1. Función primitiva. Integral de una función.

Transcripción

1 . Función primitiv. Integrl de un función. Considermos l función f() =. Nos preguntmos si eiste otr función F() tl que l derivrl nos de l función f(). F() = verific que F () = f(). Pero tmién nos vldrí l función +, y que su derivd tmién es. F() es un primitiv de l función f() si F () = f(). Ejemplo.- F() = cos es un primitiv de l función f() = -sen, y tmién lo es G() = cos + C, con C un número rel. El conjunto de tods ls primitivs de un función f() se llm integrl indefinid de f() y se escrie f()d. Si F() es un primitiv de f(), entonces f()d = F() + C. - L constnte C se llm constnte de integrción. - d se lee diferencil de e indic l vrile respecto de l cul se integr. Ejemplos d = + C, con C R. d = + C, con C R. e d = e + C, con C R. d = L + C, con C R. PROPIEDADES ( ± ) = ± f() g() d f() d g() d k f() d = k f() d L integrl del producto de funciones NO es el producto de ls integrles. L integrl del cociente de funciones NO es el cociente de ls integrles. TABLA DE INMEDIATAS Teniendo en cuent l tl de derivds inmedits, podemos hcer l siguiente tl de integrles inmedits. Mrí de l Ros Sánchez Págin

2 FUNCIÓN d = + C d = + C sen d = cos + C d = + C d = + C L cos d = sen + C n + n+ n d = + C, con n - d = L + C cos d = tg + C Ejemplos.- d = + C d = + C d = + C d = + C = + C 6 d = d C C = + = + Ejercicio.- Págin 99, ejercicio. En ocsiones ls integrles son csi inmedits, pero no precen en l tl de ls inmedits. En estos csos, es conveniente hcer un cmio de vrile. t = t dt t t e d = dt = e = e dt = e + C = e + C dt = d d =. t = + dt d = dt L t C L C dt = = = + = dt d d t = = t Ejercicio. Clcul ls siguientes integrles: ) 5 7 d ) 9 d Mrí de l Ros Sánchez Págin

3 c) d d) d e) ( ) 5 d f) ( ) d g) ( + ) 5 d h) ( ) 5 d i) ( ) d j) 5 d k) d INTEGRAL DEFINIDA Se f un función continu y positiv en el intervlo [,]. Se llm integrl definid de l función f en dicho intervlo, l áre de l región del plno limitd por l gráfic de l función f, el eje de sciss y ls rects = y =. Se represent por: f()d Áre del recinto limitdo por l gráfic de l función f(), el eje OX y ls rects = y =. Mrí de l Ros Sánchez Págin

4 Los números y se llmn límites de integrción y l función que se integr, integrndo. PROPIEDADES. Si los límites de integrción son igules, l integrl definid vle, es decir: f()d =. Si f() es un función continu en el intervlo [,] y c es número perteneciente dicho intervlo, entonces c f()d = f()d + f()d c. Si intercmimos los límites de integrción, l integrl cmi de sigo. Es decir: f()d = f()d.. L integrl definid v ien con l sum o rest de funciones y con el producto de un número por un función. Es decir: ( ) f ± g = f ± g k f()d = k f()d 5. Si f() y g() son dos funciones continus en el intervlo [,] tl que f() g() en todo el intervlo, entonces f()d g()d REGLA DE BARROW L regl de Brrow nos permite clculr l integrl definid prtir de un función primitiv. Afirm que: Si F() es un primitiv de l función f(), entonces f()d = F() F() Ejemplo.- Vmos clculr ( + ) d - Primero hllmos un primitiv de f(). = + = +. F() - Clculmos F() y F(): F() = 6, F() = 8 Mrí de l Ros Sánchez Págin

5 - ( ) 8 + d = + = 6 = Ejercicio.- Clcul: ) e d ) ( ) 5 d c) ( + ) d 5 d) ( 5 + ) e) ( + ) d d f) e d 6 g) ( 5) ÁREA DEL RECINTO DONDE INTERVIENE UNA FUNCIÓN Ahor trtmos de hllr el áre de recintos limitdos por l gráfic de un función y rects. Antes de inicir el cálculo de l integrl definid que d el áre, conviene representr, siempre que se fctile, el recinto correspondiente. Distingmos los siguientes csos: A) L función es positiv en [,]. Si f() es un función continu en [,], tl que en dicho intervlo f(), el áre del recinto determindo por l gráfic de l función, ls rects = y = y el eje OX viene dd por l integrl definid f()d A = f()d Mrí de l Ros Sánchez Págin 5

6 Ejemplos.- Hll el áre del recinto limitdo por l práol de ecución y =, el eje OX, l rect = y l rect =. El recinto es: A = d = u = = Hll el áre de l región limitd por l curv y = - +, el eje OX y ls rects = - y = El recinto es: 6 6 ( ) A = + d = u + = = B) L función es negtiv en [,] Considermos hor un función f() continu en [,] y negtiv en dicho intervlo. Ls rects =, =, el eje OX y l gráfic de l función determinn en el plno un recinto situdo dejo del eje de sciss. El áre de este recinto es: Mrí de l Ros Sánchez Págin 6

7 A = f()d Ejemplos.- Hll el áre del recinto limitdo por l práol de ecución y = -, el eje OX, l rect =- y l rect =. El recinto es: 6 A = d = u = Hll el áre del recinto: ( ) A = + d = u + = C) L función tom vlores positivos y negtivos en suintervlos. Cundo l función f() no tiene signo constnte en el intervlo [,], su gráfic determin con el eje OX vris regiones como se indic en l siguiente figur: Mrí de l Ros Sánchez Págin 7

8 c Áre = A + A + A = f()d f()d + f()d Hll el áre delimitd por l gráfic de l función eje OX. y = y el Hllmos los puntos de corte con el eje OX resolviendo l ecución =. Son =, = y =. Áre = A + A ( ) A = d = u + = ( ) A = d = u + = Por tnto, el áre es 8 u ÁREA DEL RECINTO DONDE INTERVIENEN DOS FUNCIONES Mrí de l Ros Sánchez Págin 8

9 El Áre del recinto determindo por ls gráfics de dos funciones f() y g(), con f() g(), y el eje OX es igul l áre encerrd entre l función diferenci h() = f()-g() y el eje OX. Pr determinr los límites de integrción tenemos que hllr los puntos de corte de ls dos funciones. Ejemplo.- Hllr el áre encerrd entre ls gráfics de ls funciones g() =. f() = + y Hllmos los puntos de corte de ls dos funciones resolviendo el sistem: y = + + = = = = y =, En el intervlo determindo por ls soluciones otenids, deemos estudir cuál es l función que está por encim : f() = g() = L función g está por encim, luego: 9 Áre = g() f() d = + + d = + + = u ( ) ( ). En este cso, lo hemos resuelto sin representr gráficmente el recinto que, en este cso, es: Mrí de l Ros Sánchez Págin 9