Taller de Cálculo Avanzado - Segundo Cuatrimestre de Práctica 3
|
|
- Julio Parra Cano
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Taller de Cálculo Avanzado - Segundo Cuatrimestre de 2008 Práctica 3 Topología. Decir qué propiedades (abierto, cerrado, acotado) tienen los siguientes conjuntos. (a) Q. (b) N. (c) {x R : x > 0}. (d) (0, ]. (e) { n 2 : n N }. (f) { n : n N}. 2. Sean S, T subconjuntos de R. Demostrar las propiedades siguientes: (a) S = {p R n / ε > 0 tal que B(p, ε) S}. (b) Si S T entonces S T. (c) (S T ) = S T. Se puede generalizar esta igualdad a una intersección infinita? (d) (S T ) S T. Vale la igualdad? (e) S T = S T. Se puede generalizar esta igualdad a una unión infinita? (f) S T S T. Vale la igualdad? (g) (R S) = R S. 3. En cada uno de los siguientes casos hallar S, S y S. (a) S = [0, ]. (b) S = Q [0, ]. (c) S = [, 0) {}. (d) S = { n, n N}. { (e) ( ) n n +n }. : n N 4. Sea S R. (a) Demostrar que S es abierto si y sólo si es disjunto con S. (b) Demostrar que S es cerrado si y sólo si S S. 5. Sea S R, demostrar que p S si y sólo si todo entorno de p contiene un punto en S y un punto que no está en S.
2 6. Si S R notamos con S al conjunto de todos los puntos de acumulación de S. (a) Hallar S para cada uno de los conjuntos del ejercicio 3. (b) Un punto p S se dice punto aislado de S si existe ε > 0 tal que (p ε, p + ε) S = {p}. Demostrar que S = S {puntos aislados de S}. 7. Hallar los puntos de acumulación del conjunto S = {( n + m) : n, m N }. Hallar la adherencia S. 8. Hallar todos los subconjuntos no vacíos de R que son a la vez abiertos y cerrados. 9. Probar que todo conjunto abierto A de R es la unión de una colección, a lo sumo numerable, de intervalos abiertos, posiblemente no acotados, disjuntos. Sugerencia. Sea {x n } una enumeración de los racionales que pertenecen a A. Para cada x n considerar el conjunto U n = I donde la unión se toma sobre todos los intervalos abiertos I que están contenidos en A. Probar que U n es un intervalo abierto no vacío. Finalmente convencerse de que puede extraerse una subcolección {U nk } de intervalos de {U n }, disjuntos dos a dos, cuya unión es A. Funciones Continuas 0. Sea f : R R, A, B R y X, Y R. Decidir en cada caso si corresponde, ó = y probarlo. (i) f(a B) f(a) f(b) (ii) f (X Y ) f (X) f (Y ) (iii) f(a B) f(a) f(b) (iv) f (X Y ) f (X) f (Y ) (v) f(ca) C(f(A)) (vi) f (CX) C(f )(X). Sea f : R R una función continua tal que f(x) = f(y) para todo x, y Q. Demostrar que f es una función constante. Deducir que dos funciones continuas que coinciden sobre Q son la misma función. 2. Hallar todos los puntos donde la función f es continua, siendo (a) f : [0, ] [0, ] la función: f(x) = { x, si x Q x si x / Q. (b) f : R R la función: f(x) = b si x = a b con a, b Z coprimos y b > 0 0 si x / Q. 3. Sea f : [a, b] [a, b] continua. Demostrar que existe c [a, b] tal que f(c) = c. Sugerencia. Considerar la función x f(x). 2
3 4. Sea f : R R. Probar que son equivalentes: (a) f es continua (en todo R). (b) f (O) es abierto para todo O R abierto. (c) f (F ) es cerrado para todo F R cerrado. 5. Sea K R n un conjunto compacto y sea f : K R una función continua tal que f(x) > 0 para todo x K. Probar que existe α > 0 tal que f(x) > α para todo x K. Continuidad Uniforme 6. Estudiar la continuidad uniforme de las funciones siguientes: (a) f : R R siendo f(x) = x. (b) f : R R siendo f(x) = x 2. (c) f : (r, + ) R siendo f(x) = x, con r = 0 y con r > 0. (d) f : (0, ) R siendo f(x) = sin( x ). (e) f : R R siendo f(x) = +x 2. (f) f : R R siendo f(x) = d(x, S), donde S R. 7. Sea S R un conjunto arbitrario y sean f, g : S R funciones uniformemente continuas. (a) Probar que f + g es uniformemente continua. (b) Mostrar con un ejemplo que f g no necesariamente es uniformemente continua, aún si alguna de las funciones f ó g es acotada. (c) Probar que si h : f(s) R es otra función uniformemente continua entonces h f : S R también lo es. 8. Sea f : R R una función que es uniformemente continua en los intervalos [a, b] y [b, c]. Probar que f es uniformemente continua en [a, c]. Es cierto que si f es una función uniformemente continua sobre un conjunto A R y también sobre un conjunto B R, entonces lo es en A B? 9. Sea f : R R, x 0 y α números reales. Se dice que f es localmente Lipschitz de orden α en el punto x 0 si existen ε, M R >0 tales que f(x) f(x 0 ) < M x x 0 α para todo x tal que 0 < x x 0 < ε. M se llama la constante de Lipschitz de f. Cuando el orden α = decimos, simplemente, que f es Lipschitz. (a) Demostrar que si f es localmente Lipschitz de orden α > 0 en x 0 entonces f es continua en x 0. (b) Mostrar que si f es localmente Lipschitz de orden α > en x 0, entonces es derivable en x 0 y f (x 0 ) = 0. 3
4 20. Sea f : [, ] R la función f(x) = 3 x. Demostrar que f no es Lipschitz pero sin embargo f es uniformemente continua (en particular unif. cont. Lipschitz ). 2. Sea S R y sea f : S R una función Lipschitz con constante igual a M <. Demostrar que si S es cerrado, y f(s) S entonces existe y S tal que f(y) = y, en otras palabras, f tiene un punto fijo. Sugerencia. Considerar la sucesión (x n ) n N en S construída recursivamente así: x S cualquiera, si x n está definido se toma x n+ := f(x n ), en otras palabras, x n+ := f (n) (x ). Demostrar que (x n ) n N es una sucesión de Cauchy; tomar y = lim n x n. Mostrar con un ejemplo que el resultado es falso si no se supone S cerrado. 22. Sea f : R R la función f(x) = x+ x Demostrar que f es Lipschitz con M = pero que f no tiene puntos fijos. Sugerencia. Considerar la función g : K R definida como g(x) = x f (x). 23. Considérese el conjunto Q (0, ). Dado que este conjunto es numerable e infinito se puede escribir: Q (0, ) = {x, x 2,..., x n,...}. Se define f : (0, ) R de la manera siguiente: f(x) = 2 n n Ω x donde Ω x = {n N : x n < x}. Demostrar que: (a) f está bien definida. (b) f es una función monótona creciente. (c) f es discontinua en todo punto del conjunto Q (0, ); más aún: para todo n N se tiene f(x n +) f(x n ) = 2 n > 0. (d) f es continua a izquierda en todo x (0, ); es decir, para todo x (0, ) vale que f(x ) = f(x). (e) f es continua en todo punto del conjunto (0, ) Q. Sucesiones de Funciones 24. En cada uno de los casos siguientes, hallar el límite puntual de la sucesión (f n ) n N en el conjunto S R: (a) f n (c) = x n, S = (, ]. (b) f n (x) = ex, S = (, + ). xn (c) f n (x) = n 2 x( x 2 ) n, S = [0, ]. 25. (a) Probar que la sucesión del ejercicio 24(a) converge uniformemente en T = (0, /2), pero en S = (, ] converge puntualmente a una función que no es continua. 4
5 (b) Probar que la sucesión del ejercicio 24(b) converge uniformemente en T = [2, 5]. 26. Analizar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones en los conjuntos indicados: (a) f n (x) = sin(nx) n, sobre todo R. (b) f n (x) = sin( x n ), sobre todo R. (c) f n (x) = n x, sobre todo R. n+ { (d) f n (x) = n si x / Q ó x = Probar que la sucesión de funciones b + n si x = a, sobre [0, ]. b, b > 0 y (a : b) = f n (x) = x + x 2 x(x2 + ) + (n + ) 2 x 2 converge puntualmente en R a una función continua, pero la convergencia no es uniforme. 28. Sea S R y sea {f n } n N una sucesión de funciones f n : S R que converge uniformemente a una función f : S R. Probar que si f n es acotada para cada n N entonces vale: (a) f es acotada. (b) Existe M R tal que f n (x) M para todo x S y todo n N (en otras palabras, {f n } n N es uniformemente acotada). 29. Sea (f n ) n N la sucesión de funciones f n : [0, ] R definida por f n (x) = n 2 x( x) n. (a) Probar que (f n ) n N converge puntualmente a la función cero en el intervalo [0, ]. (b) Verificar que existe lim n 0 f n(x) dx y que lim n 0 f n(x) dx 0 ( lim f n(x)) dx. n 30. Sea {f n } una sucesión de funciones derivables definidas sobre el intervalo [a, b]. Supongamos que {f n} converge uniformemente en [a, b]. Si existe x 0 [a, b] tal que {f n (x 0 )} converge, entonces {f n } converge uniformemente en [a, b]. 3. Probar que si n= g n converge uniformemente, entonces {g n } converge uniformemente a cero. 32. Considerar la función f(x) = x 2 +n 2. (a) Mostrar que f es continua en R. (b) Es f derivable? Si lo es, es h continua? 5
