TÉCNICAS CUANTITATIVAS PARA LA EMPRESA

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1 TÉCNICAS CUANTITATIVAS PARA LA EMPRESA 1. Ejerccos Curso

2 Curso 2008/2009 1º Curso de la Lcencatura de Admnstracón y Dreccón de Empresas Ejerccos 1.- Sea una dstrbucón de frecuencas cuya meda es 400 y varanza 25, con n = El conjunto ( 385) ( 415, ), contene un número de observacones: a) mayor o gual a b) menor a 222. c) mayor o gual a 222. d) menor a S una dstrbucón de frecuencas tene de meda 100, desvacón típca 10, y se observan 1000 ndvduos, entonces, en el ntervalo [80, 120] hay: menos de 100 ndvduos; al menos 750; 325 ndvduos. 3.- En una empresa se ha observado el salaro mensual de sus trabajadores, meddo en mles de undades monetaras. Se dsponen de los sguentes datos: Salaro Nº trabajadores Calcule: a) El salaro medo. b) El salaro medano. c) El salaro que no supera el 30% de la poblacón. d) Los salaros que defnen el ntervalo que agrupa el 50% central de la dstrbucón. e) El salaro más frecuente. 2

3 4.- En un barro de una cudad el 20% de las vvendas tene una superfce comprendda entre los m 2, el 25% entre 60 y 70, el 20% entre 70 y 80; el 25% entre 80 y 100 y el 10% entre 100 y 120. Obtenga la superfce meda por vvenda y el tpo de vvenda más frecuente. 5.- Un nversor realzó el msmo tpo de nversón durante cuatro años consecutvos. S las rentabldades fueron del 11%, 8%, 7% y 9%, justfcar cuál es el promedo más adecuado para obtener el rendmento medo anual y calcular dcho rendmento. 6.- El preco de unas accones ha ncrementado su valor en los ocho prmeros meses del año un 5%, 7%, 1%, 10%, 5%, 3%, 8% y 9%, respectvamente. Calcule el ncremento medo de dchas accones en el ctado perodo. 7.- En 1980 se nvrtó en accones de la socedad UNO u.m y en 1989 su valor era ya de En 1982 se nvrtó u.m en accones de la socedad DOS que alcanzaban en 1989 el valor de u.m. Qué accones consdera más rentable basándose en la rentabldad meda observada para cada tpo de accones? 8.- El índce de precos de consumo de un determnado país ha evoluconado de la forma sguente Años Índces Cuál será el índce en 2004 s suponemos que la tasa meda anual acumulatva del perodo se mantene estable? 9.- Se observa la edad de 36 ndvduos, obtenendo los sguentes datos: Edad Nº ndvduos Calcule: a) La edad meda. b) La edad medana. c) La edad más frecuente. d) La edad que supera el 40% de la poblacón. e) El coefcente de varacón. 3

4 10.- Un curso está dvddo en cuatro grupos. Se dspone de los sguentes datos: Grupo A B C D Nº alumnos Nota meda 6 6,5 5 4 grupo Varanza grupo 1 1,69 0,81 0,64 Calcule: a) Nota meda del curso. b) Coefcente de varacón de cada grupo. cuál resulta más homogéneo? 11.- Se desea realzar un estudo sobre la duracón en mles de km, de dos tpos de neumátcos, A y B. Para ello se han observado 50 vehículos con neumátcos de cada tpo y se han obtendo las sguentes dstrbucones: Mles de km n A n B a) Calcule la duracón por debajo de la cual está el 86% de los vehículos de cada tpo de neumátcos. Comente el resultado. b) Obtenga la duracón meda para cada tpo de neumátcos y compare la representatvdad de dchos promedos Dada una varable X que toma los sguentes valores, y sus frecuencas absolutas: x frecuencas Calcule: a) El valor medo. b) Una medda de dspersón. c) El coefcente de asmetría de Fsher. d) El coefcente de curtoss. 4

