Ejercicios y problemas propuestos

Transcripción

1 Ejercicios problemas propuestos Página Para practicar Integral definida Calcula las siguientes integrales: a) d b) e d c) ln d d) d /e a) / ( ) d ( ) d / > H : D / / / b) d / / d ( ) d e o G < F / / d n d n d 8 n d n d n e c) ln d. Integramos por partes ln d: /e u ln 8 du d dv d 8 v ln d ln d ln e e ln 8 ln B ( e ln e e) d ln n e e e e / e / d) d ( e e) d ( ) n d n e e e e Calculamos una primitiva: d d d arc tg e o d 8 arc tg B c πm c πm π π π π/ Calcula: sen cos d π/ () / / * sen cos d t dt t G (*) Aplicamos el siguiente cambio: sen t ; cos d dt para ; t para π ; t 8

2 Halla el valor de la integral definida de la función f () I [, ]. Halla: sen( π) cos( π ) d ln( ) ln ln ln d n G π ( ) d G si < * ( ) si < si ( ) d d d ( ) d ( ) d G G d n cos (π) en el intervalo Calcula las siguientes integrales: si < a) f () d siendo f () * b) f () d siendo f () ) si si si < a) f () d d ( ) d G G d n b) f () d d ( ) d G G d n Área entre f (), eje X, a, b a) Calcula: ( ) d b) Halla el área que determina la curva con el eje X entre las abscisas. a) ( ) d 8 G d n b) Los puntos de corte de la curva con el eje X son:, De estos dos valores, uno se encuentra en el intervalo [, ] es. G () ( ) d G ( ) ; G( ) ; G( ) ( ) d G( ) G( ) ( ) d G( ) G( ) Área u

3 Calcula el área comprendida entre la curva, el eje X las rectas. I. Calculamos las soluciones de la ecuación: No tiene soluciones, por lo que no corta al eje X. II. Buscamos una primitiva de f (): G () ( ) d III. G (), G () IV. G () G () El área buscada es u. (La gráfica se ha incluido para entender el proceso, pero es innecesaria para obtener el área). 8 Calcula el área bajo la curva entre las rectas. I. Hallamos la solución de la ecuación. Es. II. Ordenamos los etremos del intervalo la raíz que ha entre ellos:,,. III. Buscamos una primitiva de f (): G () ( ) d IV. G ( ) ; Gd n ; G( ) V. Gd n G( ) G () G d n El área buscada es: u. (Se inclue la gráfica, aunque es innecesaria para obtener su área). 8 8 Halla el área bajo la curva entre. I. Buscamos la primitiva de la función f (). G () d II. G (), G () 8 III. G () G () El área buscada es: u. (Se inclue la gráfica, aunque es innecesaria para obtener su área).

4 Calcula el área de la región limitada por la curva ( ) ( ) las rectas,,. I. Hallamos las soluciones de la ecuación: ( ) ( ). Son. II. Ordenamos los etremos del intervalo las raíces que ha entre ellos:,,. III. Buscamos una primitiva de f (): G () ( ) ( ) d IV. G (), G( ) V. G () G () El área buscada es u. (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para resolver el ejercicio). ( ) ( ) Calcula el área de la región limitada por la curva las rectas,,. I. Hallamos la solución de. Es. II. Como esta solución se encuentra fuera del intervalo de integración, los etremos son. III. Buscamos la primitiva de la función f (), la cual es continua en dicho intervalo: G () d ln IV. G () ln ( ), G( ) ln ( ) V. G () G () [ ln ( ) ln ( )] El área buscada es: [ ln ( ) ln ( )] u. (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para la resolución del ejercicio). Cálculo de un área reconociendo la figura Las siguientes integrales se pueden calcular reconociendo, en cada caso, la curva cua ecuación está bajo el signo integral calculando, utilizando métodos de geometría elemental, el área pedida: a) d b) ( ) d c) d d) d Recuerda que el área de la elipse de semiejes a b es A πab. a) La recta, entre, limita con el eje X un triángulo. Por tanto: d 8 B 8 b) La recta, entre, limita con el eje X un trapecio. Por tanto: ( ) d G

5 c) La curva es una semicircunferencia centrada en el origen, de radio situada por encima del eje X. La integral pedida es un cuadrante de círculo, por tanto: d) d π π La función es la parte positiva de una elipse que corta a los ejes en (, ); (, ) (, ) la integral pedida es un cuadrante del área encerrada por la elipse. Por tanto, d π π Halla gráficamente las siguientes integrales: a) ( ) d b) ( ) C d a) La recta, entre, limita con el eje X un triángulo. Por tanto: ( ) d b) Como vemos en la gráfica siguiente, la integral es el resultado de restar al área del rectángulo el área del semicírculo de radio. Y X ( ( ) ) d π π Área entre dos curvas Halla, en cada caso, el área comprendida entre los siguientes pares de parábolas: a) e b) e a) I. Buscamos las soluciones de. Son Por tanto, estos van a ser nuestros límites de integración. II. Se obtiene la función diferencia: ( ) ( ) III. Buscamos su primitiva: G () ( ) d IV. G( ) G( ) El área buscada es: u. (Se inclue la gráfica, aunque es innecesaria para obtener el área).

