SEPTIEMBRE Opción A

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1 Slctividad Sptimbr (Pruba Espcífica) SEPTIEMBRE Opción A ( + ).- Dada la función f () s pid dtrminar: a) El dominio, los puntos d cort con los js y las asíntotas. b) Los intrvalos d crciminto y dcrciminto, y los trmos rlativos. c) La gráfica d f..- Calcular + ln( ) + (ln ) d. (+ ln ).- Hallar la cuación gnral dl plano qu pasa por l punto A (,, ), s prpndicular al z plano π y + z + y s parallo a la rcta r. y 4.- a) Sa A una matriz cuadrada tal qu A A I (sindo I la matriz idntidad). Probar qu A admit invrsa y utilizar la igualdad dada para prsar A n función d A. m b) Sa B la matriz d coficints d un sistma linal. Hallar razonadamnt los m valors d m para los qu l sistma s compatibl dtrminado. Opción B.- D f: s sab qu f () + + y qu su gráfica tin tangnt horizontal n l punto P (, ). Hallar la prsión d f. si.- a) San f () y g (). Hallar g (f ()). si > b) Calcular ( ) + + d.- a) Dtrminar las coordnadas dl punto simétrico d A (,, 6) rspcto d la rcta + y z+ r b) Hallar la distancia d A a r. 4.- San las matrics A y B. a) Calcular A. b) Rsolvr la cuación matricial AX + AB B. Dpto. Matmáticas / IES Ramón Ollros

2 Slctividad Sptimbr (Pruba Espcífica) SOLUCIONES Opción A ( + ).- Dada la función f () s pid dtrminar: a) El dominio, los puntos d cort con los js y las asíntotas. b) Los intrvalos d crciminto y dcrciminto, y los trmos rlativos. c) La gráfica d f. a) El dominio d dfinición d la función s todo, pus para todo. Dom f (). Calculmos los puntos d cort con los js: Ej OY ( ) ( + ) y 9 Punto d cort (, 9) Ej OX (y ) ( + ) ( + ) (dobl) Punto d cort (, ) Finalmnt, calculmos las asíntotas: Asíntotas vrticals. No hay pus Dom f (). Asíntotas horizontals. ( + ) ( + ) Lim Lim Lim( + ) Por tanto no hay asíntota horizontal si. ( + ) L Hopital ( + ) L Hopital Lim Lim Lim Por tanto la rcta y s una asíntota horizontal si +. No hay asíntotas oblicuas cuando + pus stas y las asíntotas horizontals son cluynts. Vamos si tin asíntotas oblicuas para. m ( + ) LHopital ( + ) ( + ) Lim Lim Lim ( + ) ( ) ( ) ( ) Lim ( ) L Hopital Lim Por tanto, tampoco hay asíntotas oblicuas si. Dpto. Matmáticas / IES Ramón Ollros

3 Slctividad Sptimbr (Pruba Espcífica) b) Para studiar los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los trmos rlativos d la función, calculmos la drivada primra: ( + ) ( + ) 4 f () ( ) Los puntos singulars los calculamos al rsolvr la cuación f (). f () 4 4 y Rprsntmos dichos puntos sobr una rcta (qu rprsnt l dominio d la función) y vamos l signo qu toma f () n cada uno d los intrvalos n qu quda dividida: f () < f () > f () < Por tanto, la función f dcrc n (, ) (, + ) y crc n (, ). D sto s dduc qu n l punto d abscisa la función prsnta un mínimo y n l punto d abscisa la función prsnta un máimo. Mínimo n (, ) y Máimo n (, 4) b) La gráfica d sta función s: Dpto. Matmáticas / IES Ramón Ollros

4 Slctividad Sptimbr (Pruba Espcífica).- Calcular + ln( ) + (ln ) d. (+ ln ) En primr lugar, tngamos n cunta la siguint propidad d los logaritmos: Así, la intgral pdida s convirt n: ln A n n ln A + ln( ) + (ln ) (+ ln ) d Para rsolvrla hagamos l siguint cambio d variabl: t ln () dt d Nota: Obsrva qu l difrncial d t, dt, ya aparc actamnt n l intgrando. Los trmos d intgración rspcto a la nuva variabl t son: Si t ln () Si t ln () Por tanto ralizando l cambio d variabl la intgral quda scrita como: + ln( ) + (ln ) d (+ ln ) + t+ t ( + t) dt Para rsolvr sta nuva intgral qu ha aparcido, ralicmos la división d polinomios qu aparc n l intgrando: t + t + t + t t t + t + t Por tanto: + t+ t dt ( + t) t ( t ) dt t ln t ( + t) + ln() () 5 ln () Dpto. Matmáticas 4 / 4 IES Ramón Ollros

