EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO

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1 EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO m Ejercicio 1º.- Sea I la matriz identidad de orden A 1 1 a) (1,5 puntos) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A I) = 0, siendo O la matriz nula de orden. b) (1,5 puntos) Para m = 0, halla la matriz X que verifica A.X +A T = 0, siendo A T la matriz transpuesta de A. SOLUC: a) m = 0 b) X 0 Ejercicio º.- Sean la matrices a) (0,75 puntos) Halla, si es posible, A A B 1 b) (0,75 puntos) Halla el determinante de en las que te basas. c) (1 punto) Resuelve la ecuación AX B = AB B T A.B.A, indicando las propiedades de los determinantes 1 0 SOLUC: a) 1 1 A 0 A A c) 1 X B 0 B b) 013 T A.B.A 0 Ejercicio 3º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente: ax z 4 x a z 1 x z a a) (1,5 puntos) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) (1 punto) Resuelve el sistema para a = -. SOLUC: a) Si a = -1 rango A = rango A = < nº de incógnitas SCI (3/, 5/ λ, λ) b) (-4/3, 1, 1/3)

2 Ejercicio 4º.- Sean F 1, F F 3 las filas primera, segunda tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuo determinante vale -. Calcula indicando las propiedades que utilices: a) (0,5 punto) El rango de B 3 b) (0,5 puntos) El determinante de B c) (0,75 puntos) El determinante de B 1 d) (0,75 puntos) El determinante de una matriz cuadrada cuas filas primera, segunda tercera son, respectivamente: 5F1 F3, 3F3 F SOLUC: a) 3 B ra n g o B 3 b) 1 6 B c) 1 1 (B ) d) 4 5 F F F 3 0 F 3 Ejercicio 5º.- Un estudiante gastó 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora el estuche juntos. a) (1,5 puntos) Es posible determinar de forma única el precio del libro? Y el de la calculadora? Razona las respuestas. b) (1,5 puntos) Si el precio del libro, la calculadora el estuche hubieran sufrido un 50 %, un 0% un 5% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo. SOLUC: a) Si llamamos x,, z al precio del libro, de la calculadora del estuche, respectivamente, el sistema de ecuaciones lineales x z 5 7 es un SCI. Al resolver el sistema obtenemos como soluciones (38, 19 λ, λ). x ( z ) Por tanto si es posible determinar el precio del libro, pero no el de la calculadora. b) 38 euros el libro, 15 euros la calculadora 4 euros el estuche. Ejercicio 6º.- Considera el sistema de ecuaciones homogéneo siguiente: x mz 0 mx z 0 x mz 0 a) (0,75 puntos) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. b) (1 punto) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la trivial. c) (0,75 puntos) Resuelve el sistema para m = -. SOLUC: a) Si m 0 o m - rango A = rango A = 3 = nº de incógnitas SCD Solución trivial (0, 0, 0). b) Si m = 0 m = - A = 0 rango A = rango A = < nº de incógnitas SCI Infinitas soluciones además de la trivial. c) Si m = - SCI ( λ, λ, 0) Ejercicio 7º.- Considera la matriz SOLUC: a) 1 1 A 1 a) (1 punto) Determina la matriz B = A A b) (0,75 puntos) Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa. c) (0,75 puntos) Calcula B -1 para λ = 1. 1 B b) Si λ -1 λ 3 A 0 B c) 1 B

3 Ejercicio 8º.- (,5 puntos) Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 0 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de euros. Calcular cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30% de las cajas. SOLUC: euros en el primer mercado, euros en el segundo 1000 euros en el tercero. x z Ejercicio 9º.- Sabiendo que el determinante de la matriz A siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices a) (0,5 puntos) det(3a) b) (0,5 puntos) det(a -1 ) c) (0,75 puntos) 3x z d) (0,75 puntos) x 4 z vale, halla el valor de los SOLUC: a) 3 A 5 4 b) 1 1 A c) x z d) 1 3 x 4 z Ejercicio 10º.- a) (1 punto) Calcula la matriz inversa de A a) (1,5 puntos) escribe resuelve matricialmente el sistema de ecuaciones x x 1 z z SOLUC: a) 1 1 A b) AX = B siendo A x X z 1 B 3 Solución: 3 X Ejercicio 11º.- Sea I la matriz identidad de orden 3 sea A k c) (1,5 punto) Determina el valor de k para el que A.A + I = 0 d) (1,5 puntos) Para k = halla la matriz X que cumple que A.X.A T = 0 SOLUC: a) k = b) 6 8 X 6 0