6 33. Considerar la serie f(x) = x x2 2 + x3 3 x Hallar el dominio de definición de f y estudiar su continuidad y diferenciabilidad. Sugerencia. Para analizar la continuidad en x =, puede ser útil tener primero una fórmula para f. 34. Hallar los desarrollos en serie de potencias para las siguientes funciones, y determinar los radios de convergencia. (a) +x. (b) (+x) 2. (c) x (+x 2 ) 2. 6
Práctica 5 -Completitud, Continuidad uniforme y Compacidad- A. Completitud
Cálculo Avanzado Primer Cuatrimestre de 2011 Práctica 5 -Completitud, Continuidad uniforme y Compacidad- Cuanto más sólido, bien definido y espléndido es el edificio erigido por el entendimiento, más imperioso
Más detallesPráctica 2: Cardinalidad. Propiedades básicas de los conjuntos
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2014 Práctica 2: Cardinalidad Propiedades básicas de los conjuntos Ejercicio 1. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: i) B i I A i = i I(B A i ). ii)
Más detallesUniversidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Continuidad
1 Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Continuidad Hasta hace muy poco se creía que una función continua siempre tenía una primera derivada cuyo
Más detallessup si A no es acotado.
Capítulo 5 Teoría de Baire 1. El teorema de Cantor En este capítulo estudiaremos más a fondo los espacios métricos completos. Lo primero que haremos es establecer la equivalencia entre completitud y la
Más detallesPráctica 3: Espacios Métricos. Métricas en R n
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2009 Práctica 3: Espacios Métricos Thought is only a flash between two long nights, but this flash is everything. Henri Poincare (1854-1912). I would never die
Más detalles1. La topología inducida.
PRACTICO 4. ESPACIOS METRICOS. 1. La topología inducida. Sea (M, d) un espacio métrico. La bola abierta de centro x y radio r es el conjunto B(x; r) = {y M : d(x, y) < r}. La bola cerrada de centro x y
Más detallessup si A no es acotado.
Capítulo 6 Espacios completos 1. El teorema de Cantor En este capítulo estudiaremos más a fondo los espacios métricos completos. Lo primero que haremos es establecer la equivalencia entre completitud y
Más detallesParte 2: Definición y ejemplos de topologías.
Parte 2: Definición y ejemplos de topologías. 22 de marzo de 2014 1. Definiciones y propiedades básicas. Definición 1 Sea X un conjunto. Una familia T de subconjuntos de X es una topología de X si se cumplen:
Más detallesProblemas de TOPOLOGÍA Hoja 2
Problemas de TOPOLOGÍA Hoja 2 1. Sea X un conjunto, (Y, T Y ) un espacio topológico y f : X Y una aplicación. Probar que T = {f 1 (G) : G T Y } es una topología sobre X. Esta topología se llama topología
Más detallesCompacidad. Ejercicio 2. Probar que todo espacio métrico compacto es separable. ) k N está denida por
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2005 Práctica 5: Compacidad, Baire, Conexión Compacidad Ejercicio 1. i) Sea (a n ) n N R tal que lim n a n = 0. Probar que el conjunto {0} {a n / n N} R es compacto.
Más detallesdiám A = x,y A d(x,y) si A es acotado si A no es acotado. {d(x,y) : x,y A}
Capítulo 6 Teoría de Baire 1. El teorema de Cantor En este capítulo estudiaremos más a fondo los espacios métricos completos. Lo primero que haremos es establecer la equivalencia entre completitud y la
Más detallesEl Teorema de Baire Rodrigo Vargas
El Teorema de Baire Rodrigo Vargas Teorema 1 (Baire). Sea M un espacio métrico completo. Toda intersección numerable de abiertos densos es un subconjunto denso de M. Definición 1. Sea M un espacio métrico.
Más detallesPráctica 2 -Cardinalidad- A. Propiedades básicas de los Conjuntos
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2012 Práctica 2 -Cardinalidad- A. Propiedades básicas de los Conjuntos Ejercicio 1. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: i) B i I A i = i I(B A i ).
