Guía de actividades. PROGRESIONES SERIES Profesor Fernando Viso

Transcripción

1 Guí de ctividdes PROGRESIONES SERIES Profesor Ferdo Viso

2 GUIA DE TRABAJO Mteri: Mtemátics Guí #. Tem: Progresioes ritmétics Fech: Profesor: Ferdo Viso Nombre del lumo: Secció del lumo: CONDICIONES: Trbjo idividul. Si libros, i cuderos, i ots. Si celulres. Es obligtorio mostrr explícitmete, el procedimieto empledo pr resolver cd problem. No se cotestrá preguts i cosults de igú tipo. No puede moverse de su sieto. i pedir borrs, i lápices, i clculdors prestds. Mrco Teórico:.- Térmio geerl: + ( ) d S d.- Sum de los primeros térmios: ( + ) + ( ) PREGUNTAS:.- Si el sexto térmio de u progresió ritmétic es 8 y el térmio ocevo es -, cuál es el primer térmio? Cuál es l rzó de crecimieto? Sugerecis: Sexto térmio: ( ) Ocevo térmio: ( ) + 6 d 8 + 5d 8 + d + 0d Restdo u ecució de l otr: 5d 0 d. Sustituyedo este vlor de d e l primer ecució: 8 R 8; d

3 .- Ecotrr el térmio e l secueci de úmeros :, 4, 7, 0,.. ( ) R +.- Ecotrr el primer térmio de u progresió ritmétic si el quito térmio es 9 y l rzó de crecimieto es d. R Si el primer térmio de u serie ritmétic es -4 y el térmio docevo es, ecotrr l difereci comú o rzó de crecimieto. 6 R d 5.- Ecotrr el térmio docevo de l siguiete secueci ritmétic:, 5, 8,.. R Ddo que el primer térmio de u secueci ritmétic es 56 y el térmio décimo séptimo es, ecotrr el vlor del décimo térmio y el del vigésimo quito térmio. 85 R 56; d ; 0 ; Si los térmios 54 6; 4 64, ecotrr. 5 4 R d ; ; 8.- Si el primer térmio de u progresió ritmétic es igul 7 y l difereci comú o rzó de crecimieto es igul -, ecotrr el térmio 5 y l sum de los primeros 5 térmios. R 5 ; S Ecotrr l sum de los primeros 6 térmios de l erie ritmétic cuyo primer térmio es 4 y su rzó de crecimieto es.

4 R S Ecotrr l sum de los primeros 0 térmios de l progresió ritmétic: -9, -,,. R S Ecotrr l sum de l serie ritmétic: S [ + ] 0.00, 0.- Ecotrr l sum de los primeros 00 úmeros eteros positivos. 00 S 00 ( + 00 ) Ecotrr l sum de los primeros 5 eteros pres Sugerecis: d ( ) ; 5; ; S5 ( + 5 ) ( + 50 ) Cuátos térmios de l secueci ritmétic -9, -6, -,.debe ser tomdos pr que l sum se 66?. d S S d Sugerecis: 9; ; 66; + ( ) R 8 ( ) ( )( 4) ; 4. El vlor egtivo de se rechz. Etoces l solució es.

5 5.- Ecotrr l sum de los primeros p térmios de l secueci ritmétic cuyo térmio. p p ; p Sugerecis: S [ + p ] ( p+ ) p R Sp p+ ( ) 6.- Cuátos térmios de l secueci 6,, 6, debe ser sumdos pr que es sumtori se igul 74? S + d Sugereci: Usr ( ) R 74 ( 6) ( )( 5) ( 4)( 5 7) Not: Se rechz el vlor 7 porque o es u úmero etero Isertr 4 medios ritméticos etre y 6. Sugerecis: Los térmios etre dos térmios ddos de u progresió ritmétic so + d. Si llmdos medios etre los térmios ddos. Se deberá usr l fórmul ( ) ; 6; 6; d 7. R 8, 5,, Isertr 5 medios ritméticos etre y. Sugerecis: ; ; 7; d R ; 9; ; 5;

