Problemas resueltos. Problema 4.1 R 4 C E L. k i 4 3 R 3

Transcripción

1 Problmas rsultos. Problma 4. Para la rd d la figura P4., mplar la idntificación para las variabls sgún l diagrama d la drcha, d tal forma qu l producto d las variabls asociadas a un lmnto, sa la potncia qu ingrsa a sa componnt. 4 R 4 E L 2 6 R 3 k i Figura P4. a) Dtrminar las cuacions d intrconxión, aplicando l método mixto. b) Introducir las cuacions d quilibrio, aplicando l método d las variabls d stado. c) Escribir l sistma d cuacions difrncials d primr ordn. Solución. a) Para árbol {, 2, 3} s xprsan los voltajs d curdas n función d los voltajs d ramas; y las corrints d ramas n función d las corrints d curdas: (), (2), (3) v4 v + v2, v5 v2 v3, v6 v v2 + v3 (4), (5), (6) i i4 + i6, i2 i4 i5 + i6, i3 i5 i6 D stas sis cuacions, no considramos las dos qu prmitn dtrminar l voltaj n la funt d corrint (2) y la qu dtrmina la corrint a través d la funt d tnsión (4). b) Ecuacions d quilibrio:

2 2 apítulo 4 Ecuacions d rstricción: v, i5 k i4 Voltajs d curdas n función corrints d curdas: v4 R4 i4 v6 D L i6 orrints d ramas n función d voltajs d ramas: i2 D v2 i3 Rmplazando stas cuacions n (), (3), (5), (6), rsultan rspctivamnt: v3 R3 R44 i + v2 DLi6 v2+ v3 Dv2 i4 ki4+ i6 v3 ki4 i6 R3 c) Eliminando las variabls i4 y v3, d la primra y cuarta cuacions antriors, s obtinn: v2 i4 R4 kv (2 ) v3 R3( ki4 i6) R3( i6) R4 Y rmplazando éstas n la sgunda y trcra cuación, para djar n función d v2 i6, s obtin l sistma d cuacions difrncials d primr ordn: dv2 ( + k) ( + k) v2+ i6+ dt R4 R4 di6 Rk 3 Rk 3 L R36 i + ( ) v2 ( ) dt R4 R4

3 Métodos gnrals d análisis d rds. 3 Problma 4.2 Dtrminar l sistma d cuacions difrncials d primr ordn qu dscrib la conducta dinámica d la rd. L M A i R v B k i i 4 v 5 v 6 i 6 i 3 v 4 v 2 L 2 D Figura P4.2 Exprsar l rsultado sgún l método d las variabls d stado, spcificando l valor d los lmntos d las matrics A, B y. a a 2 a 3 t b a 2 a 22 a b 2 b t i b 2 b 22 b 23 a 3 a 32 a 33 b t i 3 b 32 b 33 2 c c 2 c 3 Solución. S dfinn adicionalmnt las variabls v 4 i 6. S scog l árbol formado por la funt d tnsión, l condnsador y la funt controlada por corrint. Qudan como curdas los inductors acoplados y la rsistncia. Ecuacions LK: i4 -i i ; i3 i i2 + i ; i6 -i2 + i Ecuacions LVK: v5 v4 v3; v2 v3 v6; v v3 v6 v4 Ecuacions d quilibrio: i3 Dv3; v -L Di + M Di2;

4 4 apítulo 4 v2 L2 Di2 - M Di; v5 R i; v4 ; i6 k i Rmplazando, las cuacions d quilibrio n LK y LVK, rsultan: i4 -i i; cdv3 i i2 +i; ki -i2 +i (); (2); (3) Ri - v3; L2 Di2 - M Di v3 v6; -L Di + M Di2 v3 v6 (4); (5); (6) Sis cuacions n 6 incógnitas: ( i, i4, v6, v3, i, i2 ) Dbn liminars i, i4, v6 para lograr trs cuacions n las incógnitas (v3, i, i2). Pudn prsntars ahora difrnts altrnativas d solución. a) Eliminando las variabls i y v6, rsultan: i4 (i2 i)/k -i cdv3 (i-i2) ( + /k) R(i-i2)/k v3 -L Di + M Di2 L2 Di2 - M Di Rsultando 4 cuacions n las incógnitas (i4, v3, i, i2); las últimas trs cuacions prmitn plantar la solución pdida, ya qu sólo dpndn d v3, i i2: 0 0 t 0 k + k L M L2 M t i k k R R k k t i b) Eliminando las variabls i4, v6, i D las cuacions (5), (2) y ( y 2) rsultan: v6 L2 D i2 + M D i + v3, i D v3 + i2 i, i4 D v3 i2 Las qu rmplazadas n (6), (4) y (3) prmitn obtnr l sistma pdido:

5 Métodos gnrals d análisis d rds. 5 LDi+ MDi2 L2Di2+ MDi+ 0, RDv3+ Ri2 Ri + v3 0, kdv3+ k i2 k i+ i2 i 0 El cual pud xprsars n la forma pdida: 0 0 t 0 k + k + R L M L2 M t i k k R R t i Solución n Mapl: > rstart; >cquilibrio:{i3*s*v3,v2l2*s*i2-m*s*i, v-l*s*i+m*s*i2,v5r*i,v4,i6k*i}; datos:{,r,l,l2,m.9,k0}: Plantamos LK indpndints n los ccf, djando la corrint d rama n función d las corrints d curdas. > lck:{i4-i-i,i3i-i2+i,i6-i2+i}; Plantamos (-v +) cuacions LVK n cf, djando los voltajs d curda n función d los voltajs d ramas. > lvk:{v5v4-v3,v2v3-v6,vv3-v6-v4}; Substituímos las cuacions d quilibrio n los dos conjuntos antriors. > c:subs(cquilibrio,lck); c : { i4 i i, k i i2 + i, sv3 i i2 + i } > c2:subs(cquilibrio,lvk); c2 :{ R i v3, L2si2 Msi v3 v6, Lsi+ Msi2 v3 v6 } > cs:c union c2; cs : { i4 i i, k i i2 + i, sv3 i i2 + i, R i v3, L2si2 Msi v3 v6, Lsi+ Msi2 v3 v6 } Eliminando las variabls i, i4 y v6, rsultan: > sol:liminat(cs,{i,i4,v6}); sol :[{ v6 L2si2+ Msi+ v3, i sv3+ i2 i, i4 sv3 i2 }, { Ls i + Ms i2 L2s i2 + Ms i +, R s v3 + R i2 R i + v3, ksv3+ ki2 ki+ i2 i}] Dond l último conjunto son las cuacions pdidas. 0

6 6 apítulo 4 Ejrcicios propustos. Ejrcicio 4.. Para la rd d la figura E4.: A L B 2 i 4 R v 2 j 3 D E Figura E4. Dtrminar un sistma d cuacions difrncials d primr ordn n las variabls:, v 2 y. Ejrcicio 4.2. Para la rd d la figura E4.2: A B R 3 v j R 2 D E Figura E4.2 Dtrminar cuación difrncial para v(t).