Más detallesProblemas con soluciones
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María, MAT-223. Problemas con soluciones 1) Muestre que si A es una base de una toplogía en X, entonces la topología generada por A es iqual
Más detallesPráctica 4: Separabilidad - Continuidad. Continuidad. Ejercicio 1. Sean (X, d) e (Y, d ) espacios métricos y sea f : X Y.
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2015 Práctica 4: Separabilidad - Continuidad Calculus required continuity, and continuity was supposed to require the innitely little; but nobody could discover
Más detalles1. Espacios topológicos compactos.
PRACTICO 6. COMPACIDAD. 1. Espacios topológicos compactos. Definición 1 Un cubrimiento de un conjunto X es una familia de subconjuntos de X cuya unión da X. Un cubrimiento de un espacio es abierto si cada
Más detallesConjuntos Abiertos y Cerrados
Conjuntos Abiertos y Cerrados 1. (a) En la prueba de que la intersección de una colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, dónde se uso la hipótesis de que la colección es finita? 2.
Más detallesPráctica 3: Espácios Métricos. A. R n como Espácio Métrico
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2005 Práctica 3: Espácios Métricos Não se pode esperar aprender Matemática contemplativamente. Apelo, portanto, ao leitor para que tente resolver os exercícios
Más detallesPráctica 1: Números reales y sucesiones
Taller de Cálculo Avanzado - Primer cuatrimestre 2017 Práctica 1: Números reales y sucesiones 1. A partir de los axiomas de cuerpo demostrar las siguientes propiedades cualesquiera sean a, b, c y d en
Más detallesEjercicios de Análisis I
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Ejercicios de Análisis I Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Febrero 2005 Ramón
Más detallesContinuidad. 5.1 Continuidad en un punto
Capítulo 5 Continuidad 5.1 Continuidad en un punto Definición 5.1.1 (Aplicación continua en un punto). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, y sea f : X Y una aplicación entre ellos. Diremos
Más detalles1. Definiciones y propiedades básicas.
Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Introducción a la Topología Curso 2016 PRACTICO 2: TOPOLOGÍA. 1 1. Definiciones y propiedades básicas. Definición 1 Sea X un conjunto.
Más detallesEspacios compactos. 7.1 Espacios compactos
58 Capítulo 7 Espacios compactos 7.1 Espacios compactos Definición 7.1.1 (Recubrimiento). Sea X un conjunto y sea S X. Un recubrimiento de S es una familia A = {A i } i I de subconjuntos de X tales que
Más detallesEspacios completos. 8.1 Sucesiones de Cauchy
Capítulo 8 Espacios completos 8.1 Sucesiones de Cauchy Definición 8.1.1 (Sucesión de Cauchy). Diremos que una sucesión (x n ) n=1 en un espacio métrico (X, d) es de Cauchy si para todo ε > 0 existe un
Más detallesTOPOLOGÍA SOLUCIONES A LAS RELACIONES DE PROBLEMAS
TOPOLOGÍA SOLUCIONES A LAS RELACIONES DE PROBLEMAS Ejercicio 4.1.- Relación 4. Compacidad. Conexión Supongamos que A es compacto y sea A α Λ B α un recubrimiento de A por bolas abiertas. Entonces, como
Más detallesEspacios conexos. Capítulo Conexidad
Capítulo 5 Espacios conexos 1. Conexidad En este capítulo exploraremos el concepto de conexidad en un espacio métrico, y estudiaremos algunas de sus aplicaciones. Definición 5.1. Decimos que el espacio
Más detallesTOPOLOGÍA. Resumen Curso 2011/2012
TOPOLOGÍA Resumen Curso 2011/2012 Capítulo 1 Espacios métricos 1.1. Medir la proximidad Sea X un conjunto. Denotaremos por X X al conjunto de los pares de elementos de X. Definición 1.1.1. Una distancia
Más detallesEjercicios Propuestos
Capítulo 6 Ejercicios Propuestos 1. Determinar todas las topologías de un conjunto de tres elementos 2. Sea X un conjunto y p X T = {A P(X) : p A} {X} (X, T) es un espacio topológico? 3. Sea G un grupo
Más detallesEl Teorema de Fubini-Tonelli
Capítulo 26 El Teorema de Fubini-Tonelli Veremos en este capítulo que el cálculo de una integral múltiple se reduce al de integrales simples. Concretamente se va a probar que si f(x, y) es una función
Más detallesRESUMEN ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL Y TOPOLOGÍA CURSO
RESUMEN ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL Y TOPOLOGÍA CURSO 2008-09 En este resumen no se puede escribir o añadir nada, ni por delante, ni por detrás. En todo caso, sólo se permite subrayar lo que se
Más detallesCÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II
CÁLCULO II Grado M+I Sucesiones y series de funciones Sucesiones y series de funciones 1 / Sucesiones funciones. Convergencia puntual Sucesión de funciones Definición Una sucesión de funciones será cualquier
