SISTEMAS Y MATRICES LECCIÓN 8

Transcripción

1 SISTEMAS Y MATRICES LECCIÓN 8 Índice: Producto de matrices. Propiedades del producto de matrices. Problemas..- Producto de matrices El producto de una matriz fila de orden n por una matriz columna de orden n es una matriz cuadrada de orden que se obtiene de la siguiente manera: (a a a n ) x x =(a x +a x ++a n ) 3 ( 5) -7 =( 3+ (-7)+5 )=(3) Una ecuación lineal a x +a x ++a n =c puede escribirse como una ecuación matricial de la siguiente forma: (a a a n ) x x =(c) Por ejemplo, la ecuación 3x-y+z=8 puede escribirse así: x (3 - ) y z =(8) b) El producto de una matriz de orden m n por una matriz columna de orden n es una matriz columna de orden m que se obtiene de la siguiente forma: a a a m a a a m a n a n a mn x a x +a x ++a n a x +a x ++a n x =... a m x +a m x ++a mn = 3 3+ () () = 3 Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede escribirse como una ecuación matricial de la forma A X=C, donde A es - -

2 la matriz de coeficientes del sistema; X, la matriz columna de las incógnitas y C, la matriz columna de los términos independientes: a x +a x ++a n =c a x +a x ++a n =c... a a a a a m x +a m x ++a mn =c m a m a m a mn a n a n x x x-y+3z=4 x-y=8 3 x y z = 4 8 = c c c n A X=C Para resolver un sistema como el anterior por el método de Gauss hemos utilizado la matriz A C, llamada matriz ampliada: A C= a a a m a a a m a n a n c c a mn c) Si A=(a ij ) y B=(b ij ) son dos matrices de órdenes m n y n p, respectivamente, se llama producto de las matrices A y B, y se escribe A B o (a ij ) (b ij ), a la matriz de orden m p (a i b j +a i b j ++a in b nj ). A B= = = Observa que, si el producto de dos matrices es, ello no implica que una de ellas deba ser. Si calculamos B A, se comprueba que el producto de matrices no es conmutativo: B A= = 4 () (-) ()+3 +3 (-) = -4 - Si A es una matriz de orden m n y B es una matriz de orden n p, con m p, sólo tiene sentido el producto A B: c m = Esto es, a la matriz cuyo elemento ij-ésimo es la suma de los productos de los elementos de la fila i-ésima de A por los correspondientes elementos de la columna j- ésima de B, ambas de n elementos al ser A una matriz de orden m n y B una matriz de orden n p. (En lo que sigue simplificaremos diciendo que el elemento ij-ésimo se obtiene multiplicando la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B.) - - SM-8

3 .- Propiedades del producto de matrices ª) Asociativa: si A, B y C son tres matrices de órdenes m n, n p y p q, respectivamente, entonces [A B] C=A [B C]. ª) Distributiva: Si A es una matriz de orden m n, y las matrices B y C son de orden n p, entonces A [B+C]=A B+A C. Si A y B son dos matrices de orden m n y C es una matriz de orden n p, entonces [A+B] C=A C+B C. 3ª) El elemento neutro del producto de matrices cuadradas de orden n es la matriz unidad de orden n: si A es una matriz cuadrada de orden n e I es la matriz unidad del mismo orden, A I=I A=A. 4ª) Si t es un número real y A y B son dos matrices de órdenes m n y n p, respectivamente, entonces: [t A] B=t [A B]=A [t B]. 3.- Problemas ) Escribe los siguientes sistemas de ecuaciones en forma de ecuación matricial: -3x-8y+5z= x+7y-5z=4 b) x-3y=6 7x-y= 5x+y=-3 c) 3x-y+8z+t=- x-3y+z+7t= x-y-z+3t= x-y-3z-t=5 ) Escribe las siguientes ecuaciones matriciales en forma de sistema de ecuaciones lineales: x y z = 3 b) x y z = c) x y = 3) Realiza, si es posible, los siguientes productos de matrices: 3 4 b) c) d) e) ( 3 4) -3 f) 4) Si A= 4 5 3, calcula: 7 (A +I) b) A -7A+I -5 - Las demostraciones de estas propiedades se verán en la próxima lección. Si A es una matriz de orden m n, la matriz unidad de orden m es el elemento neutro por la izquierda y la matriz unidad de orden n, el elemento neutro por la derecha SM-8

4 x y 5) Si A= y B= z, halla: A 3-7A +5A+4I b) B 3 -B z -y 6) Si x +y +z = y M= -z x y -x, calcula: M b) P=M +I c) P M d) P 7) Si A es una matriz idempotente, prueba que la matriz B=A-I cumple la condición B =I. 8) Prueba que la siguiente matriz es idempotente: 9) Prueba que la siguiente matriz es periódica, y calcula su período: b) - - ) Prueba que la siguiente matriz es involutiva: ) Prueba que la siguiente matriz es nilpotente, 4 y calcula su orden: ) Si A=, halla los números p y q de modo que A +pa+qi=. 3) Calcula X +Y si X e Y son las matrices solución del siguiente sistema de ecuaciones matriciales: 4X-3Y= 8-3 ; X+Y= 3 4 4) Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales: 4 X 5 3 = X b) X = c) x y z = x y z d) x y z t 3 = x y z t La matriz cuadrada A es idempotente si A =A. La matriz cuadrada A es periódica de periodo n si A n+ =A y n es el menor número natural distinto de cero que verifica dicha igualdad. 3 La matriz cuadrada A es involutiva si A =I. 4 La matriz cuadrada A es nilpotente de orden n si A n+ = y A n SM-8

5 e) X=X f) X= g) ( ) X=() h) -3 x x y z = y z i) X=X j) X = X 5) Calcula el elemento neutro por la izquierda y el elemento neutro por la derecha de las siguientes matrices. Comprueba el resultado: b) - 3 6) Si A, B y C son las siguientes matrices, calcula los productos A B, B C, [A B] C y A [B C]: 8 A= B= C= ) Si A, B y C son las siguientes matrices, halla A B, A C, A [B+C] y A B+A C: A= B= C= - 3 8) Si A, B y C son las siguientes matrices, halla A C, B C, [A+B] C y A C+B C: 4 A= B= - C= ) Si A y B son las siguientes matrices, halla I 3 A, A I, I B y B I (I n es la matriz cuadrada de orden n): -5 A= 3 B= - 3 ) Si A y B son las siguientes matrices, calcula los productos A B, [ A] B, A [ B] y [A B]: -3 A= ) Comprueba que (A+B) =A +B si: A= B= - B= SM-8