Resumenes numéricas de una muestra de datos. M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 1 / 41
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- Marina Álvarez Arroyo
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1 Resumenes numéricas de una muestra de datos M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 1 / 41
2 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 2 / 41 Objetivo Introducir medidas de localización, dispersión y asimetría de una muestra.
3 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 3 / 41 Medidas de localización Un primer objetivo es intentar dar un valor que representa lo más típico o centrico de la muestra de datos. Hay tres medidas estandáres: La moda La mediana La media
4 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 4 / 41 El valor más frecuente: la moda Hasta ahora, la única medida de localización que hemos visto es la moda que mide el valor más frecuente en la muestra. Es apropiada para muestras cualitativas o discretas.
5 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 4 / 41 El valor más frecuente: la moda Hasta ahora, la única medida de localización que hemos visto es la moda que mide el valor más frecuente en la muestra. Es apropiada para muestras cualitativas o discretas. Una muestra puede ser unimodal o multimodal.
6 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 4 / 41 El valor más frecuente: la moda Hasta ahora, la única medida de localización que hemos visto es la moda que mide el valor más frecuente en la muestra. Es apropiada para muestras cualitativas o discretas. Una muestra puede ser unimodal o multimodal. No tiene tanto sentido para una muestra continua.
7 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 4 / 41 El valor más frecuente: la moda Hasta ahora, la única medida de localización que hemos visto es la moda que mide el valor más frecuente en la muestra. Es apropiada para muestras cualitativas o discretas. Una muestra puede ser unimodal o multimodal. No tiene tanto sentido para una muestra continua. Sólo podemos hablar de un intervalo modal. Buscamos una medida alternativa.
8 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 5 / 41 El valor central: la mediana Una alternativa a la moda es la mediana, es decir el valor más centrico de la muestra. Con un número impar de datos es fácil de calcular... 5, 7, 4, 3, 2, 9 7
9 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 6 / 41 El valor central: la mediana es el punto (n + 1)/2 de la muestra... 5, 7, 4, 3, 2, 9 7
10 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 7 / 41 El valor central: la mediana... pero el resultado no tiene sentido 5, 7, 4, 3, 2, 9 7
11 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 8 / 41 El valor central: la mediana... si no ordenamos los datos: 2, 3, 4, 5, 7, 7 9
12 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 9 / 41 La mediana con un número par de datos Con un número par de datos, no existe un único dato más centrico... 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13
13 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 10 / 41 La mediana con un número par de datos... sino dos valores. En nuestro ejemplo, (n + 1)/2 = 4,5... 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13
14 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 11 / 41 La mediana con un número par de datos... entonces tomamos el promedio 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 La mediana es M e = (5 + 7)/2 = 6.
15 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 12 / 41 La mediana a través de la tabla de frecuencias Con datos discretas...
16 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 13 / 41 La mediana a través de la tabla de frecuencias... buscamos la primera vez que la frecuencia cumulativa sube a 0,5 o por arriba. En este caso hay la mediana es M e = tres accidentes mortales diarios.
17 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 14 / 41 La mediana a través de la tabla de frecuencias Con datos continuos...
18 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 15 / 41 La mediana a través de la tabla de frecuencias podemos encontrar un intervalo mediano... El intervalo mediano es (0, 350].
19 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 15 / 41 La mediana a través de la tabla de frecuencias podemos encontrar un intervalo mediano... El intervalo mediano es (0, 350]. Existe una fórmula para dar un valor aproximada a través de la interpolación (la aproximación es 224,36)
20 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 15 / 41 La mediana a través de la tabla de frecuencias podemos encontrar un intervalo mediano... El intervalo mediano es (0, 350]. Existe una fórmula para dar un valor aproximada a través de la interpolación (la aproximación es 224,36) pero puede ser imprecisa (163 es la verdadera mediana).
21 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 16 / 41 El promedio de los datos: la media Hasta ahora hemos visto dos medidas de localización: moda y mediana. Una alternativa natural es la media (aritmética), es decir el promedio de los datos. x = 1 n (x 1 + x 2 + x n ).