Más detallesMATEMÁTICAS ESPECIALES I PRÁCTICA 8 - CLASE 1 Sucesiones y series de funciones. x n, si 0 x 1 1, si x 1. 0, si 0 x < 1
PRÁCTICA 8 - CLASE Sucesiones y series de funciones.. Considere la sucesión de funciones reales ϕ n (x) = x n, si 0 x, si x, n. (a) Demostrar que converge puntualmente a ϕ(x) = 0, si 0 x
Más detallesNociones de Topología
Nociones de Topología I) Espacios Me tricos Sea X un conjunto no vacío Sea la función d: X X R (p, q) d(p, q) (E1) p, q, r X i) p q, d(p, q) > 0 p = q, d(p, q) = 0 ii) Conmutatividad d(p, q) = d(q, p)
Más detallesSucesiones y series de funciones
Sucesiones y series de funciones Renato Álvarez Nodarse Departamento de Análisis Matemático Facultad de Matemáticas. Universidad de Sevilla http://euler.us.es/ renato/ 8 de octubre de 2012 Sucesiones y
Más detallesProblemas. una sucesión de subconjuntos de. Demuestre que el lm sup A n es
16 Elementos Previos Problemas 1. Sea (A n ) 1 n=1 una sucesión de subconjuntos de. Demuestre que el lm sup A n es aquel subconjunto de formado por aquellos elementos que pertenecen a in nitos A n y el
Más detalles1 Continuidad uniforme
Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Introducción a la Topología Curso 2016 NOTAS 6: ESPACIOS MÉTRICOS II: COMPLETITUD 1 Continuidad uniforme Denición. Sean (M, d 1 ) y
Más detallesECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Tópicos previos
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Tópicos previos Para tomar el curso de ecuaciones en derivadas parciales es importante la familiaridad del alumno con los conceptos que se detallan a continuación. Sugerimos
Más detallesApuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica Superior
INGENIERÍAS TÉCNICAS INDUSTRIALES TEORIA DE CÁLCULO I Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica Superior Departamento
Más detallesCálculo diferencial e integral 4
Cálculo diferencial e integral 4 http://academicos.fciencias.unam.mx/nataliajonard/calculo-4 menos que indiquemos lo contrario, R siempre denotará un rectángulo de la forma con a i < b i. R = [a 1, b 1
Más detallesA. Propiedades básicas de los Conjuntos
Cálculo Avanzado Primer Cuatrimestre de 2005 Práctica 2 - Hay diferentes infinitos?- Llamaremos número cardinal de M al concepto general que, por medio de nuestra activa capacidad de pensar, surge del
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen
CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar
Más detallesNombre y Apellidos: x e 1 x 1 x f(x) = ln(x) x
Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Nombre y Apellidos: Cálculo I Convocatoria de Diciembre de Diciembre de 008 DNI: (6.5 p.) ) Se considera la función f : R R definida
Más detallesPráctica 2: Cardinalidad
Cálculo Avanzado Segundo Cuatrimestre de 2005 Práctica 2: Cardinalidad Llamaremos número cardinal de M al concepto general que, por medio de nuestra activa capacidad de pensar, surge del conjunto M cuando
Más detallesEl teorema de Lebesgue
Capítulo 3 El teorema de Lebesgue En este capítulo estudiaremos un teorema que nos dice exactamente qué funciones son integrables y cuán grande puede ser la frontera de un conjunto para que éste tenga
Más detallesSucesiones. Convergencia
Sucesiones. Convergencia Sucesión: Es una aplicación de IN en IR: f : IN IR n = f (n) En vez de f (n) se escribe a n, que se denomina término general de la sucesión. A la sucesión se le representa por:
Más detallesTeorema de Existencia y Unicidad Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Teorema de Existencia y Unicidad Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dr. Rafael Morones E. Dept. de Matemáticas ITAM August 5, 2002 1 Contenido 1 Preliminares. 3 1.1 Sucesiones...............................
Más detallesx (0) si f (x) = 2s 1, s > 1 d) f 3. Analizar la existencia de derivadas laterales y de derivada en a = 0, para las siguientes funciones:
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 7 1. Usando sólo la definición de derivada,
Más detallesResumen de Análisis Matemático IV
Resumen de Análisis Matemático IV 1. Funciones inversas e implícitas y extremos condicionados 1.1. Teorema de la función inversa Teorema de la función inversa: Sea A abierto de R n, f : A R n tal que f
Más detallesEspacios métricos completos
5 Espacios métricos completos Comenzamos introduciendo las sucesiones de Cauchy, que relacionamos con las sucesiones convergentes. En el caso de que coincidan, se trata de un espacio métrico completo.
