PROPUESTA A., se pide: a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(x). (1,25 puntos)

Transcripción

1 PROPUEST. Dada la función f ( ), se pide: a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(). (, puntos) b) Coordenadas de los máimos y mínimos relativos de f(). (, puntos). Calcula las siguientes integrales: a) (cos( ) sen cos ) d. (, puntos) b) d. ( puntos). Dadas las matrices y, se pide: a) Resuelve el sistema matricial X. (, puntos) X b) Encuentra una fórmula general para n, donde nn. (Indicación: Calcula las primeras potencias de la matriz ) (, puntos).. Consideremos el plano z = y la recta at r y t z t, t R. a) Determina el parámetro a R para que la recta r y el plano sean paralelos. (, puntos) b) Para el valor de a determinado, obtén las ecuaciones paramétricas de una recta r paralela al plano π y que corte perpendicularmente a r en el punto P(,, ). (, puntos)

2 PROPUEST. En cierto eperimento la cantidad de agua en estado líquido C(t), medida en litros, está determinada en función del tiempo t, medido en horas, por la epresión: C ( t) t, t [, ] t t Halla cuál es la cantidad mínima de agua en estado líquido y en qué instante de tiempo se obtiene, en el intervalo comprendido entre t = y t = horas. (, puntos). a) Representa gráficamente la región del primer cuadrante limitada por las funciones f ( ), g( ) y la recta =. (, puntos) b) Calcula el área de dicha región. ( puntos). a) Clasifica, en función del parámetro λ R, el sistema de ecuaciones: y z y z y z b) Resuélvelo, si es posible, para λ =. ( punto) (, puntos). Dados los puntos de coordenadas (,, ), (,, ), C(,, ) y D(k,, ) donde k R: a) Determina el área del triángulo de vértices, y C. ( punto) b) Para qué valores del parámetro k el tetraedro cuyos vértices son,, C y D tiene volumen de u? (, puntos)

3 SOLUCIONES L PROPUEST. Dada la función f ( ), se pide: a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(). (, puntos) b) Coordenadas de los máimos y mínimos relativos de f(). (, puntos) Solución. a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(). (, puntos) Las asíntotas verticales se obtienen de anular el denominador en la epresión simplificada de la función. En nuestro caso, la epresión de la función no se puede simplificar más. Por lo tanto, anulando su denominador: = = Por lo tanto, = es la única asíntota vertical de la función f(). Por otra parte, la función f() va a tener una asíntota oblicua porque el grado del numerador supera en uno al grado del denominador. Esta asíntota viene descrita por y = m + n donde, m lim f ( ) n lim [ f ( ) m ] Calculamos el parámetro m: m f ( ) lim lim lim ( Ind) Puesto que los grados de numerador y denominador son iguales, tendremos que la indeterminación anterior se resuelve mediante el cociente de los coeficientes de grado máimo, m Por otra parte, para el parámetro n tendremos que, lim n lim [ f ( ) m ] lim lim lim

4 Nuevamente, los grados de numerador y denominador son iguales por lo que tendremos que la indeterminación anterior se resuelve mediante el cociente de los coeficientes de grado máimo, m lim Por lo tanto, la única asíntota oblicua de la función f() es y b) Coordenadas de los máimos y mínimos relativos de f(). (, puntos) Calculamos los etremos relativos a partir de la primera derivada f (). (8 ) ( f ( ) nulamos la derivada: ) Por lo tanto, los posibles etremos relativos tienen por abcisa = y =. Para saber si son mínimos o Máimos, calculamos la segunda derivada y sustituimos cada valor. Se esta sustitución fuera positiva, tendremos un mínimo mientras que, si fuera negativa, tendremos un Máimo. f ( ) ( ) Sustituyendo, f ( ). Luego en = la función f() tiene un Máimo relativo. Por lo ( ) tanto, en el punto de coordenadas (, f( )) = (, /), la función f() tiene un Máimo relativo. f ( ). Luego en = la función f() tiene un mínimo relativo. Por lo tanto, en el punto de coordenadas (, f()) = (, /), la función f() tiene un mínimo relativo.

