(1) El título de este ensayo está tomado del trabajo de Héctor Neri Castañeda titulado '7 + 5 = 12' como una proposición sintética.

Transcripción

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2 Este trabajo tiene el propósito de mostrar que la proposición aritmética es una proposición sintética en un sentido relevantemente similar al sentido kantiano del término sintético. Antes de discutir esta cuestión son necesarias (1) una observación y (2) tres aclaraciones generales: (1) El título de este ensayo está tomado del trabajo de Héctor Neri Castañeda titulado '7 + 5 = 12' como una proposición sintética. 1 (2) En primer lugar, nos serán irrelevantes argumentos a favor del carácter sintético de proposiciones ajenas a (incluido, particularmente, el argumento a favor del carácter sintético de la proposición "7 + 5 = 12", que para Kant descansa en el supuesto de que 12 no es un concepto contenido en los conceptos de 7, 5, o +. Dicho sea de paso: la proposición "7 + 5 = 12" deja de ser sintética en el momento en el que los conceptos de 7, 5, y + se concatenan significativamente (es decir, como 7+5 o como 5+7). En otras palabras, 12 no es un concepto contenido en los conceptos de 7, 5, o + tomados aisladamente; sin embargo, 12 es un concepto contenido en los conceptos de 7, 5, y + tomados conjunta y significativamente: tomados conjuntamente significa que se consideran los tres términos, y tomados significativamente significa que tales tres términos son tomados en una combinación significativa, no meramente como 57+, 75+ (o, para este contexto, como +57, +75), sino como 7+5, 5+7). En segundo lugar, asumiremos que es perfectamente posible afirmar el carácter sintético de una proposición como sin por ello tener que comprometerse con una postura epistemológica o metafísica (es decir, la proposición puede ser sintética independientemente de si es, a la vez, a priori o a posteriori: será a priori para quienes identifican aprioridad y necesidad ; será a posteriori para quienes aprioridad y necesidad no son sinónimos intercambiables). En tercer y último lugar, del hecho de que consideremos a como una proposición sintética no debe concluirse que aceptamos una división tajante y 1 Héctor Neri Castañeda, 7+5=12 As a Synthetic Proposition, Philosophy and Phenomenological Research, vol. 21, n. 2 (1960), pp

3 significativa entre lo analítico y lo sintético (no creo que existan enunciados genuinamente analíticos más allá de casos muy particulares. Por otra parte, tampoco creo que de la sinteticidad de un enunciado deba seguirse que éste es irremediablemente revisable: en lo que sigue sostendré que el enunciado no revisable bajo ninguna justificación es un enunciado sintético). Cuatro definiciones comúnmente aceptadas de proposición sintética son las siguientes. Por un primer lado, a una proposición sintética se le puede definir como aquella proposición que dice algo sobre el mundo. Por un segundo lado, se le puede definir como aquella proposición cuyo predicado no está contenido en el sujeto. Por un tercer lado, se le puede definir como aquella proposición cuya verdad no depende únicamente del significado de sus términos tal como los empleamos en el lenguaje. Por un cuarto lado, se le puede definir como aquella proposición que contempla un sujeto cuya propiedad afirmada sobre él no es una propiedad esencial del mismo. A primera vista, parecería que estas cuatro definiciones son equivalentes entre sí, aunque tengo serias dudas sobre eso. Por ejemplo, la proposición A=A es una verdad no sintética según la segunda, la tercera, y la cuarta definiciones; pero no creo que A=A sea una verdad no sintética según la primera definición. Sea como fuere, esta discusión es irrelevante para nuestros propósitos, así que la dejaré de lado. Aquí, diremos que una proposición sintética es aquella en la que todo lo que puede decirse sobre ella no se encontraba contenido en ella desde un principio o, equivalentemente, una proposición sintética es aquella en la que cada una de las cosas que pueden decirse sobre ella no es una y la misma cosa que cada otra de las cosas que pueden decirse sobre ella. Creo que la proposición cumple con los requisitos, por así decirlo, para ser una proposición sintética según la definición anterior. En Es la matemática puramente lingüística?, 2 Russell escribió que Toda demostración matemática consiste meramente en decir en otras palabras parte o todo lo que se dice en las premisas. Si de un teorema A se deduce un teorema B, debe ser el caso que B repite A (o 2 Russell, Bertrand, Es la matemática puramente lingüística?, en Russell, Bertrand, Análisis filosófico, Ed. Paidós, España, pp