5 13.- Calcule m 1, m 2, m3 y m4 para la sguente dstrbucón de frecuencas: x n Se dspone de la sguente nformacón sobre el número de agentes de una empresa de seguros y los montantes en mllones de undades monetaras, de las pólzas de sus asegurados: Montante Nº agentes Obtenga: a) El índce de Gn. Interprete el resultado b) La medana y la medala. c) Por debajo de que montante de pólzas se encuentra el 40% de los agentes que menos cartera de seguro tenen? d) Qué tanto por cento de agentes tenen un montante de pólzas superor a 30 mllones de undades monetaras? 15.- Se dspone de la sguente nformacón sobre el sueldo/hora, en euros, recbdo por los trabajadores de una ofcna: Sueldo/h Nº trabajadores a) Puede decr s exste mucha concentracón en el reparto de esta magntud? b) Calcule el sueldo medano. c) Qué porcentaje de trabajadores con menos sueldo obtene el 30% de la masa salaral? d) Qué sueldo recbe el 10% de los trabajadores mejor pagados? e) Qué porcentaje de masa salaral recbe el 20% de los obreros mejor pagados? f) Obtenga la medala y compárela con la medana. 5

6 16.- Se conoce el salaro por hora pagado a 25 trabajadores de una empresa, en undades monetaras: Salaro/ h Nº trabajadores a) Calcule el índce de Gn. b) Qué porcentaje de trabajadores con menor salaro recbe el 50% de la nómna? c) Qué parte de la nómna recbe el 12% de los trabajadores mejor pagados? d) Qué porcentaje de trabajadores cobra un sueldo superor a 3000 undades monetaras? e) Qué porcentaje de masa salaral percben aquellos trabajadores cuyo sueldo está comprenddo entre 2500 y 2800? 17.- La dstrbucón de los sueldos mensuales, en mles de undades monetaras, de los cuarenta empleados de una empresa es la sguente: Sueldo % empleados ,5 12,5 a) Determne el índce de concentracón de Gn. b) Qué porcentaje de nómna percbe el 30% del personal mejor pagado? 18.- La sguente tabla muestra los salaros mensuales en mles de undades monetaras de los empleados de una empresa: Salaros Nº trabajadores Calcule: a) El índce de Gn. b) El sueldo mínmo y máxmo de los empleados mejor pagados que, en su conjunto, se dstrbuyen el 20% de la nómna. c) El porcentaje de empleados que ganan más de undades monetaras. 6

7 19.- La sguente tabla muestra los salaros mensuales en mles de undades monetaras de los empleados de una empresa: Salaros Nº trabajadores Calcule: d) El índce de Gn y la medala. e) La medana, meda y varanza. f) Compare el índce de Gn con la varanza. g) Compare la medana con la medala La sguente tabla muestra los salaros mensuales en mles de undades monetaras de los empleados de una empresa: Salaro Nº trabajadores a) Estude la concentracón de la masa salaral; b) Qué porcentaje de empleados mejor pagados recbe el 25% de la nómna?; c) Qué porcentaje de nómna percben el 40% de los obreros mejor pagados?; d) Al 7% de los empleados mejor pagados se les consdera empleados dstngudos. Cuál es el sueldo a partr del cual se ngresa en el grupo de empleados dstngudos? 21.- Se dspone de la sguente nformacón sobre salaros pagados por hora en una empresa: Salaros Nº trabajadores a) Calcule la moda y el coefcente de varacón; b) Obtenga el índce de concentracón de Gn; c) Qué parte de la nómna recbe el 5% del personal mejor pagado? 7

8 22.- Conocdos la edad (X) y el salaro (Y) de un grupo de personas, se dspone de la sguente nformacón: X \ Y Para las dstrbucones de frecuencas margnales de X e Y calcule su meda y varanza. 23- Dada la sguente tabla: X / Y Fjándose en la dstrbucón margnal de X: a) Obtenga el coefcente de varacón b) Calcule e nterprete el índce de Gn En un estudo sobre consumo de tabaco se ha preguntado a unos jóvenes sobre su edad (X) y el número de cgarrllos que fuman al día (Y), obtenendo los sguentes resultados: X\Y a) Calcule la edad más frecuente para aquellos jóvenes que fuman más de 4 cgarrllos al día. b) Calcule la edad meda de los jóvenes encuestados y su varanza. 8

