U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II JUNIO 2000

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Tomás Díaz Torregrosa
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1 U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II JUNIO 000 Grupo Opción c) c) Calcula y epresa lo más simplificadamente posible la derivada de las siguientes funciones: + tag ( ) e ( puntos) c) Utilizando el cambio de variable e = t calcula Opción d) d) Sea f() la función dada por f() e 3 e d ( puntos) e + = + a + sen b + c si < ( ) si 0.- Encuentra los valores de las constantes a, b y c que hacen que f sea continua y derivable dos veces en =0. (punto).- Calcula los máimos y mínimos de f y sus puntos de infleión. (punto).- Dibuja la gráfica de f. d) Calcula el área de la porción del plano deitada por las gráficas de y= y de 0 y= + +. ( puntos) U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 000 Grupo Opción c) c) Estudia la función f() = ( + ) : - su dominio de definición, y sus asíntotas horizontales y verticales, ( 5 puntos)

2 - sus intervalos de crecimiento o decrecimiento y máimos y mínimos, ( 5 puntos) - intervalos de concavidad y conveidad. Utilizando estos datos dibuja la gráfica de f. Opción d) d) Calcula los siguientes límites: + ( ) cos + 0 ( ) ( + ) + + d) Calcula el área de la porción del plano itada por las curvas y = cos(π ) e y = (Sugerencia: dibuja primero las gráficas de estas dos funciones y pon atención en sus cortes con el eje de abscisas). U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II JUNIO 00 Grupo Opción c) c) Estudiar en la función f() = : - Su dominio de definición, asíntotas horizontales y verticales; ( 5 puntos) - Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máimos y mínimos; ( 5 puntos) - Sus intervalos de concavidad y conveidad. - Utilizando estos datos dibuja la gráfica de f. Opción d) d) Calcula los siguientes límites: ( cos ) sen d) Utiliza el cambio de variable ln = t para calcular la integral: ( 5 puntos) ( 5 puntos)

e + ln + ( ln) d ( puntos) ( + ln) U.P.N.A.

Determina qué función corresponde a cada figura.

3 e + ln + ( ln) d ( puntos) ( + ln) U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 00 Grupo opción c) c) Las siguientes tres figuras representan las gráficas de una función f() y sus derivadas primera y segunda. Determina qué función corresponde a cada figura. Razona la respuesta. (,5 puntos) c) Halla el valor de la integral e ln d (,5 puntos)

4 opción d) d) - Prueba que la ecuación 3 + = tiene solución en el intervalo [ 0, ]. - Prueba que dicha solución es única en ese intervalo. - Utiliza el método de bisección para aproimar esa solución con una cifra decimal de precisión. d) Calcula los siguientes límites + 3 ( ) 3cos ( + ) + 0 ( ) U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II JUNIO 00 Grupo opción c) c) Calcula el área máima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 centímetros. ( puntos) c) Dibuja la superficie itada por la parábola Calcula su área. y= 4+ 5 y la recta y= +. ( puntos) opción d) d) Calcula los siguientes límites: 0 +

5 π ( sen ) tag d) Sea f() la función dada por: si 0 + f() = + a+ b si < 0 c + Encuentra los valores de las constantes a, b y c que hacen que f sea continua y derivable dos veces en = 0. ( puntos) Dibuja la gráfica de f. U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 00 Grupo opción c) + a c) Sea f() =. Encuentra los valores de los parámetros a y b que hacen que f() tenga puntos + b críticos en = y =. Estudia en ese caso si esos puntos son máimos o mínimos. ( puntos) c) Para esos mismos valores de los parámetros a y b estudia los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad de f(), así como la presencia de asíntotas y dibuja su gráfica. opción d) d) Un agricultor va a vallar una finca de metros cuadrados en forma de sector circular tal y como indica la figura:

6 Encuentra las dimensiones (r y α) del sector que harían que el agricultor emplease menos metros de valla ( 5 puntos) d) Utiliza el cambio de variable = cost para hallar el valor de la integral: + 0 d ( 5 puntos) U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II JUNIO 003 Grupo Opción a) a) Sea f() la función dada por: sen si 0 f() = ( a + b + c) e si > 0 Encuentra los valores de las constantes a, b y c que hacen que f sea continua y derivable dos veces en = 0 ( puntos) Dibuja esquemáticamente la gráfica de f(), poniendo especial atención en el punto = 0 a) Calcula los siguientes límites: ln 3 π + sen Opción b) b)dibuja la región del plano itada por las gráficas de Calcula también el área de dicha región. y= y de y = 5. (5 puntos)

7 U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 003 Grupo Opción a) a) Prueba que la función (0, π ). f () = + costiene al menos un mínimo relativo en el intervalo ( puntos) a) Dibuja la región del plano itada por las parábolas también el área de dicha región. ( y= + + e y= + ). Calcula Opción b) b) Calcula y epresa lo mas simplificadamente posible la derivada de las siguientes funciones: ln ( tag ) ( cos ) cos ( 5 puntos) ( 5 puntos) b) Calcula la siguiente integral definida: d ( puntos) U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II JUNIO 004 Grupo Opción C C) Calcula los siguientes límites:

8 ( ) 0 sen cos + C) Demuestra que la función f () = + e corta al eje OX en el intervalo (,) relativo en ese mismo intervalo. y tiene un máimo Opción D D) Halla la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado y= ln sen ln y= D) Calcula el área de la región encerrada entre las gráficas de la curva y= y la recta y = 4 U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 004 Grupo Opción C C) Calcula los siguientes límites: C) Halla el máimo relativo, el mínimo relativo y el punto de infleión de la función f ( ) = sen π π en el intervalo,.

9 Opción D sen D) Demuestra que la función f() = e tiene un máimo relativo en = π. ( puntos) D) Calcula el área de la región encerrada entre las gráficas de la curva y= 4 y la recta y= 3 U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II JUNIO 005 Grupo Opción C C) Calcula las siguientes integrales indefinidas: ln ( + ) d d C) Halla las asíntotas de la curva + y = Opción D D) Demuestra que la pendiente de la tangente a la curva y tg( ln ) π e π =, en el punto = 4, vale e 4. ( puntos)

10 D) Calcula el área de la región encerrada entre las gráficas de la curva y= 7 y la curva y= U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 005 Grupo Opción C C) Dada la función: π f ( ) = + sen demuestra que eiste α (0,) tal que f '( α ) =. Di qué teorema utilizas. ( puntos) C) Halla los siguiente límites: + 0 cos e + ( 5 puntos) ( 5 puntos) Opción D D) Halla los máimos y los mínimos relativos de las siguientes funciones en el intervalo [ 0,4 ]. Dibuja sus gráficas a partir de esos datos y de los cortes con los ejes. π f ( ) = sen π f ( ) = sen 0 4

11 D) Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de las funciones dadas en el apartado D); es decir, calcula la integral definida 0 4 ( ( ) ( )) f g d ( puntos) U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II JUNIO 006 Grupo Opción C C) Halla la integral indefinida: e sen d ( puntos) C) Dada la función: f ( ) = + demuestra que eisten α y β (, ) tales que f ( α ) = 0 y f '( β ) = 3 Di que teoremas utilizas. Opción D D) Representa gráficamente la función 3 f ( ) 3 =. 3 D) Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de las funciones f ( ) = 3 y g ( ) =. ( puntos) U.P.N.A. SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE 006

12 Grupo Opción C C) Halla los siguientes límites: + 0 sen C) Demuestra que la función f ( ) senπ un mínimo relativo en el intervalo (, 0). Menciona los resultados teóricos que utilices = tiene un máimo relativo en el intervalo ( ) 0, y Opción D D) Demuestra que la función f ( ) = tiene un mínimo relativo en = ( puntos) e D) Se consideran las funciones la región encerrada por ellas. f ( ) 4 = y g ( ) =. Dibuja sus gráficas y calcula el área de

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