El problema del área. Tema 5: Integración. Integral de Riemann. Particiones de un intervalo. Sumas superior e inferior

Transcripción

1 Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Prticiones de un intervlo El problem del áre Tem 5: Integrción. Integrl de Riemnn El objetivo finl del tem es hllr el áre de l región limitd por l gráfic de un función (no negtiv) y = f (x), el eje de bsciss y ls rects verticles x =, x = b. Análisis Mtemático (Grdo en Físic) Deprtmento de Análisis Mtemático Universidd de Sevill Curso 2017/2018 Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Prticiones de un intervlo Prticiones de un intervlo Sums de Riemnn. Sums superior e inferior Se I = [, b] R un intervlo cerrdo y cotdo (compcto). Se llm prtición de I todo conjunto de puntos P = { = x 0 < x 1 <, x n 1 < x n = b}. Se llm norm de l prtición P P = máx{x k x k 1, con k = 1,..., n}. Denotremos por P[, b] l conjunto de tods ls prticiones de [, b]. Se f : [, b] R un función cotd y P = { = x 0 < x 1 < < x n = b} P[, b]. Sen m k := ínf {f (x)}, M k := sup {f (x)}. x [x k 1,x k ] x [x k 1,x k ] Se llmn, respectivmente, Sum inferior y Sum superior de Riemnn de l función f reltivs l prtición P ls siguientes sums: L(f, P) := n m k (x k x k 1 ), U(f, P) := k=1 n M k (x k x k 1 ). k=1

2 Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Sums de Riemnn. Sums superior e inferior Sums de Riemnn. Propieddes básics Sen P, Q P[, b]. Se dice que Q es más fin que P (o que P es menos fin que Q), y se denotrá P Q, cundo P Q. Sum inferior y superior de Riemnn de l función y = f (x) en el intervlo I = [1, 5] respecto de l prtición P = {1, 2, 3, 4, 5} Propieddes P P y f : [, b] R cotd, es clro que L(f, P) U(f, P). Si P Q, entonces L(f, P) L(f, Q) y U(f, Q) U(f, P). Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Sums de Riemnn. Propieddes básics Sums de Riemnn. Propieddes básics P Q L(f, P) L(f, Q) P Q L(f, P) L(f, Q)

3 Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Sums de Riemnn. Propieddes básics Sums de Riemnn. Propieddes básics P Q U(f, Q) L(f, P) P Q U(f, Q) L(f, P) Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Sums de Riemnn. Propieddes básics Integrl de Riemnn Integrl superior e inferior Observción () El conjunto { L(f, P) : P P[, b] } está cotdo superiormente. (b) El conjunto { U(f, P) : P P[, b] } está cotdo inferiormente. () Se llm integrl inferior de Riemnn, f (x) dx = sup { L(f, P) : P P[, b] } (b) Se llm integrl superior de Riemnn, f (x) dx = ínf { U(f, P) : P P[, b] }. Observción Se cumple que f (x) dx

4 Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Integrl de Riemnn Integrl de Riemnn Integrl de Riemnn Integrl de Riemnn Se f : [, b] R cotd. Se dice que f es integrble Riemnn en [, b], cundo f (x) dx = A este vlor común se le llmrá integrl de Riemnn de f en el intervlo [, b] y se denotrá por Al conjunto de tods ls funciones integrbles Riemnn en un intervlo [, b] se le denotrá por R[, b]. Ejemplo L función f : [0, 1] R dd por 1 si x [0, 1] Q f (x) := χ [0,1] Q (x) = 0 si x [0, 1] Q cumple que f R[0, 1]. Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Condición suficiente de integrbilidd Condición suficiente de integrbilidd Condición suficiente de integrbilidd Integrl como límite Teorem (Condición de integrbilidd de Riemnn) Se f : [, b] R cotd. f R[, b] ε > 0, P P[, b] tl que U(f, P) L(f, P) < ε. Corolrio Si f R[, b], su integrl es el único número rel que cumple Teorem Se f : [, b] R cotd. Entonces f R[, b] si y sólo si existe un sucesión {P n } n P[, b] tl que lím n [U(f, P n) L(f, P n )] = 0. En ese cso, se cumple demás que f (x) dx = lím n U(f, P n ) = lím n L(f, P n ). L(f, P) f (x) dx U(f, Q) P, Q P[, b]. Si pr cd k = 1,, n seleccionmos t k [x k 1, x k ], se b n cumple que lím f (t k ) = n n k=1