6 b) I. Buscamos las soluciones de la ecuación:. Son. II. Calculamos la función diferencia: III. Buscamos su primitiva: G () ( ) d IV. G (), G () V. G () G () El área buscada es u. (Se adjunta la gráfica, aunque no es necesaria para la resolución del ejercicio). Calcula el área comprendida entre las curvas dadas en cada uno de los ejercicios siguientes: a) ; 8 b) ; c) ; d) ( ) ( ); e) ; f) ; g) ; a) I. Buscamos las soluciones de 8. Son. Por tanto, estos van a ser nuestros límites de integración. II. Calculamos la función diferencia: (8 ) ( ) III. Calculamos su primitiva: G () ( ) d IV. G ( ) 8 8 G () 8 8 V. G () G ( ) El área buscada es: d n u. 8 8 b) I. Buscamos las soluciones de la ecuación:. Son (nuestros límites de integración). II. Calculamos la función diferencia: ( ) III. Calculamos su primitiva: G () ( ) d 8 8 IV. G( ), G( ) 8 8 V. G( ) G( ) El área buscada es: u. (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para hallar el área).

7 c) I. Buscamos las soluciones de la ecuación:. Son,. II. Calculamos la función diferencia: ( ) III. Calculamos su primitiva: G () ( d ) IV. G (), G () G () G (), G () G () G () El área buscada es: u. (La gráfica que se adjunta es para entender mejor el ejercicio, pero es innecesaria para obtener el área). d) I. Buscamos las soluciones de: ( )( ). Son,. II. Calculamos la función diferencia: ( )( ) III. Calculamos su primitiva: G () ( )( ) d Resulta que se trata del mismo ejercicio que el apartado c). El área buscada es: u. e) I. Buscamos las soluciones de la ecuación:. Son. II. Calculamos la función diferencia: III. Calculamos su primitiva: G () ( ) d IV. G ( ), G () V. G () G ( ) El área buscada es: u. (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para resolver el ejercicio). f ) I. Buscamos las soluciones de la ecuación:. Son. II. Calculamos la función diferencia: ( ) ( ) III. Calculamos su primitiva: G () ( ) d IV. G (), G () V. G () G () El área buscada es: u. (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria).

8 g) I. Buscamos las soluciones de:, Son. II. Calculamos la función diferencia: ( ) ( ) III. Calculamos su primitiva: G () ( ) d IV. G ( ), G () V. G () G ( ) El área buscada es: u. 8 (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para la resolución del ejercicio). Dibuja halla el área de la región limitada por la curva ( ) la recta. ( ) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: ( ). Son. II. Calculamos la función diferencia: f () ( ) ( ) III. Calculamos su primitiva: G () ( ) d IV. G ( ), G( ) V. G () G ( ) El área buscada es u. Dibuja el recinto plano limitado por la parábola por la recta paralela a que pasa por el punto (, ). Calcula el área de ese recinto. Recta paralela a que pasas por (, ): m ( ) P(, ) Buscamos los puntos de corte de la curva la recta : Representamos el recinto lo descomponemos en dos partes: R limitado por, eje OX la recta R limitado por, eje OX la recta 8 8

9 Calculamos en primer lugar el área de R : Y R X / ( ) A R d ( ) d > H G / < ( ) F G 8 > d n d nh Calculamos ahora el área de R : R Y X u A R d ( ) d < ( ) F G Área total: R R u otra forma de resolverlo I. Calculamos las soluciones de la ecuación: (Esta ecuación resulta de despejar la en: ; ). Sus soluciones son,. Y X II. Calculamos la función diferencia: ( ) ( ) III. Buscamos su primitiva: G () ( ) d IV. G ( ) G( ) V. G () G ( ) El área buscada es u.

10 8 Halla el área limitada por la función sus tangentes en los puntos en los que su gráfica corta al eje de abscisas. I. Buscamos las soluciones de la ecuación:. Son. II. Calculamos la derivada de f (), que es f '(). La tangente que pasa por (, ) tiene pendiente f '() ; por tanto, es. La tangente que pasa por (, ) tiene pendiente f '() ; por tanto, es. III. Tenemos que distinguir dos intervalos de integración: entre entre. La función diferencia en el primer intervalo es: f () ( ) en el segundo intervalo es: f () ( ) IV. Sus primitivas son: G () d G () ( ) d V. G (), G (), G ( ) G ( ) G ( ), G ( ) 8, G ( ) G ( ) El área buscada es: u. (Se adjunta la gráfica, aunque no es necesaria para resolver el ejercicio). Página 8 Dadas la hipérbola la recta, calcula el área comprendida entre ellas. I. Buscamos las soluciones de la ecuación:. Son (nuestros límites de integración). II. Calculamos la función diferencia: III. Buscamos su primitiva: G () d n ln IV. G () G () ln () V. G () G () ln () ln () El área buscada es: ln () u (Se adjunta la gráfica, aunque no es necesaria para resolver el ejercicio).

