TEMA 9. DERIVADAS. Veamos cómo podemos calcular esa pendiente. Si tenemos una función f(x) y cogemos dos puntos de la misma:

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1 TEMA 9. DERIVADAS. DEFINICIÓN DE DERIVADA. Se define la derivada de una función f() en un punto 0 como la pendiente de la recta tangente a f en dico punto, y se designa por f ( 0 ). Veamos cómo podemos calcular esa pendiente. Si tenemos una función f() y cogemos dos puntos de la misma: ( 0, f( 0 )) y ( 0 +, f( 0 + )) La recta que pasa por estos dos puntos tiene por pendiente: f ( 0 ) f ( 0 ) Aora vamos a intentar aproimar los dos puntos que emos cogido. Como podemos observar en la siguiente gráfica, las rectas secantes, al aproimarse los puntos, se acercan a la recta tangente a la función en el punto 0. Y esa es la definición que abíamos dado anteriormente de derivada.

2 Matemáticamente, para aproimar los dos puntos basta con acer que 0 + esté cada vez más próimo a 0, es decir, que se aga cada vez más pequeño. Para ello, ay que calcular el límite de la pendiente cuando tiende a 0 f ( 0 ) f ( lim 0 0 ) f ( 0 ) Cuando este límite eiste y es finito, diremos que la función es derivable en 0. Calculemos la derivada de f() 3 en f (4 ) f (4) (4 ) 3 f (4) lim lim lim lim 0 0 Por lo tanto, f (4) Calcula la ecuación de la recta tangente a f() + 3 en el punto 0. Para calcular una recta necesitamos un punto y la pendiente. Como nos dice que a de pasar 0, el punto será (, f()) (, ) La pendiente la calculamos con la derivada, f ( ) f () ( ) 3 f () lim lim lim lim ( 8) Por lo tanto, la recta es y + 8(-), o sea, y 8 5 NOTA: Éste no es el método que utilizaremos normalmente para calcular derivadas, es tan sólo la definición.

3 . DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Si en la gráfica de una función se observa que en el punto considerado ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar las derivadas laterales (límites laterales). Para que eista la derivada de la función en el punto, an de eistir las derivadas laterales y tienen que ser iguales. 3 Para estudiar la derivabilidad de la función f() en, 3 como su gráfica presenta un cambio brusco de dirección en ese punto, emos de estudiar las derivadas laterales. f - () 3 y f + () 0 Como no son iguales, la función no es derivable en. Una propiedad importante dice que si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él. Con esta propiedad nos evitamos estudiar la derivabilidad en los puntos donde la función no sea continua. Por el contrario, puede darse el caso de una función que sea continua y no derivable en algún punto. 3. FUNCIÓN DERIVADA En los ejemplos anteriores emos calculado la derivada de una función en un punto, pero, podríamos obtener la derivada de esta función en un punto cualquiera? Sea f() + f ( ) f () f () lim 0 ( ) lim 0 lim 0 lim 0 lim ( ) 0 Por lo tanto, podemos asegurar que f (), y la llamaremos función derivada. A partir de esta función, podemos averiguar el valor de la derivada en cualquier punto, sin más que sustituir (f () 4, f (3) 6 ). 3

4 4. CÁLCULO DE DERIVADAS a) Derivada de una constante. f() k f () 0 b) Derivada de la potencia. f() n f () n n- Ejemplos: f() f () f() f () f() 5 f () 5 4 Esta regla se aplica también para eponentes negativos: f() n f () - n n- n n n f() - f () - - También sirve para raíces: f() n m m n f () m n m n f() ½ f () c) Derivada de las funciones eponenciales y logarítmicas. f() a f () a ln a f() e f () e f() log a f () lna f() ln f () f() 7 f () 7 ln 7 4

5 d) Derivada de las funciones trigonométricas. f() sen f () cos f() cos f () - sen f() tg f () + tg cos 5. OPERACIONES CON DERIVADAS a) La derivada del producto de un número por una función. Ejemplos: () k f() () k f () f() 3 f () 3 6 f() 7 ln f () 7 b) Derivada de una suma o una resta de funciones. () f() ± g() () f () ± g () Ejemplos: f() f () f() f () c) Derivada del producto de dos funciones. () f() g() () f () g() + f() g () f() sen f () sen + cos sen + cos d) Derivada de un cociente de funciones. () f () g() f'() g() f () g'() () g() ( ) f() f () 4 4 5

6 e) Derivada de la composición de dos funciones. Regla de la cadena. Ejemplos: () g(f()) () g (f()) f () f() (3 + ) f () (3 + ) f() (3 + ) 3 f () 3 (3 + ) (6 + ) f() sen (5 ) f () cos (5 ) 0 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función Si observamos la siguiente gráfica, vemos que en los tramos en los que la función es creciente, su recta tangente también lo es y viceversa. Por lo tanto, cuando la función sea creciente, la pendiente de su recta tangente será positiva, y cuando sea decreciente, negativa. Como la pendiente de la recta tangente a una función es su derivada, podemos asegurar que: - f() es creciente en un punto 0 si f ( 0 ) > 0 - f() es decreciente en un punto 0 si f ( 0 ) < 0 Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, calculamos los intervalos en dónde su derivada es positiva y negativa. f() f () Como > 0 cuando > 0 f es creciente en ]-, 0[ y < 0 cuando < 0 f es decreciente en ]0, +[ 6

