UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-7--M---7 CURSO: Matemática Itermedia SEMESTRE: Segudo CÓDIGO DEL CURSO: 7 TIPO DE EXAMEN: Segudo Parcial FECHA DE EXAMEN: Agosto del 7 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Melvi Saúl Calel Otzoy DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Melvi Saúl Calel Otzoy COORDINADOR: Ig. José Alfredo Gozález Díaz

2 Matemática Itermedia UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS ESCUELA DE CIENCIAS FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA MATEMATICA INTERMEDIA TEMA a) Determie si coverge o diverge ) Halle u valor aproximado de sex TEMARIO A co =4 ( redodee a cifras decimales). TEMA se x dx 5 x cos SEGUNDO PARCIAL ( PUNTOS) dx utilizado la regla de ( PUNTOS) Simpso Ua compuerta e u caal de irrigació tiee la forma de u trapecio de pies de acho e el fodo, 5 pies de acho e la parte superior y pies de alto. Está colocada verticalmete e el caal y el agua llega hasta u pie de su parte superior. Platee la itegral de la fuerza hidrostática sore la compuerta. (desidad de peso del agua 6.5 l/pie ). TEMA ( 9 PUNTOS) Platee las itegrales ecesarias para ecotrar el cetroide de la regió limitada por las curvas y x ; y x TEMA 4 a) Determie si coverge o diverge las siguietes series. i) ( PUNTOS) Por serie alterate. ii) Por criterio de la itegral ) Ecuetre la suma de TEMA 5 ( PUNTOS) ta Escria los dos siguietes térmios de la sucesió, trace su gráfica. Escria el -ésimo térmio, determie si es moótoa de que tipo, cotas, coverge o diverge 4 8,,, TEMA 6 ( PUNTOS) a) Represete f( x) por medio de ua serie de potecias, partiedo de la serie de x potecias de la geométrica. Después utilizado la itegral de la serie ecotrada, halle la serie de g( x) l(x ). ( putos ) ) Ecuetre la serie de Maclauri de f ( x) cos x idicado todos los pasos. Utilizado la serie aterior y la derivada de series de potecias ecuetre la serie de g() x sex, luego la serie de h() x sex y halle sex ua suma parcial de térmios de la serie de la itegral. ( putos) dx como ua serie, por último ecuetre c) Halle el radio y el itervalo aierto de covergecia de la serie de potecias: ( ) x ( putos.) 9

3 Matemática Itermedia SOLUCIÓN DEL EXAMEN Tema No. : putos a) Determie si coverge o diverge se x dx 5 x cos No. Explicació. Se platea la itegral como u límite ya que posee ua discotiuidad e x = π, se realiza las sustitucioes ecesarias para detemiar si la itegral coverge o diverge. π si x (cos x + ) /5 dx = lim π Sea: u = cos x + si x (cos x + ) /5 dx du = si x dx = lim π 5 (cos x + )/5 = 5 lim π (cos + )/5 + 5 (cos + )/5 = Coverge ) Halle u valor aproximado de (redodee a cifras decimales). sex No. Explicació dx utilizado la regla de Simpso co =4. Se muestra e ua tala los valores a utilizar para aplicar la regla se Simpso. Sea: a =, =, = 4 x = a = 4 = 4 x x si x /4 /6.6 ½ ¼.47 ¾ 9/ Se aplica la regla se Simpso para hallar el valor aproximado de la itegral. f(x)dx S a = x [f(x ) + 4f(x ) + f(x ) + 4f(x ) + f(x 4 )] S = /4 [ + 4(.6) + (.47) + 4(.5) +.84] si x dx S =.

4 Matemática Itermedia Tema No. : putos Ua compuerta e u caal de irrigació tiee la forma de u trapecio de pies de acho e el fodo, 5 pies de acho e la parte superior y pies de alto. Está colocada verticalmete e el caal y el agua llega hasta u pie de su parte superior. Platee la itegral de la fuerza hidrostática sore la compuerta. (desidad de peso del agua 6.5 l/pie ). No. Explicació. Se realiza u esquema de la compuerta, co la iformació proporcioada. y (,) x = y dy h = y (,) x. Se platea la ecuació de la de uo de los lados de la compuerta, e el primer cuadrate. Sea (y y ) = m(x x ) Ecotrado m: (x, y ) = (,) (x, y ) = (,) m = y y x x = = Para P(,) (y ) = (x ) x = y. Se aaliza la parte cetral de la compuerta de forma rectagular y seradamete la parte triagular de la compuerta para hallar la fuerza hidrostática total F = ρg h(y) x(y) dy a Parte Rectagular: F = 6.5 ( y) dy Parte Triagular: F = 6.5 ( y) y dy F T = 6.5 ( y) dy ( y) y dy