6 9.- Isertr 0 medios ritméticos etre 4 y d; 4; 67 ; d Sugerecis: ( ) R 7,0,,6,9,, 5, 8,,4,7, 40, 4, 46, 49,5,55,58,6, Determir los primeros cutro térmios y el docevo térmio de l progresió ritmétic geerd por l fució: F( x) x+. Sugerecis: Ecotrr los térmios de l progresió dádole vlores x,,,4,.. R 5; 7; 9; ; Si u progresió ritmétic es geerd por l fució liel F( x) x+ 4; cuáles so el primer térmio, el térmio 5 y l rzó de crecimieto?. R ; ; d. 5.- L sum de tres úmeros de u progresió ritmétic es igul 7 y l sum de los cudrdos de esos mismos úmeros es igul 9. Ecotrr los úmeros. Sugerecis: ( d) + + ( + d) 7; 9. Etoces, los tres úmeros so: ( 9 d),9,( 9 d) +. Luego: ( ) ( ) R 4;9;4. 9 d d 9 d 5 d ± 5

7 GUIA DE TRABAJO Mteri: Mtemátics Guí #. Tem: Progresioes geométrics. Fech: Profesor: Ferdo Viso Nombre del lumo: Secció del lumo: CONDICIONES: Trbjo idividul. Si libros, i cuderos, i ots. Si celulres. Es obligtorio mostrr explícitmete, el procedimieto empledo pr resolver cd problem. No se cotestrá preguts i cosults de igú tipo. No puede moverse de su sieto. i pedir borrs, i lápices, i clculdors prestds. Mrco Teórico:.- Térmio geerl: r.- Sum de los primeros térmios: PREGUNTAS: S ( r ) ( r).- Si el primer térmio de u progresió geométric es 9 y l rzó comú es ecotrr los primeros 5 térmios., Sugerecis: Aplicrl pr cd cso fórmul r 8 6 R 9; 6; 4; 4 ; Ecotrr los siguietes tres térmios de l progresió geométric:,, 4,

8 Sugereci: De l ecució del térmio geerl despejr l rzó geométric de crecimieto ( r ) y luego plicr l mism fórmul pr clculr cd térmio requerido. R r ; 8; 6; ; Ecotrr los siguietes tres térmios de l progresió geométric: 7, -9,, -, R r ; 5 ; 6 ; Ecotrr el décimo térmio de l progresió geométric, 6,, 4,. ; ; R 0 ( ) El séptimo térmio de u progresió geométric es igul 9 y l rzó geométric de crecimieto es r. Ecotrr los primeros cutro térmios. ( ) 7 9 R 7 ; 6; ; Si el octvo térmio de u progresió geométric es 6 y l rzó geométric de crecimieto es -, cuál es el térmio?. 8 8 ( ) ( ) 8 4 R 6 r El primer térmio de u progresió geométric es 7, el térmio eésimo es 9 y l sum de los térmios es Sugerecis: Ecotrr y r..- r 7 r r 7 r. 9 9

9 b.- S ( ) 7( ) r r r 7r r r r r Ahor, se puede escribir: r 9( ) 9( ) 9 r r 9 r ( r ) r 7 r 9 7 r se tiee 9 Sustituyedo este vlor de r e l ecució ( ) r R r ; Ecotrr l sum de los primeros 0 térmios de l progresió geométric: 5, 0, 60, 0,. Sugerecis: Escribir l progresió de l siguiete mer: ( ) ( ) ( ) 5;5 ;5 ;5 ;... r S ( r ) ( r) 0 ( ) ( ) S R S

10 9.- Ecotrr l sum de los primeros cutro térmios de l serie geométric: ; ; ;... 8 Sugerecis: r S ( r ) r R S Ecotrr l sum de los primeros ocho térmios de l siguiete progresió geométric: 4; ; ; ; Sugerecis: 8 r S R S ( r ) 6560 S8 r Ecotrr l sum de los primeros 7 térmios de l progresió geométric: ; ; ;... Sugerecis: r S ( r ) r

11 S Ecotrr l sum de los primeros 6 térmios de u progresió geométric cuyo primer térmio es y cuyo segudo térmio es -. Sugerecis: ) b) r / ( r ) S r 6 ( ) 8 R S6 ( ).- Ecotrr el séptimo térmio de u serie geométric cuyo tercer térmio es rzó es. Ecotrr tmbié l sum de los primeros siete térmios. 8 y su Sugerecis: 6 ( r) ( ) 7 ( ) 8 ).- 7 ( ) 7 S7 S b) r r 7 R 7 S7

