Trabajo Práctico N 6: ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR

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1 Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 7 Trjo Práctico N 6: ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR Ejercicio : Pr cd espcio ectoril indicdo nlice cuáles de ls siguientes expresiones define un producto interior. Pr ello compruee que se cumplen los xioms correspondientes en los csos firmtios y muestre qué xioms no se cumplen en los csos negtios. ) V IR u es el producto interior euclidino en IR u IR. T x AB tr B A AB ) V IR u u u u u u IR y IR. c) V IR u u u u u u u u IR y IR. d) V IR u u u u u u u u IR y IR. e) V M V. Ejercicio : Complete l siguiente tl considerndo el producto interior definido en cd espcio ectoril indicdo. V IR u u producto 7 7 esclr V IR u u u 6u u V M x AB u A B u u d u Áng u

2 Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 7 Ejercicio : Sen u y ectores culesquier de un espcio ectoril V con producto interior. Demuestre que: ) ) u u u u u u 4 4 Ejercicio 4: Siendo que u y son ectores tles que u u 7 y determine: ) u ) u Ejercicio : Sen y w ectores tles que w y. Clcule 4 - w. Ejercicio 6: Pr u y w ectores tles que y w son ortogonles u u w 6 u y w es un ector unitrio elúe ls siguientes expresiones. ) w ) u w u Ejercicio 7: Sen los ectores u - y u u. u con el producto interior de IR definido por c) Verifique l desiguldd de Cuchy-Schwrz y l tringulr pr dichos ectores. d) Determine el lor de w de modo que el ector w w 4 se ortogonl u. e) Hlle un ector unitrio en l dirección de.

3 Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 7 Ejercicio 8: Considere el espcio ectoril IR con el producto interior euclidino. Determine de ser k k ; k - resulte un posile el/los lor/es de k de modo que el conjunto conjunto de ectores ortogonles. Ejercicio 9: Complete l siguiente tl según correspond. Considere en cd espcio ectoril indicdo el producto interior euclidino. V Conjunto Norm -lizdo Ortogonl Ortonorml Bse de V Bse ortonorml de V IR ; IR... ;... X X IR X X X IR ; ;... } { 4 IR ; X X X X X Ejercicio : Se H l rect de IR de ecución crtesin prmétric x t y t z 4t t IR ) Determine el suespcio W de IR que descrie todos los ectores ortogonles H considerndo el producto interior euclidino en IR. ) Oteng l medid del ángulo entre W y el plno de ecución x y z.

4 Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 7 Ejercicio : Determine el lor de erdd de ls siguientes proposiciones. Demuestre ls erdders y proporcione contrejemplos pr ls flss. ) Si u y son ectores ortogonles en un espcio ectoril con producto interior V tles que u entonces u. ) Todo conjunto de ectores linelmente independiente de c) Los ectores u - y -- u u son ortogonles. u u con el producto interior de n IR es un conjunto ortogonl. IR definido por d) El conjunto formdo por los ectores u y del ítem () es un se de IR. e) Si u es un ector de un espcio ectoril con producto interior V y kir entonces k u k. n n f) Todo conjunto ortogonl de ectores de IR es un se de IR. g) Sen u y w ectores de un espcio ectoril con producto interior V si w es ortogonl l ector u y l ector entonces w es ortogonl tod cominción linel de u y. Ejercicio (OPCIONAL): Un producto interior socido con el Cálculo ) Sen f y g dos funciones continus en el interlo. Demuestre que l siguiente expresión f g xgxdx f define un producto interior sore el espcio de tods ls funciones continus definids en. ) Utilice el producto interior definido en el ítem () pr clculr f g pr l función f f x cos x g x sen x con x. dd por y pr l función g dd por c) Clcule g pr gx senx con x. Solución ) Sen f g y h funciones continus en el interlo. Se k IR.. f g f xgxdx gx f xdx g f. f gh ( f x gx) hxdx f xhxdx gxhxdx f h g h. k f g k f xgxdx k gx f xdx k g f 4. f f f x f xdx f xdx por ser x f pr todo x. 4

5 Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 7 Además por ser f continu y f x en f xdx si y sólo si x todo x. Por lo tnto se tiene que f f si y sólo si f. Luego f g es un producto interior. f pr ) f g cosx senx sen x dx c) f f f cosx cosx dx cos x dx f g cos 4x dx sen 4x x f 4 Ejercicio (OPCIONAL): Proyección ortogonl Si P es un punto en el espcio tridimensionl ordinrio y W es un plno que ps por el origen entonces el punto Q en W más próximo P se otiene l trzr un perpendiculr de P W. El ector w (Figur ) se denomin proyección ortogonl de u sore W y se denot proywu y el ector w (w= u-proywu) se denomin componente de u ortogonl W. Si el conjunto { r} es un se ortonorml de W entonces: Si proywu = <u > + <u > + <u r>r u OP l distnci entre P y W está dd por II u - proywu II. P u w =u-proy Wu O Q w = proy Wu Figur Se W el plno en IR de ecución x- y - z = : ) Hlle un se ortonorml pr W. ) Determine el ector de W más próximo l ector u= (- ) V. c) Oteng l distnci de u W. Solución

6 Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 7 ) Si w W entonces w= (y+z y z)= y( ) + z( ) con y z IR luego un se pr W es: B= {( ) ( )}= {u u} se dee hllr entonces un se ortonorml pr W digmos B ={ }. Aplicndo el proceso de Grm-Shmidt tendremos un se ortogonl { }: u ( ) u u ( ) ( ) ( ) Sólo flt normlizr los ectores: ( ) ( Luego un se ortonorml pr W es: B ; 6 ) El ector de W más próximo l ector u= (- )V es proywu donde proywu = <u > + <u > siendo{ } un se ortonorml de W. proy W u u u 6 ) Entonces u proy W ( ) c) L distnci de u W d(u W) está dd por IIu - proywu II. u proy u ( ) ( ) W ( ) ( ) 6 d(uw ) ( ) 6 6