11 Calcula el área limitada por la curva la recta tangente a ella en el origen de coordenadas. I. Calculemos la ecuación de la recta tangente en el punto (, ); para ello, calculamos la derivada de nuestra función: ' () (pendiente) La recta tangente tiene por ecuación. II. Calculamos las soluciones de:. Son (límites de integración). III. Obtenemos la función diferencia: IV. Buscamos su primitiva: G () ( ) d V. G (), G () G () G () El área buscada es: u. (Se adjunta la gráfica aunque no es necesaria para la resolución del ejercicio). Halla el área encerrada por la curva ln entre el punto de corte con el eje X el punto de abscisa e. La curva ln corta al eje X en el punto de abscisa. Área e Integramos por partes: * ln d u ln 8 du d dv d 8 v G () ln d ln d ln e Área ln d G() e G( ) ( ) u Halla el área limitada por las gráficas de las funciones que se indican. a) f () g () b) f () g () c) f () ( )( ) g () d) f () g () e) f () g () f ) f () g () a) Calculamos las abscisas de los puntos de corte de las dos curvas: f () g (), Llamamos la integral de h () f () g () Área u ( ) d G

12 b) Calculamos las abscisas de los puntos de corte: 8, Y 8, X Utilizamos la simetría respecto del eje vertical: e o [ ( )] d G e o ( ) d > H G e o Área e o u c) f () g () se cortan en los puntos de abscisas,,. d) Llamamos h () f () g () ( )( ) H () ( d ) H () ; H () Área ; H () ( d ) H( ) H( ) ( d ) H( ) H( ) u Área u 8, ( d ) G e) 8,, G () [ ( )] d e o e o e o Ge o ; G( ) e o e o e o G e o

13 ( d ) G( ) G e o ( d ) Ge o G( ) Área u f ) 8, ( ) d G d n Área u Volúmenes Calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje X los recintos siguientes: a) f () entre b) f () entre c) f () entre u d d G u u a) V π ( ) d π ( ) d π G 8π b) V π ( ) π π π c) V π ( ) d π ( ) d π G π Calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje X los recintos limitados por las gráficas que se indican: a) f (), g() b), a) I. Buscamos las soluciones de la ecuación:. Son. Estos son nuestros límites de integración. II. Calculamos la función diferencia: u f d d 88 B 8 III. V π ( ) ( ) d π ( ) d π G π u b) V π () π ( ) π π

14 Función integral Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) F () costdt b) G () ( t ) c) H () e t dt d) J () ( t ) Atención! La última es la más fácil. a) F '() cos b) F '() ( ) c) H '() e d) J '(), porque J () es constante. dt dt Para resolver Halla el área comprendida entre la curva: el eje de abscisas las rectas verticales que pasan por los puntos de infleión de dicha curva. I. Buscamos los puntos de infleión; para ello, calculamos las dos primeras derivadas: ' ( ) ( 8 ) '' ( ) Igualamos a cero para encontrar en qué valores de la segunda derivada es cero. Esto ocurre en II. Calculamos la primitiva de nuestra función: G () arc tg e o III. Ge o arc tg e o Ge o arc tg e o (puntos de infleión). Ge o Ge o farc tg e o arc tg e op El área buscada es: farc tg e o arc tg e op (Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para la resolución del ejercicio).

15 Si f () g () : a) Dibuja las dos gráficas sobre unos mismos ejes halla sus puntos de intersección. b) Determina el área del recinto encerrado entre ambas gráficas. Y g() R R f() X a) Definimos g () por intervalos: g () ) si si > Buscamos los puntos de intersección resolviendo la siguiente ecuación: ( ) o bien ( ) Al elevar al cuadrado cualquiera de las dos ecuaciones, llegamos a: ± / Sus soluciones son (límites de integración). b) Tenemos que distinguir dos intervalos de integración: de a de a, porque en cambia la definición de g (). Tenemos, por tanto, dos recintos de integración, R R. I. La función diferencia en el primer intervalo es: h () ( ) La función diferencia en el segundo intervalo es: h ( ) II. Sus primitivas son: H () d n d n H () d n d n III. H d n ; H( ) H ( ) ; H ( ) IV. Área del recinto R : H ( ) H d n Área del recinto R : H ( ) H ( ) El área buscada es u.