9 25.- Dada la sguente dstrbucón bdmensonal: X / Y a) Calcule la varanza margnal de X. b) Meda y varanza de Y condconada a que X tome el valor Conocdos la edad (X) y el peso (Y) de un grupo de 14 personas, se dspone de la sguente nformacón: X \ Y Justfque s estas dos varables son estadístcamente ndependentes En un estudo sobre el preco de venta (X) y el número de mllones de artículos venddos (Y), se ha obtendo: X \ Y 0,5-1,5 1,5-2,5 2,5-5, a) Cuál es el número de ventas que con mayor frecuenca se ha observado, s el preco es nferor a 25? b) En cualquer caso, Cuál ha sdo el número de ventas que se ha superado en el 90% de las ocasones? c) Qué dstrbucón es más homogénea, la del número de ventas cuando el preco es nferor a 20 o la del número de ventas cuando el preco es superor a 20? 9

10 28.- Un estudo sobre ngresos famlares en euros (Y) según el número de membros (X) se ha obtendo: X \Y a) Calcular el ngreso más frecuente para una famla de más de 2 membros. b) S se consdera con alta solvenca el 5% de las famlas con mayores ngresos, Cuáles han de ser esos ngresos para que una famla sea consderada como tal? c) Son ndependentes las dos varables? 29.- Con los datos de la tabla, calcule el coefcente de correlacón lneal: Y X Calcular para la sguente tabla bdmensonal la covaranza: X \ Y Calcular el coefcente de correlacón lneal en la sguente dstrbucón bdmensonal: X Y

11 32.- Dada la sguente dstrbucón: x y j n j Determne el coefcente de correlacón lneal Una empresa está formada por 3 factorías. En el sguente cuadro aparece el número de empleados por factoría, el salaro medo, la desvacón típca y el salaro más frecuente, en mllones de undades monetaras anuales. Calcúlese el salaro medo, la desvacón típca y el salaro modal para el conjunto de empleados de la empresa. Factoría Nº empleados Sueldo medo anual Desvacón típca moda A 30 4,5 1,2 4,6 B ,6 4,25 C 10 4,9 1,3 4, El ngreso anual dsponble y los gastos en consumo de 7 famlas, en centos de mles de undades monetaras son los que se detallan a contnuacón: Ingresos Consumo a) Ajuste un modelo lneal por mínmos cuadrados que explque una varable en funcón de la otra. b) Cuál sería el consumo s el ngreso fuese 24? c) En qué porcentaje vene explcado el consumo en funcón del ngreso? 11

12 35.- Dada la sguente dstrbucón bdmensonal, obtenga la recta de regresón de Y sobre X: X Y Con los datos sguentes, ajuste por mínmos cuadrados una relacón lneal del gasto en funcón del tempo: Años Gasto Ajuste una línea recta a los datos sobre consumo de pan en funcón de la renta per cápta: KG pan/persona Renta 14,8 15,1 13,5 7, ,2 a) En qué medda el consumo de pan está explcado por los valores de la renta per cápta según el modelo anteror? b) Cuál sería el consumo de pan de una famla que tuvese 8 de renta? 38.- De una empresa se conoce el volumen de mportacón de un determnado nput y su nvel de produccón, ambos expresados en mles de mllones de undades monetaras: Importacones Produccón a) Cuál será el volumen de mportacón para esa empresa s se prevé que la produccón será de mllones de undades monetaras? b) Es buena la anteror estmacón? 12

13 39.- La sguente tabla muestra las ventas y devolucones en mllones de undades monetaras de 7 empresas: Ventas Devolucones Dar una predccón lneal de las devolucones para una empresa con 22 de ventas De una muestra de 30 personas se ha obtendo la sguente nformacón relatva a peso en klos (Y) y edad (X): Y \ X a) Dar una estmacón del peso para una persona de 24 años. b) Es fable la estmacón hecha? 41.- Se consderan 50 tendas y se recaba nformacón sobre el tempo en años (X) de funconamento y el benefco anual (Y): Y \ X Suponendo una relacón lneal, de una predccón del benefco anual para un establecmento de 12 años de antgüedad Los precos de la leche, queso y mantequlla en 1992 y 1993 fueron: Años Leche (u.m/l) Queso (u.m/kg) Matequlla (u.m/kg) Tomando como período base 1992, obtenga los índces smples de esos productos para el año 93, así como los índces de Bradstreet-Dudot y Sauerbeck. 13