22 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 16 / 41 El promedio de los datos: la media Hasta ahora hemos visto dos medidas de localización: moda y mediana. Una alternativa natural es la media (aritmética), es decir el promedio de los datos. x = 1 n (x 1 + x 2 + x n ). Nota para los ingenieros: si se colocan pesos iguales sobre una barra muy ligera en posiciones x 1,..., x n, la media es el centro de gravedad de la barra.
23 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 16 / 41 El promedio de los datos: la media Hasta ahora hemos visto dos medidas de localización: moda y mediana. Una alternativa natural es la media (aritmética), es decir el promedio de los datos. x = 1 n (x 1 + x 2 + x n ). Nota para los ingenieros: si se colocan pesos iguales sobre una barra muy ligera en posiciones x 1,..., x n, la media es el centro de gravedad de la barra. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 x = 1 ( ) = 6,5 8
24 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 17 / 41 Calculando la media a través de la tabla de frecuencias Con datos discretas la tabla de frecuencias tiene forma: Valor Frecuencia absoluta Frecuencia relativa x 1 n 1 f 1 x 2 n 2 f 2. x k n k f k Total n 1 El valor x i es repetido n i veces. Luego, la media es.. x = 1 n k k n i x i = f i x i. i=1 i=1
25 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 18 / 41 Ejemplo x = 1 ( ) = 3,365 accidentes mortales por día. 181
26 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 19 / 41 Ejemplo Con datos continuos, usamos las misma formulas, aproximando los valores dentro de un intervalo con la marca de clase. Obviamente el resultado es sólo una aproximación a la verdadera media de la muestra. x (0, , , ) = 326,5. La verdadera media de los datos es x = 320 hectáreas quemadas por provincia No importa el hecho de que los intervalos son de anchuras distintas.
27 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 20 / 41 Sensibilidad de la media a datos atípicos Obviamente la media es muy sensible a atípicos. x = 6,5. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13
28 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 20 / 41 Sensibilidad de la media a datos atípicos Obviamente la media es muy sensible a atípicos. x = 6,5. x = 21,125. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 130 Luego para muestras muy asimétricas o con muchos datos atípicos, es preferible emplear la mediana como medida de localización.
29 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 21 / 41 Comparando media, mediana y moda En contraste a la media, la mediana y moda no son afectadas por datos atípicos.
30 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 22 / 41 Otras medias La media truncada es un intento de evitar la sensibilidad a los datos atípicos, calculando la media de los datos pero quitando (por ejemplo) los 5 % más altos y los 5 % más bajos. La media geométrica de una muestra (no-negativa) x 1,..., x n es igual a n x1 x 2 x n. Son muy apropiadas para promediar índices porcentuales, por ejemplo la variabilidad regional en Europe entre homicidios y otras formas de muerte externa.
31 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 23 / 41 Otras medidas de localización: mínimo, máximo y percentiles De vez en cuando, no sólo el dato más centrico es de interés y queremos medir otras posiciones en la muestra: El mínimo es el valor más pequeña de la muestra. El máximo es el valor más grande.
32 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 23 / 41 Otras medidas de localización: mínimo, máximo y percentiles De vez en cuando, no sólo el dato más centrico es de interés y queremos medir otras posiciones en la muestra: El mínimo es el valor más pequeña de la muestra. El máximo es el valor más grande. El percentil de p 100 % es el valor (n + 1) p en la muestra ordenada. La idea es dividir la muestra en dos grupos de proporción (aproximadamente) p y (1 p) respectivamente. Tipicamente, se tiene que utilizar interpolación para calcular el percentil.
33 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 23 / 41 Otras medidas de localización: mínimo, máximo y percentiles De vez en cuando, no sólo el dato más centrico es de interés y queremos medir otras posiciones en la muestra: El mínimo es el valor más pequeña de la muestra. El máximo es el valor más grande. El percentil de p 100 % es el valor (n + 1) p en la muestra ordenada. La idea es dividir la muestra en dos grupos de proporción (aproximadamente) p y (1 p) respectivamente. Tipicamente, se tiene que utilizar interpolación para calcular el percentil. Los percentiles de 25 % y 75 % se llaman el primer cuartíl y el tercer cuartíl respectivamente.