4 Ejercicio 1º.- Sean las rectas: x z 3 0 r: x 0 mx s: x z 0 a) (1,5 puntos) Calcula el valor de m sabiendo que son paralelas. b) (1 punto) Halla la ecuación implícita del plano π que contiene a las rectas r s. SOLUC: a) m = 3 b) π : x z + = 0 Ejercicio 13º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente: (b+1) x z x (b+1) z x (b+1) z 4 a) ( puntos) Discute, clasifica e interpreta geométricamente el sistema según los valores de b. b) (0,5 puntos) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. SOLUC: a) Si b 0 o b -3 de tres planos que se cortan en un punto A 0 rango A = rango A = 3 = nº de incógnitas SCD Se trata Si b = 0 rango A = 1 rango A = SI No ha un punto en común a los tres planos Si b = -3 rango A = = rango A = < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta b) (- + λ, - + λ, λ ) Ejercicio 14º.- Sean A = (-3, 4, 0), B = (3, 6, 3) C = (-1,, 1) los vértices de un triángulo. a) (1 punto) Halla la ecuación implícita del plano π que contiene al triángulo. b) (0,75 puntos) Halla la ecuación en forma continua de la recta r que es perpendicular al plano π pasa por el origen de coordenadas. c) (0,75 puntos) Calcula el área del triángulo. SOLUC: a) π: x z + 3 = 0 b) r: z x c) 4 5 u 0 Ejercicio 15º.- Se sabe que los puntos A = (m, 0, 1), B = (0, 1, ), C = (1,, 3) D = (7,, 1) están en un mismo plano. a) ( puntos) Halla el valor de m calcula la ecuación implícita de dicho plano. b) (0,5 puntos) Están los puntos B, C D alineados? SOLUC: a) m = -1 π: -x + 4 3z + = 0 b) NO

5 Ejercicio 16º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales: x z x 3 z 7 x ( )z 5 a) ( puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema según los valores del parámetro λ. b) (0,5 puntos) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. SOLUC: a) Si λ -1 o λ - A 0 rango A = rango A = 3 = nº de incógnitas SCD Se trata de tres planos que se cortan en un punto Si λ = -1 rango A = rango A = 3 SI No ha un punto en común a los tres planos Si λ = - rango A = = rango A = < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta b) (1 - λ, λ, λ ) Ejercicio 17º.- Considera las matrices: A B 3 1 C b) (1 punto) Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala. c) (1,5 puntos) Determina la matriz X que cumple A.X + C.B T = B.B T 1 SOLUC: a) A b) X Ejercicio 18º.- Sean r s las rectas definidas por: x k z r: s: x 1 z b) (1,5 puntos) Halla el valor de k sabiendo que las rectas r s se cortan en un punto. c) (1,5 puntos) Halla la ecuación implícita del plano que contiene a ambas rectas. SOLUC: a) k = - 4/7 b) π : x z - 6 = 0 Ejercicio 19º.- Considera los vectores u (0,1,0) v (,1,-1) w (,3,-1) a) (0,75 puntos) Son los vectores u, v w linealmente dependientes? b) (0,75 puntos) Para qué valores de a puede expresarse el vector t (4,a+3,-) combinación lineal de los vectores u, v w? c) (1 punto) Calcula un vector unitario que sea perpendicular a u v. como SOLUC: a) SI b) Sea cual sea el valor de a el vector t siempre se podrá expresar mediante una combinación lineal de los vectores u, v w c) i - k = (-,0,- )