7 Máimos y mínimos de una función Observa en la gráfica que la recta tangente a la curva en los puntos donde ésta tiene un máimo o un mínimo es 0. Por lo tanto, podemos afirmar que si una función f() cumple que f ( 0 ) 0, entonces tiene un máimo o un mínimo en 0. Para saber qué punto es máimo y cuál mínimo, estudiamos el crecimiento y el decrecimiento. f() / f () + 4 Resolvemos la ecuación y nos da las soluciones - y Estudiamos el signo de la derivada a ambos lados de los puntos (es otra forma de ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento) - f() > 0 f() < 0 f() > 0 Como vemos en el esquema anterior, - es un máimo y un mínimo. Concretamente: (-, 35/3) Máimo (, 8/3) Mínimo Otro procedimiento para diferenciar máimos de mínimos es utilizar la segunda derivada. Si es negativa en el punto, ay un máimo, y si es positiva, un mínimo. 7

8 En el ejemplo anterior, f () 4 + f (-) -6 Máimo f () 6 Mínimo Hay ocasiones en las que el punto en el que la derivada se anula no es ni un máimo ni un mínimo, es un punto de infleión (como el que vemos en la gráfica siguiente). En estos casos, la derivada segunda también es 0. Representación gráfica de funciones Estudiar los intervalos dónde la función crece y decrece, así como los máimos y los mínimos nos ayuda a la ora de representar gráficamente la función f() Es una función polinómica, por lo tanto, definida en todos los números. Veamos dónde corta a los ejes: Eje Y: 0 y 4 (0, 4) Eje X: y 0 (, 0) y (-, 0) Veamos aora el crecimiento y los etremos: f () y 0 f() > 0 f() < 0 f() > 0 8

9 En (0, 4) tenemos un máimo En (, 0) tenemos un mínimo Veamos aora las ramas infinitas lim f () - lim f () + Tan sólo tendríamos que dar algunos puntos más y representarla gráficamente. Problemas de máimos y mínimos En ocasiones nos interesa conocer los máimos o mínimos de funciones que se ajustan a situaciones reales determinadas, por ejemplo: maimizar beneficios, minimizar costes En estos casos, primero determinaremos la función y después determinaremos sus valores etremos. Un pastor tiene 000 metros de valla para construir un cerco rectangular aprovecando una pared ya eistente. Halla las dimensiones del cerco a fin que el área encerrada sea máima. y Perímetro: y Área: y Hemos de maimizar el área, pero necesitamos que sea una función con una sola variable. Para ello, despejamos la del perímetro: 000 y, y sustituimos en el área: (000 y) y 000y y Por lo tanto, emos de maimizar la función f(y) 000y y f (y) 000 4y 0 y 50 9

10 f (y) - 4 < 0 es un máimo Como 000 y Entonces, las dimensiones son: 500 m. de largo por 50 m. de anco. Descomponer el nº 8 en dos sumandos positivos de forma que el triple del primero por el doble del segundo sea máimo. Si el primer sumando es, el segundo es 8 Hemos de maimizar 3 (8 ) f() f () ,5 f () - < 0 es un máimo Por lo tanto, los sumandos son 40,5 y 8-40,5 40,5. Regla de l ôpital Es una técnica muy eficiente para el cálculo de ciertos límites (indeterminaciones 0 y ), utilizando el cálculo de derivadas. 0 lim a f() g() lim a f'() g'() (siempre que éste segundo límite eista) ln lim indeterminación Por l Hôpital lim lim 0 0

11 EJERCICIOS. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y + 3 en el punto.. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y en. 3. Calcula el punto de f() + 3 en el que su tangente es paralela al eje X. 4. Calcula el punto de f() en el que su tangente es paralela al eje X. 5. Estudiar la derivabilidad de f() y g() Calcular la derivada de las siguientes funciones: a. f() 7 b. f() 4 3/ c. f() 3 d. f() 3 3 e. f() 3 f. f() 4sen g. f() + cos. f() cos 3 i. f() tg j. f() sen ( + ) k. f() cos (3 3) l. f() 5 p. f() ( 3 ) 3 q. f() ln (3 + ) r. f() ln ( 3) s. f() (4e + tg ) 3 t. f() ( 5) ( + ) 3 u. f() ( 4) v. f() (3 ) 3 w. f() 3 ( ). f() y. f() 3e 5-4 z. f() m. f() 5 6 n. f() sen o. f() 7. Calcula f () si f()

12 8. Calcula máimos, mínimos, crecimiento y decrecimiento de las funciones: 5 4 a. f() 5 b. f() 3 3 c. f() d. f() e. f() Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de modo que el triple del primero por el cuadrado del segundo sea máimo. 0. Hallar las dimensiones mínimas que debe tener una oja de papel para contener una superficie útil de 54 cm con unos márgenes de,5 cm a dereca e izquierda y de cm. arriba y abajo.. Calcula las dimensiones de un cilindro inscrito en una esfera de radio cm. para que su volumen sea máimo.. Calcula la superficie máima rectangular que puede ser contenida en un perímetro de 00m. 3. Descompón el número 97 como producto de dos números positivos tales que la suma del doble del cuadrado del primero más el triple del segundo sea máima. 4. Un vendedor de pisos tiene un sueldo fijo de 000 más una comisión que viene dada en función del número de pisos vendidos según la epresión 50, siendo el número de pisos vendidos. Calcula el número de pisos que a de vender para que sus ganancias sean máimas si tiene unos gastos fijos de por piso vendido. 5. Calcula el número que sumado con 5 veces su inverso se obtiene un valor mínimo. 6. Calcula las medidas del triángulo rectángulo de área máima que tiene 0 cm. de ipotenusa. 7. Entre todos los rectángulos de perímetro 4, cuál tiene la diagonal menor?

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