EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) 31 de enero de 2008

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1 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Prcil) 31 de enero de 008 Sólo un respuest cd cuestión es correct. Respuest correct: 0. puntos. Respuest incorrect: -0.1 puntos Respuest en lnco: 0 puntos 1.- En un triángulo esférico ABC rectángulo en A, se verific que: ) sen c = tg tg B ) sen C = tg cotg X c) cos B = cotg tg c.- Si A B C es el triángulo polr del ABC, se verific: ) A =180º-A, B =180º-B, C =180º-C ) Amos triángulos tienen l mism áre. X c) A, B, y C son polos de los rcos, y c respectivmente. 3.- L función sen (x-3) verific: ) Es un infinitésimo equivlente x, pr x próximos 0. X ) Es un infinitésimo equivlente x-3, pr x próximos 3. c) Es un infinitésimo equivlente x, pr x próximos Se f(x) un función derivle hst el orden 3 que posee un máximo reltivo en x = 0. Sólo uno de los siguientes polinomios podrí ser el polinomio de McLurin de f de grdo : ) 1 + 3x - 6x. ) 1 + 3x + 6x. X c) 1-6x. 5.- Dd l curv en coordends polres r=r(α), es simétric respecto l eje polr si: ) r( α+π ) = r( α ) ) r( π α ) = r( α ) X c) r( α ) = r( α ) 6.- L integrl dx es: ) convergente y vle 0. ) convergente y vle 1. X c) divergente. 7.- Dd l función y=f(x) continu en [,], l expresión del áre limitd por f(x) y el eje OX en el intervlo [,] es: ) X ) c) f(x)dx f(x) dx f(x)dx 8.- Se f(x) un función continu en [,] y se X ) F(x) es derivle y F (x)=f(x) x [,] ) F(x) es positiv. c) F(x) no es derivle. x F(x) = f (t)dt, entonces: Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 1

2 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de Si lim x(t) = t x = x(t) son ls ecuciones prmétrics de un curv pln tl que y = y(t) 0 y lim y(t) =, podemos firmr que: t ) El eje X es un síntot de l curv. X ) El eje Y es un síntot de l curv. c) Ningun de ls nteriores Se f(x)=ch(x). Entonces: ) f (x)=sh(x). x x e + e X ) f (x) =. c) f (x) = ch x sh x (Primer Prte) 1. Teorí. Contestr ls dos pregunts siguientes: ) Se ABC un triángulo esférico rectángulo (A = 90º) tl que el cteto y su ángulo opuesto B son mos gudos. Demostrr que entonces se verific que B. ) Enuncir y demostrr l regl de Brrow. (1 punto) Solución. Un vión prte de Kopervik (Norueg) hci Fortlez (Brsil). Ls coordends geográfics de dichs ciuddes son: Kopervik (longitud: 5º 18 E, ltitud: 59º 17 N) Fortlez (longitud: 38º 9 O, ltitud: 3º 41 S) Tomndo como rdio de l tierr R = 6371 km, hllr: ) L distnci entre ms ciuddes. ) L distnci recorrid por el vión que vuel 10 km de ltur. c) Ls coordends geográfics del punto H en que l tryectori cort l ecudor. (1.6 puntos) Solución 3. I) Dd l ctenri de l figur, cuys ecuciones prmétrics son: Se pide: x y ( t) = ln ( t) () t 1 = t + 1 t ) Longitud de l curv en el intervlo x [ 0,1] del eje de sciss. ) Áre encerrd entre l curv y el eje de sciss en dicho intervlo. Solución f x = x, otener los siguientes volúmenes de revolución: c) Volumen engendrdo l girr el áre encerrd por l curv y el eje OX, entre x =0 y x =, lrededor del eje OX. II) Dd l función ( ) Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C.

3 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008 d) Volumen engendrdo l girr el áre encerrd por l curv y el eje OX, entre x =0 y x =, lrededor del eje OY. (1.8 puntos) Solución APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Explícits y = f(x) Prmétrics x = x(t) y = y(t) Polres r = r( α) Áre ( ) A = f x dx t1 t0 () () A = y t x t dt 1 = ( ( α) ) α α A r d α1 Volumen V =π f (x)dx V =π t1 t0 y (t)x '(t)dt = π ( ( α) ) α α 3 α 3 V r sen d α1 Longitud ( ) L = 1+ f '(x) dx ( ) ( ) t1 L= x'(t) + y'(t) dt t0 ( ( )) ( ( )) α L r r' d α1 = α + α α Áre lterl de un superficie de revolución ( ) ( ) ( ) L () ( ()) ( ()) t1 S = π f x 1+ f x dx S = π y t x t + y t dt L Finl de est primer prte: 11h 10m. t0 Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. ( ) ( ( )) ( ( )) α SL r sen r r' d α1 = π α α α + α α Segund Prte 4. Se l función f (x) = ln (x + ). Se pide: 5. ) Dominio de f(x). ) Aproximción linel de f(x) en un entorno de = -1. c) Polinomio de Tylor de orden 3 de f en = - 1. d) Clculr de form proximd ln (0.9) utilizndo el polinomio nterior. e) Acotr el error cometido en dich proximción y dr ln (0.9) con cifrs decimles excts. f) De qué grdo deerí ser el polinomio de proximción pr que el error fuer menor que un cienmilésim? (1.8 puntos) ) Simetrís de l curv Solución = cost. y(t) = t + sent Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 3