6 Ejercicio 0º.- Considera el triángulo de vértices los puntos A = (0, 3, -1), B = (0, 1, 5) C = (x, 4, 3). a) (1,5 puntos) Determina los valores de x sabiendo que el triángulo tiene un ángulo recto en C: b) (1,5 puntos) Halla la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos (0, 1, 5) (3, 4, 3) x z 0 es paralelo a la recta r de ecuaciones. x 3 SOLUC: a) Ha dos soluciones posibles x 5. Los puntos serían C 1=( 5, 43), C =(- 5, 4, 3) b) π : 13x z - 38 = 0 4 Ejercicio 1º.- Sea I la matriz identidad de orden sea A 1 3 e) (1,5 punto) Determina los valores de λ para los que se cumple que A λi = 0. f) (1,5 puntos) Calcula A 7.A + 10.I SOLUC: a) λ = λ = 5 b) Ejercicio º.- Considera el plano π de ecuación x + z + = 0 la recta r de ecuación x 5 z 6 m a) (1 punto) Halla la posición relativa de r π según los valores de m. b) (0,75 puntos) Para m = -3, halla la ecuación implícita del plano π que contiene a la recta r es perpendicular al plano π. c) (0,75 puntos) Para m = -3, halla la ecuación implícita del plano π que contiene a la recta r es paralelo al plano π. SOLUC: a) Si m -3 la recta el plano son secantes si m = -3 la recta el plano son paralelos b) π : x 4 z + 7 = 0 c) π : x + z 4 = Ejercicio 3º.- Sea A 0 b 3 3 b 1 0 a) (1 punto) Halla los valores de b para los que la matriz A tiene inversa. b) (1,5 puntos) Para b = 0 resuelve la ecuación X.A = (3 1 1), siendo X = (x z). SOLUC: a) Si b b -3 A 0 por tanto A -1 b) X = ( 1 1) Ejercicio 4º.- Considera el punto P = (3,, 0) la recta de ecuaciones x z 3 0 x z 1 0 b) (1 punto) Halla la ecuación implícita del plano que contiene a la recta r al punto P. b) (1,5 puntos) Determina las coordenada del punto P simétrico de P respecto a la recta r. SOLUC: a) π: x + 4z - 7 = 0 b) P = (-1, 0, -)

7 x 0 Ejercicio 5º.- (,5 puntos) Determina los puntos de la recta r de ecuaciones z 3 1 equidistan del plano π de ecuación x + z = 1 del plano π de ecuación z = 3. que SOLUC: a) Ha dos puntos que son A = (0, 4, 9) B = (0, -4/3, -5/3) Ejercicio 6º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales: mx z 1 x m z m x mz m c) ( puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema según los valores del parámetro m. d) (0,5 puntos) Resuélvelo para m =. SOLUC: a) Si m 0 m 1 m -1 A 0 rango A = rango A = 3 = nº de incógnitas SCD Se trata de tres planos que se cortan en un punto Si m = 0 rango A = rango A = 3 SI No ha un punto en común a los tres planos Si m = 1 rango A = = rango A = < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta Si m = -1 rango A = = rango A = < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta b) Si m = rango A = 3 = rango A = nº de incógnitas SCD Solución única (3/, -1/, 3/) Ejercicio 7º.- (,5 puntos) Determina la matriz X que cumple A.B t.x = -C siendo: SOLUC: X A B 0 C x a t Ejercicio 8º.- Sean r la recta de ecuación: 1 t z 4 t x 1 z 3 s la recta definida por: d) (1,5 puntos) Halla el valor de a sabiendo que las rectas r s se cortan en un punto. e) (1 punto) Halla el punto de corte. SOLUC: a) a = b) P = (3, -1, 3)

