SOLUCIONES ABRIL 2018
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- Xavier Ríos Herrero
- hace 5 años
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1 Págin de OLUCIONE ABRIL 08 AUTOR: Ricrd Peiró i Estruch IE Abstos lènci ABRIL -8: Clculr el ángulo que formn dos digonles de un cubo Nivel: A prtir de EO olución: e ABCDA B C D el cubo de rist AB Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo ABC: AC Aplicndo el teorem de Pitàgores l triángulo rectángulo ACC : AC' BD' Ls dos digonles se intersectn en el punto medio P: e y AC' BP AP APB el ángulo que formn ls digonles AC' BD ' Aplicndo el teorem del coseno l triángulo ABP: cos implificndo: cos rccos 70º'6" Abril -5: e ABCDEFA B C D E F un prism hexgonl con tods sus rists igules Clculr ls digonles AC y AD Clculr el áre de l sección del prism que ps por A, B, D Clculr el perímetro de l sección del prism que ps por A, B, D Nivel: A prtir de EO olución: Tenemos, pr l primer pregunt: ABC 0º Aplicndo el teorem del coseno l triángulo ABC AC cos0 AD, Aplicndo el teorem de Pitàgores l triángulo rectángulo ACC :
2 Págin de AC' AC' Aplicndo el teorem de Pitàgores l triángulo rectángulo ADD : AD' () 5 AD' 5 Notemos que l sección ps por los puntos medios P, Q de les rists FF ', CC ', respectivmente L sección es el hexágono ABQD E P AE' PQ FC BD' AC' El áre del hexágono ABQD E P es igul l doble del áre del trpecio ABQP: AB PQ AE' ABQD'E'P Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo AFP: AP 5 5 AP El perímetro del hexágono ABQD E P es: P ABQD'E' P AB AP 5 Abril -: e el cubo ABCDEFGH en K, L, M los puntos medios de ls rists AB, CG y EH, respectivmente Determinr l proporción entre los volúmenes del tetredro KLMF y el cubo originl Nivel: A prtir de EO olución: e AB l rist del cubo ABCDEFGH Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo AKE: EK 5 Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo KEM: MK 6 Análogmente, KL LK MK 6
3 Págin de El centre O del cubo es el centre del triángulo equilátero KLM 5 FK FL FM EK Entonces, F pertenece l meditriz del triángulo KLM Y, demás, OF es perpendiculr l triángulo KLM OF DF El volumen del tetredro es: 6 KLMF KJLM OF L proporción entre los volúmenes del tetredro y el cubo es: KLMF cub Abril 6-7: En el interior de un cono están dispuests dos esfers tngentes entre sí i tngentes l superficie del cono L proporción entre los rdios de ls esfers es igul m/n (m>n) Determinr el ángulo en el vértice de l sección xil del cono Nivel: A prtir de EO olución: Consideremos l sección xil del cono ABC (triángulo isósceles AC BC ) e M el punto medio del diámetro AB de l bse C e O el centro de l esfer inscrit l cono y l bse del cono de rdio m e h CM, l ltur del cono e P el centro de l esfer superior tngente l nterior y l superficie lterl del cono de rdio n T K P N O L El plno tngente ls dos esfers cort ls genertrices AC y BC en los puntos K, L, respectivmente e N l A intersección de l ltur CM y KL Los triángulos ABC y KLC son semejntes y l rzón de semejnz es m/n Aplicndo el teorem de Tles: M B Resolviendo l ecución: h h m m n
4 Págin de m h m n e ACM El ángulo en el vértice de l sección xil es, ACB e T el punto de tngenci de l esfer de centro O i l genertriz AC Aplicndo rzones trigonométrics l triángulo rectángulo OTC: m m m n sin h m m m n m m n m n rcsin m n m n ACB rcsin m n Abril 6-7: En culquier prism el número totl de cres C y el número totl de rists A, cumplen: C = A + Nivel: A prtir de EO olución: e l bse del prism un polígono de n ldos El número de crs es: El número de vértices es: Aplicndo l fórmul de Euler: Resolviendo l ecución: A = n, y qued C n n C A, n n A A n n C Abril 0-: En un cono equilátero (cono en el que el diámetro de l bse es igul l genertriz) se h inscrito un prism regulr hexgonl con tods sus rists igules Determinr l proporción entre los volúmenes del prism y del cono Nivel: A prtir de EO olución: e O el centro de l bse del cono, de vértice e ABCDEFA B C D E F el prism regulr hexgonl tl que