5 Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Alguns funciones integrbles Riemnn Alguns funciones integrbles Propieddes básics Linelidd Teorem Tod función continu en [, b] es integrble Riemnn en [, b]. Teorem Se f : [, b] R cotd y continu slvo un número finito de puntos de [, b]. Entonces f R[, b]. Teorem Se f : [, b] R cotd y monóton. Entonces f R[, b]. Sen f, g : [, b] R cotds con f, g R[, b] y λ R. Entonces f + g R[, b] y (f + g)(x) dx = λf R[, b] y f (x) dx + λf (x) dx = λ g(x) dx. Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Propieddes básics Monotoní Propieddes básics Vlor bsoluto Sen f, g : [, b] R cotds con f, g R[, b]. Entonces Si f (x) 0 x [, b], entonces Si f (x) g(x) x [, b], entonces f (x) dx g(x) dx. f (x) dx 0. Se f : [, b] R. Si f R[, b], entonces f R[, b] y, demás, f (x) dx f (x) dx.

6 Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Propieddes básics Producto y cociente Propieddes básics Composición Sen f, g : [, b] R cotds con f, g R[, b]. f g R[, b]. Si g(x) c > 0 x [, b], entonces f /g R[, b]. En generl, l composición de funciones integrbles no es integrble. Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Aditividd del intervlo Aditividd del intervlo Aditividd del intervlo Algunos convenios Teorem Se f : [, b] R cotd y se c (, b). Entonces En tl cso, se cumple que f R[, b] f R[, c] R[c, b]. f (x) dx = c f (x) dx + c Observción f (x) dx = 0. Si < b, entonces c f (x) dx + f (x) = c b f (x) dx = f (x) dx, b, c R.

7 Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Vlor medio integrl Teorem del Vlor Medio Integrl Vlor medio integrl Interpretción geométric Teorem (del vlor medio integrl) Se f : [, b] R cotd con f R[, b]. Si m f (x) M x [, b], entonces m 1 f (x) dx M. b Si, demás, f es continu en [, b], existe c [, b] tl que f (c) = 1 b 1 Al número f (x) dx se le llm medi integrl de l b función f en el intervlo [, b]. Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Teorem fundmentl del Cálculo Integrl Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl Teorem fundmentl del Cálculo Integrl Regl de Brrow Teorem Se f R[, b]. Entonces l función F : [, b] R dd por F(x) := x f (t) dt es continu en [, b]. Teorem (Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl) Se f C[, b]. Entonces l función F : [, b] R dd por F(x) := x f (t) dt es derivble en [, b] y se cumple que F (x) = f (x) pr todo x [, b] (si c =, b, se entiende derivd lterl). Teorem (Regl de Brrow) Se f : [, b] R continu en [, b] y se G un primitiv de f en [, b]. Entonces f (x) dx = G(b) G().

8 Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Teorem fundmentl del Cálculo Integrl Regl de Brrow y cmbio de vribles Teorem fundmentl del Cálculo Integrl Regl de Brrow e integrción por prtes Teorem Se ϕ : [, b] R derivble en [, b] con ϕ R[, b] y se f : ϕ([, b]) R continu en ϕ([, b]). Entonces f (ϕ(x))ϕ (x) dx = g(b) g() Teorem Sen f, g : [, b] R derivbles en [, b] con f, g R[, b]. Entonces b f (x)g b (x) dx = f (x)g(x) g(x)f (x) dx.