Estadística III Repaso de Algebra Lineal

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Beatriz Villanueva Nieto
hace 5 años
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1 Repaso de Algebra Lineal

2 Vectores Un vector columna de dimensión n 1 es una serie de números dispuestos como sigue: x 1 x 2 x =. x n Un vector fila de dimensión 1 p es una serie de números dispuestos como sigue: x = (x 1, x 2,..., x p )

3 Traspuesta de un vector La traspuesta de un vector columna x de dimensión n 1 es un vector fila de dimensión n 1 tal que: x 1 x 2 x =. = x = (x 1, x 2,..., x p ) x n x = = x = (3, 2, 1, 5)

4 Producto de un vector y un número real Un vector se puede multiplicar por un número real constante como sigue: cx 1 cx 2 cx =. cx n cx = =

5 Suma de dos vectores Dos vectores de la misma dimensión pueden sumarse como sigue: x 1 y 1 x 2 y 2 x + y =. x n +. y n = x 1 + y 1 x 2 + y 2. x n + y n x + y = =

6 Producto interior de vectores El producto interior entre dos vectores de dimensiones n 1 es: y 1 x y 2 n y = (x 1, x 2,..., x p ). = x i y i i=1 y n x y = (3, 2, 1, 5) = = 5

7 Norma de un vector La norma de un vector es un número no negativo que se define como sigue: x = x x = n i=1 x 2 i Si x = (3, 2, 1, 5), entonces: x = x x = ( 2) = = = 39 =

8 Vectores ortogonales Se dice que dos vectores son ortogonales si: x y = 0 x y = (3, 2, 1, 5) = = 0

9 Proyección ortogonal La proyección ortogonal de un vector x sobre un vector y es: Sean los vectores: 3 x = Proyección de x sobre y = (x y) (y y) y y = Entonces, es fácil ver que x y = 5 y y y = 29, por lo que: 20 4 Proyección de x sobre y = =

10 Matrices Una matriz se define como sigue: a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np donde n es el número de filas y p es el número de columnas. Decimos que el tamaño de la matriz es n p. ( ) n = 2 y p = 3

11 Traspuesta de una matriz La traspuesta de una matriz A es una nueva matriz de tamaño p n dada por: a 11 a 21 a n1 A a 12 a 22 a n2 = a 1p a 2p a pn ( ) = A =

12 Matriz cuadrada y matriz simétrica Una matriz A es cuadrada si tiene las mismas filas que columnas, es decir, n = p Si una matriz A es cuadrada, y A, diremos que la matriz A es simétrica = A = = A

13 Producto de una constante por una matriz El producto de una constante c por una matriz A se define como sigue: ca 11 ca 12 ca 1p ca 21 ca 22 ca 2p c ca n1 ca n2 ca np 3 3 ( ) = ( ) ( = )

14 La suma de dos matrices A y B de la misma dimensión se define como sigue: a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2p A + B = b 21 b 22 b 2p = a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1p + b 1p a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2p + b 2p = a n1 + b n1 a n2 + b n2 a np + b np ( ) ( ) A + B = ( ) B = = ( ) = ( )

15 Propiedades de estas operaciones Si A, B y C son tres matrices del mismo tamaño y a y b son dos números reales cualquiera, tenemos: Propiedad asociativa: (A + B) + C = A + (B + C). Propiedad conmutativa: A + B = B + A. c (A + B) = ca + cb. (a + b) aa + ba. (ab) a(ba) = b(aa). (A + B) = A + B. (aa) = aa.

16 Producto de matrices Para poder multiplicar matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual que el número de filas de la segunda matriz. El producto de matrices se realiza como en el siguiente ejemplo: ( ) B = = ( ) A B = = ( ) ( 1) ( 1) + ( 1) = = ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 12 4 = 10 36

17 ( ) 3 B = ( 4 1 ) = 1 ( ) 3 A B = ( 4 1 ) = 1 ( ) ( 1) = = ( 1) 4 ( 1) ( 1) ( ) 12 3 = 4 1

18 Matrices idempotentes e nilpotentes Una matriz cuadrada A es idempotente si A 2 = A A. ( ) 1 0 = A 2 = 1 0 ( ) ( ) = ( ). Una matriz cuadrada A es nilpotente si para algún número entero k, A k = 0. ( ) 0 1 = A 2 = 0 0 ( ) ( ) = ( ).

19 Propiedades del producto de matrices Si A, B y C son tres matrices de dimensiones adecuadas y a es un número real cualquiera, tenemos: a (A B) = (aa) B. = A (ab) Propiedad asociativa: A (B C) = (A B) C. En general, A B B A. A (B + C) = A B + A C. (A + B) C = A C + B C. (A B) = B A. Si A B = una matriz de ceros, no implica que A o B sea una matriz de ceros. Por ejemplo: «0 1 4 «3 1 3 A 0 =

20 Determinante de una matriz cuadrada El determinante de una matriz A de tamaño 2 2 se denota por A y se calcula como sigue: A = = = 5 El determinante de una matriz de tamaño 3 3 se calcula como sigue: A = = ( 1) = ( 15) + 2 ( 14) = 14 = Una matriz cuadrada es singular si su determinante es 0. La matriz anterior, por lo tanto, no es singular.

