Circuitos de corriente continua

Transcripción

1 UNIDAD 4 Circuitos de corriente continu Circuito eléctrico. (M.C.M.) n est unidd prenderemos resolver circuitos eléctricos de corriente continu, esto E es, clculr l tensión o intensidd de culquier elemento del circuito. L resolución de circuitos medinte l ley Ohm es limitd, engorros y no sistemátic, lo que hce necesrio prender métodos más potentes y genéricos pr ello. Los nuevos métodos de resolución los podremos plicr culquier tipo de circuito, y se en corriente ltern, en continu o un cominción de mos. Ante todo, empezremos definiendo términos ásicos como nudo, mll y rm de un circuito. Aprenderemos plicr ls leyes de Kirchhoff de form sistemátic pr resolver culquier tipo de circuito. Pr los circuitos plnos, es decir, quellos que en su representción crecen de rms que se entrecruzn sin tener nudos en común, podremos utilizr el método de ls mlls, que permite resolver los circuitos emplendo menos ecuciones. Utilizremos el principio de superposición cundo tengmos en un circuito vris fuentes de limentción, sen del mismo tipo o no. Los importntes teorems de Thévenin y Norton permiten sustituir un circuito complejo por un fuente y un resistenci. Por último, con el teorem de Tellegen prenderemos que lo que se consume en un circuito es igul lo que se gener en ls fuentes. Los ojetivos que nos proponemos lcnzr con el estudio de est unidd son los siguientes: 1. Conocer l terminologí ásic reltiv los circuitos eléctricos.. Identificr los nudos y mlls de un circuito eléctrico. 3. Resolver circuitos emplendo ls leyes de Kirchhoff. 4. Resolver circuitos por el método de ls mlls. 5. Resolver circuitos por superposición. 6. Determinr los equivlentes Thévenin o Norton de un circuito. 7. Utilizr el teorem de Tellegen como método de comproción en l resolución de circuitos. 90

2 Conversión de fuentes Teorem de Trévenin Teorem de Norton Resolución por superposición Principio de superposición Teorem de Tellegen Resolución por el Método de ls Mlls Circuitos corriente continu Terminologí ásic Leyes de Kirchhoff Resolución por Leyes de Kirchhoff Nudo Rm Mll Primer ley de Kirchhoff o Ley de los nudos Segund ley de Kirchhoff o Ley de ls mlls ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. TERMINOLOGÍA BÁSICA LEYES DE KIRCHHOFF Primer ley de Kirchhoff Segund ley de Kirchhoff RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS UTILIZANDO LAS LEYES DE KIRCHHOFF RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR EL MÉTODO DE LAS MALLAS RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR SUPERPOSICIÓN TEOREMAS DE THÉVENIN Y NORTON TEOREMA DE TELLEGEN

3 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA4 1. Terminologí ásic En l unidd nterior estudimos los elementos constitutivos de un circuito eléctrico (fuentes de tensión, resistencis, oins y condensdores) de form isld. En est unidd estudiremos lo que ocurre cundo se unen en un circuito fuentes de tensión y resistencis y clculremos ls tensiones e intensiddes en cd uno de los elementos socidos. Pr frontr este nálisis es necesrio definir los siguientes conceptos ásicos: Circuito eléctrico es el cmino por donde circuln crgs eléctrics. Está formdo por un o vris fuentes de tensión, receptores y conductores eléctricos que conectn los elementos nteriores entre sí. Nudo es cd punto del circuito donde se unen tres o más conductores pertenecientes diferentes rms. Rm es cd prte del circuito comprendid entre dos nudos dycentes. Mll es un conjunto de rms que formn un cmino cerrdo, de form que prtiendo de un nudo regresmos él sin psr dos veces por l mism rm, y no contiene otrs mlls en su interior. Circuito eléctrico plno es un circuito eléctrico donde ls rms que lo formn no se cruzn entre sí. Ejemplo 1. Pr el circuito de l figur determinr ls rms, nudos y mlls: Solución: Determinción de ls rms: Rm 1: formd por E R y R 3. En color zul. Rm : formd por E 1 y R 1. En color verde. Rm 3: formd por E 3 y R 4. En color mrillo Determinción de los nudos: Nudo A: L unión de ls rms 1, y 3. Nudo B: L unión de ls rms 1, y 3 Oserv que entre dos nudos se define un rm. Determinción de ls mlls: Circuito eléctrico. (M.C.M) Mll 1: Formd por l rm 1 y. Mll : Formd por l rm y 3. Oserv que culquier mll solo tiene en común con otr mll un únic rm y no están contenids uns dentro de otrs. Ce preguntrse: el cmino formdo por ls rms 1 y 3 es un mll? No es un mll porque contiene otrs mlls en su interior. 9

4 Actividdes 1. Pr el circuito de l figur de l derech: ) Identific los nudos del circuito. ) Señl ls mlls.. Pr el circuito de l figur inferior: ) Identific sus nudos. ) Señl ls mlls. (M.C.M) (M.C.M) Recuerd ü Culquier circuito eléctrico está formdo por rms que contienen diferentes elementos (fuentes, resistencis, oins o condensdores) conectdos en serie. ü Los nudos son los puntos donde se unen tres o más rms. ü Ls mlls son cminos cerrdos, formdos por ls rms de un circuito, que no contienen otros cminos cerrdos en su interior. ü Dos mlls solo tienen en común un rm. 93