16 8 Se considera la función: g () * si < si < si < Representa la función g calcula el valor de las siguientes integrales definidas: I gd () J gd () K gd () Y X I g() d d d G 8 B 8 J g() d d ( d ) 8 B G K g() d I J Dibuja el recinto comprendido entre las gráficas de las funciones,, 8, halla su área. Y 8 R R I. Buscamos los puntos de intersección de las funciones:. Su solución es Su solución es Su solución es. Tenemos dos intervalos de integración: de a de a. Corresponden a los recintos R R señalados en el gráfico. II. Hallamos la función diferencia en el primer intervalo: f () 8 Y en el segundo intervalo: f () X

17 III. Buscamos sus primitivas: G () d G () e d o IV. G (), G d n 8 G d n, G ( ) 8 V. Área de R : Gd n G ( ) Área de R : G () G d n 8 8 El área buscada es u Calcula el área del recinto plano limitado por la curva e las rectas. Buscamos una primitiva a nuestra función: G () e d ( ) e (aplicando el método de integración por partes). e G () G () e G () G () e El área buscada es (e ) u. (Se adjunta la gráfica, aunque no es necesaria para resolver el ejercicio). Dada la curva, halla el área limitada por la curva, la recta tangente en el punto donde la función tiene un etremo la tangente a la curva con pendiente. Buscamos el punto donde la curva tiene un etremo, hallando su derivada e igualando a cero: ', el punto es (, ). La ecuación de la recta tangente en dicho punto es. Por otro lado, la ecuación de la recta tangente con pendiente es. Buscamos los puntos de corte de la curva con ambas rectas, de con es (, ); de con es (, ); de con es d, n. Distinguimos dos intervalos de integración: de a de a. En el primer intervalo la función diferencia es: f () En el segundo: f () ( ) Buscamos sus primitivas: G () G ()

18 G ( ), G d n G d n, G( ) 8 G d n G ( ) G () G d n 8 El área buscada es: u / al dar una vuelta completa alre- Halla el volumen del cuerpo limitado por la elipse dedor de OX. u V π f p d π e o d π G π Calcula el área limitada por f (), el eje X las rectas a b, siendo a b las abscisas del máimo el mínimo de f. La función corta al eje X en. Por otro lado, tiene un mínimo en un máimo en. Tenemos que distinguir entre dos intervalos: de a de a. Hallamos la función primitiva: G () d ln ( ) El área en el primer intervalo es: G ( ) ln 8 G () ln G () G ( ) (ln ln 8) (ln ln 8) (ln 8 ln ) u El área en el segundo intervalo es: G () ln 8 G () G () (ln 8 ln ) (ln 8 ln ) u El área total es: (ln 8 ln ) (ln 8 ln ) (ln 8 ln ) u

19 Halla el área comprendida entre las curvas e, las rectas. I. Hallamos la función diferencia: e ( ) e II. Buscamos su primitiva: III. G () G () e G () e G () G () e El área buscada es: de n u. 8 e Página 8 La curva, los ejes de coordenadas la recta limitan una superficie S. Calcula el área de S el volumen de la figura engendrada por S al girar alrededor del eje X. Buscamos una primitiva: G () ln G () ln G () ln 8 G () G () (ln 8 ln ) El área buscada es (ln 8 ln ) u. V π d n d π < F π π u 8 Halla el polinomio de segundo grado que pasa por los puntos (, ) (, ), sabiendo que el área limitada por esa curva, el eje Y el eje X positivo es /. Como el polinomio pasa por el punto (, ), una raíz es, por tanto: ( )(a b ) Por otro lado, cuando, : ( b) b, b Luego queda: ( ) da n Puesto que pasa por los puntos indicados está limitado por los ejes X e Y (positivos), los límites de integración son.

20 Así, buscamos la primitiva del polinomio: G () ( ) a d a a d a a d n c m G () G () a a G () G () a a De donde sacamos que a. Por tanto, el polinomio es: ( ) d n Halla la ecuación de una parábola de eje vertical, tangente en el origen de coordenadas a una recta de pendiente que delimita con el eje X un recinto de base [, ] área. Del enunciado del problema se deduce que la parábola pasa por el origen de coordenadas. Supongamos que es de la forma f () a b. Como la pendiente de la recta tangente en el origen es f ' (). f '() a b, f '() b f () a Si la gráfica de la parábola queda por encima del eje X en el intervalo [, ], el área es: ( a d ) a G a 8, a 8 8 a La parábola buscada es f (), cua gráfica es positiva en el intervalo [, ]. 8 De la función f() a b c d se sabe que tiene un máimo relativo en, un punto de infleión en (, ) que f () d. Calcula a, b, c d. Hallamos f '() a b c f ''() a b Sabemos que f () pasa por el punto (, ), es decir, f (), de donde averiguamos que d. Por otro lado, sabemos que tiene un máimo relativo en, esto es que f ' (), es decir: a b c También tiene un punto de infleión en (, ), por lo que f ''(), de donde b. Como a b c b, se tiene que: a c c a Así, nuestra función queda reducida a la función: f () a a Buscamos su primitiva: G () a a G (), G () a a a G () G () a El resultado es a que es igual a, de donde deducimos que a, por tanto, c. La función buscada es f ().