5 Matemática Itermedia Tema No. : 9 putos Platee las itegrales ecesarias para ecotrar el cetroide de la regió limitada por las curvas y x ; y x No. Explicació. Se grafica las curvas e u plao, se ecuetra los putos de itersecció. Gráfica: Putos de Itersecció: x = x x =, x =. Se aplica las defiicioes para el cetroide de masa para platear las itegrales ecesarias. x = A x[f(x) g(x)]dx a y = A {[f(x)] a [g(x)] }dx A = [f(x) g(x)]dx a a =, = Área etre curvas: A = (x x ) dx Cetroide x x = x(x x ) dx (x x ) dx Cetroide y y = (x + x )(x x )dx (x x ) dx

6 Matemática Itermedia Tema No. 4: putos a) Determie si coverge o diverge las siguietes series. i) Por serie alterate. No. Explicació. Se compruea para la serie dada los criterios para la covergecia de la serie alterate. + lim = ( + ) + + lim = + lim = lim l lim = La Serie Coverge ii) Por criterio de la itegral No. Explicació ta. Se compruea para la serie dada el criterio de la itegral. a = f() f(x) Si f(x)dx es covergete, a = es covergete a = ta + f(x) = ta x x + ta x x dx = lim + ta x x + dx Sea u = ta x du = x + dx (ta x) = lim (ta ) (ta ) = lim lim = (π/) = π (π/4) La serie coverge

7 ) Ecuetre la suma de Matemática Itermedia No. Explicació. Se separa la sumatoria e fraccioes parciales para hallar la suma de la serie telescópica. ( + )( + ) = A + + = A( + ) + B( + ) B + A = B =. Se ecuetra la suma de la serie telescópica. + + = ( 4 ) = + ( 5 7 ) + ( 6 8 ) + ( 5 ) + ( 4 6 ) = + + lim + + lim + = 5 6 La serie coverge

8 Matemática Itermedia Tema No. 5: putos Escria los dos siguietes térmios de la sucesió, trace su gráfica. Escria el -ésimo térmio, determie si es moótoa de que tipo, cotas, coverge o diverge 4 8,,, No. Explicació. Se ecuetra el térmio a de la sucesió para trazar su gráfica, ecotrar los dos siguietes térmios de la sucesió determiar sus cotas, mootomía y su covergecia. a = ( ) ( ) = ( ) Térmios de la sucesió: a = a = 4 9 a = 8 7 a 4 = 6 8 a 5 = 4 Gráfica: Cotas: Cota iferior 4 9 Cota superior Mootomía: a < a > a No es moótoma Covergecia: lim ( ) = La sucesió coverge

9 Matemática Itermedia Tema No. 6: putos f( x) a) Represete x por medio de ua serie de potecias, partiedo de la serie de potecias de la geométrica. Después utilizado la itegral de la serie ecotrada, halle la serie de g( x) l(x ). No. Explicació. Se maupila la expresió mostrada para llegar a la serie de potecias de f(x) = +x x = = x f(x) = + x = ( x) = ( ) x = = + x = ( ) (x) = ( ) x = =. Se sae que: + x = l + x + C Se itegra la serie de potecias de f(x) = para ecotrar la serie +x de potecias de g(x) = l x + ( ) x = ( ) x + + C + = = l + x = ( ) x + + C + = Cuado x = l = + C C = g(x) = l + x = ( ) () + x + = + ) Ecuetre la serie de Maclauri de f ( x) cos x idicado todos los pasos. Utilizado la serie aterior y la derivada de series de potecias ecuetre la serie de g() x sex, luego la serie sex dx de h() x sex y halle como ua serie, por último ecuetre ua suma parcial de térmios de la serie de la itegral. No. Explicació. Se ecuetra las derivadas de la fució f(x) = cos x, se evalúa e a = para hallar la serie de Maclauri de la misma. f(x) = f() ()! = x f(x) = cos x f() = f (x) = si x f () = f (x) = cos x f () = f (x) = si x f () = f v (x) = cos x f v () = cos x = x! + x4 4! + = ( ) ()! x =

10 Matemática Itermedia. Se realiza los arreglos algeraicos a la expresió ecotrada para ecotrar la serie de potecias de h(x) = si x d (cos x) = si x dx si x = d ( ) ( dx ()! x ) = si x = ( ) x ()! si x = si x = ( )+ x ( )! = si x = ( ) x + ( + )! = si x = ( ) x 4+ ( + )! si x si x = dx = ( ) x 4+ dx ( + )! = dx = ( ) x 4+ (4 + )( + )! ( ) dx = (4 + )( + )! =. Se ecuetra la suma de los primeros tres térmios de: si x ( ) dx = (4 + )( + )! = si x si x dx 4 + dx.

11 Matemática Itermedia c) Halle el radio y el itervalo aierto de covergecia de la serie de potecias: x ( ) 9 No. Explicació. Se aplica el criterio de la razó a la serie de potecias para hallar el radio y el itervalo aierto de covergecia de la misma. Coverge si: lim a + a Para a = ( ) (x ) lim a + = lim a 9 ( ) + (x ) ( ) (x ) 9 ( )(x ) = lim 9 Coverge si: (x ) < 9 < x < radio R = Itervalo de covergecia < x < 5