34 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 24 / 41 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13
35 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 24 / 41 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 El mínimo (o cero cuartíl) es Q 0 = 1.
36 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 24 / 41 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 El mínimo (o cero cuartíl) es Q 0 = 1. El primer cuartíl es el punto número 0,25 (8 + 1) o 2,25, es decir un cuarto de la distancia entre el segundo y tercer punto. Q 1 = 2 + 0,25 (4 2) = 2,5.
37 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 24 / 41 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 El mínimo (o cero cuartíl) es Q 0 = 1. El primer cuartíl es el punto número 0,25 (8 + 1) o 2,25, es decir un cuarto de la distancia entre el segundo y tercer punto. Q 1 = 2 + 0,25 (4 2) = 2,5. La mediana es Q 2 = 6.
38 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 24 / 41 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 El mínimo (o cero cuartíl) es Q 0 = 1. El primer cuartíl es el punto número 0,25 (8 + 1) o 2,25, es decir un cuarto de la distancia entre el segundo y tercer punto. Q 1 = 2 + 0,25 (4 2) = 2,5. La mediana es Q 2 = 6. El tercer cuartil es el punto 0,75 (8 + 1) = 6,75. Q 3 = 9 + 0,75 (11 9) = 10,5.
39 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 24 / 41 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 El mínimo (o cero cuartíl) es Q 0 = 1. El primer cuartíl es el punto número 0,25 (8 + 1) o 2,25, es decir un cuarto de la distancia entre el segundo y tercer punto. Q 1 = 2 + 0,25 (4 2) = 2,5. La mediana es Q 2 = 6. El tercer cuartil es el punto 0,75 (8 + 1) = 6,75. Q 3 = 9 + 0,75 (11 9) = 10,5. El máximo (o cuarto cuartíl) es Q 4 = 13.
40 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 24 / 41 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 El mínimo (o cero cuartíl) es Q 0 = 1. El primer cuartíl es el punto número 0,25 (8 + 1) o 2,25, es decir un cuarto de la distancia entre el segundo y tercer punto. Q 1 = 2 + 0,25 (4 2) = 2,5. La mediana es Q 2 = 6. El tercer cuartil es el punto 0,75 (8 + 1) = 6,75. Q 3 = 9 + 0,75 (11 9) = 10,5. El máximo (o cuarto cuartíl) es Q 4 = 13. El 40 % percentil es el punto 0,4 (8 + 1) = 3,6. 40 % percentil = 4 + 0,6 (5 4) = 4,6.
41 Cuartiles a través de la tabla de frecuencia M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 25 / 41
42 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 25 / 41 Cuartiles a través de la tabla de frecuencia Q 0 = 0, Q 1 = 2, Q 2 = 3, Q 3 = 5, Q 4 = 9.
43 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 25 / 41 Cuartiles a través de la tabla de frecuencia Q 0 = 0, Q 1 = 2, Q 2 = 3, Q 3 = 5, Q 4 = 9. Igual que la mediana, sólo se puede calcular un intervalo conteniendo el cuartil para datos continuos.
44 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 26 / 41 Medidas de dispersión Un segundo concepto importante es la dispersión de los datos. Medidas estandares son: El rango El rango intercuartilico La varianza La desviación típica El coeciente de variación
45 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 27 / 41 La distancia entre los datos: el rango El rango que mide la distancia entre el mínimo y el máximo: R = Q 4 Q 0. El rango es 12. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13
46 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 27 / 41 La distancia entre los datos: el rango El rango que mide la distancia entre el mínimo y el máximo: R = Q 4 Q 0. El rango es 12. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 ¾Qué pasaría en presencia de un dato atípico? 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 130 El rango sube a 129. Es una medida muy inestable.