21 Teniendo en cuenta que la función f () k toma valores positivos negativos, halla el valor de k de forma que el área de la región limitada por el eje X, las rectas, la curva f () quede dividida por el eje X en dos partes con igual área. Supongamos que a comprendido entre es el punto donde nuestra función corta al eje X; por tanto, tenemos que distinguir dos intervalos de integración: de a a de a a. Buscamos una primitiva de nuestra función: G () k k G ( ) k G () k Si suponemos que en el primer intervalo la función es negativa, el área es: G ( ) G (a) si en el segundo intervalo la función es positiva, el área es: G () G (a) Y como el área en los dos intervalos tiene que ser la misma, se tiene la siguiente igualdad: G ( ) G (a) G () G (a) es decir: G ( ) G () k k 8 k Observa que se obtiene el mismo resultado independientemente de qué intervalo consideremos en el que la función es positiva o negativa. Se consideran las curvas e a, donde < a <. Ambas curvas se cortan en el punto (, ) con abscisa positiva. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde hasta es igual a la encerrada entre ellas desde hasta. Hallamos los puntos de corte: a 8 a a a (no vale porque la abscisadebeser positiva). El punto de corte es ( aa., ) Dibujamos las áreas para tener una idea más clara de nuestro ejercicio: Tenemos dos intervalos de integración: de a a de a a, que determinan los recintos R R señalados en el gráfico. Y a R R a a X La función diferencia para el primer intervalo es: f () a

22 Su primitiva es: G () a G (), G ( a) El área del primer intervalo es a a a a a a a a u. La función diferencia en el segundo intervalo es: f () a Su primitiva es: G () a a a G ( a) a a, G ( ) a G () G ( a) a a a El área del segundo intervalo es a a a u. Como el área en los dos intervalos es igual, se tiene que: a a a a a De donde obtenemos que a. Sean a e a a las ecuaciones de una parábola p de una recta r, respectivamente. Demuestra las siguientes afirmaciones: a) Los puntos de corte de p r no dependen del valor de a. b) Si se duplica el valor de a, también se duplica el área encerrada entre p r. a) Los puntos de corte se obtienen al igualar ambas ecuaciones: a a a a a a a( ) Como suponemos a, para que sean ciertamente una parábola una recta, dividiendo toda la ecuación entre a, llegamos a: sus soluciones son: b) La función diferencia es: f () a a a a( ) Si llamamos h (), se tiene que: f () a h () (que no dependen de a). la primitiva de f () es a por la primitiva de h (), es decir: G () a H () El área comprendida es, por tanto: G e o G e o afhe o He op u

23 Si duplicamos a, se tiene que la función diferencia es ahora: f () a h () su primitiva: G () a H () Por lo que el área comprendida es: G e o Ge o afh e o H e op u Sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva la recta b es igual a, calcula el valor de b. La curva la recta b se cortan en el punto de abscisa b en. Así, nuestros límites de integración son b. La función diferencia es: b Su primitiva es: G () b G () G (b) b G (b) G () b Como el área es, se tiene que: b, de donde obtenemos que b. 8 Calcula el valor de a para que el área de la región limitada por la curva a el eje X sea igual a. La curva corta al eje X en los puntos de abscisa a (estos son los límites de integración). Su primitiva es: G () a G () G (a) a G (a) G () a Como el área es, se tiene que: a, de donde averiguamos que a. 8

24 Dada la función calcula el valor de a para que el área limitada por esa curva las rectas a sea igual a. Buscamos su primitiva: G () ln ( ) G () G (a) ln (a ) G (a) G () ln (a ) Como el área es igual a, se tiene que: ln (a ) de donde averiguamos que a e. e e Epresa la función de posición de un móvil sabiendo que su aceleración es constante de 8 cm/s, que su velocidad es cuando t que está en el origen a los segundos. Llamamos S (t) a la posición del móvil al cabo de t segundos. Así: V (t) S' (t) a(t ) S ''(t) 8 cm/s Calculamos la velocidad V (t): Vt () at () dt 8dt 8t k V( ) k 8 k Calculamos S (t): V (t ) 8t S (t) Vt () dt ( 8t ) dt t t c S () c c Por tanto: S (t ) t t Un móvil se desplaza en línea recta, con movimiento uniformemente acelerado, con aceleración de m/s con velocidad inicial v m/s. Calcula compara las distancias recorridas entre t t entre t t. Calculamos la velocidad del móvil: Vt () at () dt dt t k V( ) k Distancia recorrida entre t t : V (t ) t d Vt () dt ( t ) dt 8t t B m Distancia recorrida entre t t : d Vt () dt 8t tb m Por tanto, recorre la misma distancia entre t t que entre t t.