14 43.- En una empresa se fabrcan tres artículos A, B, C. La estadístca de precos y produccón es la sguente: Artículo q p q 0 1 p 1 A B C Calcular los índces de precos y produccón de 1987 tomando como año base Con la nformacón dsponble, calcule los índces de Paasche, Fsher y Laspeyres: Años Azúcar Leche Chocolate p q p q p q 45.- Dadas las sguentes seres de números índces, obtenga una sere únca para dcho período. Años I(79) I(82) Dadas dos seres de IPC: Año IPC IPC Se pde construr una sere únca con base

15 47.- Los benefcos obtendos por una empresa en los últmos 5 años, junto con el IPC correspondente se muestran en la tabla sguente: Año Benefcos IPC 125,8 128,3 130,1 133,9 139 a) Obtenga una sere únca para el IPC base 2003; b) Obtenga los benefcos a precos del Estude el cambo expermentado por el consumo para ese período en térmnos reales. Año Consumo IPC IPC(2001) , , Los benefcos obtendos por una empresa en los últmos 6 años y los valores del IPC se muestran en la tabla sguente: Año Benefcos IPC a) Obtenga los benefcos de los dstntos años en undades monetaras de 1980; b) Calcule la tasa de varacón anual meda en ese período Se tene nformacón sobre recaudacones e IPC. Año IPC ,5 104 IPC Recaudacón a) Obtenga la recaudacón expresada en undades monetaras de 2000; b) Calcule la tasa de crecmento medo anual meda de ese período en térmnos reales. 15

16 51.- Los ngresos y costes de una empresa meddos en mllones de undades monetaras correntes son: Año Ingresos Costes Sabendo que los índces de precos han sdo: Año IPC IPC a) Obtenga una sere únca para el IPC base 2002; b) Calcule el benefco total de la empresa en undades monetaras del año La tabla muestra los benefcos anuales, en mllones de undades monetaras correntes, de una empresa así como los índces de precos para el período : Año Benefcos 8,3 8, ,4 12 IPC a) Obtenga los benefcos anuales en undades monetaras constantes del año 1997; b) Obtenga la tasa de aumento medo anual de los benefcos para el período objeto de estudo La sguente tabla presenta las cfras de mles de parados para el período , organzados por trmestres: Trmestres 1º 2º 3º 4º Desestaconalce la sere observada El volumen de ventas de un establecmento, en u.m., ha sdo en cada trmestre de cada año: 16

17 Trmestres Años 1º 2º 3º 4º Ajustar una recta para obtener la tendenca secular y hacer una predccón para el año En el supuesto de que la evolucón trmestral de las pernoctacones (en u.m.) en los establecmentos hoteleros de Andalucía durante los años sean los que se detallan en la sguente tabla: Trmestres Años 1º 2º 3º 4º Obtenga: a) Estmacón de las pernoctacones de cada uno de los trmestres del año 93. b) La sere desestaconalzada Las ventas de motoccletas (en mles) en un país han sdo las sguentes: Años Cuatrmestres º º º Calcule la varacón estaconal. 17

18 57.- Dados dos sucesos A y B, sendo pa ( ) = 3 ; pb ( ) = 1 ; pa ( B) = 1 : a) Calcule la probabldad de A unón B. b) Calcule la probabldad del complementaro de A. c) p( A B). d) p( A B). e) p( A B) La probabldad de que un hombre vva dentro de 30 años es 3, y la de que su 5 mujer vva dentro de 30 años es 2 3. Hallar: a) La probabldad de que ambos vvan dentro de 30 años. b) La probabldad de que sólo vva el hombre dentro de 30 años. c) La probabldad de que vva al menos uno de los dos Sean A, B, C tres sucesos tales que: pa ( ) = 0.4; pb ( ) = 0.2; pc ( ) = 0.3; pab ( ) = 0.1; pac ( ) = 0.2; pbc ( ) = 0.1; p( ABC) = 0.08 Hallar: a) La probabldad de que ocurra un suceso por lo menos. b) Probabldad de que ocurran Ay B pero no C Se extrae una carta de una baraja española de 48 cartas. Comprobar cuales de los sguentes pares de sucesos son ndependentes: a) A = sacar un rey y B = sacar espadas. b) A = sacar una fgura y B = sacar espadas Se tenen tres urnas con la sguente composcón: la 1ª urna contene una bola blanca, 2 negras y tres rojas. La 2ª, dos blancas, 3 negras y cuatro rojas. La 3ª contene 4 blancas, 7 negras y 5 rojas. Se elge una urna al azar y se toma una bola. a) Calcule la probabldad de que la bola sea roja. b) La bola que sale es blanca. Calcule la probabldad de que proceda de la tercera urna. 18