8 Ejercicio 9º.- Considera los vectores d) u (x,,0) v (x,-,1) w (,-x,-4x) (1 punto) Determina los valores de x para los que los vectores u, v w formarían una base de R 3. e) (1,5 puntos) Determina los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos. SOLUC: a) Sea cual sea el valor de x los vectores u, v w son LI por tanto forman una base de R 3 b) u v serán ortogonales si x = ± u w serán ortogonales siempre, sea cual sea el valor de x v w serán ortogonales siempre, sea cual sea el valor de x x z 1 Ejercicio 30º. Considera la recta r de ecuaciones x 3z 0 a) (1,5 puntos) Determina la ecuación implícita del plano π que contiene a la recta r no corta al eje OZ (eje z). b) (1,5 puntos) Determina el punto simétrico del punto A = (1,, 1) respecto a la recta r. SOLUC: a) π: x = 0 b) A = (-17/19, -16/19, -5/19) Ejercicio 31º.- Se sabe que los planos de ecuaciones x bz 1 x bz 0 3x 3 z 1 se cortan en una recta r. g) (1,5 puntos) Halla razonadamente el valor de b. h) (1,5 puntos) Calcula unas ecuaciones paramétricas para la recta r. 1 1 x r : 3 3 z SOLUC: a) b = -1 b) x Ejercicio 3º.- Se considera la recta r definida por: a 0 z x 4 z 1 4 (a 0) la recta s definida por: a) (1,5 puntos) Halla el valor de a para el que r s son perpendiculares. b) (1,5 puntos) Deduce razonadamente si existe algún valor de a para el que r s sean paralelas. SOLUC: a) a = -4/3 b) NO ha Ejercicio 33º.- (,5 puntos) Dadas las matrices: A B Calcula la matriz P que verifica A.P B = C T 3 0 SOLUC: 1 T P A ( C B ) C 1 1 1

9 x 1 1 Ejercicio 34º.- Dada la recta r definida por: z 3 f) (1,5 puntos) Halla la ecuación implícita del plano que pasa por el origen de coordenadas contiene a r. g) (1 punto) Halla la ecuación implícita del plano que pasa por el origen de coordenadas es perpendicular a r. SOLUC: a) 7x 3 5z = 0 b) x z = 0 Ejercicio 35º.- (,5 puntos) Dados los puntos A = (, 1, 1) B = (0, 0, 1), halla los puntos C situados en el eje OX que verifican que el área del triángulo de vértices A, B C vale u. SOLUC: Existen dos puntos que verifican la condición impuesta son: C1 (- 11,0,0) C ( 11,0,0) Ejercicio 36º.- Considera la matriz: A m m m m m m e) (1 punto) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de la matriz A es menor de 3. x 1 f) (1,5 puntos) Estudia si el sistema A. 1 tiene solución para cada uno de los valores z 1 de m obtenidos en el apartado anterior SOLUC: a) m = 0 m = 1 b) Si m = 0 rango A = 1 rango A = SI Si m = 1 rango A = 1 = rango A < nº de incógnitas SCI (los tres planos son iguales) 0 1 Ejercicio 37º.- (,5 puntos) Sea I la matriz identidad de orden tres, la matriz A parámetro k. Calcula, si existe, el valor de k para el cual (A k.i) es la matriz nula. el SOLUC: K = 1 Ejercicio 38º.- Considera la recta r definida por: x mz x z m el plano π de ecuación: x m z 1. a) (1 punto) Existe algún valor de m para el que la recta r el plano π sean paralelos? b) (1 punto) Para qué valor de m la recta r está contenida en plano π? c) (0,5 puntos) Cuál es la posición relativa de la recta el plano cuando m = 0? SOLUC: a) m = b) m = -1 c) Secantes

10 Ejercicio 39º.- Dados los puntos A = (, 0, 1) B = (-1, 1, ) C = (,, 1) D = (3, 1, 0). f) (1 punto) Halla la ecuación implícita del plano π que pasa por los puntos B, C D. g) (1,5 puntos) Calcula el punto simétrico de A respecto al plano π. SOLUC: a) -x + z + = 0 b) (4/3, /3, -1/3) Ejercicio 40º.- Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 0 50 euros. En total ha 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) (1,5 puntos) Es posible que en el cajero haa el triple número de billetes de 10 que de 50? b) (1,5 puntos) Suponiendo que el nº de billetes de 10 es el doble que el nº de billetes de 50, calcula cuántos billetes ha de cada clase. SOLUC: a) No, es un SI b) 80 billetes de 10, 10 billetes de 0 40 billetes de 50