Trabajo Práctico N 9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA

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1 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti Trjo Prátio N 9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA Ejeriio : Hlle l euión norml generl de l irunfereni que tiene entro en (- ; 3) que ps por el punto ( ; -). Grfique. Ejeriio : Anlie l deduión de ls epresiones que figurn en el udro prtir de l gráfi dd. L ECUACIÓN CANÓNICA p ( h ) ( k)² DIRECTRIZ p/ V h k p/ F R EJE FOCAL EJE FOCAL // VÉRTICE V( h; k) FOCO F(h+p/; k) Euión de l EJE X DIRECTRIZ h p/ LADO RECTO LR p. EJE FOCAL L DIRECTRIZ h F p/ V p/ k R ECUACIÓN CANÓNICA EJE FOCAL // VÉRTICE V( h; k) FOCO F(h; k+p/) p ( k ) ( h)² Euión de l EJE Y DIRECTRIZ k p/ LADO RECTO LR p.

2 Ejeriio 3: Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti Hlle l euión norml generl de l práol uo vértie es el puntov( -, 3) su foo es F (- ; 3). Represente gráfimente. Ejeriio : Ls torres de un líne de lt tensión están seprds m tienen un ltur de 6 m. Los les de l líne no deen estr menos de 6 m sore el nivel del suelo. Hlle l euión de l práol que determinn los les. Indique l ltur de un punto que está situd m del vértie. [Oservión: Un le que uelg entre dos postes desrie un urv llmd tenri, pero en l práti puede lulrse proimdmente omo un práol.] Ejeriio : Anlie l deduión de ls epresiones que figurn en el udro prtir de l gráfi dd. A` L F` h R B A` C k B` EJE FOCAL A F EJE FOCAL // EJE X ECUACIÓN CANÓNICA CENTRO C( h, k) VÉRTICES SEMIEJES SEMIDISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD MAYOR: MENOR : FOCOS: ( h) ( k ) + A( h + ; k ) A`( h ; k ) B( h; k + ) B`( h; k ) F( h + ; k ) F`( h ; k ) FÓRMULA DE CÁLCULO ²+ ² e LADO RECTO LR

3 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti A F B` h k L F` R EJE FOCAL B EJE FOCAL // EJE Y ECUACIÓN CANÓNICA CENTRO C( h, k) VÉRTICES SEMIEJES MAYOR: MENOR : FOCOS: ( h) ( k ) + A( h; k + ) A`( h; k ) B( h + ; k ) B`( h ; k ) F( h; k + ) F`( h; k ) A` SEMIDISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD FÓRMULA DE CÁLCULO ²+ ² e LADO RECTO LR Ejeriio 6: Hlle l euión norml de l elipse on eje fol prlelo l eje, on entro C (, ), que tiene uno de sus vérties en A (, 6 ) u eentriidd es 3/. Represente gráfimente. Ejeriio 7: Un río es ruzdo por un rreter por medio de un puente uo ro entrl tiene l form de medi elipse. En el entro del ro l ltur es de m. El nho totl del ro elíptio es de m. ) Determine l euión de l elipse que desrie diho puente. ) A un distni de m de d uno de los pilres, se enuentrn estruturs de proteión pr los mismos. Cuál es l ltur del ro del puente en orrespondeni on estos elementos?

4 Ejeriio 8: Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti Anlie l deduión de ls epresiones que figurn en el udro prtir de l gráfi dd. L A F` R h B B k EJE FOCAL A F EJE FOCAL // EJE X ECUACIÓN CANÓNICA CENTRO C( h, k) VÉRTICES SEMIEJES SEMIDISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD REAL: IMAGINARIO: FOCOS: ( h) ( k) A( h + ; k ) A`( h ; k ) B( h; k + ) B`( h; k ) F( h + ; k ) F`( h ; k ) FÓRMULA DE CÁLCULO ²+ ² e LADO LR RECTO ECUACIÓN ASÍNTOTAS ± ( h) + k L B h F A A k F` EJE FOCAL B R EJE FOCAL // EJE Y ECUACIÓN CANÓNICA CENTRO C( h, k) VÉRTICES SEMIEJES SEMIDISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD REAL: IMAGINARIO: FOCOS: ( k) ( h) A( h; k + ) A`( h; k ) B( h + ; k ) B`( h ; k ) F( h; k + ) F`( h; k ) FÓRMULA DE ²+ ² CÁLCULO LADO e LR RECTO ECUACIÓN ASÍNTOTAS ± ( h) + k Ejeriio 9: Hlle l euión de l hipérol on entro en C(;), on uno de sus foos en F( - 6; ) on eentriidd e /. Represente gráfimente.