19 62.- Una empresa compra una peza sumnstrada por 3 proveedores. Al prmero le compra el 45% de las pezas, resultando defectuosas el 1% de las msmas. Al segundo le compra el 30% de las pezas, sendo defectuosas el 2%. El resto lo sumnstra el proveedor tres, y de ellas son defectuosas el 3%. En un control se seleccona una peza al azar y es defectuosa. Calcule la probabldad de que venga del segundo proveedor La probabldad de que suban las accones de una empresa es 0,8 s el índce de la bolsa sube, y 0,15 s la bolsa no aumenta el índce. Un estudo revela que la probabldad de que aumente el índce de la bolsa es 0,7. Calcule la probabldad de que las accones hayan aumentado su valor. Se ha detectado que las accones de la empresa no han subdo. Calcule la probabldad de que, sn embargo, el índce de la bolsa sí haya aumentado La produccón de una factoría se realza en cuatro máqunas M1, M2, M3 y M4. La prmera máquna produce daramente 600 undades; la segunda 500; la tercera máquna produce 350 y la últma 250. Además sabemos que los porcentajes de pezas defectuosas producdas por cada una de las máqunas es del 4% para M1, 3,5% para M2; 4,6% para M3 y 2% para M4. a) S las pezas se almacenan juntas, cuál es la probabldad de que al extraer una peza al azar sea defectuosa? b) Se ha extraído una peza que resulta defectuosa, cuál es la probabldad de que haya sdo producda por la máquna dos? 65.- En una unversdad termnan la carrera el 5% de los estudantes de arqutectura, el 10% de los de cencas y el 20% de los de letras. El 20% de los estudantes estudan arqutectura, el 30% cencas y el resto letras. Se elge un estudante al azar: a) Calcule la probabldad de que sea de arqutectura y haya termnado la carrera. b) Se escoge un estudante al azar y nos dce que ha termnado la carrera. Calcule la probabldad de que sea de arqutectura Se dspone de dos urnas, una con 3 bolas blancas y dos rojas y otra con 4 blancas y dos rojas. Se escoge una urna al azar y se extrae una bola al azar. Calcule la probabldad de que la bola sea blanca. 19

20 67.- En una empresa el 8% de los hombres y el 4,3% de las mujeres ganan más de euros al año. Se sabe que el porcentaje de mujeres es del 47%. Se seleccona al azar un empleado y resulta que gana menos de euros al año. Calcule la probabldad de que sea mujer En un campus unverstaro hay 3 carreras; el 50% estudan derecho, el 30% empresarales y el resto Economía. Fnalzan sus estudos el 20%, el 10% y el 5% respectvamente. Selecconado un estudante al azar, a) Halle la probabldad de que haya fnalzado sus estudos. b) Nos dce que ha fnalzado los estudos. Calcule la probabldad de que no sea de Derecho. 69.-En una caja hay 15 pezas de la fábrca A, 10 de la B, y 25 de la C. La probabldad de que la peza de la fábrca A sea de caldad excelente es 0,6; de la fábrca B es 0,9 y de la C es 0,7. a) Calcule la probabldad de que extraída una peza al azar, ésta resulte de caldad excelente. b) Se extrae una peza al azar y resulta de caldad excelente. Cuál es la probabldad de que sea de la fábrca B? 70.-Una compañía eléctrca estuda la comercalzacón de un producto que desea sea superor al de su competdor. Un estudo asgna una probabldad del 50% de que el producto sea superor al del competdor, un 30% de que sea de gual caldad y un 20% de que sea de caldad nferor. Tenendo en cuenta la experenca de las encuestas de mercado se sabe que s un producto es realmente superor al del competdor, la encuesta dce que es superor con una probabldad de 0,7. S el producto tene la msma caldad que la del competdor, la probabldad de que la encuesta dga que es superor es de 0.4, y s el producto tene caldad nferor a la del competdor, la probabldad de que la encuesta dga que es superor es de 0.2. La encuesta dce que el producto es superor. Cuál es la probabldad de obtener un producto superor al del competdor? 71.- Una compañía clasfca las formacones geológcas de acuerdo a la posbldad de obtener petróleo en tres tpos. La compañía pretende perforar un pozo al que se le asgnan las probabldades de 0,35; 0,4 y 0,25 para los tres tpos de formacones, respectvamente. Se sabe que el petróleo se encuentra en el 40% de las formacones tpo 20

