Tema 6: Introducción a la inferencia estadística Parte 1

Transcripción

1 Tema 6: Introducción a la inferencia estadística Parte 1 1. Planteamiento y objetivos 2. Estadísticos y distribución muestral 3. Estimadores puntuales 4. Estimadores por intervalos Lecturas recomendadas: Capítulos 19 a 21 del libro de Peña y Romo (1997).

2 INTRODUCCIÓN En muchos casos se desea obtener información estadística sobre poblaciones numerosas. Por ejemplo: Situación laboral de las personas en edad de trabajar en España Precipitación anual en la Comunidad de Madrid Puede ser imposible (por falta de recursos) obtener la información relativa a todos los individuos Se estudia una muestra representativa de la población: Subconjunto de la población que permita obtener información fiable sobre el total de dicha población

3 Cómo seleccionar una muestra Tamaño reducido Ausencia de sesgos Facilidad en la definición de la muestra Conclusiones obtenidas de la muestra sean válidas o extrapolables a la población

4 Mejor alternativa: Muestras aleatorias simples Cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de pertenecer a la muestra La selección se realiza de manera independiente: La selección de un individuo concreto no afecta a la probabilidad de seleccionar cualquiera de los otros

5 7.1 Planteamientos y objetivos Estadística Descriptiva: la edad media de una muestra de 20 votantes del PP es de 55 con desviación típica 5. Modelo Probabilístico: La edad de un votante del PP sigue una distribución normal N(, 2 ) Inferencia: Predecimos que posibilidad de que < 50. = 55. Rechazamos la

6 Inferencia Partiendo de la distribución de la variable aleatoria en la muestra Obtener información sobre distribución de la variable en la población Valores de interés: Cálculo de estadísticos para la media, varianza y proporciones

7 Ejemplo de juguete Población compuesta por 24 individuos Variable aleatoria de interés: Tiempo para completar una consulta médica. Datos en la Población: 5,1 1,0 0,9 3,8 10,2 2,1 9,5 4,5 Promedio o media en la población: 4,0 1,0 2,2 1,5 4,8 1,6 8,8 4,3 1,0 9,0 5,1 0,2 2,3 0,8 7,8 7,7 1,5

8 Se toma una muestra de la población anterior Muestra seleccionada de tamaño n = 7: Muestra: 3,8 9,5 4,8 1,6 0,2 0,8 1,5 Estadístico de interés: promedio de la muestra 3,1 Error (sesgo) relativo: (4,0 3,1)/4,0 = 0,225 Cambios en el muestreo Selecciones alternativas de los elementos de la muestra Aumento del tamaño de la muestra

9 Cambios en el tamaño muestral Si a la muestra del ejemplo anterior le añadimos nuevos elementos, el promedio muestral cambia. Se aproxima al valor de la media poblacional A medida que aumentamos el tamaño de la muestra el promedio muestral es más parecido al promedio de la población.

10 Ejemplo de muestreo Si seleccionamos las primeras 7 observaciones obtenemos un promedio de la muestra igual a 5,8: Muestra: 5,1 1,0 0,9 3,8 18,2 2,1 9,5 Si consideramos todas las selecciones posibles de 7 observaciones ( posibilidades).

11 Cada posible muestra de tamaño 7 generalmente tiene una media distinta La media muestral es una variable que depende de la muestra El valor promedio (la media) de todas las medias muestrales es 4, idéntico al valor promedio de la población

12 7.2 Estadísticos y distribución muestral Distintas muestras tienen distintas medias. Antes de obtener la muestra, la media es una variable. La media y varianza de la media son Si N es suficientemente grande, la distribución de la media es normal Para ver como varia la media de distintas muestras:

13 El valor esperado de la media de la muestra es la media de la población Estimamos la media de la población a partir de la media de la muestra La variabilidad de la media muestral La varianza de la media muestral nos dice si el error de estimación puede ser grande o pequeño El valor de la varianza decrece si n aumenta Podemos reducir el error aumentando el tamaño de la muestra

14 7.3 Estimadores puntuales X Usamos como estimador de la media poblacional. x Dada una muestra, es la estimación de. Buenas propiedades estadísticas: insesgado, eficiente, etc. Igualmente S 2 es un estimador razonable de 2.

15 7.4 Estimadores por intervalos Queremos calcular un intervalo donde estemos bastante seguros de que esté. Intervalo ancho Intervalo pequeño muy impreciso más probabilidad de cometer un error. Método probabilístico: Elegir un nivel de confianza, por ejemplo 95% (o 90% o 99%) Elegir variables LI(X 1,,X N ), LS(X 1,,X N ) tales que P(LI < < LS) = 95% Dados los datos de la muestra, el intervalo de 95% de confianza es (L(x 1,,x N ), U(x 1,,x N ))

16 Interpretación Estadística Aplicada al Periodismo Si construimos muchos intervalos con el mismo método y el mismo nivel de confianza de 95%, entonces un 95% de estos intervalos contendrán el parámetro que queremos estimar. Si hemos construido un solo intervalo de 95% de confianza, no es correcto decir que la probabilidad de que esté dentro es de 95%.

17 Un intervalo de 95% de confianza para la media de una población normal (varianza conocida) Dada una muestra, x 1, x N, un intervalo de 95% de confianza para es De dónde viene 1.96? Cómo sería un intervalo de 90% de confianza?

18 Ejemplos 1. En una muestra de 20 catalanes, su sueldo medio era de 2000 mensuales. Suponiendo que la desviación típica de los sueldos en Cataluña es de 500, hallar un intervalo de 95% de confianza para el sueldo medio en Cataluña. 2. En una muestra de 10 estudiantes universitarios, la altura media era de 170cm. Suponiendo que la desviación típica de las alturas de los españoles es de 5cm, hallar un intervalo de 99% de confianza para la altura media.

19 Un intervalo de 95% de confianza para una proporción Dada una muestra de tamaño N con proporción muestral 95% de confianza para p es, un intervalo de

20 Ejemplos Estadística Aplicada al Periodismo 3. En una muestra aleatoria de 100 votantes, 45 de ellos votaron al PSOE en las últimas elecciones. Usar esta información para estimar la proporción de los votantes en España que votaron al PSOE. Dar una estimación puntual y un intervalo de confianza de 95% personas en una muestra de 30 americanos están a favor de la pena de muerte. Estimar la proporción de la población americana que esté a favor y dar un intervalo de 90%.

21 Otros intervalos de confianza útiles 1. Un intervalo de 95% de confianza para la media de una población normal (varianza desconocida) 2. Un intervalo de 95% de confianza para la diferencia de las medias de dos poblaciones normales (varianzas conocidas)

22 3. Un intervalo de 95% de confianza para la diferencia de las medias de dos poblaciones normales (varianzas desconocidas pero iguales) 4. Un intervalo de 95% de confianza para la diferencia de las medias de dos poblaciones normales (varianzas desconocidas y no iguales)