4 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008 x(t) = t 4 ) Asíntots de l curv t y(t) = t 4 = cost c) Periodicidd de l curv t y(t) = tg 3 = sent d) Puntos de tngenci verticl de l curv. y(t) = cos t = 1 cos t e) Puntos singulres de l curv y(t) = t sent (1.8 puntos) Solución Durción: 1h y 10m. Fech pulicción de nots: lunes 11 de Ferero. Fech de revisión de exmen: miércoles 13 de Ferero ls 1.30h 1.- Teorí. Contestr ls dos pregunts siguientes: ) Se ABC un triángulo esférico rectángulo (A = 90º) tl que el cteto y su ángulo opuesto B son mos gudos. Demostrr que entonces se verific que B. ) Enuncir y demostrr l regl de Brrow. Solución: tg ) En un triángulo esférico rectángulo se cumple que sen c = 1 tg tgb tg B (tg>0, tgb>0) y como el cteto y su ángulo opuesto B pertenecen l primer cudrnte donde l tngente es creciente, result B. ) Enuncido: si f es un función continu en [,] se verific: f (x) dx = F()-F(), siendo F(x) un primitiv culquier de f(x) en [,]. x Demostrción: f (x) continu en [, ] G (x) = f (t) dt es un función primitiv de f(x). Se cumple que: F(x) = G(x) + C F (x) = G (x) + 0 = f(x). Entonces: F () = f (x) dx + C F () = f (x) dx + C = 0 + C = C sustituyendo F () = f (x) dx + F() f (x) dx = F()-F() Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 4

5 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008. Un vión prte de Kopervik (Norueg) hci Fortlez (Brsil). Ls coordends geográfics de dichs ciuddes son: Kopervik (longitud: 5º 18 E, ltitud: 59º 17 N) Fortlez (longitud: 38º 9 O, ltitud: 3º 41 S) Tomndo como rdio de l tierr R = 6371 km, hllr: ) L distnci entre ms ciuddes. ) L distnci recorrid por el vión que vuel 10 km de ltur. c) Ls coordends geográfics del punto H en que l tryectori cort l ecudor. Solución: ) Hllr l distnci lo lrgo de un circunferenci máxim desde Kopervick (Norueg) hst Fortlez (Brsil), siendo ls coordends: K(5º 18 E, 59º 17 N) F(38º 9 O, 3º 41 S) N K En el triángulo FKN de l Figur 1 se conocen: Ldo NK = coltitud de K = 30º Ldo NF = 90º+ ltitud de F = 93º Ángulo Nˆ =long K + longf = 43º A F H Aplicndo el teorem del coseno otenemos el ldo KF (distnci terrestre entre ms ciuddes): S (Figur 1) cos(fk) = cos(nf) cos(nk)+ sen(nf) sen(nk) cos( Nˆ ) = 0, KF = 71º 46 9 Clculmos est distnci en km suponiendo R = 6371km π 6371 d(k,f) = 71º 46',9" = 7980,7968km 180º ) L distnci recorrid por el vión se clcul de igul mner pero con un rdio R = = 6371 km: π 6381 d Avión (K,F) = 71º 46',9" = 7993,336km 180º c) Coordends del punto H donde l trvesí cort l Ecudor Considerremos el triángulo rectángulo esférico HAF de l Figur, donde A = 90º, y AF = 3º 41 A F (Figur ) H Pr determinr l coordend longitud de H necesitmos clculr HF. Y pr poder plicr ls fórmuls de Trigonometrí Esféric en el triángulo HAF necesitmos conocer otro dto del mismo. El más fácil de clculr es Fˆ en el triángulo FNA de l Figur 1 (plicndo el teorem del coseno): Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 5