21 1, en el 20% de las formacones tpo 2 y en el 30% de las tpo 3. Calcular la probabldad de que al perforar no se encuentre petróleo, y s se perfora y no se encuentra petróleo, determne la probabldad de que exsta una formacón tpo Consdere el expermento trar una moneda dos veces y la varable aleatora X que mde el número de cruces en dos tradas. Obtenga la dstrbucón o Ley de probabldades Consdere el expermento trar una moneda tres veces y la varable aleatora X que mde el número de cruces en tres tradas. Obtenga la dstrbucón o Ley de probabldades Hay ses maceteros. En cada uno germnan 3, 1, 1, 0, 0, y 1 semllas respectvamente. Consdere la varable aleatora X: número de semllas que germnan, y calcule la ley de probabldad, su meda y varanza La demanda de certo artículo vene dado por la sguente ley de probabldad: x p = px [ = x] 0,1 0,15 0,25 0,15 0,1 0,05 a) Halle la funcón de dstrbucón. b) Cuál es la probabldad de que la demanda sea menor que 2? c) Para qué valor de la varable se tendrá px [ > x] = 0,55? d) Obtenga su meda y su varanza. e) Moda y medana Sea una varable aleatora dscreta con dstrbucón: x p = px [ = x] 0,07 0,1 0,3 0,23 0,15 0,15 a) Obtenga el coefcente de varacón. b) Obtenga la funcón de dstrbucón. c) Calcule la medana y la moda. 21

22 77.- Sea una varable aleatora dscreta con dstrbucón: x p = px [ = x] 0,5 0,1 0,4 a) Obtenga el coefcente de varacón. b) Obtenga la funcón de dstrbucón. c) Calcule la moda. d) Obtenga el coefcente de curtoss Sea una varable aleatora dscreta con dstrbucón: x p = px [ = x] 0,03 0,2 0,3 0,27 0,2 a) Obtenga el coefcente de asmetría. b) Obtenga la funcón de dstrbucón Sea una varable aleatora dscreta con dstrbucón: x p = px [ = x] 0,07 0,1 0,3 0,23 0,15 0,15 a) Obtenga la meda y la varanza. b) Obtenga la funcón de dstrbucón Sea una varable aleatora dscreta con dstrbucón: x p = px [ = x] 0,2 0,6 0,1 0,1 a) Obtenga el coefcente de varacón. b) Obtenga la funcón de dstrbucón. c) Calcule la moda, medana, coefcente de asmetría y el de curtoss Sea una varable aleatora dscreta con dstrbucón: x p = px [ = x] 0,25 0,5 0,25 a) Obtenga el coefcente de varacón. b) Obtenga la funcón de dstrbucón. c) Calcule la moda y el coefcente de asmetría. 22

23 82.- Dada una varable con la sguente funcón de dstrbucón: F( x ) = 0 x 0; x 3 0 < x 1; 1 x > 1 a) Obtenga la funcón de densdad. b) P[X > 0,5] Dada la sguente funcón de densdad: f ( x ) = kx 0< x 1; 2 x 1< x 2; 0 resto a) Obtenga k. b) Funcón de dstrbucón. c) P[X < 2]. d) P[0 < X <1,5] Sea X una varable aleatora contnua con funcón de densdad: f ( x ) = 1 x+ k 0 x 3; 6 0 otro caso. a) Determnar el valor de k. b) Calcular la funcón de dstrbucón. c) Calcular P[0<X<1,5]. d) Calcular su esperanza y varanza La funcón de dstrbucón de la varable aleatora X es: F( x ) = 2x 1 e x 0; 0 x < 0. a) Determne la funcón de densdad. b) Calcule la probabldad de que X sea superor a 4. c) Cuál es la probabldad de que X esté comprendda entre 0 y 3? 86.- Dada una varable con la sguente funcón de densdad: f(x) = k(1 x) 0 < x< 1; 0 otro caso; a) Obtenga el valor de k para que sea funcón de densdad. 23