5 Págin 5 de e AB AA ' x OA x AD A'D' x PQ R el diámetro que ps por los puntos A, D A R Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo PO: O R, ltur del cono PA R x PO 60º Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo PAA : Resolviendo l ecución: AA ' PA, x (R x) El volumen del prism es: x R prism 6 x x x R R El volumen del cono equilátero es: con R R R L proporción entre los volúmenes del prism y del cono prism con R R Abril -: En l figur, hy un doble cono y un cubo Los dos conos son equiláteros (el diámetro de l bse es igul l genertriz) L cr inferior (superior) del cubo es tngente l cr lterl del cono inferior (superior) Clculr l proporción entre los volúmenes del cubo y del doble cono Nivel: A prtir de EO olución: e el cubo ABCDA B C D de rist AB x
6 Págin 6 de e O el centro del cubo y del doble cono e PQ R el diámetro del doble cono e M l intersección del diámetro PQ y l rist AC x, OM AC x PM R A'M x, A'PO 60º AA ' Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo PAA : x A'M PM, x R x Resolviendo l ecución: El volumen del cubo es: 6 x R R 6 5 cub El volumen del doble cono es: x R R 5 5 con R R R L proporción entre los volúmenes del cubo y del doble cono es: cub con R R Abril -5: e dd un pirámide regulr pentgonl tl que sus cres lterles son triángulos equiláteros Determinr el ángulo que form l cr lterl y l bse Determinr el ángulo que form un rist lterl y l bse
7 Págin 7 de Nivel: A prtir de EO olución: e ABCDE l pirámide de bse el pentágono regulr ABCDE y que tiene tods ls rists igules, AB e O el centro del pentágono regulr e M el punto medio de l rist AB MBO 5º Aplicndo rzones trigonométrics l triángulo rectángulo OMB: OM cos 5º OB, tg5º OM tg5º OB cos 5º Pr l primer pregunt, tenemos: El ángulo que form un rist lterl y l bse es igul l ángulo OB Aplicndo rzones trigonométrics l triángulo rectángulo OB: OB rccos rccos º'" B cos 5º Pr l segund pregunt, tenemos: El ángulo que form un cr lterl y l bse es igul l ángulo OM Aplicndo rzones trigonométrics l triángulo rectángulo MB: M Aplicndo rzones trigonométrics l triángulo rectángulo OM: OM rccos rccos tg5º 7º'9" M Abril 6-7: e ABCDA B C D un prism regulr de bse cudrd de rist y ltur en P, Q, R y los puntos medios de ls rists AB, BC, C D y A D, respectivmente Determinr el áre del rectángulo PQR Nivel: A prtir de EO olución: Tenemos: BP BQ Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo isósceles PBQ:
8 Págin 8 de PQ Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo isósceles BAD: BD e M el punto medio del segmento PQ, K el punto medio del segmento R e L l proyección de K sobre l bse ABCD DL BM PQ, LM BD BM Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo KLM: KM El áre del rectángulo PQR es: PQR PQ KM Abril 8-9: e ABCDA B C D un prism regulr de bse cudrd de rist y ltur en P, Q y R los puntos medios de ls rists AB, BC y C D, respectivmente Determinr el áre de l sección del prism determind por el plno PQR Nivel: A prtir de EO olución: L sección determind por los puntos P, Q, R es el hexágono PQURT, tl que U es el punto medio de l rist medio de l rist CC ', es el punto A 'D' y T es el punto medio de l rist AA ' BP BQ Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo isósceles PBQ: PQ Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo isósceles ABC: AC TU BD
9 Págin 9 de e L l proyección de K sobre l bse ABCD DL BM PQ LM BD BM Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo KLM: KM e E el punto medio del segmento TU ME KM El áre de l sección es igul l doble del áre del trpecio PQUT: PQURT PQ TU ME Abril 0-: e ddo un cubo y un pirámide cudrngulr rect que tiene por bse un cr del cubo upongmos que el cubo y l pirámide tienen l mism áre Hllr l proporción entre los volúmenes de l pirámide y el cubo Nivel: A prtir de EO olución: e el cubo ABCDA B C D de rist AB e ABCD l pirámide cudrngulr regulr e O el centro de l cr ABCD e M el punto medio de l rist AB e de un cr lterl de l pirámide e El áre totl de l pirámide es: 9 M x l ltur O h l ltur de l pirámide El áre del cubo es: cub 6 6 x El cubo y l pirámide tienen l mism áre, entonces: 6 x 5 Resolviendo l ecución: x Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo MO:
10 Págin 0 de 5 h Resolviendo l ecución: h 6 El volumen de l pirámide es: piràmide El volumen del cubo es: 6 6 cub L proporción entre los volúmenes de l pirámide y el cubo es: piràmide cub 6 6 Abril -9: e ABCD un tetredro regulr de rist en E y F los puntos medios de ls rists BD y CD, respectivmente Determinr el áre del triángulo AEF Nivel: A prtir de EO olución: e EF l prlel medin de l cr BCD, ENTONCE: EF BC Aplicndo el teorem de Pitàgores l triángulo rectángulo AFC: AF AE Utilizndo l fórmul de Herón el áre del triángulo AEF es: AEF
11 Págin de Abril -0: e ABCDEF un pirámide hexgonl regulr de bse un hexágono regulr ABCDEF de ldo e l ltur de l pirámide Un esfer es tngente ls rists lterles de l pirámide en los vértices de l bse Clculr el rdio de l esfer Nivel: A prtir de EO olución: e G el centro de l bse ABCDEF de l pirámide e G, l ltur de l pirámide e O el centro de l esfer e AO 90º, AGO 90º OA R el rdio de l esfer e OG x Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo isósceles AG: A Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo isósceles AO: R ( x) () Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo isósceles AG: x R () Consideremos el sistem formdo per ls expresiones () (): Resolviendo el sistem: R ( x) x R x R Abril -5: Un esfer está inscrit en un cono truncdo Probr que el áre de l esfer es menor o igul que el áre lterl del cono truncdo Nivel: A prtir de EO olución: e r el rdio de l esfer e ABCD un sección xil del cono truncdo
12 e K el centro de l bse inferior del cono truncdo e cono truncdo e L el centro de l bse superior del cono truncdo e Págin de BK el rdio de l bse inferior del CL b el rdio de l bse superior del cono truncdo e b KL r e ABC, 0, e T el punto de tngenci de l esfer y l genertriz BC del cono BK BT, CL CT b BC b e P l proyección de P sobre l bse inferior del cono truncdo PB b r Aplicndo rzones trigonométrics l triángulo rectángulo CPB: sin b El áre de l esfer es: r ( b) sin esfer El áre lterl del cono truncdo es: esfer El áre lterl del cono truncdo es: b cont BC ( b) ( b) sin ( b) cont esfer b cont BC ( b) ( b) sin ( b) cont Not: El áre de un esfer inscrit en un cilindro es igul el áre lterl del cilindro Abril 6-7: L sección de un tetredro regulr que ps por dos puntos medios de dos rists de l bse y es perpendiculr l bse, divide l tetredro en dos poliedros Determinr l proporción entre los volúmenes de los dos poliedros Nivel: A prtir de EO olución: e ABCD el tetredro regulr de rist ig O el bricentro del triángulo equilátero El volumen del tetredro regulr ABCD es: AB ABC e h OD l ltur del tetredro ABCD ABCD h h en M, N los puntos medios de ls rists AB, BC, respectivmente
13 Págin de e K el punto medio del segmento MN e MNP l sección perpendiculr l bse ABC OB, BK Los triángulos rectángulos DOB y PKB son semejntes Aplicndo el teorem de Tles: h PK, PK h El volumen del tetredro MNBP es: MNBP h h 6 El volumen del poliedro AMNCPD es igul l volumen del tetredro ABCD menos el volumen del tetredro MNBP: AMNCPD h h h 6 9 L proporción entre los volúmenes de los poliedros AMNCPD i MNBP es: AMNCPD MNBP h 9 h 8 Abril 8: e un cono recto con áre de l bse y áre lterl e inscribe un esfer Hllr el rdio de l esfer Nivel: A prtir de EO olución: Nivel: A prtir de EO olución: Consideremos l sección xil del cono ABC (triángulo isósceles AC BC g)
14 Págin de e M el punto medio del diámetro e O el centro de l esfer inscrit l cono e rdio de l esfer AB R de l bse r OM el C R, Rg El áre del triángulo ABC es: ABC AB MC AB AC BC r O R g R (g R)r A M B r R g R (g R) R g R g R R R R R R R R R
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