21 Propiedades del determinante de una matriz cuadrada Si A es una matriz cuadrada de tamaño n n y a es un número real cualquiera, tenemos: A = A. AB = A B. aa = a n A. Si todos los elementos de una fila o de una columna de A son 0, entonces, A = 0. Si dos filas o columnas son iguales, entonces, A = 0. Si una fila (columna) es múltiplo de otra fila (columna), entonces, A = 0. Si A es idempotente, A2 = A2. Si A es nilpotente, A k = A k = 0, donde k es tal que A k = 0.

22 Inversa de una matriz cuadrada no singular Si A es una matriz cuadrada no singular de tamaño n n, entonces existe una única matriz B tal que: A B = B I donde I es la matriz indentidad de tamaño n n: I = La matriz B recibe el nombre de matriz inversa y se denota por A 1. ( 2 3 ) ( ) ( 5 = ) ( ) = ( )

23 Inversa de una matriz de tamaño 2 2 La inversa de una matriz de tamaño 2 2 es la siguiente: ( ) a11 a 12 = 1 ( ) a22 a 12 a 21 a 22 A a 21 a 11 ( ) = 1 7 ( )

24 Inversa de una matriz de tamaño 3 3 La inversa de una matriz de tamaño 3 3 es la siguiente: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 1 a 32 a 33 a 21 a 23 a 31 a 33 a 21 a 22 a 31 a 32 A a 12 a 13 a 32 a 33 a 11 a 13 a 31 a 33 a 11 a 12 a 31 a 32 a 12 a 13 a 22 a 23 a 11 a 13 a 21 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22

25 = =

26 Propiedades de la inversa de una matriz cuadrada ( A 1) = (A ) 1. (AB) 1 = B 1 A 1. A 1 = 1/ A.

27 Traza de una matriz cuadrada Se define la traza de una matriz cuadrada A de dimensión p como la suma de los elementos de la diagonal de la matriz A, es decir: a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p p..... = Tr (A) = a ii.. i=1 a p1 a p2 a pp = = 9.

28 Propiedades de la traza de una matriz Si A y B son dos matrices cuadradas y a es un número real cualquiera, tenemos: Tr (ca) = ctr (A). Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B). Tr (A B) = Tr (A) Tr (B). Tr (A B) = Tr (B A). Tr `B 1 A B = Tr (A). Tr (A A ) = P p i=1 P p j=1 a2 ij.

29 Matriz cuadrada ortogonal Una matriz cuadrada A se dice que es ortogonal si, y sólo si, A 1 = A. En este caso: AA = A I ( ) = A 1 = A = ( ). Si una matriz cuadrada A es ortogonal, entonces, A = 1 o A = 1.

30 Diagonalización de matrices Si A es una matriz cuadrada de dimensión n n, entonces, los autovectores y los autovalores de A son vectores v 1,..., v n de norma 1 y ortogonales y números λ 1,..., λ n tales que: Av i = λ i v i, i = 1,..., n Los autovalores de A se obtienen resolviendo la ecuación característica A λi = 0. Si todos los autovalores de una matriz son positivos, decimos que la matriz es definida positiva.

31 ( ) = ( = A λi = ) ( 1 0 λ 0 1 ) = 0 = (1 λ) 2 25 = 0 λ 1 = 6 y λ 2 = 4. La matriz A no es definida positiva.

32 Los autovectores se obtienen resolviendo la ecuación Av i = λ i v i, teniendo en cuenta que v i = 1. En el ejemplo, ( ) ( ) ( ) 1 5 v11 v11 = v 21 v 21 = v 11 5v 21 = 6v 11 5v 11 + v 21 = 6v 21 = v 11 = v 21 = ( ) ( v12 v 22 ) ( ) v12 = 4 v 22 = v 12 5v 22 = 4v 12 = v 12 = v 12 + v 22 = 4v 22 v 12 =

33 Descomposición espectral de una matriz La descomposición espectral de una matriz A simétrica se define como: n λ i v i v i. i=1 ( ( ) 1 5 = 5 1 ) ( ) ( ).7071 ( )

34 Descomposición de valores singulares La descomposición de valores singulares de una matriz A simétrica se define como: V ΛV, donde V = [v 1 v n ] y Λ es una matriz diagonal formada por los autovalores de dicha matriz. ( ( ) 1 5 = 5 1 ) ( ) ( )

35 Algunas consecuencias importantes Sea A es una matriz cuadrada con descomposición de valores singulares dada por: V ΛV. Entonces, se verifican: Tr (A) = Tr (V ΛV ) = Tr (Λ) = P n i=1 λ i. A = V ΛV = Q n i=1 λ i. A k = V Λ k V, de donde, los autovalores de A k son λ k i y Ak = A k = Q n i=1 λk i. ( ) = Tr (A) = = 6 4 A = 6 ( 4) = 24.

36 Si x = (x 1,..., x n ) es un vector columna de tamaño n 1, entonces, una forma cuadrática en x es: Q (x) = x Ax donde A es una matriz cuadrada simétrica de tamaño n n. Notar que una forma cuadrática se puede escribir como sigue: a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x 2 n Q (x) = (x 1,..., x n ) = i=1 a n1 a n2 a nn x n ( 1 2 Q (x) = (x 1, x 2 ) 3 4 ) ( x1 x 2 ) = ( ) x1 = (x 1 + 3x 2, 2x 1 + 4x 2 ) = x x x 1 x 2 + 4x n a ij x i x j. j=1

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