24 b) Calcule su esperanza y su varanza. c) Determne el coefcente de asmetría y la medana. d) P[X - 2]; P[0 < X < 0,5]; P[0,5 < X < 1,5] La demanda de un producto tene la sguente funcón de dstrbucón: x 12 1 F(x) = 0,25 x x 1 x x < 0 0 x < 1 1 x < 2 2 x < 4 x 4 Obtenga el prmer cuartl y la medana Sea X una varable aleatora contnua con funcón de densdad: f ( x ) = 1 0 x 8; 8 0 otro caso. a) Calcular la funcón de dstrbucón. b) Obtenga su meda y varanza Sea X una varable aleatora contnua con funcón de densdad: f ( x ) = kx 0 x 5; 0 otro caso. a) Calcular la funcón de dstrbucón. b) Obtenga su meda, varanza y medana. c) Calcule P[0 X 1]; 90.- Dada la varable aleatora con la sguente funcón de densdad: f(x) = x + 1 1< x < 1; 2 0 otro caso; a) Obtenga su funcón de dstrbucón; b) Obtenga medana y meda Dada la varable aleatora con la sguente funcón de densdad: f(x) = x 0< x < 5; 12 0 otro caso; Determne su varanza y el coefcente de curtoss. 24

25 92.- Dada la varable aleatora con la sguente funcón de densdad: f(x) = 3 1 x+ 0< x< 2; otro caso; a) Determne meda y varanza. b) Obtenga la funcón de dstrbucón Dada la varable aleatora con la sguente funcón de densdad: f(x) = k(1 x) 0 < x< 1; 0 otro caso; a) Calcule la varanza y la medana. b) Calcule el coefcente de asmetría Dada la varable aleatora con la sguente funcón de densdad: f(x) = 2x 0< x< 1; 0 otro caso; a) Calcule la funcón de dstrbucón. b) Calcule esperanza y la varanza Dada la varable aleatora con la sguente funcón de densdad: 0 x < 0; F(x) = 1 ( 2 ) 0 1; x+ x x< 2 1 x 1 a) Calcule la esperanza. b) Calcule la medana A un escrtor le pagan euros más 7 euros por cada lbro que venda. El número de ejemplares que se venderán es una varable aleatora de meda y desvacón típca Obtenga los ngresos medos y la desvacón típca del autor En un proceso se fabrcan pezas cuya longtud meda es 16 cm y la desvacón típca 1 cm (no se conoce la dstrbucón de probabldad). Qué porcentaje de pezas tenen una longtud entre 14 y 18 cm? 98.- La varable aleatora X tene la funcón de densdad: 10 x, 0 < x < 10 f ( x) = 50 0, en el resto 25

26 Obtener la funcón de densdad y de dstrbucón de otra varable Y en los sguentes casos: a) Y = 2X + 4 b) Y = 2 X Sea la varable X el número de caras que salen en dos lanzamentos de una moneda y la varable Y el número de caras en el prmer lanzamento. Obtenga: a) La funcón de cuantía. b) Las funcones de dstrbucón margnales. c) La funcón de dstrbucón de X condconada a que Y tome el valor 0. d) Son ndependentes las dos varables? Dada la sguente dstrbucón bdmensonal: X/Y Se pde: a) Meda margnal de X e Y. b) Varanza de Y condconada a X= Un agente nmoblaro está nteresado en averguar cuál es la relacón entre el número de líneas de un anunco en prensa sobre un apartamento y el volumen de demanda de nformacón por parte de posbles nqulnos. Representemos el volumen de demanda medante la varable aleatora X, que toma el valor 0 s desperta poco nterés, 1 para un nterés moderado y 2 s desperta fuerte nterés. El agente estma que la funcón de probabldad conjunta es la que aparece en la tabla: Volumen de demandas (X) Nº de líneas (Y) Hallar: a) Dstrbucón margnal del número de líneas y del volumen de demanda. b) Número medo de líneas s se despertó fuerte nterés. 26

