determina el valor aproximado de: 17 es un valor muy cercano a la

5 Versión: Septiembre 01 Sabes por experiencia propia que el valor de la raíz de 17 es un poco mayor a 4. Para calcular el valor que hace falta, usas la diferencial de y, que indica el incremento ʻ y ʼ que hace falta. En este caso, la función está representada por y x dy x, para esta expresión representa el incremento en x Para este ejemplo el Sustituyendo los valores en la diferencial (1) dy Este valor son los decimales que le debes sumar al valor de 16 De esta forma: dy El valor de 4.15 es un resultado muy aproximado pues si sacas el valor en una calculadora obtendrás 4.13, es decir, una aproximación de.00 Bibilografía Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla. Purcell, E. J. & Varberg, D. (000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; E. de Oteyza, Trad.). México: Prentice Hall. Smith, R. T. & Minton, R. B. (000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw-Hill. Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo (3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.) México: International Thomson Editores. 5