TERCER CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS CUARTO NIVEL (1º Y 2º DE BACHILLERATO) 2ª FASE: Sábado 9 de Abril de 2.001

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Juan Antonio Moreno Botella
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1 TERCER CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS CUARTO NIVEL (1º Y º DE BACHILLERATO) ª FASE: Sábado 9 de Abril de.001 LEE DETENIDAMENTE LAS SIGUIENTES INSTRUCCIONES: No pases la página hasta que se te indique. Duración de la prueba: 1 HORA, 30 MINUTOS. Dada la naturaleza de la prueba, no debes utilizar calculadoras, reglas graduadas ni ningún otro instrumento de medida. Es difícil contestar bien a todas las preguntas en el tiempo indicado. Concéntrate en las que veas más asequibles. Cuando hayas contestado a éstas, inténtalo con las restantes. No contestes en ningún caso al azar. Recuerda que es mejor dejar una pregunta en blanco que contestarla erróneamente: Cada respuesta correcta te aportará puntos. Cada pregunta que dejes en blanco, puntos Cada respuesta errónea, 0 puntos JUNTO A ESTA HOJA DE ENUNCIADOS SE TE HA ENTREGADO UNA HOJA DE RESPUESTAS: Escribe tus datos en la HOJA DE RESPUESTAS en los recuadros correspondientes. MARCA CON UNA CRUZ (X), EN LA HOJA DE RESPUESTAS, LA OPCIÓN QUE CONSIDERES CORRECTA (A, B, C, D Ó E), EN CADA UNA DE LAS VEINTICINCO PREGUNTAS. SI TE EQUIVOCAS ESCRIBE NO DEBAJO Y, A CONTINUACIÓN MARCA LA RESPUESTA CORRECTA.

2 1. Cada una de las circunferencias es tangente exterior a las otras dos, y cada lado del triángulo es tangente a dos de ellas. Si cada circunferencia tiene de radio 3 cm., el perímetro del triángulo en centímetros es: A) B) C) D) E) 4. Si log 8 3= p y log 3 = q, entonces log 3 = q es igual a: A) pq B) 3 p+ q C) 1 + 3pq p+ q D) 3pq 1+ 3pq E) p + q 3. El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia cuyo diámetro AD mide 4 metros. Si los lados AB y BC miden 1 metro, entonces CD, en metros, mide: A) 7 B) C) 11 D) 13 E) 3 4. El número de soluciones distintas y comprendidas entre 0 y π de la ecuación 3 ( 4sen x 1) sen( x) + = 0, es: A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 3. Cuántos números naturales de dos cifras (escritos en base 10) son iguales al producto de sus cifras más 1? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 0

3 6. Una función f verifica f(f(x)) = f(x+)-3 para todo entero x, con f(1)=4 y f(4)=3. El valor de f() es: A) 3 B) 6 C) 9 D) 1 E) 1 7. En la ecuación de segundo grado x -14x+k=0, k es un número natural. Las soluciones de p q la ecuación son dos números primos distintos p y q. El valor de + es: q p A) B) 106/4 C) 130/33 D) 170/33 E) Ninguno de los anteriores 8. Sean a y b dos números naturales tales que 1 a 10 y 11 b 0. Si s es la suma de todos los números naturales comprendidos entre a y b (ambos incluidos), el valor de s no puede ser: A) 91 B) 9 C) 9 D) 98 E) El conjunto de soluciones de la inecuación x-1 + x+ < es: A) (-3,) B) (-1,) C) (-,1) D) (-3/, 7/) E) conjunto vacío) 10. Cuál de las siguientes cúbicas está representada por la gráfica? A) y=(x-1) (x-) B) y=(1-x)(x-) C) y=(x- 1) (x+) D) y=(x-1)(x+) E) y= -(x-1) (x+) 11. Si el ángulo PRQ es recto, y PQS = θ, el valor de tgθ es: A) 1 B) 1 C) 3 D) 1 3 E) Siendo i = -1, entonces ( 1+ i ) 0 - (1- i ) 0 es igual a: A) -104 B) -104i C) 0 D) 104 E) 104i

4 13. Si g( x) 1 x ( ) =, y f g( x) 1 x 1 =, entonces f es igual a: x A) 3/4 B) 1 C) D) 3 E) Cuántos puntos de la recta 7x+y=89 tienen sus dos coordenadas dadas por dos números naturales? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 1. La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica ilimitada de razón r tal que r <1 es 1, y la suma de los cuadrados de sus términos es 4. Su primer término es: A) 1 B) 10 C) D) 3 E) 16. Tenemos un grupo de 0 chicas que son rubias o morenas, y que tienen los ojos azules o pardos. Si hay 14 rubias de ojos azules, 31 morenas y 18 de ojos pardos, el número de morenas de ojos pardos es: A) B) 7 C) 9 D) 11 E) Si la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x + hx = 3 es 10, entonces h es igual a: A) -1 B) 1 C) 3 D) E) Nada de lo anterior 18. Si ( 3( 4 x) ) 3( 4( y) ) 4( ( 3 z) ) log log log = log log log = log log log = 0, entonces x+y+z es: A) 0 B) 8 C) 89 D) 111 E) Si w es una de las soluciones imaginarias de la ecuación z 3 =1, entonces el producto 1 w+ w 1+ w w es igual a: ( )( ) A) 4 B) w C) D) w E) 1

5 0. Sea la función f que a cada número real x hace corresponder el menor de los valores de 4+ 1, x+, x+ 4 El máximo valor de f(x) es: A) 1/3 B)½ C) /3 D) / E) 8/3 1. El detective Robles sabe que el crimen lo ha cometido uno y sólo uno de los cuatro sospechosos, cuyas declaraciones son: - El Pulga: El Bola es el culpable - El Bola: El Cabra es el culpable - El Cabra: El Bola miente - El Pollo: Yo no soy el culpable Sabiendo que una y sólo una de las declaraciones es cierta, el culpable es: A) El Pulga B) El Bola C) El Cabra D) El Pollo E) Faltan Pistas. El número de puntos equidistantes de una circunferencia y de dos tangentes a dicha circunferencia que no sean paralelas entre sí es: A) 1 B) C) 3 D) 4 E) Mayor que 4 3. El trapecio ABCD se divide en dos trapecios de igual área por medio de un segmento MN paralelo a las bases AB= a y CD=b. La medida de MN será: A) a + b B) a + b a+ b C) ab D) ab a+ b a+ b E) 4. Cuál de estas expresiones no siempre es igual a las demás? A) cos x B) π sen + x C) cos( x) D) 1 sen x E) cos( π + x)

6 . El actual balón de fútbol es un icosaedro truncado. Se obtiene a partir de un icosaedro, suprimiendo en cada vértice del mismo una pirámide pentagonal, de forma que por cada vértice del icosaedro aparezca un pentágono regular y que cada cara del primitivo icosaedro quede reducida a un hexágono regular. Su número total de aristas es: A) 180 B) 90 C) 100 D) 80 E) Nada de lo anterior

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