BLOQUE II ANÁLISIS. Página 234. a) Halla el valor de k para que la función f(x) = continua en x = 1. x 2 + k si x > 1

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1 II BLOQUE II ANÁLISIS Págin 3 3x si x Ì Hll el vlor de k pr que l función fx = continu en x =. x + k si x > se b Represent l función pr ese vlor de k. c Es derivble en x =? Pr que f se continu en x =, h de ser fx = f. x 8 x 8 f = 3x = fx x 8 = + k 8 k = x + k = + k x b fx = 3x si x Ì x + si x > Pr vlores x Ì, l gráfic es un rect; pr x >, l gráfic es un trozo de prábol. c f'x = 3 si x < x si x > f' = 3 f' + = No es derivble en x = porque f'? f' +.

2 Estudi ls síntots y los intervlos de crecimiento y de decrecimiento de l función fx = x x y represéntl gráficmente. Asíntots verticles: x = 8 Posición: x = 0 x = 8 Posición: x 8 x 8 + x 8 x 8 + x x x x x x x x = = Asíntot horizontl: x 8 x x = 0 8 y = 0 es síntot horizontl. Posición Si x 8 fx < 0 Si x fx > 0 Intervlos de crecimiento y de decrecimiento: x + y' = 8 y' > 0 pr culquier vlor de x. x L función es creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. 3 L función y = fx tiene ls siguientes propieddes: Su dominio es Á {, }. Es continu en todo su dominio y cort el eje O en x =. Tiene un síntot horizontl en y = 0 con fx < 0 si x > y fx > 0 si x <, x?, x?. Tiene un síntot verticl en x = con fx = fx = x 8 + x 8

3 BLOQUE II Tiene un síntot verticl en x = con fx = fx = Tiene un mínimo en, y otro en 0, 3. Represent gráficmente l función. x 8 + x 8 Hll l ecución de l tngente l curv fx = x 3x en el punto de bscis x =. Punto de tngenci: x = ; f = 3 = Pendiente de l rect tngente: f'x = x + x 3 3x 3x x 3x 3x f'x = x x = 3x 3x 9 m = f' = = Ecución de l rect tngente: 9 y = x + Clcul, b y c de modo que l función fx = x 3 x + bx + c pse por el punto 0,, teng un máximo reltivo en x = y un mínimo reltivo en x = 3. fx = x 3 x + bx + c 8 f'x = 3x x + b Ps por 0, 8 f0 = 8 c = Máximo en x = 8 f' = b = 0 Mínimo en x = 3 8 f'3 = b = 0 fx = x 3 x 3x b = 7 + b = 6 = /3 b = 3 3

4 6 Hll el dominio de definición, los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de l función: y = x + x Dominio: x Ó 0 8 x Ì 8 Dom ] Pr hllr los máximos y los mínimos, clculmos l derivd y l igulmos cero: x f'x = = x x x f'x = 0 ï = 0 ï x = 0 ï x 3 ï x = ï x = ï x = 3 3 x = ; f = 3 Comprobmos con l segund derivd si el punto, es máximo o mínimo: f''x = x 3/ = x f'' = < 0 8 Hy un máximo en,. / 3 Pr hllr los puntos de inflexión, igulmos cero l segund derivd: f''x = = 0 8 No tiene solución. x 3 No tiene puntos de inflexión. 7 L rect de pendiente 3 que ps por el punto 0, es tngente l curv y = x 3. Clcul ls coordends del punto de tngenci. Hllmos los puntos en los que l derivd es igul 3: f'x = 3x 8 3x = 3 8 x x = 8 f = = x = 8 f = Vemos cuál de los dos está en l rect dd: Ecución de l rect y = + 3x Punto de tngenci:,., 8 y = + 3 =, 8 y = 3?