25 Halla el volumen del cuerpo engendrado por la región del plano limitada por los ejes de coordenadas, la curva de ecuación e la recta, al girar alrededor del eje X. u V π ( e ) d π e d π e π ( e 8 B ) e 8 Calcula el volumen que se obtiene al hacer girar alrededor del eje X el recinto limitado por las gráficas de las funciones,,. Las curvas se cortan en el punto de abscisa. Por tanto, nuestros límites de integración son. El volumen buscado es el resultado de restar el volumen engendrado por la curva alrededor de OX entre, el volumen engendrado por la curva alrededor de OX entre los mismos límites. V π ( ) d π G π u V π dn d π < F π u El volumen buscado es: V V π π π u Calcula el volumen engendrado por la hipérbola cuando [, ]. u V π f ( ) d π e o d π G π 8π

26 Halla el volumen engendrado por la circunferencia al girar alrededor del eje X. El círculo del ejercicio tiene su centro en (, ) radio ; por tanto, corta al eje OX en (, ) (, ). Así, nuestros límites de integración son. ( ) u ( ) V π d π ( ( )) d π > H π Halla la derivada de las funciones que se dan en los siguientes apartados: a) F () cost dt b) F () ( t t) dt c) F () sen t dt sen d) F () ( tdt ) a) Como f es continua, podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo: F '() cos b) Como f es continua, también podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo: F '() [( ) ] c) Del mismo modo: F '() sen d) Análogamente: F '() ( sen ) (sen )' ( sen ) cos Sin resolver la integral, indica dónde ha máimo o mínimo relativo en la función: F () ( t ) dt Los máimos o mínimos relativos se obtienen para los valores de donde la primera derivada es cero, en nuestro caso, F '(). Como f es continua, podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo: F '() F '() en, así en los puntos de abscisa ha máimos o mínimos relativos. Sabemos que f () t dt ( ), siendo continua en Á. Calcula f (). Aplicando el teorema fundamental del cálculo, se tiene que: f () ( ) f () Sea F () cos t dt. Halla los posibles etremos de dicha función en el intervalo [, π]. Como f () cos es continua en [, π], podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo, así obtenemos la primera derivada de la función F (): F '() cos Esta tiene sus etremos en los valores de en que F '(), esto es en π π.

27 Página 8 Halla máimos mínimos relativos de las funciones: a) F () ( t ) ( t ) dt b) G () log t dt t a) F '() ( ) ( ) F '() ( ) ( ), Pero F '() > cuando por ser un cuadrado perfecto. Luego F () es creciente no tiene máimos ni mínimos relativos. b) G '() log con > G ' () log G' < G' > El mínimo relativo se alcanza en. log t, G () dt El mínimo relativo es el punto (, ). t Considera la región del plano que determinan las curvas e e e la recta k. a) Halla su área para k. b) Determina el valor de k > para que el área sea. a) Las funciones dadas se cortan en el punto,. Si k >, el área es: k k k k ( e e ) d e e e k e e k G d n e Si k <, el área es: k ( e e ) d e e k G e e k k b) e k e k k 8 e e Haciendo el cambio de variable z e k, obtenemos: z z z, z (no vale) e k k ln k Calcula el área encerrada entre la curva la cuerda de la misma que tiene por etremos los puntos de abscisas. Calculamos las coordenadas de los puntos:, (, ), (, ) La pendiente de la cuerda que pasa por ellos es: m La ecuación de la recta que contiene a la cuerda es: G () [( ) ( )] d [( ) ( )] d El área buscada es u.

28 Cuestiones teóricas 8 Calcula la derivada de la función dada por F () costdt de dos formas: a) Obteniendo de forma eplícita F (), después, derivando. b) Aplicando el teorema fundamental del cálculo. a) F () 8sen tb sen F ' () cos b) Como f es una función continua en todos los puntos, se puede aplicar el teorema fundamental del cálculo: F ' () f ( ) ( )' cos La gráficas I, II III corresponden, no necesariamente por ese orden, a las de una función derivable f, a su función derivada f a una primitiva F de f. Identifica cada gráfica con su función, justificando la respuesta. I II III La gráfica II es la de la función; la gráfica I, la de su derivada la gráfica III, la de su primitiva. La razón es: partiendo de la gráfica II, observamos que se trata de una función lineal (afín) con pendiente positiva, por lo que la función derivada tiene que ser una función constante (la pendiente de la función afín). Por otro lado, la primitiva de la función afín tiene que ser una función cuadrática, cua gráfica corresponde a la parábola. Sabemos que el área limitada por una función f, el eje de abscisas las rectas es igual a. Cuánto aumentará el área si trasladamos unidades hacia arriba la función f? f f Si trasladamos también el eje OX unidades hacia arriba, es fácil ver que el área añadida es la de un rectángulo u de base u de altura (su área es 8 u ). Y X Es decir, su área aumentará 8 u. (No depende de lo que mida el área señalada). Si una función f es positiva para todos los valores de su variable, cualquier función primitiva de ella es creciente en cada uno de sus puntos. Por qué? Cierto, puesto que si la primera derivada de una función es positiva, dicha función es creciente.