5 . Calcula las siguientes integrales: a) (cos( ) sen cos ) d. (, puntos) b) d. ( puntos) Solución a) (cos( ) sen cos ) d. (, puntos) plicando la propiedad de la integral de la suma encontramos una integral trigonométrica inmediata y una integral potencial inmediata, según, (cos( ) sen cos ) d cos( ) d sen cos d sen sen( ) K b) d. ( puntos) Dividimos el numerador entre el denominador, mediante la regla de Ruffini, Por lo tanto, tendremos que el cociente es + y el resto 9. De ese modo, podemos epresar la fracción integrando según, 9 Integrando dicha epresión encontramos la integral de un polinomio y la integral logarítmica, según, que, resolviendo, d ( ) d 9 d d 9 Ln K 9 Ln K

6 6. Dadas las matrices y, se pide: a) Resuelve el sistema matricial X X. (, puntos) b) Encuentra una fórmula general para n, donde nn. (Indicación: Calcula las primeras potencias de la matriz ) (, puntos). Solución. a) Resuelve el sistema matricial X X. (, puntos) Resolvemos el sistema, por el método de reducción, y despejamos la matriz, X X X X ) ( Por otra parte, puesto que X + = entonces X =. plicando la epresión de anterior, X = = ( ) = Procedemos a calcular las matrices X e 6 X b) Encuentra una fórmula general para n, donde nn. (Indicación: Calcula las primeras potencias de la matriz ) (, puntos). plicando el método de inducción tendremos que: I En tal caso, sabemos que = = I =. Llegamos a la conclusión de que si el eponente es par, la potencia de es la matriz identidad de orden dos, mientras que si el eponente de la potencia es impar, la potencia resulta ser la propia matriz. N n I y n n,

7 . Consideremos el plano z = y la recta at r y t z t, t R. a) Determina el parámetro a R para que la recta r y el plano sean paralelos. (, puntos) b) Para el valor de a determinado, obtén las ecuaciones paramétricas de una recta r paralela al plano π y que corte perpendicularmente a r en el punto P(,, ). (, puntos) Solución a) Determina el parámetro a R para que la recta r y el plano sean paralelos. (, puntos) Para que la recta r y el plano sean paralelos, el vector normal al vector director v de la recta r. r n al plano debe ser ortogonal Un vector normal al plano tiene por coordenadas libres n (,, ) mientras que un vector director de la recta r tiene por coordenadas libres v r ( a,, ). Multiplicando escalarmente ambos vectores e igualando a cero tendremos que, v r n 7 ( a,, ) (,, ) a a Por lo tanto, si a = entonces el plano y la recta r son paralelos. b) Para el valor de a determinado, obtén las ecuaciones paramétricas de una recta r paralela al plano π y que corte perpendicularmente a r en el punto P(,, ). (, puntos) La recta pedida tiene que estar contenida en el plano π paralelo al plano π y que pasa por P(,, ). Ese plano π tendrá por ecuaciones z = b pero como el punto P pertenece, podemos calcular el parámetro b, sin más que sustituir P en la ecuación del plano al que pertenece, = b b = Por lo tanto, el plano π paralelo a π donde está contenida la recta r es z = Debemos ahora seleccionar un punto Q(c, d, e) de tal plano, con c, d, e R, y que pertenezca a la recta r. En principio ese punto debe cumplir que c e = por lo que Q tendrá por coordenadas (c, d, c ) con c, d R

8 Por otra parte, dijeron que la recta r y r son perpendiculares. En ese caso, los vectores PQ deben ser ortogonales y, por lo tanto, su producto escalar deberá ser nulo. v y r Las coordenadas libres del vector escalarmente con v tendremos, r PQ son PQ ( c, d, c ). Multiplicando v r PQ (,, ) ( c, d, c ) c d c c d Por lo tanto, la condición para que las rectas r y r sean perpendiculares con un punto de r de la forma Q (c, d, c ) es que c d =, es decir, que Q (c, c, c ). Si tomamos por ejemplo c = tendremos que el punto Q(,, ) pertenece a la recta r y ésta cumple todas las condiciones del problema. Por tanto, dados los puntos P(,, ) y Q(,, ) de la recta r un vector director de la misma será v r PQ (,, ) unas ecuaciones paramétricas de la recta r serán: t r y t z t 8

9 SOLUCIONES L PROPUEST. En cierto eperimento la cantidad de agua en estado líquido C(t), medida en litros, está determinada en función del tiempo t, medido en horas, por la epresión: C ( t) t, t [, ] t t Halla cuál es la cantidad mínima de agua en estado líquido y en qué instante de tiempo se obtiene, en el intervalo comprendido entre t = y t = horas. (, puntos) Solución. Calculamos los mínimos de la función a partir de la primera derivada igualada a cero: Igualamos a cero y resolvemos: 7 C ( t) t t C ( t) 7 t t 7 t t 7 t t t b b a ac t t Por lo tanto, el candidato natural es t = t 9 No solución Si hacemos la segunda derivada tendremos que: C ( t) 88 t t sustituyendo en t =, 88 C ( ) 9