5 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA4. Leyes de Kirchhoff Ls leyes de Kirchhoff se deen l físico lemán Gustv Roert Kirchhoff ( ). Permiten resolver de form sistemátic culquier tipo de circuito, se de corriente continu o ltern..1. Primer ley de Kirchhoff Se plic los nudos de un circuito, y su enuncido es el siguiente: L sum lgeric de ls intensiddes de corriente en un nudo es igul cero. Expresdo mtemáticmente tenemos: I = 0 A ls intensiddes de cd rm se les sign un sentido ritrrio. Podemos tomr como corrientes positivs quells que entrn en el nudo y como negtivs ls que slen. Est ley nos dice que en un nudo no se pueden cumulr ls crgs electrics, es decir, l sum de tods ls intensiddes de entrd tienen que ser igul l sum de tods ls intensiddes de slid. Tmién se l conoce como ley de los nudos. I Ent = I Sl Ejemplo. En el nudo de l figur si tommos como positivs ls corrientes que entrn, l plicción de l primer ley de Kirchhoff l nudo es: I = 0 I 1 + I I 3 I 4 = 0 L expresión nterior se convierte en: I 1 + I = I 3 + I 4 I Ent = I Sl Aplicción de l 1ª ley de Kirchhoff. (M.C.M) 94

6 .. Segund ley de Kirchhoff Se plic culquier cmino cerrdo y su enuncido es el siguiente: L sum lgeric de ls tensiones (f.e.m. y cíds de tensión) lo lrgo de culquier mll o cmino cerrdo es igul cero. Expresdo mtemáticmente tenemos: E + R I = 0 ó E + U = 0 A cd rm que form prte de un mll se le sign un sentido pr l tensión. L segund ley de Kirchhoff tmién se conoce como ley de ls mlls. Si el sentido en el que recorremos l rm coincide con el de l tensión el signo de est en l ecución será positivo, y si no coincide será negtivo. Ejemplo 3. En l mll de l figur tommos como positivs ls tensiones que tienen el mismo sentido (flech roj) que el signdo l mll (flech zul) y plicndo l segund ley de Kirchhoff tenemos: E + U = 0 U 1 U E U 4 = 0 Aplicción de l ª ley de Kirchhoff. (M.C.M) Recuerd ü L primer ley de Kirchhoff hce referenci ls intensiddes que entrn y slen de un nudo. Afirm que l sum de ls corrientes entrntes es igul l sum de ls corrientes slientes pr culquier nudo. ü L segund ley de Kirchhoff estlece que pr culquier mll o cmino cerrdo l sum lgeric de ls tensiones es igul cero. 95

7 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA4 3. Resolución de circuitos utilizndo ls leyes de Kirchhoff Vmos estlecer, con ls siguientes imágenes, los sentidos de tensión e intensidd de corriente que utilizremos prtir de hor en l resolución de circuitos. En los elementos psivos (resistencis, inductncis y condensdores) el sentido de l tensión e intensidd son opuestos. Son elementos que consumen energí, receptores. En ls fuentes de tensión o intensidd (elementos ctivos) los sentidos de tensión e intensidd son igules. Son elementos que genern energí. Fuentes de tensión Fuentes de intensidd. Símolo normlizdo Símolo no normlizdo Resistenci(M.C.M) El procedimiento que deemos seguir pr resolver un circuito emplendo ls leyes de Kirchhoff tiene los siguientes psos: 1º Asignr sentidos ls intensiddes en cd rm, el sentido puede ser ritrrio. Asignr sentidos ls tensiones en fuentes (E) y receptores (R). Pr ls fuentes el sentido de l tensión v del polo negtivo l positivo y pr los receptores (resistencis) el sentido de l tensión es opuesto l de l intensidd, como se indic en ls figurs nteriores. º Identificr todos los nudos. 3º Aplicr l primer ley de Kirchhoff todos los nudos menos uno. 4º Definir tods ls mlls y suponer un sentido de circulción por ls misms. Se recomiend el sentido horrio. 5º Aplicr l segund ley de Kirchhoff tods ls mlls, tomndo como referenci el sentido signdo en el pso 4º. 6º Formulr ls ecuciones de rm en cd receptor. Ls ecuciones de rm permiten expresr l tensión en función de l intensidd pr un receptor (o l revés, l intensidd en función de tensión) pr cd elemento de cd rm. 7º Sustituir en ls ecuciones de ls mlls ls tensiones de rm por l ecución de rm correspondiente y otener un sistem de ecuciones con ls intensiddes de rm como incógnits. 8º Resolver el sistem de ecuciones por culquier método conocido. 96

8 Ejemplo 4. Resolver el circuito mostrdo en el esquem djunto utilizndo ls leyes de Kirchhoff. Solución: Pr resolver el circuito seguimos l secuenci de psos siguiente: Pso 1: Asignmos los sentidos de corriente y tensión en cd rm según el criterio estlecido l principio. Los sentidos signdos se muestrn en l figur de l ldo. A l rm 1 formd por E 1 y R 1, se le sign l intensidd I 1. A l rm, formd por E, R y R 3, se le sign l intensidd I. A l rm 3 formd por R 4, se le sign l intensidd I 4. Pso : Identificmos los nudos del circuito, que son A y B. Pso 3: Aplicmos l primer ley de Kirchhoff todos los nudos menos uno. No se plic, por ejemplo, l nudo B. Si se considern positivs ls corrientes entrntes, l ecución que se otiene es: nudo A) I 1 + I + I 4 = 0 Pso 4: Determinmos ls mlls. Hy mlls: l Asignción de sentidos. (M.C.M) señld con m 1, formd por l rm 1 y l rm ; los elementos que formn est mll son E, R, R 3, E 1 y R 1 ; y l mll señld con m, formd por l rm y l rm 3 con los elementos E 1, R 1 y R 4. Se sign un sentido cd un de ls mlls, en este cso el sentido horrio como se muestr en l figur nterior (Asignción de sentidos). Pso 5: Aplicmos l segund ley de Kirchhoff tods ls mlls tomndo como referenci el sentido signdo en el pso nterior. Se otienen ecuciones, que son: m 1 ) U E 1 + U 1 U 3 + E = 0 m ) E 1 + U 4 U 1 = 0 Resolución de un circuito por Kirchhoff. (M.C.M) Pso 6: Aplicmos ls ecuciones de rm y otenemos 4 ecuciones, que son: U 1 = R 1 I 1 U = R I U 3 = R 3 I U 4 = R 4 I 4 Pso 7: En ls ecuciones de ls mlls reemplzmos ls tensiones por los vlores indicdos en ls ecuciones de rm, de mner que hor tods ls ecuciones están en función de ls intensiddes. Ls ecuciones resultntes son: I 1 + I + I 4 = 0 R 1 I 1 + (R + R 3 ) I = E E 1 R 1 I 1 R 4 I 4 = E 1 97

9 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA4 Pr conocer los vlores de I sustituimos los vlores de R y E y result el siguiente sistem: I 1 + I + I 4 = 0 I I = 3 I 1 I 4 = 9 Resolución del sistem: De l ª ecución del sistem nterior despejmos I 1 ; sí I 1 = 3 I 3. Sustituimos I 1 en ls otrs dos ecuciones con lo que el sistem inicil de 3 ecuciones se reduce dos ecuciones, quedndo sí: 4 I + I 4 = 3 3 I I 4 = 1 Este sistem de dos ecuciones con dos incógnits lo vmos resolver emplendo el método de sustitución. En el sistem de dos ecuciones despejmos I 4 de l primer ecución, sí I 4 = 3 4I. Sustituimos l ecución nterior en l otr ecución; nos qued: Sustituyendo el vlor de I en l ecución I 4 = 3 4I otenemos el vlor de I 4, que vle: Si de l primer ecución del sistem originl, el de 3 ecuciones y 3 incógnits (I 1 + I + I 4 = 0) despejmos I 1, result que I 1 = I I 4 y sustituimos los vlores de I e I 4 clculdos nteriormente; otenemos que I 1 vle: Los vlores de ls intensiddes son: 18 3 I ( 3 4 I)= 1 11 I = 18 I = A I 4 = A I1 = I I4 I1 = = 11 A I 1 = A I = A I 4 = A Análisis del resultdo: Tods ls intensiddes slvo I 4 son positivs, eso signific que el sentido signdo inicilmente pr I 1 e I es el correcto. Pr I 4 el sentido rel es contrrio l signdo inicilmente. Los sentidos reles de intensidd son los indicdos en l figur de l ldo. Si repitiérmos de nuevo el ejemplo con los sentidos indicdos en est figur, tods ls intensiddes sldrín con vlores positivos. Sentidos reles. (M.C.M) 98

10 Actividdes ) ) 3. Se conectn tres resistencis de 10, 30 y 60 Ω en prlelo, de tl form que queden unids entre los nudos A y B. Se ñde un resistenci de 5 Ω en serie con l socición nterior de tl form que uno de sus terminles se conect B y el otro form el nudo C. Si se somete este conjunto un tensión de 100 V, entre A y C, se nos pide: ) Diuj el circuito. ) Clcul l intensidd que circul por cd un de ls resistencis. 4. Determin l intensidd que circul por l fuente de tensión el circuito de l figur djunt. 5. Determin l intensidd que circul por todos los elementos del circuito en l siguiente figur, incluidos I e I. Circuito de l ctividd 4. (M.C.M.) Circuito de l ctividd 5. (M.C.M.) 6. En el circuito de l figur de l ldo determin el vlor de tensión indicdo por el voltímetro idel. Dtos: R1 = 4 Ω, R = 3 Ω, R3 = Ω, R4 = 1 Ω, E1 = 5 V Circuito de l ctividd 6. (M.C.M.) 7. En el circuito de l figur de l ldo, clculr el vlor que mrc el voltímetro. 8. Resuelve el circuito de l figur siguiente plicndo ls leyes de Kirchhoff. Circuito de l ctividd 7. (M.C.M.) Circuito de l ctividd 8. (M.C.M.) Recuerd ü En los elementos psivos (resistencis, inductncis y condensdores) el sentido de l tensión e intensidd son opuestos. Son elementos que consumen energí, receptores. ü En ls fuentes de tensión o intensidd (elementos ctivos) los sentidos de tensión e intensidd son igules. Son elementos que genern energí. ü Si un fuente se comport como un receptor signific que los sentidos de tensión e intensidd serán opuestos. ü Culquier circuito eléctrico se puede resolver utilizndo ls leyes de Kirchhoff (siguiendo sistemáticmente los psos que hemos expuestos en prtdo 3). 99

11 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA4 4. Resolución de circuitos por el método de ls mlls L resolución de circuitos utilizndo ls leyes de Kirchhoff permite resolver culquier tipo de circuito, pero cre un número elevdo de ecuciones y por tnto de incógnits. El método de ls mlls o de Mxwell se llm sí por Jmes C. Mxwell ( ), grn físico y mtemático escocés que ideó este método de resolución pr circuitos plnos. El método de Mxwell permite resolver un circuito utilizndo un número menor de ecuciones que ls otenids por resolución medinte ls leyes de Kirchhoff. Se s en l utilizción del concepto de intensidd de mll. El vlor de l intensidd de mll coincide con el vlor de l intensidd de l rm pr quellos elementos que solo pertenecen un mll. L intensidd de rm de quellos elementos que formn prte de dos mlls se otiene sumndo lgericmente ls intensiddes de ms mlls. Vmos explicrlo con un ejemplo. Ejemplo 5. Resolver el circuito del nterior ejemplo 4 utilizndo el método de ls mlls. Solución: Asignmos los sentidos de tensión e intensidd en ls rms y se estlecen los sentidos de ls intensiddes de mll, igul que cundo utilizmos ls leyes de Kirchhoff. Expresmos ls intensiddes de rm en función de ls de mll. Empezmos por ls rms que solo formn prte de un mll: I = I, el signo es positivo porque l intensidd de rm y mll tienen el mismo sentido. I 4 = I, el signo es negtivo porque los sentidos de ls corrientes de rm y mll son opuestos. Ahor nos ocupmos de l rm que form prte de mlls: I 1 = I I, I es positiv porque tiene el mismo sentido que I 1, e I es negtiv porque los sentidos son opuestos. Resumiendo, los vlores de ls intensiddes de rm son: I 1 = I I I = I I 4 = I Aplicmos l segund ley de Kirchhoff ls mlls y sustituimos ls intensiddes de rm por ls de mll: R I + ( R + R ) I = E E R I R I = E Resolvemos los préntesis y reordenmos ls ecuciones: R ( I I )+( R + R ) 1 3 I = E E R ( I I ) R ( I )= E ( R + R + R ) I R I = E E R I + ( R + R ) I = E Resolución por mlls. (M.C.M)

12 Ls ecuciones nteriores resultn más clrs si ls ponemos en form mtricil: Otenemos un mtriz simétric. Los elementos de l digonl principl son l sum de ls resistencis de cd mll. Los elementos de fuer de l digonl son l sum de los elementos comunes dos mlls pero con el signo negtivo siempre y cundo los sentidos de ls mlls sen los mismos. El término independiente corresponde ls fuentes de tensión que hy en cd mll. El signo es positivo si el sentido de l mll es el mismo que el de l fuente de tensión, o negtivo si es opuesto, tl como en Kirchhoff. Si hy vris fuentes lo lrgo de un mll se sumn sus tensiones siguiendo el mismo criterio de signos. Comproemos que mos métodos dn los mismos resultdos. Sustituimos los vlores de resistencis y fuentes de tensión; el sistem de ecuciones que se otiene es el siguiente: Resolvemos por sustitución el sistem nterior y otenemos ls intensiddes de mll y trvés de ells ls intensiddes de rm: I = I I = = 18 1 A I = A I = I = A 39 I = A I4 = I = A 11 Que por supuesto coinciden con los vlores otenidos plicndo ls leyes de Kirchhoff. R1 + R + R3 R1 1 R1 R1 + R 4 I E E = I E1 4 I I = 3 I + 3 I = 9 Actividdes 9. Resuelve el circuito de l derech utilizndo el método de ls mlls. 10. Resuelve el circuito de l nterior ctividd 4 por el método de ls mlls. 11. Ls corrientes I e I del circuito eléctrico de l siguiente figur vlen -4 A y A respectivmente. Deemos determinr: ) L intensidd I G. Circuito de l ctividd 9. (M.C.M.) ) L potenci disipd por cd resistenci. c) L fuerz electromotriz E G. d) Compror que l potenci que suministr l fuente de fuerz electromotriz E G es igul l potenci que consumen los demás elementos. Circuito de l ctividd 11. (M.C.M.) 101

13 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA4 Recuerd ü El método de ls mlls solo se plic circuitos con fuentes de tensión (no de intensidd). Los sentidos de ls mlls deen ser igules. L mtriz que se otiene es simétric y tiene en su digonl principl l sum de ls resistencis de l mll, y fuer de dich digonl, l sum de ls resistencis comunes con otrs mlls, pero con signo negtivo (como hemos visto en el Ejemplo 5). El término independiente es l sum de los vlores de ls f.e.m. de ls fuentes de tensión tomndo como referenci el signdo l intensidd de mll. 10

14 5. Resolución de circuitos por superposición L resolución de un circuito que conteng n fuentes de limentción puede llevrse co medinte l resolución de n circuitos, cd uno de ellos con un únic fuente. El vlor de tensión/intensidd de un elemento del circuito inicil (el de n fuentes) se otiene sumndo los vlores de tensión/intensidd, pr ese elemento, de cd uno de los circuitos que constn de un fuente. El procedimiento que se dee plicr es el siguiente: 1º Cortocircuitr tods ls fuentes de tensión independientes menos un; si existiern fuentes de intensidd se pondrán circuito ierto. º Resolver el circuito resultnte. 3º Repetir los psos 1º y º pr cd un de ls fuentes. 4º L tensión o intensidd en un elemento del circuito originl es l sum de ls tensiones o intensiddes en ese mismo elemento en cd uno de los circuitos de un únic fuente. De est form podemos resolver circuitos que contengn tnto fuentes de corriente continu como de corriente ltern u otro tipo. Ejemplo 6. Resolver utilizndo el principio de superposición el circuito de l figur djunt con los sentidos indicdos. Dtos: R 1 = Ω, R = 1 Ω, R 3 = Ω, R 4 = 4 Ω, R 5 = 4 Ω, E 1 = 10 V y E = 8 V Solución: El circuito tiene fuentes, por lo tnto se otienen dos circuitos, cd uno de ellos con un fuente, tl como se indic en l figur de jo. Es necesrio mntener los sentidos de referenci del circuito originl. Resolución por superposición. (M.C.M) Resolución por superposición, circuitos resultntes. (M.C.M) Resolvemos cd circuito por seprdo por culquier de los métodos nteriores. L resolución del circuito de l izquierd en l figur l hcemos emplendo el método de ls mlls. Asignmos el sentido horrio ls intensiddes de mll. 103

15 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA4 L ecuciones que se otienen expresds en form mtricil son: R1 + R5 + R R R R + R + R 3 4 Sustituyendo los vlores y resolviendo el sistem, tenemos: I I I I A prtir de ls intensiddes de mll otenemos ls intensidde de rm: ' ' E1 = 0 Resolviendo el otro circuito de un form similr y cominndo ls soluciones prciles otenemos el resultdo finl. ' ' ' 10 = I = 0 ' I = I' 1 = I' = A; I' = I' I' = A y I' 4 = I ' = A I' 1 = A I'' 1 = A 1 = = + 1 I I' I'' = 31 A I' = A I'' = 1 A I = I' + I'' = + 1= A I' 3 = A I'' 3 = A 4 6 I3 = I' 3 + I'' 3 = + = A A A Actividdes 1. Resuelve el circuito de l figur siguiente (sore el que y hemos trjdo en l ctividd 8) utilizndo el principio de superposición. Recuerd ü L resolución por superposición permite resolver un circuito con vris fuentes descomponiéndolo en tntos circuitos como fuentes tiene, resolviendo cd uno de los circuitos de un sol fuente y sumndo posteriormente l contriución de cd circuito monofuente l corriente en cd elemento individul. 104

16 6. Teorems de Thévenin y Norton En lguns situciones result ventjoso sustituir un circuito, más o menos complejo, que presente dos terminles ccesiles (dipolo) por un fuente de tensión y un resistenci en serie (equivlente Thévenin) o un fuente de intensidd y un resistenci en prlelo (equivlente Norton). Un situción donde l determinción del equivlente Thévenin o Norton result conveniente es quell en l que en un circuito complejo se quiere ser cómo vrí l potenci en un resistenci concret cundo tom vrios vlores, sin modificr el resto del circuito. En este cso interes determinr el equivlente Thévenin o Norton desde los terminles de l resistenci que puede tomr vrios vlores. Teorem de Thévenin El teorem de Thévenin fue pulicdo en 1883 por el ingeniero frncés León Chrles Thévenin ( ) y su enuncido es el siguiente: Un circuito ctivo que presente dos terminles ccesiles A-B se puede sustituir por un fuente de tensión U TH y un resistenci R TH en serie con ell. Cálculo de U TH o tensión de Thévenin: Pr clculr l tensión equivlente de Thévenin pondremos en circuito ierto los terminles A-B y determinremos, resolviendo el circuito, l tensión que existe entre dichos terminles l que denominremos U AB0. Est será l tensión de Thévenin, es decir, U TH = U AB0. Cálculo de R TH o resistenci de Thévenin: Pr el cálculo de l resistenci equivlente de Thévenin se cortocircuitn ls fuentes de tensión y se ponen en circuito ierto ls fuentes de corriente convirtiendo el circuito ctivo en un circuito psivo y, después, determinremos l resistenci equivlente desde los terminles A-B. Est resistenci R AB será l resistenci de Thévenin, por tnto, R TH = R AB Ejemplo 7. Ddo el circuito de l figur de l derech otener su equivlente Thévenin desde los terminles A-B. Dtos: R 1 = Ω, R = 3 Ω, R 3 = 3 Ω, R 4 = Ω, R 5 = 4 Ω, E 1 = 10 V y E = 7 V Solución: Los psos seguir pr resolverlo son estos: Teorem de Thévenin. (M.C.M.) 1º Cálculo de U TH : Ponemos en circuito ierto los terminles A-B y clculmos l tensión U AB0. Ver l primer figur de l págin siguiente. Determinción equivlente Thévenin. (M.C.M.) 105

17 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA4 Determinmos el vlor de U AB0 plicndo ls leyes de Kirchhoff, con los sentidos definidos en l figur de jo. Recuerd que plicmos l primer ley de Kirchhoff todos los nudos menos 1. nudo C) I1 I I5 = 0 nudo A) I I3 = 0 nudo D) I + I + I = 0 Cálculo de U TH (M.C.M.) Al sustituir y resolver se otiene que U TH = U AB0 = 8,5 V Aplicmos l segund ley de Kirchhoff tods ls mlls: Opermos y ls ecuciones se reducen : ( R + R ) I + R I + U = E º Cálculo de R TH : Cortocircuitr ls fuentes de tensión y clculr l resistenci equivlente desde A B, R AB. Puede visulizrse mejor colocndo un fuente de tensión entre los terminles A-B, tl como se muestr en l figur que vemos l ldo. Oserv que el circuito present un triángulo entre los nudos CAD, lo que exige trnsformr el triángulo en un estrell, como hemos estudido en l Unidd 3, prtdo.4, y después reducirlo hst otener l resistenci equivlente, proceso un poco lrgo y engorroso. Podemos utilizr los métodos de resolución estudidos pr otener el vlor de l resistenci, R AB. Como ses, en un circuito con un únic fuente, l resistenci equivlente se otiene como el cociente entre l f.e.m. de l fuente y l intensidd que l trvies: E Req = I Apliquemos l ecución nterior l circuito de l figur dándole un vlor E = 10 V l pil (puedes drle otro vlor l fuente y compror que el cociente entre E e I G es siempre el mismo). Pr otener el vlor de I G resolveremos el circuito de l figur nterior por el método de ls mlls. El vlor de I G en función de ls intensiddes de mll es I G = I I. L mtriz resultnte plicndo el método de ls mlls es l siguiente: R1 + R 0 R I E 0 R3 + R4 R3 I = E R R3 R + R3 + R 5 I c 0 I Sustituyendo y operndo otenemos los vlores de I e I : = A I = A L intensidd que circul por l fuente, I G = I I = ( ) = 4 A, por lo que L solución complet es est: R eq U R G mll 1) R I R I U + E = AB0 1 mll ) R I R I + U = AB0 E 0 mll 3) R I + R I R I = AB0 1 ( R + R ) I R I + U = E AB0 ( R + R ) I R5 I5 = 0 3 E 10 = = = 5, A RTH = Req = 5, Ω I 4 TH TH G = 85, V = 5, Ω Cálculo de R TH (M.C.M.) 106

18 Teorem de Norton El teorem de Norton fue pulicdo en 196 por el ingeniero eléctrico nortemericno Edwrd L. Norton ( ) y su enuncido es el siguiente: Un circuito ctivo que presente dos terminles ccesiles A B se puede sustituir por un fuente de intensidd I NO y un resistenci (impednci) R NO en prlelo con ell. Cálculo de I NO o intensidd de Norton: Pr el cálculo de l intensidd de Norton pondremos en cortocircuito los terminles A B y determinremos l intensidd que circul por ellos. Dich intensidd I AB0 es l intensidd de Norton, es decir, que I NO =I AB0. Cálculo de R NO o resistenci de Norton: Pr el cálculo de l resistenci de Norton convertiremos el circuito ctivo en un circuito psivo y determinremos l resistenci equivlente desde A B. Dich resistenci R AB, es l resistenci de Norton, es decir, que R NO = R AB. L form de clculr l resistenci de Norton es l mism que hemos explicdo pr clculr l resistenci Thévenin, por lo tnto, los vlores de l resistenci de Norton y de Thévenin son igules: Ejemplo R NO = R TH Teorem de Norton. (M.C.M.) 8. Ddo el circuito del ejemplo 7 (vése de nuevo l imgen Determinción equivlente Thévenin), deemos otener su equivlente Norton desde los terminles A B. Solución: Pr resolverlo, los psos que deemos seguir son estos: 1º Cálculo de I NO : Poner en cortocircuito los terminles A B y determinr l intensidd I AB0. Ver l figur djunt. Resolvemos el circuito de est figur plicndo el método de ls mlls con los sentidos definidos en ell. Recuerd que l mtriz se construye de l siguiente form: Los elementos de l digonl principl son l sum de ls resistencis de cd mll. El elemento (1,1) de l mtriz corresponde sum de ls resistencis de l mll. Cálculo de I NO (M.C.M.) 107

19 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA4 El elemento (,) corresponde l sum de ls resistencis de l mll. El elemento (3,3) corresponde l sum de ls resistencis de l mll c. Los elementos de fuer de l digonl principl son l sum de ls resistencis comunes dos mlls con signo negtivo. El elemento (1,) de l mtriz corresponde los elementos comunes entre l mll y l mll ; como no hy, vle 0. El elemento (1,3) corresponde los elementos comunes entre l mll y l mll c, R y con signo negtivo. Los otros elementos se determinn de form similr. El término independiente corresponde l sum de ls f.e.m. de cd mll con el signo impuesto por el sentido de l mll. El elemento (1,1) del término independiente corresponde l sum de ls f.e.m. de ls fuentes de tensión de l mll, E 1 ; el signo es positivo porque el sentido de l tensión de l fuente y el de l intensidd de mll son los mismos. El elemento (1,) del término independiente corresponde l sum de ls f.e.m. de ls fuentes de tensión de l mll, E ; el signo es negtivo porque el sentido de l tensión de l fuente y el de l intensidd de mll son contrrios. El elemento (1,3) del término independiente es cero porque en l mll c no hy fuentes. Aplicndo lo expuesto nteriormente l mtriz que se otiene es: Ls intensiddes de rm se otienen cominndo ls intensiddes de mll que prticipn en cd elemento. L intensidd I AB0 es común l mll y l mll ; es un cominción de I e I. I AB0 = I I. El signo de I es negtivo porque el sentido de I es contrrio l estlecido por I AB0 y el signo de I es positivo porque I AB0 e I tienen el mismo sentido. Sustituyendo R 1 = Ω, R = 3 Ω, R 3 = 3 Ω, R 4 = Ω, R 5 = 4 Ω, E 1 = 10 V y E = 7 V en l ecución mtricil y resolviendo result que I AB0 = 3,4 A º Cálculo de R NO : Se reliz exctmente igul que el cálculo de l resistenci de Thévenin que se relizó en el ejemplo 7, por tnto, R TH = R NO =,5 Ω. L solución complet es: I R NO NO R1 + R 0 R I E1 0 R3 + R4 R3 I = E R R3 R + R3 + R 5 I c 0 = 34, A = 5, Ω Oservndo los dos ejemplos nteriores concluimos: I NO Esto signific que otenido el equivlente Thévenin no es necesrio resolver de nuevo el circuito pr otener el equivlente Norton o vicevers. De lo nterior se deduce que se puede convertir un fuente de tensión en un fuente de intensidd, como veremos continución. U = R TH TH 108

20 Conversión de un fuente de tensión en fuente de intensidd o vicevers Un fuente de tensión se puede trnsformr en un fuente de intensidd equivlente, y vicevers: Conversión de fuentes de tensión en fuentes de intensidd. (M.C.M.) Dd un fuente de tensión con un f.e.m. EG y un resistenci en serie RGE se puede trnsformr en un fuente de intensidd de vlor IG = EG / RGE con un resistenci en prlelo de vlor RGI = RGE. De igul mner, dd un fuente de intensidd de vlor IG con un resistenci en prlelo RGI, se puede trnsformr en un fuente de tensión de f.e.m. EG = IG RGI con un resistenci en serie de vlor RGE = RGI. Actividdes 13. En el circuito de l siguiente figur, E1 = 0 V, E = 8 V, E3 = 1 V, y el vlor de tods ls resistencis es de Ω. Se nos pide clculr: ) ) L tensión que existe entre los terminles A-B del circuito. ) ) L intensidd de cortocircuito entre A-B. c) c) L resistenci equivlente desde los terminles A-B. d) d) El equivlente Thévenin del circuito. e) e) El equivlente Norton del circuito. Circuito de l ctividd 13. (M.C.M.) 14. Otén el equivlente Thévenin desde los terminles A-B del circuito de l siguiente figur: Dtos: R1 = 10 Ω, R = 0 Ω, R3 = 30 Ω, R4 = 10 Ω y E = 1 V Circuito de l ctividd 14. (M.C.M.) 15. En el circuito de l figur que encontrmos continución, clculr cuánto dee vler E pr que l potenci consumid por R5 se de W. Recomendción: utilizr el equivlente Thévenin. Dtos: R1 = 10 Ω ; R = 15 Ω ; R3 = 5 Ω ; R4 = 10 Ω ; R5 = 8 Ω. 109 Circuito de l ctividd 15. (M.C.M.)

21 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA4 16. En el circuito de corriente continu de l figur de jo, se pide clculr: ) L tensión entre A y B. ) L intensidd de cortocircuito entre A y B. c) L resistenci equivlente desde A-B. d) Si entre A y B se coloc un resistenci R de 15 Ω, cuánto vldrá l potenci consumid por ell? Dtos: R 1 = 0 Ω, R = 10 Ω, R 3 = 1 Ω, R 4 = 8 Ω, E = 100 V 17. Reducir el siguiente circuito un únic fuente de tensión y un únic resistenci. Dtos: I G1 = 3 A, I G = A, E = 8 V, R 1 = R 3 = 6 Ω, R = 4 Ω Recuerd ü Otener el equivlente Thévenin es sustituir un circuito ctivo con dos terminles por un fuente de tensión y un resistenci en serie con ell. ü Otener el equivlente Norton es sustituir un circuito ctivo con dos terminles por un fuente de intensidd y un resistenci en prlelo con ell. ü Es posile convertir fuentes de tensión en fuentes de intensidd, y vicevers. 110