29 Halla las derivadas de: a) F () cos t dt b) F () ( t) dt a c) F () dt d) F () t (Observa que la puede salir fuera de la integral) a) F '() por ser una función constante. b) F () ( t ) dt F '() dt t a c) F () t dt a F '() t dt d) F () t dt F '() t dt t dt Cuál de las si guientes epresiones nos da el área limitada por la gráfica de f el eje de abscisas? f a b c c c b c b c a) f b) f c) f f d) f f a d) a a Dada la función, halla el punto c [, ] tal que el área d sea igual a la de un rectángulo de base altura f (c). Es decir, que cumpla lo siguiente: f (c) d Qué teorema asegura la eis tencia de c? d 8 Así pues, se tiene: f (c) 8, de donde averiguamos que c. El teorema que asegura la eistencia de c es el teorema del valor medio del cálculo integral. Sea F una función definida en [, ) tal que: F () ln ( tdt ) Analiza si es verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones: a) F () ln b) F ' (), c) F es creciente en su dominio. a) Calculamos G (t) ln ( tdt ) integrando por partes: u ln ( t) 8 du t dt dv dt 8 v t G (t) ln ( tdt ) t ln ( t) t dt t ln ( t) d ndt t t t ln ( t) t ln ( t) ( t ) ln ( t) t a b b

30 Por tanto: F () G () G () [( ) ln ( ) ] [ln ] ( ) ln ( ) ln F () ln ln La afirmación F () ln es falsa (basta ver, además, que en F () no ha área). b) Como f es continua para, aplicamos el teorema del cálculo integral: F '() ln ( ) También es falsa. c) Cierta, porque su derivada F ' es positiva en todo el dominio. Demuestra la desigualdad siguiente: En el intervalo ;, π E se cumple que: π/ sen d sen a que sen en dicho intervalo. Por tanto: π sen d π π d π ln ( ) ln π, d < F e o < De esta forma queda probada la desigualdad. Página 8 Para profundizar a) Halla el volumen del tronco de cono de radios cm cm altura cm. b) Obtén la fórmula: V π h ( r r r r ) que nos da el volumen de un tronco de cono de radios r, r altura h. Y B A X a) La recta pasa por los puntos (, ) (, ). Obtenemos su ecuación: m, la recta es Los límites de integración son.

31 b) El volumen será: V f () d d π ` j π d n π d nd π G π u r r h La recta pasa por los puntos (, r ) (h, r ). Obtenemos la ecuación: r r r r r r m 8 r d n h h h El volumen será: h r r V π > r d nh d h h r r π > r r r d n r d n H d h h r r r r r π > r d n d n H h h r r r r π r h h > d n r d n h H h h π r h < ( r r r r r r r F π r h < r rr rr F πh ( r r rr ) 8 a) Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área del círculo es π. b) Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el volumen de la esfera de radio r es V π r. h a) Área d Calculamos G () d G () d c m d, mediante un cambio de variable:

32 Cambio: sent 8 sen t 8 d cos t dt G () sen t costdt cos t dt cos t dt t sen t t e o < F sen t arc sen c m c m arc sen c m c m arc sen c m Por tanto, el área será: A (G() G ()) π π u R R b) V π d π ( R ) d π R π R R G e R R o π R R R R R Calcula el área encerrada por la elipse. 8 e o 8 ± c m El área es: A d c m c m d Calculamos G () c m d : Cambio: sent 8 sen t 8 d cos t dt G () sen t costdt cos t dt e cos t odt ( cos t) dt t sen t arc sen c m arc sen c m 8 El área será: A [G () G ()] π

33 Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de la elipse es π. Despejamos : 8 ± c m c m El área será: A c m d Calculamos G () c m d Cambio: sent 8 sen t 8 d cos t dt G () sen t costdt cos t dt e cos o ( cos ) t dt tdt t sen t arc sen arc sen c m c m c m El área será: A [G() G ()] π π Demuestra que el volumen del elipsoide obtenido al girar la elipse a es: b a) π a b si gira alrededor del eje X. b) π a b si gira alrededor del eje Y. a a) V π b b f p d π > b b H π e b a ab b a ab o π ab a a a b b) V π a a d π a a π a b ba f p > H e a b ba o πba b b b a a b b Halla la derivada de la función siguiente: F () sen tdt Si G () es una primitiva de la función g () sen, entonces sentdt G ( ) G ( ). La derivada, aplicando la regla de la cadena, es: D sen tdtg D [G( ) G ( )] G' ( ) G' ( ) sen ( ) sen ( ) Por tanto: F '() sentdt [ sen( ) sen ( )] sen tdt [ sen ( ) sen ( )]