Más detallesEl Teorema de la Convergencia Dominada
Capítulo 22 l Teorema de la Convergencia Dominada Los dos teoremas de convergencia básicos en la integración Lebesgue son el teorema de la convergencia monótona (Lema 19.10), que vimos el capítulo y el
Más detallesEl Teorema de Fubini-Tonelli
Capítulo 23 El Teorema de Fubini-Tonelli Veremos en este capítulo que el cálculo de una integral múltiple se reduce al de integrales simples. Concretamente se va a probar que si f(x, y) es una función
Más detallesMedidas. Problemas para examen. Estos problemas están redactados por Egor Maximenko y Breitner Arley Ocampo Gómez.
Medidas Problemas para examen Estos problemas están redactados por Egor Maximenko y Breitner Arley Ocampo Gómez. Sigma-álgebras 1. Propiedades elementales de σ-álgebras. Demuestre que una σ-álgebra es
Más detallesTeoremas de Convergencia
Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y
Más detallesCálculo Infinitesimal 1. Cuestiones de examen (2010/2011 a 2015/2016)
Cálculo Infinitesimal 1. Cuestiones de examen (2010/2011 a 2015/2016) 1. Justifíquese la verdad o falsedad de la siguiente afirmación: La suma de dos números irracionales iguales es irracional (enero 2011).
Más detallesGuía Semana 1 1. RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática
1. RESUMEN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 08-1 Guía Semana 1 Geometría. Dados x, y Ê N, su producto interno canónico (o producto punto) es x
Más detallesF-ESPACIOS. 1.- Introducción
F-ESPACIOS 1.- Introducción Recordemos que un subconjunto A de un espacio topológico X se llama diseminado o raro (nowhere dense en ingés) si A=. Un subconjunto que se pueda escribir como unión numerable
Más detallesEjercicios de Análisis Funcional
Ejercicios de Análisis Funcional Rafael Payá Albert Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada ANÁLISIS FUNCIONAL Relación de Ejercicios N o 1 1. Dar un ejemplo de una distancia en un espacio
Más detallesIntegración de Funciones Reales
Capítulo 20 Integración de Funciones Reales Nos proponemos estudiar en este capítulo las propiedades fundamentales del operador integral. n particular, extenderemos aquí al caso de funciones medibles con
Más detallesComisión de Pedagogía - Diego Chamorro Análisis Funcional (Nivel 2).
AMARUN www.amarun.org Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Análisis Funcional (Nivel 2). Lección n 3: Lema de Baire y Teorema clásicos del Análisis Funcional EPN, verano 2012 Definición 1 (Espacio de
Más detallesSubconjuntos notables de un Espacio Topológico
34 Capítulo 4 Subconjuntos notables de un Espacio Topológico 4.1 Adherencia Definición 4.1.1 (Punto adherente). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S un subconjunto de X. Diremos que x X es un punto
Más detallesEspacios compactos. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias específicas:
4 Espacios compactos En este capítulo introducimos los conceptos de espacio y subespacio compacto. Se estudian propiedades de los conjuntos compactos, así como relación entre la compacidad y las funciones
Más detallesTopología Segundo cuatrimestre Práctica 1 Espacios topológicos
Topología Segundo cuatrimestre - 2015 Práctica 1 Espacios topológicos Ejemplos 1. Sea (X, τ) un espacio topológico y sea Y X. Muestre que τ Y = U Y : U τ} es una topología sobre Y. Llamamos a τ Y subespacio.
Más detallesPrincipio de acotación uniforme
Capítulo 4 Principio de acotación uniforme 4.1. Introducción. Teorema de Baire En este último capítulo vamos a establecer una serie de resultados sobre aplicaciones lineales y continuas entre espacios
Más detallesNociones topológicas elementales de R n
Nociones topológicas elementales de R n 1 Espacio vectorial R n Consideremos el conunto R n de las n-uplas de números reales, donde n es un número natural arbitrario fio. Los elementos de R n, que llamamos
Más detallesECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 8. Conjuntos invariantes
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 8. CONJUNTOS INVARIANTES Y CONJUNTOS LÍMITE. ESTABILIDAD POR EL MÉTODO DE LIAPUNOV. Conjuntos invariantes 1. Definición. Se dice que un conjunto D Ω es positivamente
Más detallesExamen de Cálculo infinitesimal PROBLEMAS. 1 + a + a a n a n+1
Examen de Cálculo infinitesimal. 4-2-203. PROBLEMAS. Calcular el límite de la sucesión definida por donde a >. + a + a 2 + + a n a n+ Solución. Sea x n = + a + a 2 + + a n, y n = a n+. Es claro que y n
Más detallesEspacios de funciones
Espacios de funciones Eugenio Borghini Universidad de Buenos Aires, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Eugenio Borghini Espacios de funciones 1 / 14 Durante la materia nos cruzamos con varios ejemplos
Más detallesTemas preliminares de Análisis Real
Temas preliminares de Análisis Real Problemas para examen Usamos la notación A B en el siguiente sentido: A es un subconjunto de B, puede ser que A = B. Propiedades de las operaciones con conjuntos 1.