5 Slctividad Sptimbr (Pruba Espcífica).- Hallar la cuación gnral dl plano qu pasa por l punto A (,, ), s prpndicular al z plano π y + z + y s parallo a la rcta r. y El plano pdido, π A, vin caractrizado por la trna π A (A, p, v r ), dond p s l vctor caractrístico dl plano π (prpndicular a él) y v r s un vctor dirctor d la rcta r. Estos dos vctors s calculan fácilmnt (para calcular, scribimos las cuacions paramétricas d r tomando y λ): λ p (,, ) ; r y λ z Por tanto l plano π A vin dado por: y z+ v r v r (,, ) + 4y + z a) Sa A una matriz cuadrada tal qu A A I (sindo I la matriz idntidad). Probar qu A admit invrsa y utilizar la igualdad dada para prsar A n función d A. m b) Sa B la matriz d coficints d un sistma linal. Hallar razonadamnt los m valors d m para los qu l sistma s compatibl dtrminado. a) Oprmos dl siguint modo: A A I A (A I) I A ( ) A I I Entoncs, tomando B ( ) A I, podmos scribir qu A B I, y por tanto s dduc qu: A B I A B I A y B Por tanto, al sr A, la matriz A admit invrsa. Por otra part, d la prsión antrior, s dduc qu ist una matriz, B, tal qu al multiplicar A por la drcha por dicha matriz, B, l rsultado s la matriz idntidad, I. Por tanto dicha matriz, B, srá la invrsa d A, sto s: A ( A I) Dpto. Matmáticas 5 / 5 IES Ramón Ollros

6 Slctividad Sptimbr (Pruba Espcífica) b) Los valors para los cuals l sistma srá compatibl dtrminado srán aqullos para los qu s cumpla qu: rango (B) rango ( B ) nº d incógnitas Para qu l rango d la matriz d los coficints sa, su dtrminant ha d sr distinto d cro. Vamos qu valors anulan l dtrminant d B: m m + m + m 8 4m 9 B si m 9 4 Por tanto l sistma srá compatibl dtrminado si m 9 4. Opción B.- D f: s sab qu f () + + y qu su gráfica tin tangnt horizontal n l punto P (, ). Hallar la prsión d f. Como la función f cumpl qu su gráfica tin tangnt horizontal n l punto P (, ), db cumplir las siguints condicions: La gráfica d f pasa por l punto P (, ) f (). La gráfica d f tin tangnt horizontal n l punto P (, ), y por tanto la pndint d la rcta tangnt, qu s f (), ha d sr cro. f () Tnindo n cunta stas dos condicions podmos hallar la prsión d la función f intgrando dos vcs imponindo las dos condicions antriors. f () f "( d ) ( + + ) d C Calculamos C al imponr la condición f () : f () C C Por tanto: f () + + Por otra part: f () d C Dpto. Matmáticas 6 / 6 IES Ramón Ollros

7 Slctividad Sptimbr (Pruba Espcífica) Calculamos C al imponr la condición f () : f () C C 47 Por tanto: f () si.- a) San f () y g (). Hallar g (f ()). si > b) Calcular ( ) + + d a) Eprsmos f () como una función dfinida a trozos: ( ) si f () si > Así, g (f ()) vndrá dada por: g (f ()) g ( ) si g() si > b) Rsolvamos la intgral por parts: u + du d dv + d v + d + Entoncs: ( + ) + d ( + ) + + d ( + ) C ( + ) + + C.- a) Dtrminar las coordnadas dl punto simétrico d A (,, 6) rspcto d la rcta + y z+ r b) Hallar la distancia d A a r. a) Para calcular l punto simétrico d A rspcto a la rcta r, A, procdrmos d la siguint manra: Hallamos un plano, π, qu contnga al punto A y qu sa prpndicular a la rcta r. Dicho plano tndrá como vctor caractrístico (prpndicular a él) al vctor dirctor, v r, d la rcta r. Dpto. Matmáticas 7 / 7 IES Ramón Ollros

8 Slctividad Sptimbr (Pruba Espcífica) Calculamos l punto Q d intrscción dl plano π antrior con la rcta r. Dicho punto Q s l punto mdio dl sgmnto d trmos A y su simétrico A. Finalmnt, y tnindo n cunta lo antrior, calculamos A. r π A Q A Procdamos. Un vctor dirctor d la rcta r, v r, s por tanto d la forma: π + y + z + D v r (,, ). La cuación dl plano π srá Si imponmos la condición d qu dicho plano pas por l punto A, tnmos qu: Por tanto, π + y + z D D Calculmos a continuación l punto Q d intrscción dl plano π antrior con la rcta r. Para llo, scribamos las cuacions paramétricas d r y sustituyámoslas n la cuación dl plano π: λ r y 5 + λ λ + (5 + λ) + ( + λ) λ z + λ Por tanto las coordnadas dl punto Q son: Q (, 5 +, + ) (, 5, ) Como l punto Q s l punto mdio dl sgmnto d trmos A y su simétrico A (a, b, c), ntoncs s ha d cumplir qu: + a a 5 + b b c c 4 El punto simétrico d A rspcto a la rcta r s A (, 9, 4). Dpto. Matmáticas 8 / 8 IES Ramón Ollros

9 Slctividad Sptimbr (Pruba Espcífica) b) La distancia d A a r s la misma qu la distancia d A a Q, y por tanto: d (A, r) d (A, Q) ( ) + ( 5) + (6 ) u. 4.- San las matrics A y B. a) Calcular A. b) Rsolvr la cuación matricial AX + AB B. a) Tnmos qu para qu la matriz A admita invrsa s ha d cumplir qu su dtrminant, A, sa no nulo. A + + Como A, A admit invrsa, y vndrá dada por A matriz adjunta d la traspusta d A. Así: t Adj( A ), dond, Adj (A t ) rprsnta a la A A t Adj (A t ) A b) Para rsolvr la cuación matricial AX + AB B, dspjmos la matriz d la misma: AX + AB B AX B AB A AX A (B AB) X A (B AB) Calculmos X: AB 6 Por tanto: B AB X A (B AB) 4 Dpto. Matmáticas 9 / 9 IES Ramón Ollros