34 Comprueba si eisten, en su caso, calcula las siguientes integrales impropias: a) dt b), t d r > c) dt d) e d r t e) d f ) d g) d h) du ( u ) a) dt 8arc tgtb arc tg t í π d lm dt lm í arc tg 8 8 t b) dt r r G r t ( rt ) ( r) r d lm í dt r 8 r t, a que r >, por tanto, la primera fracción tiende a. r c) dt 8arc tgtb arc tg arc tg ( ), con > t ( ) π π π d lm í dt lm í 8arc tg arc tg B c m 8 8 t t t d) e dt 8e B e, con > e) t 8 8 e d lím e dt lm í ( e ) t dt < t F / / d lm dt lm / í í d n 8 t 8 f ) ln ln t dt 8 t B g) h) lm í dt lm í ( ln ) t No eiste la integral. 8 8 t dt 8arc sen tb arc sen d lm í dt lm í arc sen π 8 t 8 du < F ( u ) u lm í du lm í 8 ( u ) d 8 n No eiste la integral. Si f () lm í e g () f () t dt, halla el siguiente límite: g () lm í 8 g () ( ) H '() lm í g lm í f () lm í ( ) e Por tanto, el límite dado vale.

35 Determina el valor del parámetro a > de tal manera que valga 8 el área de la región del plano limitada por el eje X la gráfica de la función siguiente: f () a( ) ( ) La función corta al eje X en los puntos de abscisa a. Nuestros límites de integración; buscamos una primitiva: G () [ ( ) ( )] ( ) a d a ( ) G (a ) a G ( ) G (a ) G () a Como el área tiene que ser 8, igualamos: a 8. De donde obtenemos que a.

36 Autoevaluación Página 8 Dada la función f (), calcula: a) El área encerrada por la gráfica de f (), el eje X las rectas. b) El área de cada uno de los dos recintos comprendidos entre las gráficas de f () de g (). a) Representamos el recinto: Cortes con el eje OX : Y ( ) Puntos singulares: f ' () ( ) X f '' () f ''( ) > 8 Mínimo: (, ) f ''( ) < 8 Má imo: (, ) Área ( ) d G d n ( 8 ) u b) Representamos f () g () : Hallamos los puntos de corte de f g : Y X Las gráficas se cortan en,. Calculamos el área entre el área entre : [( ) ( )] d ( ) d G d n d8 n d n u [( ) ( )] d ( ) d G d n d n d n u

37 Calcula el área del recinto limitado por f (), el eje Y la recta tangente a f en. Calculamos la tangente a f () en : Punto de tangencia:, f () (, ) Pendiente de la recta tangente: f '() m f ' () Ecuación de la recta tangente: ( ) Representamos el recinto: f () Y X Vértice de la parábola: f ' (), f () (, ) Corte con los ejes:, f () (, ) ± 8 No corta al eje OX. Calculamos el área: u A [( ) ( )] d ( ) d G Calcula: d La función se descompone de la siguiente manera: Por tanto: f () > * f () d ( ) d ( ) d 8 B 8 B / /

38 Halla el área de la región comprendida entre la gráfica de la función f () ( ),. Representamos la función f () ( ) : Asíntota vertical:, lm í f () 8 Asíntota horizontal: Puntos singulares: f '() para cualquier No tiene puntos singulares. ( ) Punto de corte con la recta : 8 ( ) ( ) 8 (, ) 8 (, ) Recinto: Y las rectas Área d ( ) G < F u X Calcula el área encerrada entre la gráfica de la función eponencial f () e la cuerda a la misma que une los puntos de abscisas. Ecuación de la cuerda: Área: 8 f ( ) e Recta que pasa por (, ) por (, e ): 8 f ( ) e m e 8 e e e e d e o e G ( e e ) ( e ) u Dada la función F () ln tdt con : a) Calcula F ' (e). b) Tiene F puntos de infleión? Justifica tu respuesta. a) F () ln td F '() (ln ) (ln ) ln F '(e) e ln e e b) F '' () ln ln ; ln ln e F no tiene puntos de infleión porque e < ; es decir, e no pertenece al dominio de F.

39 a) Halla, integrando la función adecuada en el intervalo que convenga, el volumen de un cono de radio cm altura cm. b) Procediendo de forma similar, deduce la fórmula del volumen de un cono de radio r altura a. a) La recta pasa por los puntos (, ) (, ). El cono dado se puede obtener girando el segmento que une los puntos anteriores alrededor del eje X. El volumen es: V π d π π d n G π u b) La recta a r pasa por los puntos (, ) (a, r ). El cono de altura a radio r se puede obtener girando el segmento que une los puntos anteriores alrededor del eje X. El volumen es: a V π r d π π r a c m G πr a u a ar a a