12 4.- Determir el quito térmio y l sum de los primeros 0 térmios de l progresió geométric siguiete: Sugerecis: 9, ; ;... 8 ) r 4 5 / b) 0 ( r ) S S0 S0 ( r) R 5 ; S El curto térmio de u progresió geométric es Ecotrr el primer térmio y l rzó de crecimieto. y el sexto térmio es 8. Sugerecis: ) r ; 6 r r r ± b) Hy dos posible solucioes. Si se tom l rzó positiv, 4 / 4 r ( /) r, etoces: Si se tom l rzó egtiv, r, etoces:

13 ( /) ( /) 4 4 r R 4; Isertr cutro medios geométricos etre 60 y 5. Sugerecis: ) 5 r r r ; 6 5 ; 60 R 60;80; 40; 0;0;5 7.- Ecotrr tres medios geométricos etre 6 y 8. Sugerecis: So cico térmios e totl, icluyedo los dos ddos e los extremos. ) 5 ( ) 4 6; 8;8 6 r r ± R Si r 6 ;6 ;6 4;6;54. Si r 6 ;6 ;6 4;6; Ecotrr los primeros cutro térmios de l progresió geométric geerd por l x fució expoecil f ( x) si el domiio de l fució es el cojuto de úmeros eteros positivos (0,,,,.). Sugerecis:

14 f f f f 0 ( ) 8 ( ) 7 ( ) 8 ( ) 0 R ; 8; 7; Ecotrr tres úmeros cosecutivos de u progresió geométric cuy sum es 9 y cuyo producto es 6. Sugerecis: Los tres úmeros cosecutivos se puede expresr como: ; rluego ;. : r r r. Por otro ldo, cosidermos l sum: r r r 6 0 r r 0 ( )( ) r r ; r R 4;6;9

15 GUIA DE TRABAJO Mteri: Mtemátics Guí #7. Tem: Series. Secuecis. Térmios geerles. Fech: Profesor: Ferdo Viso Nombre del lumo: Secció del lumo: CONDICIONES: Trbjo idividul. Si libros, i cuderos, i ots. Si celulres. Es obligtorio mostrr explícitmete, el procedimieto empledo pr resolver cd problem. No se cotestrá preguts i cosults de igú tipo. No puede moverse de su sieto. i pedir borrs, i lápices, i clculdors prestds. Mrco Teórico: PREGUNTAS:.- Determir el térmio geerl de l secueci:,,,,, , Sugerecis: Estblecer el orde de prtició de cd térmio e idetificrlo co su ordil correspodiete. ; ; ; ; R ( )( ) Not: es el ordil.

16 .- Determir el térmio geerl de l secueci: 5 7 9,,,,, R Estblecer l covergeci o divergeci de l serie: Sugerecis: Pr estblecer l covergeci o divergeci de u serie dd, es ecesrio ecotrr primero el térmio geerl, el cul, por observció es pr este cso: + Luego, pr determir l covergeci o divergeci: Si podemos probr que se cumple l relció siguiete:, > etoces es divergete. Esto es cierto, porque < ; >. ( ) R Divergete. 4.- Estblecer l covergeci o divergeci de l serie: π π π π se + se + se + se π Sugerecis: El térmio geerl es se. Etoces, pr determir l covergeci o divergeci: π se <, lo cul es verdd porque se π < ( > ). R Covergete.

17 5.- Estudir l serie:!! 4! Sugerecis: Pr estudir el comportmieto de u serie, se debe ecotrr primero los térmios y +, pr ello: ( +! ) ( ) [ + ]!! 4!! ; ; ; ;... ; Ahor, se ecuetr l relció Luego, se ecuetr el límite de es expresió, como sigue: ( + ) ( +! ) ( ) ( ) + + (! ) ( + ) lim lim lim ( + ) + + lim < e,7 + R Covergete 6.- Estudir l serie: Sugerecis:

18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 + ; ; ;... ; ( ) 4... ( ) ( + ) ( ) Ahor, se tom el límite: lim 0 4 R Covergete ( )

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