Más detallesCálculo diferencial e integral I. Eleonora Catsigeras
Cálculo diferencial e integral I Eleonora Catsigeras Universidad de la República Montevideo, Uruguay 01 de setiembre de 2011. CLASE 14 complementaria. Sobre sucesiones y conjuntos en la recta real. Sucesiones
Más detallesSeries de potencias. a k (x). k=1
1. Introducción Series de potencias La idea de series se puede ampliar al permitir que sus términos sean función de alguna variable (una o varias), esto es a n = a n (x). Esta extensión del concepto se
Más detallesMaestría en Matemáticas
Reactivos Propuestos para Examen de Admisión (ASN) Ingreso en Agosto de 203. Sea R el conjunto de los números reales y S el conjunto de todas las funciones valuadas en los reales con dominio en R. Muestre
Más detallesf : R R Definición 2. Se llama dominio de una función f (lo denotaremos por Dom f) al conjunto de valores para los que está bien definida f(x) :
Resumen Tema 2: Funciones Concepto de función. Gráficas Definición. Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R que a cada número le hace corresponder otro valor f(). f() Definición
Más detallesPráctico Preparación del Examen
Cálculo Diferencial e Integral (Áreas Tecnológicas) Segundo Semestre 4 Universidad de la República Práctico Preparación del Examen Límites, funciones y continuidad Ejercicio Sea log(+x ) f(x) =, si x
Más detallesModos de convergencia
Modos de convergencia Favio Pirán, Christian Caticha Resumen En este documento intentaremos generar intuiciones acerca de distintos tipos de convergencia de sucesiones de funciones reales medibles, mediante
Más detallesFunciones de Variable Real
Tema 1 Funciones de Variable Real 1.1. La Recta Real Los números reales se pueden ordenar como los puntos de una recta. Los enteros positivos {1, 2, 3, 4,...} que surgen al contar, se llaman números naturales
Más detalles2 o BACHILLERATO ciencias
. ANÁLISIS 2 o BACHILLERATO ciencias Francisco Navarro Martínez . Tema 1 o - Funciones Continuas 1. Continuidad de una Función 2. Definición de una Función Continua en un punto 3. Tipos de Discontinuidades
Más detallesEjercicios de Análisis Funcional. Curso
Ejercicios de Análisis Funcional Curso 2010-2011 1 1 Preliminares de espacios normados Problema 1.1. Demostrar que para 1 < p < la norma. p en R 2 verifica la siguiente propiedad: Si x, y R 2 con x y y
Más detalles11.1. Funciones uniformemente continuas
Lección 11 Continuidad uniforme Completando el análisis de los principales teoremas que conocemos sobre continuidad de funciones reales de variable real, estudiamos ahora la versión general para espacios
Más detallesParte 4: Teoremas de convergencia.
Parte 4: Teoremas de convergencia. Como siempre, si no se dice lo contrario, se supone que (, M, µ) es un espacio de medida y trabajamos con funciones de dominio y recorrido contenido en C o R o R. Empezamos
Más detallesPráctica 8. f n (x) = sea la mejor aproximación (en media cuadrática) de la función f(x) = 1 en (0, 2). (x 2 a b cos x c sen x) 2 dx.