4 parte de él) en otros términos. Y la verdad de A debe resultar de los significados de las palabras utilizadas al establecerlo. Creo que esta manifestación del supuesto de que las proposiciones matemáticas son meramente analíticas tiene un defecto: deja de lado la cuestión fundamental de si las deducciones B, C,..., N desde el teorema A dicen una y la misma cosa entre sí. Esto por lo siguiente: si A = B, A = C,..., A = N, necesariamente B = C =... = N. En otras palabras, el que las deducciones B, C,..., N repitan A está condicionado no sólo a que A = B, A = C,..., A = N, sino también (necesariamente) a que B = C =... = N. Por lo tanto, si es una proposición (teorema) matemática cuyas sucesivas deducciones B, C,..., N, N + 1, N , etc., no cumplen con que B = C =... = N, etc., es una proposición sintética. como una proposición sintética Al hablar sobre la propiedad asociativa de la adición, Poincaré dijo que 3 Yo digo que a + ( b + c) = ( a + b) + c ; en realidad, el teorema es verdadero para c = 1. Entonces puede escribirse como a + ( b + 1) = ( a + b) + 1, que no es otra cosa que la igualdad x + a = [ x + ( a 1)] + 1 con la que he definido la adición. Asumiendo que el teorema es verdadero para c = γ, digo que será verdadero para c = γ + 1. Si ( a + b) + = a + ( b + ), se sigue que [( a + b) + γ ] + 1 = [ a + ( b + γ )] + 1 o, por x + a = [ x + ( a 1)] + 1, que ( a + b) + ( γ + 1) = a + ( b + γ + 1) = a + [ b + ( γ + 1)], lo que muestra, por una serie de deducciones puramente analíticas, que el teorema es verdadero para γ + 1. Siendo verdadero para c = 1, vemos que es sucesivamente verdadero para c = 2, c = 3, etc. Establezcamos que, siendo A un teorema y B, C,..., N, N + 1, N ,... sus respectivas deducciones (que son deducciones sólo en apariencia, habida cuenta del papel de la inducción matemática en ellas, al menos hasta nuestra deducción N ), γ γ 3 Poincaré, Henri, On the Nature of Mathematical Reasoning, en Poincaré, Henri, The Value of Science. Essential Writings of Henri Poincaré, Modern Library, EEUU, p

5 A = a + ( b + c) = ( a + b) + c B = a + ( b + 1) = ( a + b) + 1 C = a + ( b + 2) = ( a + b) N = a + ( b + 13) = ( a + b) + 13 N + 1 = a + ( b + 14) = ( a + b) + 14 N = a + ( b + 15) = ( a + b) Para nuestros propósitos, las deducciones D, E,..., N,... sobran; basta con que B C para que A sea una proposición sintética. Desde luego, bajo el criterio de Russell, A es una proposición analítica en la medida en la que B, C repiten A en otros términos. Pero, es una proposición analítica en la medida en la que B A = B, A = C? Creo que la respuesta a esta pregunta es negativa. = C, si B = C es una condición para que En efecto, si, según nuestra definición, una proposición sintética es aquella en la que cada una de las cosas que pueden decirse sobre ella no es una y la misma cosa que cada otra de las cosas que pueden decirse sobre ella (o, equivalentemente, si las deducciones B, C,..., N, N + 1, N ,... no dicen una y la misma cosa entre sí), entonces es una proposición sintética: restringiéndonos a lo que puede decirse sobre si a = b ( c 0), entonces 1 + (1 + 0) = (1 + 1) (2 + 1) = (2 + 2) (3 + 2) = (3+ 3) + 2, etcétera. Para la causa analítica, tampoco funcionan los casos en los que a = b = c = 0 o a = b = c = 1, sencillamente porque 0 3. Por lo tanto, si bien es cierto que B, C,..., N, N + 1, N ,... repiten A en otros términos, también sucede que B C, B N, B N + 1, B N , C N, C N + 1, C N , N N + 1, N N , N + 1 N