6 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008 cos(nk) - cos(nf) cos(kf) cos Fˆ = = 0, Fˆ = 1º sen(nf) sen(kf) L Figur 3 corresponde l pentágono de Neper del triángulo rectángulo HAF: H FH A 90º = Fˆ Cos (90º-CF) = cotg(90º-ha) cotg ( Fˆ ) sen(cf) = tg(ha) tgfˆ 90º- HA 90º- CF tg(ha) = sen(cf) tg Fˆ = 0, HA = 1º 8 31 Luego, ls coordends del punto H donde l tryectori cort l Ecudor (ver Figur 1) son: Longitud= longitud de F- HA = 38º 9-1º 8 31 = 37º 0 9 W Ltitud = 0º por ser un punto del Ecudor x(t) = ln t 3. I Pr l curv dd en form prmétric 1 1 se pide, y(t) = t + t pr el intervlo 0 x 1: ) Longitud de l curv en el intervlo x [0,1] del eje de sciss ) Áre encerrd entre l curv y el eje de sciss en dicho intervlo Solución: ) Se represent l curv Hy que ver qué vlores de t corresponde el intervlo ddo sore el eje OX. x Despejndo t = e por lo que el intervlo será 0 1 t [ e, e ] t [1, e] Cmpo de vrición de t, culquier vlor de t del intervlo ddo No tiene sentido estudir ls simetrís pues en el intervlo ddo, t es siempre t>0 Puntos críticos 1 1 x'( t) = t x'( t) = = 0 Nunc en el intervlo ddo t 1 t 1 ms derivds existen 1 1 y'( t) = t y'( t) = 0 t 1 = = t t en el intervlo de estudio x(1) = ln() 1 = 0 Punto crítico t=1 punto de tngenci horizontl y(1) = 1 ( ) Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 6

7 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008 En el intervlo ddo, l curv tiene un P 0,1 únic rm que v de ( ) 1 1 Q 1, = e + [ 1,1.54] e Diujo de l gráfic de l función en el intervlo ddo: Como l función es continu en el intervlo se puede plicr l regl de Brrow ) L longitud del rco de curv viene ddo por l expresión 4 1 t 1 t + t + 1 t + 1 dl = [ x '( t) ] + [ y '( t) ] dt dl = + dt dt dt t t = = t t + 1 Por tnto, = e t L dt 1 t t + 1 t Como dt = + C t t t e 1 L longitud uscd es L = = 1.17( u) t e ) L superficie encerrd entre l curv y el eje de sciss viene dd por da = y() t x '() t dt da t = + t t dt t 1 t+ dt = + C t t t.. osérvese que es l mism integrl nterior e t e 1 A = = 1.17( u ) t e 1 3.II Dd l función f(x)=x otener los siguientes volúmenes de revolución ) Volumen engendrdo l girr el áre encerrd por l curv y el eje OX, entre x=0 y x=, lrededor del eje OX ) Volumen engendrdo l girr el áre encerrd por l curv y el eje OX, entre x=0 y x=, lrededor del eje OY Solución: e 1 5 x 3π 3. El volumen viene ddo por V = π ( x ) dx = = = 0.11( u ) 0 π El volumen viene ddo por el volumen del cilindro exterior menos el volumen que gener el áre encerrd entre l curv y el eje OY Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 7

8 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de El volumen del cilindro exterior es V = π 4 = 16π ( u ) El volumen del áre encerrd viene ddo por V 0 4 y π x ( y) dy = πydy = π = 8π ( u 0 4 = 4. Se l función f (x) = ln (x + ). Se pide: ) Dominio de f(x). ) Aproximción linel de f(x) en un entorno de = -1. c) Polinomio de Tylor de orden 3 de f en = - 1. d) Clculr de form proximd ln (0.9) utilizndo el polinomio nterior. 4 0 e) Acotr el error cometido en dich proximción y dr ln (0.9) con cifrs decimles excts. f) De qué grdo deerí ser el polinomio de proximción pr que el error fuer menor que un cienmilésim? Solución: #1: LN( + x) ) Dominio de f: H de ser +x>0 pues sólo existe el logritmo de números positivos. #: + x > 0 #3: SOLVE( + x > 0, x, Rel) #4: x > - Por tnto, Dom f = (-, ) ) Aproximción linel de f(x) en un entorno de = -1: #5: TAYLOR(LN( + x), x, -1, 1) #6: x + 1 c) Polinomio de Tylor de orden 3 de f en = - 1: #7: TAYLOR(LN( + x), x, -1, 3) 3 x + 3 x + 6 x + 5 #8: 6 3 ) Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 8

9 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008 d) Aproximción de ln 0.9 con el polinomio nterior: #9: + x = 0.9 #10: SOLVE( + x = 0.9, x, Rel) 11 #11: x = - = (-1.1) + 3 (-1.1) + 6 (-1.1) + 5 #1: 6 #13: e) Acotción del error: d 4 #14: LN( + x) dx 6 - #15: 4 (x + ) 6 - #16: 4 (x + ) 6 IF -1.1 < x < -1, - #17: 4 (x + ) L derivd curt de f, en vlor soluto, es decreciente en el intervlo (-1.1, -1) y lcnz su vlor máximo en -1.1: 6 - #18: 4 ( ) #19: Tommos como cot superior: M = 10. El error qued, entonces, menor que: 4 ( ) #0: 10 4! -5 #1: Dr ln(0.9) con cifrs decimles excts: -5 #: #3: Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 9