47 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 28 / 41 La distancia entre la mitad de los datos más centricos: el rango intercuartilico Una medida mucho más estable es el rango intercaurtilico RI = Q 3 Q 1. Mide la distancia entre los 50 % de la muestra más centrica. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 130 En ambos casos: RI = 10,5 2,5 = 8. El RI es robusto a atípicos.
48 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 29 / 41 Identicando atípicos y el diagrama de caja Una regla empírica dice que si un dato queda más de 1,5 RI por debajo de Q 1 o por arriba de Q 3, se lo puede identicar como atípico de la muestra. Si queda más de 3 RI por debajo de Q 1 o arriba de Q 3, se lo identica como fuertamente atípico. El diagrama de caja (o de caja y bigotes es una manera gráca de visualizar los datos y mostrar la asimetría y posibles datos atípicos.
49 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 30 / 41 Ejemplo de juguete 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 130 Sin presencia de atípicos, los bigotes son el mínimo y máximo. El bigote de arriba está en 11: el dato máximo menor que Q 3 + 1,5RI. Observamos un fuerte atípico.
50 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 31 / 41 Ejemplo de datos forestales Se puede ver la típica forma del diagrama de caja con datos asimétricos a la derecha.
51 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 32 / 41 La distancia cuadrática típica en torno de la media: la varianza Suponiendo que la media es una buena medida de localización de la muestra, una idea razonable es medir la dispersión como la distancia típica de una observación en torno de la media. Con datos x 1,..., x n, con media x, las distancias son x 1 x, x 2 x,..., x n x. Obviamente, algunas son positivas y otras negativas y n i=1 (x i x) = 0.
52 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 32 / 41 La distancia cuadrática típica en torno de la media: la varianza Suponiendo que la media es una buena medida de localización de la muestra, una idea razonable es medir la dispersión como la distancia típica de una observación en torno de la media. Con datos x 1,..., x n, con media x, las distancias son x 1 x, x 2 x,..., x n x. Obviamente, algunas son positivas y otras negativas y n i=1 (x i x) = 0. Entonces, una idea posible es considerar las distancias cuadradas...
53 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 33 / 41 La varianza La varianza de la muestra se dene como: ˆσ 2 = 1 n n (x i x) 2 = 1 n i=1 n x 2 x 2. i i=1
54 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 33 / 41 La varianza La varianza de la muestra se dene como: ˆσ 2 = 1 n n (x i x) 2 = 1 n i=1 n x 2 x 2. i i=1 Nota para los ingenieros: la varianza es el momento de inercia de la barra en torno del centro de gravedad.
55 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 33 / 41 La varianza La varianza de la muestra se dene como: ˆσ 2 = 1 n n (x i x) 2 = 1 n i=1 n x 2 x 2. i i=1 Nota para los ingenieros: la varianza es el momento de inercia de la barra en torno del centro de gravedad. Nota para los estadísticos: la mayoria de paquetes estadísticos no calculan la varianza así. Como alternativa se preere la cuasi-varianza: ¾Porqué? s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2 = n n 1 ˆσ2. i=1
56 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 33 / 41 La varianza La varianza de la muestra se dene como: ˆσ 2 = 1 n n (x i x) 2 = 1 n i=1 n x 2 x 2. i i=1 Nota para los ingenieros: la varianza es el momento de inercia de la barra en torno del centro de gravedad. Nota para los estadísticos: la mayoria de paquetes estadísticos no calculan la varianza así. Como alternativa se preere la cuasi-varianza: ¾Porqué? s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2 = n n 1 ˆσ2. i=1 Razones estadísticas complicadas: insesgadez,...
57 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 34 / 41 Distancia típica en torno de la media: la desviación típica El problema más importante de la varianza es su interpretación. Volviendo al ejemplo de los accidentes de tráco, la varianza en este caso es 3,79
58 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 34 / 41 Distancia típica en torno de la media: la desviación típica El problema más importante de la varianza es su interpretación. Volviendo al ejemplo de los accidentes de tráco, la varianza en este caso es 3,79 (accidentes mortales cuadrados al día). Más natural es una medida con las mismas unidades que los datos. La desviación típica es ˆσ = ˆσ 2 y la cuasi-desviación típica es s = s 2. En el ejemplo, la desviación típica es 1,95 accidentes mortales por día.