10 Por lo que t = es un mínimo relativo de C(t). Por otra parte, como la función es decreciente entre t = y t = y luego crece entre t = y t =, este mínimo es absoluto. Por lo tanto, concluimos que la cantidad mínima de agua se alcanza en t = horas y es un total de, C( ) litros. a) Representa gráficamente la región del primer cuadrante limitada por las funciones f ( ), g( ) y la recta =. (, puntos) Solución. La recta = es una recta vertical que corta al eje de abcisas en (, ). Las función f ( ), es hiperbólica con asíntota vertical en = y una horizontal en y =. Por otra parte, la función g( ) también tiene una asíntota vertical en = y una horizontal en y =. Una tabla de valores que nos puede ayudar para su representación es: f ( ) 67 g( ) la representación será de ambas funciones en el plano euclideo será:

11 b) Calcula el área de dicha región. ( puntos) Calculamos el punto de corte entre las funciones f() y g() igualando ambas, ) ( ) ( g f ) ( Puesto que = no pertenece al dominio de las funciones, el valor de abcisa donde se cortan es =. Por lo tanto, el intervalo de integración es (,). Por otra parte, vemos en la representación que f() está por encima de g() en la región. Esto también se puede ver calculando un valor entre y en ambas funciones ya que, por ejemplo para = /, tendremos, 6 ) ( g f Por lo tanto, el área pedido vendrá dado por la integral siguiente: )) ( ) ( ( Ln Ln d d d g f 9 () () ) ( u Ln Ln Ln. a) Clasifica, en función del parámetro λ R, el sistema de ecuaciones: z y z y z y (, puntos) b) Resuélvelo, si es posible, para λ =. ( punto) Solución. a) Clasifica, en función del parámetro λ R, el sistema de ecuaciones z y z y z y. Sea la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

12 El determinante de la matriz de coeficientes es: 6 Igualamos a cero el determinante y calculamos los valores de k que verifican esta situación: 6 6 Luego obtenemos que el determinante de la matriz de coeficientes es cero si λ =. En esas condiciones podemos afirmar y que: Si λ, entonces Rg() = y Rg( ) = por lo que el sistema es Compatible Determinado. Si λ = entonces Rg() <, y procedemos a encontrar un menor en tal que su determinante sea distinto de cero. Como tendremos que Rg() = y Rg( ). demás, la matriz ampliada es tal que la tercera fila es combinación lineal de la primera y la segunda por cuanto, la tercera fila es suma de la primera y la segunda. En tal caso, concluimos que Rg( ) = 6 6 Por lo tanto, Rg() = Rg( ) = y cconcluimos que para λ =, el sistema es Compatible Indeterminado. b) Resuélvelo, si es posible, para λ =. ( punto) Hemos visto que si es posible puesto que es un Sistema Compatible Indeterminado. demás, como Rg() = Rg( ) =, la solución depende de un parámetro. En tal caso, aplicando el teorema de Rouche-Frebenius tendremos que el sistema se puede transformar según,

13 y z y z y z y t y t z t con t R. De donde, aplicando el teorema de Cramer podemos calcular las epresiones para las incógnitas e y, t t t t 6 t 8 t 8 con z = t R y t t t 6 t 6 t 8 t 8 Luego la solución es t, 8 t y, z = t con t R. 8. Dados los puntos de coordenadas (,, ), (,, ), C(,, ) y D(k,, ) donde k R: a) Determina el área del triángulo de vértices, y C. ( punto) b) Para qué valores del parámetro k el tetraedro cuyos vértices son,, C y D tiene volumen de u? (, puntos) Solución. a) Determina el área del triángulo de vértices, y C. ( punto) Calculamos el área mediante la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores C, según y Área( C) C Las coordenadas de los vectores y C son: (,, ) y C (,, )

14 y el área pedida será: C i j k (,, ) ( ) ( ) u Concluimos que el área del triángulo de vértices, y C es de u. b) Para qué valores del parámetro k el tetraedro cuyos vértices son,, C y D tiene volumen de u? (, puntos) Calculamos el volumen del tetraedro mediante el valor absoluto del producto mito de los vectores, C y D. Las coordenadas del vector D son D ( k,, ) vértices,, C, D vendrá dado por: y por tanto, el volumen del tetraedro de Volumen (,, C, D) k k k k Si el volumen del tetraedro es de u, entonces, k k k k 6 k k k Por tanto, los valores para los que el volumen del tetraedro es u son k = y k =.