10 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de #4: #5: #6: LN(0.9) = f) Grdo del polinomio pr que el error en l proximción se menor que un cienmilésim: Método 1: #7: TABLE(TAYLOR(LN( + x), x, -1, n), n, 1, 6) 1 x x 3 x + 3 x + 6 x #8: 3 x + 8 x + 1 x x + 45 x + 80 x + 60 x + 60 x x + 48 x x + 10 x + 90 x Sustituyendo x por -1.1: #9: Se oserv que ls cienmilésims se mntienen prtir del polinomio de grdo 5, por tnto, tomndo n = 5 puede segurrse que el error es menor que un cienmilésim. º Método: Hciendo un tl de restos y sends cotciones. n + 1 ( ) d n + 1 #30: TABLE LN( + x), n, 1, 9 (n + 1)! dx (x + ) Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 10

11 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de x (x + ) x (x + ) #31: x (x + ) x (x + ) Un cot superior de todos ellos se lcnz pr x = -1.1, en [-1.1,-1] #3: Por tnto, puede segurrse que el error es menor que un cienmilésim tomndo n = 4. Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 11

12 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008 = cost 5.- ) Simetrís de l curv. y(t) = t + sent x(t) = t 4 ) Asíntots de l curv t y(t) = t 4 = cost c) Periodicidd de l curv t y(t) = tg 3 = sent d) Puntos de tngenci verticl de l curv. y(t) = cos t = 1 cos t e) Puntos singulres de l curv y(t) = t sent Solución: = cost ) Simetrís de l curv. y(t) = t + sent #1: [1 - COS(t), t - SIN(t)] #: [COS(t), t + SIN(t)] #3: [COS(t), - SIN(t) - t] x( t) = x(t), luego l curv es simétric respecto del eje OX. y( t) = y(t) ) Asíntots de l curv t, #6: x(t) = y(t) = t - 4 t - 4 t lim, #7: t - t t 4 t 4 t - 4 t - 4 #8: [0, 0] Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 1

13 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008 t lim, #9: t - t - 4 t - 4 #10: [±, ± ] t lim, #11: t t - 4 t - 4 #1: [±, ± ] t t - 4 #13: lim t t - 4 #14: t lim - #15: t t - 4 t #16: 1 #17: y = x + Por simetrí tenemos: t t - 4 #18: lim = - t - t - 4 t lim + #19: t - t #0: - 1 #1: y = - x - t - 4 Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 13

14 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008 = cost c) Periodicidd de l curv t y(t) = tg 3 t #4: COS( t), TAN 3 #5: LCM(π, 3 π) = 3 π x(t +π ) = x(t),luego l curv es un función periódic de t, de y(t + 3 π ) = y(t) período m.c.m.(π,3π)=3π. = sent d) Puntos de tngenci verticl de l curv y(t) = cos t #3: [SIN(t), COS(t)] d #4: [SIN(t), COS(t)] dt #5: [COS(t), - SIN(t)] #6: SOLVE(COS(t), t, Rel) 3 π π π #7: t = t = - t = #8: SOLVE(- SIN(t), t, Rel) #9: t = -π t = π t = 0 π π #30: SIN -, COS - #31: [-1, 0] π π #3: SIN, COS #33: [1, 0] Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 14

15 Primer Prcil de Mtemátics I 31 de enero de 008 = 1 cost e) Puntos singulres de l curv y(t) = t sent #34: [1 - COS(t), t - SIN(t)] d #35: [1 - COS(t), t - SIN(t)] dt #36: [SIN(t), 1 - COS(t)] #37: SOLVE(SIN(t), t, Rel) #38: t = -π t = π t = 0 #39: SOLVE(1 - COS(t), t, Rel) #40: t = - π t = π t = 0 #41: [1 - COS(0), 0 - SIN(0)] #4: [0, 0] es un punto singulr d #43: [SIN(t), 1 - COS(t)] dt #44: [COS(t), SIN(t)] #45: [COS(0), SIN(0)] #46: [1, 0] d #47: [COS(t), SIN(t)] dt #48: [- SIN(t), COS(t)] #49: [- SIN(0), COS(0)] #50: [0, 1] El origen (0,0) es un punto de retroceso de 1ª especie. Unidd Docente de Mtemátics de l E.T.S.I.T.G.C. 15

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