MATEMATICA 4 er Cuatrimestre de 25 Práctica 8. a) Verificar que f n (x) = { n si x n si x > n converge uniformemente a cero en R pero que (f n ) no converge a cero en media cuadrática. b) Verificar que
Más detallesTema 1 EL TEOREMA DE PEANO. 1 Compacidad en C(I; R N ): el Teorema de Ascoli-
Tema 1 EL TEOREMA DE PEANO En este tema vamos a probar que bajo la hipótesis de ser f continua en un entorno del punto (, y 0 ), se puede garantizar la existencia, aunque no necesariamente la unicidad,
Más detallesCapítulo La integral de Riemann
Capítulo 5 Integración 1. La integral de iemann Empecemos por recordar la integral de iemann de una función acotada f : [a, b]. Una partición P de [a, b] es un subconjunto finito P [a, b] tal que a, b
Más detallesx i x io V no V n+1 ; y no x = x io x V n+1. Por tanto x i x V n+1 + V n+1 V n,
COMPLETITUD La noción de completitud que vamos a definir, es una generalización de la conocida en espacios métricos. Como en este caso, el hecho de saber que un cierto conjunto de un e.v.t. es completo
Más detallesIntegral de Lebesgue
Integral de Lebesgue Problemas para examen n todos los problemas se supone que (, F, µ) es un espacio de medida. Integración de funciones simples positivas. La representación canónica de una función simple
Más detallesCÁLCULO NUMÉRICO I (Tema 2 - Relación 1)
CÁLCULO NUMÉRICO I (Tema - Relación 1) 1 Cuáles de los siguientes algoritmos son finitos? a) Cálculo del producto de dos números enteros. b) Cálculo de la división de dos números enteros. c) Cálculo de
Más detallesApuntes sobre la integral de Lebesgue
Apuntes sobre la integral de Lebesgue Miguel Lacruz Martín Universidad de Sevilla 1. Medida de Lebesgue 1.1. Introducción La longitud l(i) de un intervalo I R se define habitualmente como la distancia
Más detallesContinuidad y Continuidad Uniforme. Aplicaciones lineales continuas.
Continuidad y Continuidad Uniforme. Aplicaciones lineales continuas. Beatriz Porras 1 Límites Las definiciones de ĺımite de funciones de varias variables son similares a las de los ĺımites de funciones
Más detallesEspacios compactos. Capítulo Cubiertas. En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico.
Capítulo 3 Espacios compactos 1. Cubiertas En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico. Definición 3.1. Sea (X, d) un espacio métrico y A X. Una cubierta de A es una familia
Más detallesAnálisis Matemático I
Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas Departamento de Matemática Análisis Matemático I Evaluación Final - Agosto de 26. Nombre: Dirección correo electrónico: Ejercicio. Sea f una
Más detallesINTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES. Problemas
Problemas Curso 2013-2014 Problemas 1. Sea E un espacio normado. Si a, b son elementos de E, probar: (a) 1 2 (a + b) 2 1 2 a 2 + 1 2 b 2. (b) a max{ a + b, a b }. 2. Demostrar que en un espacio normado,
Más detallesAnálisis Real: Primer Curso. Ricardo A. Sáenz
Análisis Real: Primer Curso Ricardo A. Sáenz Índice general Introducción v Capítulo 1. Espacios Métricos 1 1. Métricas 1 2. Métricas en espacios vectoriales 4 3. Topología 9 Ejercicios 16 Capítulo 2.
Más detallesReconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topología métrica.
3 Funciones continuas De entre todas las aplicaciones que pueden definirse entre dos espacios métrico, las aplicaciones continuas ocupan un papel preponderante. Su estudio es fundamental no sólo en topología,
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.7: Aproximación de funciones. Desarrollo de Taylor. Aproximación lineal. La aproximación lineal de una función y = f(x) en un punto x = a es la
Más detallesTopologías. Segundo cuatrimestre Práctica 1. Determine condiciones necesarias y suficientes sobre κ para que τ κ sea una topología sobre
Topología Segundo cuatrimestre - 2012 Práctica 1 Topologías Ejemplos de topologías 1. Sea X un conjunto. (a) Sea τ = {U P(X) : X \ U es finito} { }. Probar que τ es una topología sobre X, a la que llamamos
Más detalles2 Obtener el término general de las siguientes sucesiones definidas por recurrencia: y0 = a > 0
CÁLCULO NUMÉRICO I (Ejercicios Temas 1 y ) 1 Cuáles de los siguientes algoritmos son finitos? (a) Cálculo del producto de dos números enteros. (b) Cálculo de la división de dos números enteros. (c) Cálculo
Más detallesESPACIOS MÉTRICOS EN CONJUNTOS FINITOS
ESPACIOS MÉTRICOS EN CONJUNTOS FINITOS Octavio Montoya Profesor Universidad del Tolima Ibagué, Colombia octaviomontoya1963@yahoo.es Resumen En este documento se presentan algunos conceptos y resultados
Más detalles2. El Teorema del Valor Medio
2.24 45 2. El Teorema del Valor Medio Comenzaremos esta sección recordando dos versiones del teorema del valor medido para funciones de 1-variable y por tanto ya conocidas: 2.22 Sea f : [a, b] R R una
Más detalles