5 Ejeriio : Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti Un ro enví un señl de uilio en el momento en el que se enuentr mills de l ost. Dos estiones gurdosts Q R, uids mills de distni entre sí, reien l señl. A prtir de l difereni entre los tiempos de reepión de l señl, se determin que l nve se enuentr 6 mills más er de l estión R que de l estión Q. Elij un sistem de refereni propido e indique ls oordends orrespondientes l uiión de l emrión. Represente gráfimente. Ejeriio : Dds ls euiones de ls siguientes ónis, enuentre su euión norml, determine sus elementos priniples grfique. Esri l euión trsldd respeto de ls oordends del nuevo sistem. ) ) ) + + d) Ejeriio : Dds ls siguientes euiones: i) ii) 3 + ½ iii) - + iv) ) Eprese l euión en form mtriil ) Identifique l óni prtir de los vlores propios ) Enuentre l mtriz que digonliz ortogonlmente l mtriz de l form udráti

6 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti d) Verifique que l mtriz hlld represent un rotión e) Eprese l euión referid l nuevo sistem rotdo o rototrslddo f) Hlle el ángulo de rotión g) Grfique ii) 3 + ½ ) Form mtriil [ ] [ ] [ ] / 3 + +, siendo A ) Vlores vetores propios de A λ λ λ λ λ Pr λ - + v Pr λ + - v 3) L mtriz P pr l digonlizión ortogonl es : P L mtriz digonl semejnte l mtriz de l form udráti es: D P - A P ) Considerndo que X P X, l nuev euión mtriil es: [ ] [ ] [ ] / SOLUCIÓN:

7 + + [ ] [ 3 ] [ / ] + / ( ) ( ) ½ ( + ¼ - ¼ ) ( + ) / ( ½ ) ½ ( ) + ½ ( ½ ) ( ) - - ( ½ ) + ( ) Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti ( ) ( ) ) L euión norml de l óni es: + / / Tipo de óni: Hipérol Centro: C ( ½; ) [ C (h; k) ] Semiejes: / Semidistni fol: [ + ] Vérties: A ( ½ ; + / ) A ( ½ ; - / ) [ A ( h; k ± ) ] B ( ½ + / ; ) B ( ½ - / ; ) [ B ( h ± ; k ) ] Foos: F ( ½ ; ) F( ½ ; ) [ F ( h; k ± )] Ldo reto: LR [ LR / ]

8 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti Ejeriio 3: Anlie ls reliones que eisten entre ls gráfis dds ls euiones indids. Hiperoloide de un hoj Hiperoloide de dos hojs Elipsoide Superfiie óni Proloide elíptio Proloide hiperólio

9 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti Cilindro elíptio + Cilindro hiperólio Cilindro prólio Cilindro irulr + Ejeriio : Hlle los elementos de l siguiente uádri e identifique el nomre: SOLUCIÓN:

10 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti Ejeriio : Dd l siguiente euión: z 6 z 7 z ) Eprese l euión en form mtriil. ) Enuentre l mtriz que digonliz ortogonlmente l mtriz de l form udráti. ) Eprese l euión referid l nuevo sistem rotdo o rototrslddo. Dd l euión de l uádri: + + z + d + e z + f z + g + h + i z + j epresmos dih euión en form mtriil: Siendo: ) SOLUCIÓN: A d / e / 8 X T A X + K X + [ j ] O d f / / e / f / K [ g h i ] [ z ] + [ 7 ] 8 8 z X z z Con A K [ 7] ) Busmos los vlores propios: A λ I λ 8 λ 8 8 λ ( - λ ) ( - λ ) ( 8 - λ ) 8. ( - λ ) ( - λ ) ( λ² - λ ) ( - λ ) ( λ² - λ) λ λ λ 3

11 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti λ / ; ; v 3 ; / 3 / ˆ v λ ; IR; v ; ˆ v λ /3 ; ; v 3 3 ; 3/ / ˆ3 v P 3 / / / 3 / P - 3/ / / 3/ ) Reemplzndo X por P X [ ] [ ] + / 3 / / / 3 7 z z z 9 + z z PARABOLOIDE ELÍPTICO 9 z +

12 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti