Mosto Vino joven Vino crianza Vino reserva Gran reserva Precio [ /l] Coste [ /l] Evap [%]
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- Ana Ríos Morales
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1 PROBLEMA: EL BODEGUERO Un bodeguero ha tendo una buena cosecha que estma sea de ltros. El bodeguero ha de decdr qué cantdad de la cosecha dedcarla a hacer mosto, qué cantdad conservarla un año en barrca y venderla embotellada como vno joven, qué cantdad conservarla dos años en barrca y venderla embotellada como vno cranza, qué cantdad conservarla tres años en barrca y venderla embotellada como vno reserva y qué cantdad conservarla cuatro años en barrca y venderla embotellada como gran reserva. El porcentaje anual de evaporacón y deteroro en las barrcas de las cantdades resultantes cada año, así como el preco de venta y coste de los vnos hasta embotellarlos se ndca en la tabla sguente. Así por ejemplo el vno cranza resultante de la cantdad ncal dedcada a este vno es del 79.9 % ( ). Cada año que cualquer botella permanece sn venderse en los almacenes da lugar a un coste adconal de almacenamento por botella del 20 % del coste hasta su embotellado. Mosto Vno joven Vno cranza Vno reserva Gran reserva Preco [ /l] Coste [ /l] Evap [%] La demanda de vno para los próxmos ses años que el bodeguero preve vene dada en la tabla sguente. Estas demandas no han de ser satsfechas en su totaldad y explíctamente no se penalza la falta de abastecmento de las msmas Mosto Vno joven Vno cranza Vno reserva Gran reserva Establecer un modelo de programacón lneal que permta al gerente tomar la mejor decsón sobre las cantdades de la cosecha actual destnadas a cada tpo de producto. RESULTADO DEL PROBLEMA: EL BODEGUERO El objetvo del bodeguero es hacer máxmo el benefco obtendo de la gama de vnos a elaborar. Para ello tene que decdr no sólo qué cantdad de la
2 II.5 BIBLIOTECA DE PROBLEMAS cosecha de ltros obtenda dedca a los dversos vnos sno tambén s le nteresa cubrr la demanda de cada vno en los dferentes años. Así, por ejemplo, s consderamos el mosto, tendrá dos varables de decsón, M 1 y M 2, para vender durante los años 1 y 2 respectvamente. Como en este modelo el ngreso por cualquer tpo de vno permanece constante durante todo el horzonte de planfcacón, en tanto que guardar vno de un año para otro ncurre en costes de almacenamento que dsmnuyen el benefco, es claro que plantearse la posbldad de elaborar mosto para el segundo año sólo tene sentdo s la demanda de mosto para el prmer año queda completamente cuberta. Esto supone la nclusón de una varable bnara, BM, tal que BM 1 s M Lo msmo ocurrrá con los otros tpos de vnos, sendo necesaras dos varables bnaras para modelar la elaboracón de vno de cranza ya que este vno puede venderse durante tres años. Las varables de decsón del modelo son: M 1: Cantdad de ltros para producr mosto para el año 1. M 2 : Ídem para el año 2. BM 1 s M VJ 2 : Cantdad de ltros para producr vno joven para el año 2 VJ 3 : Ídem para el año 3 BJ 1 s VJ VC 3 : Cantdad de ltros para producr cranza para el año 3 VC 4 : Ídem para el año 4 VC 5 : Ídem para el año 5 1 s VC BC1 1 s VC BC 2 VR 4 : Cantdad de ltros para producr reserva para el año 4 VR 5 : Ídem para el año 5
3 1 s VR BR GR 5 : Cantdad de ltros para producr gran reserva para el año 5 GR 6 : Ídem para el año 6 1 s GR BGR Con estas varables de decsón y las auxlares bnaras el modelo de programacón lneal que optmza el benefco es el sguente: Benefco Ingresos Costes ( ) M1 + ( ) M { ( ) VJ2 + ( ) VJ 3} + 2 {( ) VC ( ) VC ( ) VC } { ( ) VR4 + ( ) VR5} {( ) GR5 + ( ) GR6} sujeto a las restrccones 1. Restrccón de cantdad de ltros cosechada M1+ M2+ VJ2+ VJ 3+ VC 3+ VC 4+ VC 5+ + VR4 + VR5 + GR5 + GR Lmtacones mpuestas por la demanda, por las condcones técncas de evaporacón y por el comentaro ncal
4 II.5 BIBLIOTECA DE PROBLEMAS 1000BM M M2 200BM 2000BJ 0.85VJ VJ BJ 3000BC VC BC VC BC1 BC2 BC VC BC BR VR VR5 500BR 1000BGR GR GR6 250BGR M1, M2, VJ 2, VJ 3, VC 3, VC 4, VC 5, VR4, VR5, GR5, GR6 0 BM, BJ, BC1, BC 2, BR, BGR { 0,1} PROBLEMA: TURISTA Un tursta aventurero desea hacer un vaje por Europa, vstando España, Franca, Alemana, Austra, Suza e Itala, por este orden, para regresar a España por avón. Puede, en cada uno de los ses países, alqular uno de tres tpos de tursmos que, de acuerdo con sus característcas, precos de los combustbles y recorrdos a realzar en cada país, gastarán en combustble los euros ndcados en la tabla. El tursta es lbre, al llegar a un nuevo país, de cambar o no de vehículo, pero cada vez que camba de vehículo tene que pagar 25 por gastos de documentacón en el alquler del nuevo vehículo. España Franca Alemana Austra Suza Itala A B C Dseñar un modelo de programacón lneal que permta determnar qué vehículo debe ser utlzado en cada país con el fn de mnmzar el coste del transporte.
5 RESULTADO DEL PROBLEMA: TURISTA Desgnemos por j, A, B, C, j E, F, Al, Au, S, I las varables de decsón. Son varables bnaras tales que j 1 s el tursmo de tpo va a ser utlzado en el país j Necestamos tambén otras varables bnaras Z F, Al, Au, S, I para controlar el posble cambo de tursmo al pasar de un país a otro; es decr Z 1 s ha habdo cambo de tursmo en el país vstado en el lugar La formulacón matemátca es mn c + 25 j j 1 j 1 2 j 1 j Z, 1 Z En cada país hay que usar un vehículo y sólo uno PROBLEMA: MEZCLA DE GASES Se desea hacer una mezcla de tres gases combustbles, G1, G2 y G3, en las condcones sguentes: 1. El volumen total debe ser de m La potenca calorífca de la mezcla debe estar comprendda entre 2200 y 2600 mte/m El contendo en azufre no debe rebasar la cantdad de 3 g/m La cantdad del tercer gas no debe exceder del 40 % del volumen conjunto de los otros dos gases. 5. S la cantdad del prmer gas excede del 60 % del total, entonces las cantdades de los otros dos gases han de ser guales. Los contendos de azufre de los tres gases son 7, 0.5 y 2 g/m 3 respectvamente, mentras que sus correspondentes potencas calorífcas ascenden a 1000, 2000 y 6000 mte/m 3. Los precos de los tres gases son de 1.9, 2.7 y 1.5 /m 3 respectvamente. Proponer un modelo de programacón lneal que permta establecer la mezcla más barata que cumple las especfcacones anterores.
6 II.5 BIBLIOTECA DE PROBLEMAS RESULTADO DEL PROBLEMA: MEZCLA DE GASES Índce : Índce de gases {G1, G2, G3} Parámetros a : Contendo de azufre en el gas [gr/m 3 ] c : Potenca calorífca del gas [mte/m 3 ] p : Preco del gas [ /m 3 ] c mn : Potenca calorífca mínma [mte/m 3 ] c : Potenca calorífca máxma [mte/m 3 ] a : Cantdad máxma de azufre [g/m 3 ] Varables : Porcentaje untaro por m 3 del gas [p.u.] Funcón objetvo Se mnmza el preco de cada m 3 de la mezcla de gas mn p Restrccones Restrccón lógca de la combnacón de los gases por m 3 Potenca calorífca mínma Potenca calorífca máxma Contendo de azufre máxmo 1 c c a Relacón lógca de que el tercer gas no debe exceder el 40% del volumen conjunto de los otros dos gases c c a mn 0.4( + ) G3 G1 G2 Relacón lógca de que s el prmer gas excede del 60% entonces las cantdades de los otros dos gases han de ser guales 0.6 G1 G2 G3 Esta mplcacón se dvde en dos mplcacones
7 G1 0.6 δ 1 y δ 1 G2 G3 La prmera mplcacón se puede modelar como: G δ La segunda mplcacón se puede modelar como: 1 δ G2 G3 δ 1 G2 G3
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