5 BLOQUE II 8 De todos los rectángulos de perímetro 0 m, hll ls dimensiones del que tiene l digonl mínim. d b +b = b = 8 b = d = + b = + = 0 + Pr hllr el mínimo de d, igulmos cero su derivd: 0 d' = = = 0 8 = 0 8 = ; b = Estudimos el signo de d': d' < 0 d' > 0 Si =, l digonl es mínim. El rectángulo que tiene l digonl mínim es el cudrdo de ldo = m. 9 Durnte los 60 minutos de durción de cierto progrm de rdio, su índice de udienci viene ddo por l función It = t + bt + c, 0 Ì t Ì 60. Sbiendo que cundo se inici el progrm el índice de udienci es 0 y que los 0 minutos se lcnz el máximo índice de udienci de 36: Determin, b y c. Justific l respuest. b Represent l función obtenid. It = t + bt + c, 0 Ì t Ì 60 8 I't = t + b Como I0 = 0 8 c = 0 I0 = b 0 + c = 36 I'0 = b = b = b = 0 =, b =, c = 0 00 t It = + t +0 00

6 b ÍNDICE DE AUDIENCIA TIEMPO min x si x Ì 0 0 Se l función fx = x si 0 < x Ì bx si x > Hll y b pr que l función se continu en el conjunto Á. b Represent l función pr los vlores = 0 y b = 3. c Pr = 0 y b = 3, hll el áre de l región pln limitd por l gráfic de f, el eje de bsciss y ls rects x = y x = 3. f es continu en los 0, 0, y, por estr definid medinte funciones polinómics. Estudimos l continuidd en x = 0 y en x =. x = 0: x = x 8 0 x 8 0 fx f0 = x = x Si = 8 =, f es continu en x = 0. x = : x 8 f = fx x = x 8 bx = b x 8 + Si = y b = 3, f es continu en Á. b = 8 b = 3 Si b = 3, f es continu en x =. x si x Ì 0 b f x = x si 0 < x Ì 3x si x > 6

7 BLOQUE II c A = x dx + 3 dx = 3x [ ] x = x 3x + x 3 = [ ] 3 = + = 3 u Represent el recinto limitdo por ls gráfics de ls funciones y = x 3 3x e y = x. Después, clcul su áre. y = x,, y = x 3 3x El recinto es simétrico. L gráfic de y = x 3 3x cort los ejes en los puntos: 0, 0, 3, 0 y 3, 0 Tiene un máximo en, y un mínimo en,. Puntos de corte: y = x 3 3x y = x x 3 3x = x 8 x 3 x = x = 0, x =, x = Áre = 0 x 3 3x x dx + [x x 3 3x] dx = x 0 0x 3 dx = [ =x x ] 0 = 8 u x Clcul el áre limitd por l función y =, el eje O y ls rects x 3 x = y x =. x Representmos l función y = : x 3 Asíntot verticl: x = 3 Asíntot oblicu: y = x + Si x < 3, y Si x > 3, y 8 Si x 8 fx > x + Si x fx < x + x x 3 x x 6x + y' = = = 0 x 3 x 3 x =, f = 8 x =, f = 0 7

8 Signo de y': y ' > 0 y ' < 0 y ' < 0 y ' > 0 3 Máximo:, 0 Mínimo:, 8 Áre = [ x x x 3 dx = x + + dx = x 3 ] = + x + ln x 3 3 = + ln ln,7 u x = x = y = x x y = x 3 3 Escribe l expresión nlític de un función fx de l que conocemos: f''x = 3; f' = 0 y f =. f''x = 3 8 f'x = 3 dx = 3x + k; f' = k = 0 8 k = 3 f'x = 3x 3 8 fx = 3x 3 dx = 3x 3x + k' 3 3 f = k' = 8 k' = 8 = 3 3x fx = 3x + 3 8

9 BLOQUE II Dd l función fx = x + donde es un constnte: Encuentr un primitiv de f. b Si F es un primitiv de f, puede serlo tmbién Gx = Fx + x? c Hll sbiendo que fx =,. Fx = x + dx = x + x = x x 3 x b Gx = + x 8 G'x = x + + x x 3 G no es un primitiv de f porque G'x? fx. c fx = x x [ x ] x =, 8 + = 8 = 0 8 9

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