OPCIÓN A. El sistema homogéneo tiene infinitas soluciones cuando la matriz de los coeficientes tenga rango 3 y para ello: x y

Transcripción

1 OPCIÓN A 1. Hallar los valores del parámetro a para que el sistema de ecuaciones soluciones [1,5 puntos]. Resolverlo en cada uno de esos casos [1 punto]. z 0 a y z 0 (a 1)y az 0 admita infinitas El sistema homogéneo tiene infinitas soluciones cuando la matriz de los coeficientes tenga rango 3 y para ello: a a a a 1 a 1 0 a a 0 a a 1 0 a 0, a 1 1 a 1 a Para a 0 : como e y. Considerando z como un parámetro: Para a 1: como Considerando z como un parámetro: 1 0 las dos primeras ecuaciones son independientes respecto a las incógnitas y luego las soluciones son:, y, z 1 0 las dos primeras ecuaciones son independientes respecto a e y. y, y 0, z. Comprobar que todas las funciones f() = a + b tienen un único punto de infleión [1 punto]. Hallar a y b para que la tangente a la gráfica de dicha función en el punto de infleión sea la recta y = + [1,5 puntos]. f '() a f ''() (posible pto. de infleión) 4 3 y como f '''() f '''(0) 60 0 f () tiene un solo punto de infleión en 0 : 0, b La pendiente de la recta tangente es: f '(0) a y su ecuación: y b a 0 y a b e identificándola con la recta dada: a 1, b 3. Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f() = y f() = [,5 puntos] La primera función está definida así: segundo y del primer cuadrantes. f () si 0 si 0 y su gráfica está formada por las bisectrices del 1

2 La gráfica de la segunda función es una parábola. Obtengamos el vértice: f '() 0 0 y como f ''() 0 Además pasa por los puntos, y,. El vértice (mínimo relativo) es el punto 0,. Tenemos: Como el recinto es simétrico respecto al eje de ordenadas, obtengamos el área del recinto entre 0 y :! S d Por tanto, el área de todo el recinto es: 0 S u 3 4. Lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por los puntos (,) y (6,0) [1,5 puntos]. Entre todas éstas escribir la ecuación de la que tiene radio mínimo [1 punto]. Sea C, y el centro de dichas circunferencias: Como pasa por el punto, : X Y y r. y r y y r y 4 4y 8 r (*) Como pasa por el punto 6, 0 : 6 0 y r 36 1 y r y 1 36 r (*) Igualando las epresiones (*): y 4 4y 8 y y 8 0 y 7 0 que es una recta. El centro de las circunferencias es C, 7 y el radio es la distancia de C al punto 6, 0 : r Veamos cuándo el radio es mínimo: r ' r '' r '' (4) 0 el radio es mínimo para 4. El centro es C 4, 1 y el radio r y, por tanto, la circunferencia: 4 y y y 1 5 y 8 y 1 0

3 OPCIÓN B 1. Dadas las matrices A B, encontrar todas las matrices X tales que X A = X [1 1 0 punto] y todas las matrices Y tales que Y A = B [1,5 puntos]. a b Sea X c d. a b a a b a b a b a b a 3b a b a 3b b b b X A X c d 3 c d c d c 3d c d c d c c d c 3d d d d Por tanto: b b X d d Y A B Y B A 1 Calculemos 1 A : A t Adj A 3 t t A A Adj A A 3 3 A 1 1 Por tanto: Y B A. Dada la función f () se pide: ( 1) a) Asíntotas de la curva y = f() [0,5 puntos] b) Etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento [1,5 puntos] c) Dibujar la gráfica [0,5 puntos] a) Asíntotas verticales: 1 pues Asíntotas horizontales u oblicuas: 1 1. Además: 1 1 y f () 1 y 1 es una asíntota horizontal de la 1 función 3

4 Además: y 1 0. Se tiene entonces: 1 y = 1 b) f '() f ''() f ''(0) tiene un mínimo relativo: 0, 0 Intervalos de crecimiento y decrecimiento: f '() cambia de signo en 0 y en 1: = 1 (punto crítico) En 0 la función f < 0 f > 0 f < Luego la función es decreciente en, 0 U 1, y creciente en 0,1 c) 3. Hallar los puntos de la curva y = 1 más próimos al punto de coordenadas (4, 0) [ puntos]. Cómo se llama dicha curva?, dibujarla [0,5 puntos] y 1 y 1 luego los puntos de la curva son, 1 4, 0 es:. La distancia al punto d Veamos cuándo es mínima esta distancia: d ' y como d '' d '' () 0 Para la distancia es

5 mínima. Por tanto, los puntos buscados son:, 3 y, 3 La curva es una hipérbola: a 1, b 1 c a b, 0. Las asíntotas son las rectas: y e y. luego los focos son los puntos, 0 y 1 4. Hallar el punto (o puntos) P de la recta de ecuaciones paramétricas y que con los puntos A (1,1,1) y z 1 B (3,1, 1 ) forman un triángulo isósceles de lados iguales AP y BP [1,5 puntos]. Hallar también el área de dichos triángulos [1 punto]. Sea P 1,,1. d A, P d B, P P 1,, 1 P (1,!,! 1) b d A, B Coordenadas del punto medio de AB: M,1, 0 h d P, M luego: A (1, 1, 1) M B (3, 1,! 1) y por tanto: 1 S 11 u 5