59 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 35 / 41 El teorema de Chebyshev y la interpretación de la desviación típica El teorema de Chebyshev dice que para cualquier conjunto de datos: Por lo menos 3/4 de los datos de la muestra están a menos de dos desviaciones típicas en torno de la media. Por lo menos 8/9 de los datos están a menos de tres desviaciones típicas de la media. Por lo menos 1 1/k 2 de los datos están a menos de k desviaciones típicas de la media.
60 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 35 / 41 El teorema de Chebyshev y la interpretación de la desviación típica El teorema de Chebyshev dice que para cualquier conjunto de datos: Por lo menos 3/4 de los datos de la muestra están a menos de dos desviaciones típicas en torno de la media. Por lo menos 8/9 de los datos están a menos de tres desviaciones típicas de la media. Por lo menos 1 1/k 2 de los datos están a menos de k desviaciones típicas de la media. El teorema de Chebyshev es muy conservadora. Para datos más o menos simétricas, una regla empírica dice que aproximadamente 68 % 95 % 99.7 % de los datos están a menos de uno dos tres desviaciones de la media.
61 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 36 / 41 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 x = 6,5 x 2 i = 466 ˆσ 2 = ,52 = 16 ˆσ = 4. En este caso, un 100 % de los datos están comprendidos en la región 6,5 ± 2 4 = [ 1,5, 14,5]
62 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 36 / 41 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 x = 6,5 x 2 i = 466 ˆσ 2 = ,52 = 16 ˆσ = 4. En este caso, un 100 % de los datos están comprendidos en la región 6,5 ± 2 4 = [ 1,5, 14,5] 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 130 x = 21,125 x 2 i = ˆσ 2 = ,1252 = 1703,36 ˆσ = 41,27. En contraste el intervalo 21,125 ± 2 41,27 = [ 61,42, 103,67] contiene un 87.5 % de lo datos.
63 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 37 / 41 La dispersión relativa: el coeciente de variación Supongamos que se quiere comparar la variabilidad en las cantidades de heroina (gm) y de cigarillos ilegales (cajas) encontrados en sospechosos.
64 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 37 / 41 La dispersión relativa: el coeciente de variación Supongamos que se quiere comparar la variabilidad en las cantidades de heroina (gm) y de cigarillos ilegales (cajas) encontrados en sospechosos. Obviamente no tiene sentido comparar las desviaciones típicas directamente ya que las cantidades típicas encontradas de los dos productos son muy distintos. Luego se tiene que comparar las dispersiones relativas al tamaño típico. Con este objetivo se utiliza el coeciente de variación: CV = ˆσ x.
65 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 38 / 41 Midiendo asimetría La medida más típica es la asimetría de Fisher: ˆγ 1 = 1 n n i=1 (x i x) 3 ˆσ 3. Para datos simétricas, tipicamente γ 1 0. La asimetría es ˆγ 1 = 3. Para datos asimétricos a la derecha, la asimetría es positiva.
66 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 39 / 41 Ejercicio El gráco resume los datos de la valoración de la Guardia Civil como institución en la encuesta del CIS de abril de Marca la respuesta correcta. a) la valoración mediana es 5 y el rango intercuartilico es [5,8] b) la moda es 5 y el rango intercuartilico es [5,8]. c) la mediana es 6 y el rango intercuartilico es 3. d) la moda es 6 el el rango intercuartilico es 3.
67 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 40 / 41 Ejercicio Los datos son las detenciones previas analizadas la semana pasada ¾Cuál es la moda? ¾Y la mediana? Calcular el rango y el rango intercuartilico.
68 M. Wiper Análisis Estadístico del Delito 41 / 41 Resumen y siguiente sesión En las últimas dos sesiones hemos introducido las resumenes numéricas más típicas de un conjunto de datos. En la sesión práctica vermos cómo calcularlas en Excel y más grácos estadísticos, para resumir tanto una muestra como varias muestras de datos.
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