22 7. Teorem de Tellegen Este teorem fue pulicdo en 195 por el ingeniero holndés Bernrd Tellegen ( ) y su enuncido es el siguiente: L sum de tods ls potencis en un circuito es nul. Tod l potenci producid por ls fuentes de potenci es consumid por los receptores. En un circuito eléctrico de r rms se cumple que: r uk ik = 0 k = 1 Este teorem es el resultdo de l plicción del principio de conservción de l energí los circuitos eléctricos. De cuerdo con los sentidos de tensión e intensidd de corriente definidos en el prtdo 3 de est unidd, l potenci en ls fuentes de tensión e intensidd es positiv, pues tensión e intensidd tienen el mismo sentido. Pr oins, condensdores y resistencis el signo es negtivo, pues los sentidos son opuestos. Si en un fuente, después de determinr su intensidd, est sle negtiv, ello signific que l fuente se comport como un receptor y consume energí en vez de producirl. Ejemplo 9. En el circuito de l figur de l derech se nos pide compror que se cumple el teorem de Tellegen. Dtos: R 1 = 9 Ω, R = 4 Ω, R 3v = 4 Ω, E 1 = 8 V y E = 8 V Solución: Estlecemos los sentidos de referenci de tensión e intensidd de Teorem de Tellegen (M.C.M.) corriente, que son los definidos en el circuito que hor reproducimos l derech, y resolvemos por el método de ls mlls. Ls ecuciones son, por un ldo: R1 + R3 R3 R R + R 3 3 I I E1 = E Y por otro: I I 1 = I = I I = I I 3 Sentidos signdos l circuito teorem de Tellegen (M.C.M.) Sustituyendo y resolviendo, tenemos: 111

23 UNIDAD CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA I I 4 I = A 8 11 = 8 1 I = A 11 con lo que 4 I1 = A 11 1 I = A I3 = = A Oserv que I es negtiv, lo que signific que el sentido de l intensidd de corriente en l fuente es el contrrio l estlecido inicilmente, por lo que E se comport como un receptor y su potenci tiene signo negtivo. Oserv los sentidos reles de corriente en el circuito de l figur de l ldo. Sentidos verdderos del circuito teorem de Tellegen. (M.C.M.) Clculemos hor l potenci de cd elemento del circuito con su correspondiente signo: P 1 = R1 I1 = 9 P R I = = = W; = 11 W P = R I = 4 11 = 11 W P G 1 = E1 I1 = = P G = E I = = W; W Al sumr los vlores de ls potencis con sus respectivos signos otenemos que: P+P+P+P +P = 1 3 G1 G 0 Vlor que necesrimente coincide con lo postuldo por el teorem de Tellegen. 11

24 E jempll o 10. Pr el circuito de l figur clcul l potenci que gener o de ser el cso consume cd fuente: Dtos: E 1 =1 V, E =4 V, R 1 =10 Ω, R =40 Ω y R 3 = Ω Solución: R 1 E 1 Estlecemos los sentidos de tensión e intensidd de corriente plicndo los criterios estlecidos en l unidd. Otenemos sí el esquem de l ldo: El circuito lo resolveremos plicndo ls leyes de Kirchhoff. Aplicmos l primer ley de Kirchhoff l nudo A: nudo A) IG1 + IG + I = 0 Aplicmos l segund ley de Kirchhoff ls mlls señlds con m y m 1. m1) m ) R 1 I R I 3 G1 + R I + E= 0 R I E = 0 G 1 E E =4V R 1 I G =10Ω m 1 A R R 3 Sentidos signdos de tensión e intensidd de corriente en el circuito. (M.C.M.) I E 1 R 3 =Ω R =40Ω B I G1 m =1V Sustituyendo los vlores y reordenndo términos otenemos un sistem de tres ecuciones y tres incógnits. IG1 + IG + I = 0 10 IG + 40 I = 4 IG1 40 I = 1 En l primer ecución despejmos I G1 y l sustituimos en tercer ecución, otenemos el sistem siguiente de dos ecuciones y dos incógnits: 10 IG + 40 I = 4 IG 4 I = 1 IG1 = 180/50 = 0, 7 A Operndo y sustituyendo tenemos ls intensiddes pedids: IG = 64/50 = 1,056 A I = 84/50 = 0,336 A L fuente E gener energí porque el signo de l intensidd que l trvies es positivo. L fuente E 1 no gener energí, consume energí, el signo de l intensidd que circul por ell es negtivo, y por eso mismo se comport como un receptor culquier. Ls resistencis son receptores y siempre consumen energí. Ls potencis pedids son: P = E I = 1 ( 0, 7) = 8, 64 W P E1 E 1 = E I G1 G = 4 1, 05 = 5, 48 W R ecu e r d El teorem de Tellegen firm que, en un circuito, l sum de l potenci generd por ls fuentes de energí tiene que ser igul l sum de l potenci consumid por los receptores. 113