27 102.- Dada la sguente dstrbucón bdmensonal: Y/X Obtener la esperanza matemátca y la varanza de cada una de las varables La funcón de densdad conjunta de una varable bdmensonal vene dada por: f ( xy=, ) kxy 0< x < 4 1< y < 5 0 otro caso a) Determne k para que sea funcón de densdad. b) Obtenga las funcones de densdad margnales. c) Obtenga las funcones de dstrbucón margnales. d) Son ndependentes las varables? e) Calcule las medas margnales. f) Calcule la E(XY) Sea una varable aleatora bdmensonal con la sguente funcón de densdad: f ( xy=, ) 6 x y 0< x< 2, 2< y< otro caso a) Son ndependentes las varables? b) Obtenga las funcones de densdad condconadas. c) Calcule la varanza margnal de Y La funcón de densdad conjunta de una varable bdmensonal vene dada por: f ( xy=, ) < < 4 0< < 2 2 xy x y 0 otro caso Son ndependentes las varables? Sea una varable aleatora bdmensonal con la sguente funcón de densdad: f ( xy=, ) 4 ( x + xy ) 0 < x < 1 0 < y < otro caso 27

28 Obtenga las funcones de densdad condconadas Dada la sguente funcón de densdad de una varable aleatora bdmensonal: f ( xy=, ) kx y x y 2 ( + ) 0< < 2 0< < 1 0 otro caso Obtenga: a) Medas margnales de X e Y. b) Varanzas margnales de X e Y Se tra una moneda tres veces. Calcule la probabldad de que salgan dos caras Se lanza 4 veces una moneda. Calcule la probabldad de obtener: a) Dos caras; b) Como mínmo dos caras. c) A lo sumo una cara Un alumno responde un test de 10 preguntas. Cada una tene 4 respuestas posbles, de las cuales sólo una es correcta. Como no sabe nada, responde al azar. Halle la probabldad de que acerte: a) 4 preguntas. b) Nnguna; c) Todas; d) Al menos 8. e) A lo sumo tres Una prueba falla el 1% de las veces. Halle la probabldad de que falle 10 veces en 1000 pruebas En una centralta, por térmno medo se recben 4 llamadas por mnuto. Halle la probabldad de que en un determnado mnuto no se recban llamadas El número de fallos por hora en un mecansmo sgue una dstrbucón de Posson de parámetro 10. Calcule la probabldad: a) De que se presente un fallo. b) De que halla más de un fallo La probabldad de que una peza sea defectuosa es La produccón en un año es pezas. Calcule: a) La probabldad de que haya 2 pezas defectuosas. b) La probabldad de que haya como mínmo 2 pezas defectuosas. 28

29 115.- En una fábrca hay bujías de las cuales 400 son defectuosas. Se escogen al azar 10 bujías, con reemplazamento. Determnar la probabldad de que todas estén en buen estado En certo barro se sabe que el número de ndvduos por vvenda sgue una dstrbucón de Posson, sendo la probabldad de las vvendas con dos ndvduos el doble que las que tenen sólo uno. Calcule la probabldad de que una vvenda esté desocupada En un hosptal se ha detectado que la probabldad de contraer una determnada enfermedad es del 1%. S en una habtacón hay 6 enfermos: a) Calcule la probabldad de que hayan contraído la enfermedad menos de dos personas. b) Con la aplcacón de un fármaco, la probabldad de contraer la enfermedad se ha reducdo al uno por ml. S en el hosptal hay 1200 enfermos: b1) Calcule la probabldad de que en el hosptal haya más de tres personas con dcha enfermedad. b2) Calcule la probabldad de que en el hosptal hay más de dos y menos de ses personas que hayan contraído la enfermedad En las máqunas de un taller se producen dos averías por térmno medo a la semana. Calcule la probabldad: a) De que no haya nnguna avería en una semana. b) De que haya menos de cnco averías en una semana. c) De que haya menos de 6 en cuatro semanas En la centralta telefónca de una empresa se producen un promedo de 12 llamadas por hora. Calcule: a) La probabldad de que en una hora, cogda al azar, haya 3 llamadas. b) La probabldad de que en un período de 10 mnutos se produzcan de 3 a 5 llamadas El porcentaje de personas en una localdad con una renta superor a 2000 euros al mes es 0,0005%. Determnar la probabldad de que de 5000 ndvduos consultados, haya dos con ese nvel de renta. Extraídos de Martín Plego. F. J. (2004) Introduccón a la estadístca económca y empresaral. ED Thomson. Hermoso Guterrez, J. A. y Hernández Bastda, A. (2000) Curso básco de estadístca descrptva y probabldad. Teoría y problemas. Ed. Némess. Granada. 29

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